一类具有媒体报道和潜伏期的手足口病模型的分析

Analysis of a Kind of Hand-Foot-Mouth Disease Model with Media Coverage and Incubation Period

摘要: 本文研究了一类受媒体报道影响和潜伏期的手足口病模型，计算手足口病模型的基本再生数。利用Hurwitz判据、Laypunov函数讨论无病平衡点的稳定性，当基本再生数小于1时，无病平衡点是全局渐近稳定的；当基本再生数大于1时，无病平衡点是不稳定的。同时利用Hurwitz判据讨论了地方病平衡点的稳定性，得到地方病平衡点是局部渐近稳定的。

Abstract: A hand-foot-mouth disease model with media coverage and the incubation period has been considered in this article. The basic reproduction number of the hand-foot-mouth disease model is calculated. By using the Hurwitz criterion and Laypunov function, the disease-free equilibrium is globally asymptotically stable when the basic reproduction number is under one. When the basic reproduction number is above one, the disease-free equilibrium is unstable. Meanwhile, the stabil-ity of the endemic equilibrium is discussed by using the Hurwitz criterion, which is locally asymptotically stable.

1. 引言

手足口病是一种主要由肠道病毒引起的传染病，又名发疹性水疱性口腔炎，该病的潜伏期多为2~10天，多发生于5岁以下儿童。患病早期表现特征为手、足、口腔等部位出现疱疹，患儿低烧、厌食等，多数患儿在一周左右痊愈，少数患儿随着病情加重引起心肌炎、肺水肿、无菌性脑膜炎等并发症，严重甚至会致死。手足口病四季均可发病，春夏季尤为多见，手足口病严重降低了患儿的日常生活质量，对儿童的生命安全造成了一定威胁，但目前没有较好的应对措施，故广受社会的关注。

手足口病已经有疫苗可以注射，主要是肠道类71号疫苗，有很强的安全性与保护性，主要针对的人群是6个月到4岁的儿童，6岁以上不建议进行注射。目前中国陆续有地区将手足口病疫苗的接种范围进行扩大，但是由于疫苗同时具有不确定性因素，疫苗的接种率较低，适当的媒体报道可以降低手足口病的发生率。为预防该疾病，应注意几个方面：① 手足口病可以通过儿童的毛巾、玩具、床上用品等传播，注重儿童个人的卫生对预防该疾病是很重要的，家长们应当常换洗儿童的被褥、手绢等，保证儿童在干净、整洁的环境下成长；② 该疾病的病毒也可以通过空气传播，家长应当认真照看儿童，减少他们接触患有手足口病的患者，从而防治病毒的入侵；③ 5、6岁以下的儿童基本不懂得如何照顾自己，不知道什么该吃、什么不该吃，所以家长应当保证儿童的饮食安全，切勿让儿童接触不干净的食品，而导致疾病的发生 [1]。

对于手足口病传染病，国内外已经有一些关于手足口病模型的研究，但是仅有少量关于受媒体报道影响的手足口病模型的研究。文献 [2] 研究了一类具有潜伏期且带有出生死亡的SEIR手足口病模型，得到了手足口病的基本再生数并对模型进行了动力学分析：平衡点的存在性和稳定性。文献 [3] 研究了一类具有媒体报道和接种的传染病模型，得到了决定传染病流行与否的阈值：基本再生数，讨论了模型无病平衡点和地方病平衡点的存在性，利用特征方程得到了平衡点的局部稳定性。基于以上的一些原因，本文讨论一类具有媒体报道和潜伏期的手足口病模型。

2. 建立模型

在本文中，总人口由四类人构成：t时刻的易感者类 $\left(S\left(t\right)\right)$，t时刻的潜伏者类 $\left(E\left(t\right)\right)$，t时刻的已感染者类 $\left(I\left(t\right)\right)$，t时刻的恢复者类 $\left(R\left(t\right)\right)$， $N\left(t\right)$ 表示t时刻的所有人，则有 $N\left(t\right)=S\left(t\right)+E\left(t\right)+I\left(t\right)+R\left(t\right)$，考虑的模型如下：

