1. 引言
“份数法”是小学数学中的一种重要解题方法，贯穿了小学的整个阶段，它犹如一座桥梁，将小学低段和高段的知识联系在了一起，以低阶思维促进高阶思维的发展。
那么什么是“份数法”呢？
我们以三年级的一道习题为例：姐姐和弟弟一共有零花钱72元，姐姐的零花钱是弟弟的8倍，姐姐和弟弟各有多少零花钱？看到题目，我们的第一反应是不是用方程来解决这个问题？不过三年级的小朋友还未接触过方程，用的正是“份数法”来解决这个问题：把弟弟的钱看作1份，那么姐姐的钱就是8份。由此可知，72元一共分成了9份，每份是72 ÷ (8 + 1) = 8 (元)，所以弟弟有8元，姐姐有8份是64元。
由此可知，利用“份数法”解决问题的关键是找到对应量和对应的份数，然后利用每份量 = 对应量 ÷对应份数来解决问题。
2. 解读教材，梳理教材中的“份数法”
一年级上册的《比大小》《比多少》、一年级下册《100以内数的认识》十根十根地数小棒都有“份数法”的影子在里面。二年级下册的“平均分”和除法正式提到了“份数”这样的字眼。到了三年级上册利用“份数”学习了《倍的认识》，在《分数的初步认识》里面初次用“份数法”来解决问题。例如：
有12名学生，其中
是女生，
是男生，男女生各有多少人？那“份数法”都可以解决哪些问题呢？可
以解决《分数乘法》 [1] 的问题、《分数除法》 [2] 的问题、《按比分配》的问题、《百分数》的问题、《解比例》的问题及《分数和百分数》综合应用的问题。
3. 教材中的“份数法”
“份数法”在小学教材中的分布情况见图1。
在一年级上册中学习比多少(P6~8)、比大小(P17~19)时，将物体一一对应，有剩余的即为多，物体多的对应的数字就大，物体少的对应的数字就小。这里面其实有“份数法”的思想在里面，一一对应的两个物体就是一份，一份一份进行比较。
在一年级下册学习整十数的加、减法时(P62)，会用到十根十根地数小棒。例如10 + 20表示1个十加2个十得3个十，3个十是30。这里其实就是以十根小棒为一份，求三份是多少。在两位数加一位数、整十数中也用到了“份数”的思想。
在二年级下册学习了平均分和除数为一位数的除法。每份分的同样多，叫做平均分。平均分是“份数法”的理论基础。在课本的例2 (P9)中：把18个橘子平均分成6份，每份几个？分一分。其中18是总量，一共分成6份，求一份量是多少。这道例题是“份数法”的基本模型。在课本例3 (P10)中还出现了“份数法”的另一种模型，即：8个果冻，每2个一份，能分成几份？分一分。所以学生在二年级下册开始真正接触“份数法”。
Figure 1. “Copy number method” in primary school textbooks
图1. 小学教材中的“份数法”
在三年级上册中很多地方用到了“份数法”的思想。其中，倍数和分数的几份之一、几分之几都是用“份数法”来定义的。在倍的认识例1 (P50)中，将两根胡萝卜看成一份，红皮萝卜的6根可以看成3份，所以红皮萝卜是胡萝卜的3倍。在分数中是这样定义的(P90)：把一块月饼平均分成2份，每份是这
块月饼的二分之一，写作
。
在三年级分数最初的计算中，没有出现分数单位的概念，其实这里的每份就是一个分数单位，也就
是将一个分数单位看成一份。课本96页例1就是用2个
加1个
得到3个
，即
。在分数的简单应用中，例2 (P101)用的正是“份数法”来解决问题的：有12名学生，其中
是女生，
是男生。男生女生各有多少人？因为
是女生，要求女生人数就要把12平均分成3份，求出1份是多少，所以12 ÷ 3 = 4 (人)。因为
是男生，要求男生人数就要把12平均分成3份，求出2份是多少，所以12 ÷ 3 = 4 (人)，4 ×
2 = 8 (人)。这道题目其实就是六年级的分数乘法的问题。但是到了六年级，在讲解分数乘法之前有很多学生不会解决这个问题，知识就会出现断层，表明学生的知识并未进行迁移，学过很快就忘记了。
最后，在课本97页和100页通过份数法初步感知了单位“1”，单位“1”这个概念到了五年级才具体学习。
四年级上册学习了口算除法，口算除法也有“份数法”的思想在里面。
五年级下册的分数是三年级分数的一个延续，在本册正式提出了单位“1”及分数单位。这里依然是用“份数法”来理解分数。把一个整体看成一份，也就是单位“1”。在此基础上学习了分数和除法的关系。所以，除法可以转化成分数形式，而分数问题又可以利用“份数法”来解决，所以，除法问题也可以用“份数法”来解决。
