1. 引言及结论
多项式是代数中的重要内容之一,系数受限的多项式及其相关性质是多项式研究中的热点问题之一。Newman多项式是指形如
,
的多项式,这是一类系数受限的特殊多项式。有关Newman多项式的研究成果较多,如文献 [1] - [8]。一些学者聚焦于研究Newman多项式中关于系数极值性质,取得了一定的成果。如文献 [9] 研究了Newman多项式导数的一些极值性质。记
为多项式
中系数非零的项数,
是多项式
展开式所有项中的最大系数,
。文献 [10] 给出当
时,可以推出
。文献 [11] 指出当条件
取消后,
发生变化,并得出
,并猜测此时有
。本文将研究在
情形下,一类特定形式的Newman多项式在
时的
和
的极值问题。本文中研究的Newman多项式的类型是形如:
,
的多项式,在此条件下有
,并得出结论如下:
定理1 当
,
时,有
。
定理2 当
,
时,有
。
2. 定理证明
2.1. 定理1的证明
令
,
易知,
,
,又
当
时,多项式
中
的系数最大,此时有
所以
。
当
时,多项式
中
,
的系数最大,此时有
所以
。
综上,对任意正整数
,均有
,定理1得证。
2.2. 定理2的证明
令
,
易知,
,
,又
结合排序不等式,易知多项式
展开式中
的系数最大,此时有
所以
。
综上,定理2得证。
3. 研究展望
本文主要探讨了一类Newman多项式
中关于相关系数的表达式
(
)的极值问题,将
的值从2的情形推广到了3和4的情形。当条件
取消时,本文猜测
和4时
的极值情况将会和
时发生改变的情形相似,也会发生改变,在此情形下,
的极值相应会有怎样的变化,这些将作为下一步研究的方向。
基金项目
阿坝师范学院科研项目(20170101, ASB21-04, 202007013)。