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}S}{\text{d}t}=\Lambda -\beta {\text{e}}^{-mI}\left(kE+I\right)S-dS\\ \frac{\text{d}E}{\text{d}t}=\beta {\text{e}}^{-mI}\left(kE+I\right)S-\left(\sigma +d\right)E\\ \frac{\text{d}I}{\text{d}t}=\sigma E-\left(\gamma +\mu +d\right)I\\ \frac{\text{d}R}{\text{d}t}=\gamma I-\mu R\end{array}$ (1)

模型(1)的初始值条件为

$S\left(0\right)=S_0\ge 0$， $I\left(0\right)=I_0\ge 0$， $E\left(0\right)=E_0\ge 0$， $R\left(0\right)=R_0\ge 0$，

其中： $\Lambda$ 为易感染人群的常数输入率， $\beta$ 为有效接触率， $\beta \left(I\right)=\beta {\text{e}}^{-mI}$ 表示在媒体报道下的接触率，k为一个常数，用于表示E、I的传染率不同，d为人群的自然死亡率， $\gamma$ 为感染者的恢复率， $\mu$ 为人群的因病死亡率， $\sigma$ 为儿童从潜伏者到传染者的转化率。

由于系统(1)中的第一、二、三个方程与R无关，因此，系统(1)的动力学性质等价于系统：

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}S}{\text{d}t}=\Lambda -\beta {\text{e}}^{-mI}\left(kE+I\right)S-dS\\ \frac{\text{d}E}{\text{d}t}=\beta {\text{e}}^{-mI}\left(kE+I\right)S-\left(\sigma +d\right)E\\ \frac{\text{d}I}{\text{d}t}=\sigma E-\left(\gamma +\mu +d\right)I\end{array}$ (2)

因为微分方程组(2)的等号右端关于因变量是连续并且可微的，所以由微分方程组解的存在唯一性定理，经过初始值点 ${\left(S^0,E^0,I^0\right)}^{{\rm T}}\in {\Re }_{+}^3$ 的解是存在且唯一的，进一步由定理5.2.1 [4] 可知，经过初始值点 ${\left(S^0,E^0,I^0\right)}^{{\rm T}}\in {\Re }_{+}^3$ 的解是非负的。利用系统(1)有 $N^{\prime }=\Lambda -dN-\mu \left(I+R\right)\le \Lambda -dN$，由比较定理，即有 $\underset{t\to +\infty }{\lim }N\left(t\right)\le S_0$，其中 $S_0=\frac{\Lambda }{d}$，所以 $N\left(t\right)$ 是最终有界的，从而 $S\left(t\right),E\left(t\right),I\left(t\right)$ 都是有界函数，且系统(2)在区域 $\Phi$ 中是正不变的，其中

$\Phi =\left\{{\left(S,E,I\right)}^{{\rm T}}\in {\Re }_{+}^3|0\le S\le \frac{\Lambda }{d},S+E+I\le \frac{\Lambda }{d}\right\}$。

3. 基本再生数R₀的计算

系统(2)始终存在一个无病平衡点 $P_0=\left(\frac{\Lambda }{d},0,0\right)$。

利用文献 [5] 中再生矩阵的方法可以计算系统(2)的基本再生数 $R_0$，即可得 $R_0=\rho \left(F{V}^{-1}\right)$ 其中 $\rho \left(M\right)$ 为矩阵M的谱半径，所以求得基本再生数为

$R_0=\frac{k\beta \Lambda }{d\left(\sigma +d\right)}+\frac{\sigma \beta \Lambda }{d\left(\sigma +d\right)\left(\gamma +\mu +d\right)}$ (3)

4. 地方病平衡点的存在性

定理1：如果基本再生数大于1，微分方程组(2)有且仅有一个地方病平衡点 $P^{\text{*}}$。

证明：令系统(1)的右端项为零有

$\{\begin{array}{l}\Lambda -\beta {\text{e}}^{-mI}\left(kE+I\right)S-dS=0\\ \beta {\text{e}}^{-mI}\left(kE+I\right)S=\left(\sigma +d\right)E\\ \sigma E=\left(\gamma +\mu +d\right)I\end{array}$ (4)