4. “份数法”在解决问题中的应用
利用“份数法”解决问题的关键是找到每份量 [3] 是多少，而找每份量的关键是找到对应量和对应的份数。
1) 分数乘法
据统计，2011年世界人均耕地面积为2500 m2，我国人均耕地面积仅占世界人均耕地面积的
。
我国人均耕地面积是多少平方米？(P7T8)
分析：“份数法”可以用来解决分数乘法的问题。
将世界耕地面积看成125份，则我国耕地面积为53份。
每份：
(m2)
我国：
(m2)
2) 分数除法
我们班全场得了42分，下半场得分只有上半场的一半，上半场和下半场各的多少分？(P41例6)
分析：“份数法”可以用来解决分数除法的问题。
本题目的单位“1”是上半场，将上半场看作2份，则下半场是1份。
每份：
(分)
上半场：
(分)
下半场：
(分)
3) 按比分配问题
用120 cm的铁丝做一个长方体的框架，长、宽、高的比是3:2:1。这个长方体的长、宽、高分别是多少？(P56T11)
分析：“份数法”可以用来解决关于比的问题。
将长方体的长、宽、高分别看成3份、2份和1份。
(cm)
每份：
(cm)
长：
(cm)
宽：
(cm)
高：
(cm)
4) 百分数
分析：百分数可以转化成分数，转化后和上面的方法相同。
5) 扇形统计图
我国国土面积约960万平方千米，各种地形所占百分比见图2。请你计算各种地形的面积。(P101T4)
分析：“份数法”可以用来解决扇形统计图的问题。
本题部分学生在做的时候用到了“份数法”。
每份：
(万平方千米)
山地：
(万平方千米)
高原：
(万平方千米)
6) 比例问题
法国巴黎的埃菲尔铁塔高度约320 m。北京的世界公园里有一座埃菲尔铁塔的模型，它的高度与原塔的高度比是1:10。这座模型高多少米？(P42例2)
分析：将模型高度看成1份，原塔高度看成10份。
模型：
(m)
7) 综合应用
甲、乙两箱粉笔的盒数之比是5:1，如果从甲箱里取出12盒放入乙箱中，甲、乙两箱粉笔的数量比变为7:5。那么两箱粉笔共有多少盒？
解答：对应量：12盒
对应份数：
(份)
每份：
(盒)
一共：
(盒)
5. 应用“份数法”，促进学生思维发展
1) 低阶思维促进高阶思维的发展
分数乘法、分数除法、按比分配、百分数及扇形统计图等知识都有自己独特的解题思路，为什么我们还要学习用“份数法”来解决此类问题呢？我们首先来看一下分数的定义(三年级上册90页)：把一块
月饼平均分成2份，每份是这块月饼的一半，也就是它的二分之一，说写作
。也就是说从“份数”引
入了“分数”，利用“份数法”来解决问题可以帮助学生对知识的有效理解。
例：水果店运来梨和苹果共50筐，其中梨的筐数是苹果的
，运来梨和苹果各多少筐？
苹果：
梨：
方法一：从分数的定义入手，苹果的框数有3份，则梨的框数有2份
每份：
(筐)
苹果：
(筐)
梨：
(筐)
在学生理解了这种方法的基础上，那么方法二学生就很容易理解了。
方法二：苹果的筐数为单位“1”，将苹果的框数看作1份，则梨的框数是
份，
则：苹果：
(筐)
梨：50 − 30 = 20 (筐)
2) 促进思维的发散
在教学中不断渗透“份数法”解决问题的知识，促进学生思维的发散。在六年级上册学习百分数(一)这个单元时，有一道这样的题目：一批零件按个数比5:3分配给甲、乙两人加工，已知乙分得的零件比甲的64%少18个，这批零件共有多少个？
解答过程中出现了以下几种方法：
方法一：解：设这批零件共有x个
方法二：解：设甲有零件x个，则乙有零件
个
乙：
(个)
一共：
(个)
方法三：解：设甲有零件5x个，则乙有零件3x个
一共：
(个)
方法四：甲零件5份，则乙零件有3份
每份：
(个)
一共：
(个)
“份数法”拓宽了学生解题的思路，学生思维在不经意间得到了发散。
6. 结语
我们将小学阶段不同类型的常规应用题归纳为了同一种解法——“份数法”，从而更好的阐明数量之间的关系，将“量”和“率”的对应关系转化为“量”和“份数”之间的对应关系。对于小学阶段用普通方法较难理解的一些题目，用“份数法”去理解或许会出现意想不到的效果。
基金项目
湖南省长沙市望城区教育科研“十四五”规划课题(WKD21048)部分研究成果。