由(4)的第三式得

$E=\frac{\gamma +\mu +d}{\sigma }$， (5)

将(5)式代入(4)的第二式有 $\beta {\text{e}}^{-mI}\left[k\left(\gamma +\mu +d\right)+\sigma \right]S=\left(\sigma +d\right)\left(\gamma +\mu +d\right)$，即可得

$S=\frac{\left(\sigma +d\right)\left(\gamma +\mu +d\right)}{\beta \left[k\left(\gamma +\mu +d\right)+\sigma \right]{\text{e}}^{-mI}}$， (6)

将(5)、(6)式代入(4)的第一式得

$\Lambda -\frac{\left(\sigma +d\right)\left(\gamma +\mu +d\right)}{\sigma }I-\frac{d\left(\sigma +d\right)\left(\gamma +\mu +d\right)}{\beta \left[k\left(\gamma +\mu +d\right)+\sigma \right]{\text{e}}^{-mI}}=0$，

令 $F\left(I\right)=\Lambda -\frac{\left(\sigma +d\right)\left(\gamma +\mu +d\right)}{\sigma }I-\frac{d\left(\sigma +d\right)\left(\gamma +\mu +d\right)}{\beta \left[k\left(\gamma +\mu +d\right)+\sigma \right]{\text{e}}^{-mI}}$，

$F\left(0\right)=\Lambda -\frac{d\left(\sigma +d\right)\left(\gamma +\mu +d\right)}{\beta \left[k\left(\gamma +\mu +d\right)+\sigma \right]{\text{e}}^{-mI}}=\frac{\Lambda \left(R_0-1\right)}{R_0}$，

因为 $R_0>1$，从而 $F\left(0\right)>0$，

$F^{\prime }\left(I\right)=-\frac{\left(\sigma +d\right)\left(\gamma +\mu +d\right)}{\sigma }-\frac{md\left(\sigma +d\right)\left(\gamma +\mu +d\right)}{\beta \left[k\left(\gamma +\mu +d\right)+\sigma \right]}{\text{e}}^{mI}<0$，

且 $\underset{I\to +\infty }{\lim }F\left(I\right)=-\infty$，故由零点存在定理可知(4)式有且仅有一个正解，即地方病平衡点 $P^{\text{*}}$ 是唯一存在的。

5. 平衡点的稳定性分析

定理2：当基本再生数小于1时，无病平衡点是全局渐近稳定的；当基本再生数大于1时，无病平衡点是不稳定的。

证明：系统(2)在无病平衡点 $P_0$ 处的线性化系统的系数矩阵为

$A=\left(\begin{array}{ccc}-d& -\beta k\frac{\Lambda }{d}& -\beta \frac{\Lambda }{d}\\ 0& \beta k\frac{\Lambda }{d}-\left(\sigma +d\right)& \beta \frac{\Lambda }{d}\\ 0& \sigma & -\left(\gamma +\mu +d\right)\end{array}\right)$

可得系数矩阵A的特征值为-d及下面一元二次方程的根

${\lambda }^2+a_1\lambda +a_2=0$ (8)

其中 $a_1=\left(\sigma +d\right)+\left(\gamma +\mu +d\right)-\beta k\frac{\Lambda }{d}$，

$a_2=\left(\gamma +\mu +d\right)\left(\sigma +d-\beta k\frac{\Lambda }{d}\right)-\frac{\beta \Lambda \sigma }{d}=\left(\gamma +\mu +d\right)\left(\sigma +d\right)\left(1-R_0\right)$，

若 $R_0<1$，即 $\frac{k\beta \Lambda }{d\left(\sigma +d\right)}+\frac{\sigma \beta \Lambda }{d\left(\sigma +d\right)\left(\gamma +\mu +d\right)}<1$，故 $\frac{k\beta \Lambda }{d}+\frac{\sigma \beta \Lambda }{d\left(\gamma +\mu +d\right)}<\left(\sigma +d\right)$，

则 $\left(\sigma +d\right)-\frac{k\beta \Lambda }{d}>\frac{\sigma \beta \Lambda }{d\left(\gamma +\mu +d\right)}>0$，

则 $a_1=\left(\sigma +d\right)+\left(\gamma +\mu +d\right)-\beta k\frac{\Lambda }{d}>0$， $a_2=\left(\gamma +\mu +d\right)\left(\sigma +d\right)\left(1-R_0\right)>0$，

由Hurwitz判据 [6] 可知(8)式的根均具有负实部，从而当基本再生数 $R_0<1$ 时，无病平衡点 $P_0$ 是局部渐近稳定的；当基本再生数 $R_0>1$ 时，有 $a_2<0$，则(8)式有正实部的根，无病平衡点 $P_0$ 是不稳定的。

接下来利用Laypunov函数证明当基本再生数 $R_0<1$ 时，无病平衡点 $P_0$ 是全局渐近稳定的。

定理3：如果基本再生数 $R_0<1$ 时，系统(2)的无病平衡点是全局渐近稳定的，最终手足口病病毒将从人群中消失。

证明：当基本再生数 $R_0<1$ 时，构造如下的Laypunov函数

$V=E+AI$，

$A=\frac{\beta \Lambda }{d\left(\gamma +\mu +d\right)}$，

V沿着系统(2)的解求全导数有

$\begin{array}{c}{\frac{\text{d}V}{\text{d}t}|}_{\left(2\right)}=E^{\prime }+A{I}^{\prime }\\ =\beta {\text{e}}^{-mI}\left(kE+I\right)S-\left(\sigma +d\right)E+A\sigma E-A\left(\gamma +\mu +d\right)I\\ \le \frac{\beta k\Lambda }{d}+\frac{\beta \Lambda }{d}I-\left(\sigma +d\right)E+EA\sigma -A\left(\gamma +\mu +d\right)I\end{array}$

整理得

${\frac{\text{d}V}{\text{d}t}|}_{\left(2\right)}\le \left(\sigma +d\right)\left[\frac{\beta k\Lambda }{d\left(\sigma +d\right)}+\frac{\sigma \beta \Lambda }{d\left(\sigma +d\right)\left(\gamma +\mu +d\right)}-1\right]E=\left(\sigma +d\right)\left(R_0-1\right)E$。

由基本再生数 $R_0<1$，则有 ${\frac{\text{d}V}{\text{d}t}|}_{\left(2\right)}\le 0$，根据LaSalle不变集原理 [7]，系统(2)的无病平衡点是全局渐近稳定的。

接下来用Hurwitz判据讨论地方病平衡点的局部稳定性。

定理4：当 $R_0>1$ 时，地方病平衡点是局部渐近稳定的。

证明：在地方病平衡点 $P^{*}$ 处有

$\{\begin{array}{l}\Lambda =\beta {\text{e}}^{-m{I}^{\text{*}}}\left(k{E}^{\text{*}}+I^{\text{*}}\right)S^{\text{*}}-d{S}^{\text{*}}\\ \beta {\text{e}}^{-m{I}^{\text{*}}}\left(k{E}^{\text{*}}+I^{\text{*}}\right)S^{\text{*}}=\left(\sigma +d\right)E^{\text{*}}\\ \sigma E^{\text{*}}=\left(\gamma +\mu +d\right)I^{\text{*}}\end{array}$ (9)

系统(2)在地方病平衡点 $P^{*}$ 处的Jacobian矩阵为：

$B=\left(\begin{array}{ccc}-d-\beta {\text{e}}^{-m{I}^{*}}\left(k{E}^{*}+I^{*}\right)& -\beta {\text{e}}^{-m{I}^{*}}k{S}^{*}& -\beta S^{*}{\text{e}}^{-m{I}^{*}}\left(1-m{I}^{*}\right)\\ \beta {\text{e}}^{-m{I}^{*}}\left(k{E}^{*}+I^{*}\right)& \beta {\text{e}}^{-m{I}^{*}}k{S}^{*}-\left(\sigma +d\right)& \beta S^{*}{\text{e}}^{-m{I}^{*}}\left(1-m{I}^{*}\right)\\ 0& \sigma & -\left(\gamma +\mu +d\right)\end{array}\right)$

矩阵B的特征方程如下：

$\left|\begin{array}{ccc}\lambda +d+\beta {\text{e}}^{-m{I}^{*}}\left(k{E}^{*}+I^{*}\right)& \beta {\text{e}}^{-m{I}^{*}}k{S}^{*}& \beta S^{*}{\text{e}}^{-m{I}^{*}}\left(1-m{I}^{*}\right)\\ -\beta {\text{e}}^{-m{I}^{*}}\left(k{E}^{*}+I^{*}\right)& \lambda -\beta {\text{e}}^{-m{I}^{*}}k{S}^{*}+(\sigma +d)& -\beta S^{*}{\text{e}}^{-m{I}^{*}}\left(1-m{I}^{*}\right)\\ 0& -\sigma & \lambda +\left(\gamma +\mu +d\right)\end{array}\right|=0$，

即

${\lambda }^3+a_1{\lambda }^2+a_2\lambda +a_3=0$ (10)

$a_1=d+\beta {\text{e}}^{-m{I}^{*}}\left(k{E}^{*}+I^{*}\right)-\beta k{S}^{*}{\text{e}}^{-m{I}^{*}}+\left(\sigma +d\right)+\left(\gamma +\mu +d\right)$

$\begin{array}{c}{a}_2=\left[d+\beta e^{-m{I}^{*}}\left(k{E}^{*}+I^{*}\right)\right]\cdot \left[\left(\sigma +d\right)-\beta k{S}^{*}{\text{e}}^{-m{I}^{*}}\right]\\ +\left[d+\beta {\text{e}}^{-m{I}^{*}}\left(k{E}^{*}+I^{*}\right)\right]\cdot \left[\left(\gamma +\mu +d\right)+\left(\gamma +\mu +d\right)\cdot \left[\left(\sigma +d\right)-\beta k{S}^{*}{\text{e}}^{-m{I}^{*}}\right]\right]\\ +\beta {\text{e}}^{-m{I}^{*}}\left(k{E}^{*}+I^{*}\right)\cdot \beta k{S}^{*}{\text{e}}^{-m{I}^{*}}-\beta \sigma S^{*}{\text{e}}^{-m{I}^{*}}\left(1-m{I}^{*}\right)\end{array}$

$\begin{array}{c}{a}_3=\left[d+\beta {\text{e}}^{-m{I}^{*}}\left(k{E}^{*}+I^{*}\right)\right]\cdot \left[\left(\sigma +d\right)-\beta k{S}^{*}{\text{e}}^{-m{I}^{*}}\right]\cdot \left(\gamma +\mu +d\right)\\ +\beta \sigma S^{*}{\text{e}}^{-m{I}^{*}}\left(1-m{I}^{*}\right)\cdot \beta {\text{e}}^{-m{I}^{*}}\left(k{E}^{*}+I^{*}\right)+\left(\gamma +\mu +d\right)\cdot \beta k{S}^{*}{\text{e}}^{-m{I}^{*}}\cdot \beta {\text{e}}^{-m{I}^{*}}\left(k{E}^{*}+I^{*}\right)\\ -\beta \sigma S^{*}{\text{e}}^{-m{I}^{*}}\left(1-m{I}^{*}\right)\cdot \left[d+\beta {\text{e}}^{-m{I}^{*}}\left(k{E}^{*}+I^{*}\right)\right]\end{array}$

由(9)式中的第二式可得 $\beta {\text{e}}^{-m{I}^{\text{*}}}k{E}^{\text{*}}{S}^{\text{*}}<\left(\sigma +d\right)E^{\text{*}}$，即

$\beta {\text{e}}^{-m{I}^{\text{*}}}k{S}^{\text{*}}<\left(\sigma +d\right)$ (11)

由(11)式可知

$a_1>d+\beta {\text{e}}^{-m{I}^{*}}\left(k{E}^{*}+I^{*}\right)+\left(\gamma +\mu +d\right)>0$

$\begin{array}{c}{a}_3=\left[d+\beta {\text{e}}^{-m{I}^{*}}\left(k{E}^{*}+I^{*}\right)\right]\cdot \left[\left(\sigma +d\right)-\beta k{S}^{*}{\text{e}}^{-m{I}^{*}}\right]\cdot \left(\gamma +\mu +d\right)\\ +\beta \sigma {\text{e}}^{-m{I}^{*}}\left(k{E}^{*}+I^{*}\right)\cdot \beta S^{*}{\text{e}}^{-m{I}^{*}}+\left(\gamma +\mu +d\right)\cdot \beta k{S}^{*}{\text{e}}^{-m{I}^{*}}\cdot \beta {\text{e}}^{-m{I}^{*}}\left(k{E}^{*}+I^{*}\right)\\ +\beta \sigma S^{*}{\text{e}}^{-m{I}^{*}}\cdot m{I}^{*}\left[d+\beta {\text{e}}^{-m{I}^{*}}\left(k{E}^{*}+I^{*}\right)\right]\\ -\beta \sigma S^{*}{\text{e}}^{-m{I}^{*}}\left(k{E}^{*}+I^{*}\right)\cdot \beta \sigma S^{*}{\text{e}}^{-m{I}^{*}}\cdot m{I}^{*}-\beta \sigma S^{*}{\text{e}}^{-m{I}^{*}}\left[d+\beta {\text{e}}^{-m{I}^{*}}\left(k{E}^{*}+I^{*}\right)\right]\end{array}$

因

$\begin{array}{l}\left[\left(\sigma +d\right)-\beta k{S}^{*}{\text{e}}^{-m{I}^{*}}\right]\cdot \left(\gamma +\mu +d\right)\\ =\frac{\beta I^{*}{S}^{*}{\text{e}}^{-m{I}^{*}}}{E^{*}}\cdot \left(\gamma +\mu +d\right)=\frac{\beta S^{*}{\text{e}}^{-m{I}^{*}}}{E^{*}}\sigma E^{*}=\sigma \beta S^{*}{\text{e}}^{-m{I}^{*}}\end{array}$

从而 $a_3=\sigma \beta {\text{e}}^{-m{I}^{*}}\left(k{E}^{*}+I^{*}\right)\cdot \beta k{S}^{*}{\text{e}}^{-m{I}^{*}}>0$，

因为

$\left[\left(\sigma +d\right)-\beta k{S}^{*}{\text{e}}^{-m{I}^{*}}\right]\cdot \left(\gamma +\mu +d\right)=\beta \sigma S^{*}{\text{e}}^{-m{I}^{*}}$ (12)

从而有

$\begin{array}{c}{a}_2=\left[d+\beta {\text{e}}^{-m{I}^{*}}\left(k{E}^{*}+I^{*}\right)\right]\cdot \left[\left(\sigma +d\right)-\beta k{S}^{*}{\text{e}}^{-m{I}^{*}}\right]+\left[d+\beta {\text{e}}^{-m{I}^{*}}\left(k{E}^{*}+I^{*}\right)\right]\cdot \left(\gamma +\mu +d\right)\\ +\beta {\text{e}}^{-m{I}^{*}}\left(k{E}^{*}+I^{*}\right)\cdot \beta k{S}^{*}{\text{e}}^{-m{I}^{*}}+\beta \sigma S^{*}{\text{e}}^{-m{I}^{*}}m{I}^{*}\end{array}$

故 $a_2>0$，

$\begin{array}{c}{a}_1{a}_2-a_3=\left[d+\beta {\text{e}}^{-m{I}^{*}}\left(k{E}^{*}+I^{*}\right)-\beta k{S}^{*}{\text{e}}^{-m{I}^{*}}+\left(\sigma +d\right)+\left(\gamma +\mu +d\right)\right]\\ \cdot \{\left[d+\beta {\text{e}}^{-m{I}^{*}}\left(k{E}^{*}+I^{*}\right)\right]\cdot \left[\left(\sigma +d\right)-\beta k{S}^{*}{\text{e}}^{-m{I}^{*}}\right]+\left[d+\beta {\text{e}}^{-m{I}^{*}}{\left(k{E}^{*}+I^{*}\right)}^{*}\right]\cdot \left(\gamma +\mu +d\right)\\ +\beta {\text{e}}^{-m{I}^{*}}\left(k{E}^{*}+I^{*}\right)\cdot \beta k{S}^{*}{\text{e}}^{-m{I}^{*}}+\sigma \beta {\text{e}}^{-m{I}^{*}}{S}^{*}m{I}^{*}\}-\sigma \beta {\text{e}}^{-m{I}^{*}}\left(k{E}^{*}+I^{*}\right)\cdot \beta S^{*}{\text{e}}^{-m{I}^{*}}\\ -\left(\gamma +\mu +d\right)\cdot \beta {\text{e}}^{-m{I}^{*}}\left(k{E}^{*}+I^{*}\right)\cdot \beta k{S}^{*}{\text{e}}^{-m{I}^{*}}-d\beta \sigma S^{*}{\text{e}}^{-m{I}^{*}}\cdot m{I}^{*}\end{array}$

由于

$\begin{array}{l}\left[-\beta k{S}^{*}{\text{e}}^{-m{I}^{*}}+\left(\sigma +d\right)\right]\cdot \beta {\text{e}}^{-m{I}^{*}}\left(k{E}^{*}+I^{*}\right)\left(\gamma +\mu +d\right)-\sigma \beta {\text{e}}^{-m{I}^{*}}\left(k{E}^{*}+I^{*}\right)\cdot \beta S^{*}{\text{e}}^{-m{I}^{*}}\\ \stackrel{（12）}{=}\sigma \beta {\text{e}}^{-m{I}^{*}}\left(k{E}^{*}+I^{*}\right)\beta k{S}^{*}{\text{e}}^{-m{I}^{*}}-\sigma \beta {\text{e}}^{-m{I}^{*}}\left(k{E}^{*}+I^{*}\right)\cdot \beta S^{*}{\text{e}}^{-m{I}^{*}}=0\end{array}$

$\left(\gamma +\mu +d\right)\cdot \beta {\text{e}}^{-m{I}^{*}}\left(k{E}^{*}+I^{*}\right)\cdot \beta k{S}^{*}{\text{e}}^{-m{I}^{*}}-\left(\gamma +\mu +d\right)\cdot \beta {\text{e}}^{-m{I}^{*}}\left(k{E}^{*}+I^{*}\right)\cdot \beta k{S}^{*}{\text{e}}^{-m{I}^{*}}=0$

$d\cdot \sigma \beta {\text{e}}^{-m{I}^{*}}{S}^{*}m{I}^{*}-d\beta \sigma S^{*}{\text{e}}^{-m{I}^{*}}\cdot m{I}^{*}=0$

故 $a_1{a}_2-a_3>0$，从而由Hurwitz判据可知，方程(10)的特征根均具有负实部，从而地方病平衡点 $P^{*}$ 是局部渐近稳定的。

6. 总结

本文考虑传染率受媒体报道影响的手足口病模型，说明了模型的解的适定性和有界性。得到手足口病模型的基本再生数，证明地方病平衡点的存在性和唯一性。其次，通过利用Hurwitz判据、Laypunov函数讨论了无病平衡点的稳定性，证明当基本再生数小于1时，无病平衡点是全局稳定的，即手足口病患者将在人群中消失；当基本再生数大于1时，无病平衡点是不稳定的，手足口病将无法控制。同时利用Hurwitz判据证明了地方病平衡点是局部渐近稳定的。

基金项目

河南科技大学SRTP基金项目(项目编号：2021127)；河南科技大学青年学术带头人科研项目(项目编号：13490002)。