北京市人口老龄化预测及其影响因素分析——基于灰色GM(1,1)和灰色关联度分析

Prediction of Population Aging in Beijing and Analysis of Its Influencing Factors—Based on Grey GM (1,1) and Grey Correlation Degree Analysis

摘要: 为预测北京市人口老龄化发展趋势并分析其影响因素，运用灰色GM(1,1)模型预测出北京市未来30年的人口老龄化发展趋势，并将灰色关联度模型运用于与北京人口老龄化相关的9个因素的分析中。结果发现北京市未来30年人口老龄化程度加剧，影响北京人口老龄化的9大因素中，少年儿童系数与老龄化系数的关联度最大。在模型分析结果的基础上提出积极鼓励三胎生育，优化人口结构、扩大养老机构规模，正确引导养老服务产业发展、缩小城乡养老服务差距，努力提高城乡居家养老服务品质。

Abstract: In order to predict the development trend of population aging in Beijing and analyze its influencing factors, the grey GM (1,1) model is used to predict the development trend of population aging in Beijing in the next 30 years, and the grey correlation model is applied to the analysis of 9 factors related to population aging in Beijing. The results show that the degree of population aging in Beijing will intensify in the next 30 years. Among the nine factors affecting population aging in Beijing, the correlation between children’s coefficient and aging coefficient is the largest. Based on the results of the model analysis, it is proposed to actively encourage three births, optimize the population structure, expand the scale of elderly care institutions, correctly guide the development of elderly care service industry, narrow the gap between urban and rural elderly care services, and strive to improve the quality of home-based elderly care services in urban and rural areas.

1. 引言

进入21世纪以来，持续人口老龄化已成为全国普遍的人口结构特点之一，而人口老龄化将会给社会带来一系列问题与挑战，养老金的不足、医疗保障的调整、人口生育政策的完善都需要多级政府、市场等多方力量参与协调。由于经济环境、历史文化、空间分布等因素存在差异性，我国各地区人口老龄化程度也不径相同。其中以北京为代表的我国超大城市的人口老龄化超过了我国平均水平，并且老龄化增速非常快，成为了学者研究的热门城市。梁宏 [1] 基于我国7次人口普查结果分析得出，人口老龄金字塔已逐步从“底部”趋向于“顶部”，人口年龄的倒金字塔模式十分突出。徐芳、齐明珠 [2] 认为新经济常态下以北京为例的大都市呈现出人口总量低俗增长、人口规模压力扩大、人口红利即将结束以及老龄化加剧的四大特征，通过改进的新增长核算模型，得出人口老龄化对区域经济增长会带来负面影响的结论。此外，还有学者从定量角度分析北京市人口老龄化问题，魏丽莹 [3] 利用组合生育模型、Kannisto模型以及灰色系统，对北京、天津、河北三地的生育率、死亡率进行分析预测，李敏、刘华富等 [4] 运用Logistic回归分析方法，分析了北京城中老年人代际支持类型及其影响因素，为北京高程度的人口老龄化提出建议。从空间分布差异分析人口老龄化是学者研究视角之一。李帅、程杨等 [5] 强调京津冀地区人口老龄化空间分布差异较大，在应对人口老龄化问题上须要京津冀在养老、医疗等方面一体化发展。苗苗，张鹏俊等 [6] 通过分析北京市养老机构发展现状和存在的问题，认为政府应采取措施鼓励连锁养老企业规模化经营，不断提高养老服务水平。沈俊 [7] 着眼于北京市医养结合养老服务模式，为北京人口老龄化困境提出新型服务保障模式。

通过学者对北京人口老龄化研究的梳理发现，现有研究主要通过定性来论证北京市面临的人口老龄化问题，鲜少从定量的角度阐述问题现状；并且对北京市人口老龄化趋势变化进行预测的研究也存在一定的空缺。因此，通过北京市老龄化问题的现有研究，利用GM(1,1)灰色预测模型对北京市未来30年老年人口数量和老龄化系数进行预测，并运用灰色关联度模型进一步分析北京人口老龄化与其影响因素的关联性，为北京应对人口老龄化问题提供理论支撑和数据支持。

2. 北京市人口结构现状

根据联合国统计标准，如果一个国家或地区60岁以上老年人口达到总人口数的10%，或者65岁以上老年人口达到总人口数的7%，则这个国家或地区就已经进入了老龄化社会。据北京统计年鉴显示，2020年北京市常住人口为2189万人，城镇人口为1916.4万人，占总人口的87.55%，乡村人口272.6万人，占总人口的12.45%，出生率为7.98%，死亡率为4.59%，自然增长率为2.39%。从年龄结构上看，其中0~14岁为259.1万人，占11.84%，15~64岁为1638.7万人，占74.86%，65岁以上常住人口达到291.2万，占全市13.3%，北京市老龄化人口占比持续增加，高于联合国统计标准。北京市人口结构出现一下特点：

第一，人口自然增长率呈现持续走低趋势。2008、2010、2012、2014、2016、2018、2020年北京市人口自然增长率分别为3.30%、2.98%、4.72%、4.80%、4.07%、2.63%、2.39% (见图1)。从统计年鉴数据来看，北京市表现为人口稳定低速增长的特点，“少子化”趋势凸显。

Figure 1. Birth rate, mortality rate and natural growth rate of Beijing from 2010 to 2020

图1. 2010~2020北京市人口出生率、死亡率及自然增长率

第二，少年儿童系数在人口结构中的比重呈上升趋势，但近年来，上升趋势趋缓。从2020年北京市统计年鉴可以看出，2010年少年儿童系数为8.6%，而到了2019年和2020年分别为11.57%和11.84%。在11年的时间里系数增加了3.24个百分点，近年来，大量劳动人口向北京迁移、流动，劳动年龄人口的流动为北京市带来了人口红利 [8]，在一定程度上提高了人口结构中0~14岁的数量。

第三，老龄化系数不断提升，老年人口数量占总人口数量的比列大幅度增高。2020年，北京市老年系数达到了13.3%，与2010年的北京老年系数8.72%相比，增长了4.58个百分点。人口老龄化的不断加深带来的社会后果之一就是老年抚养比的提高，在11年间北京市老年抚养比提高了7.3个百分点，2020年老年抚养比系数达到17.8%，这意味着每100个劳动人口要抚养18个老人。社会用于供给老人的费用上升，承担养老的子女减少，这必然对养老方式和社会保障带来更大的挑战 [9]。

3. 基于灰色GM(1,1)人口预测模型的分析

3.1. 灰色GM(1,1)预测模型理论

目前，灰色预测广泛应用于众多研究领域，其为一种不需要知道数据的分布类型，只需数据满足非负单调条件则可拟合该模型，尤其在短期预测方面优于其他预测模型，同时该模型除对样本大小、数据类型与分布均无特殊要求外，还具备简单易学、预测精度高等优点 [10]。

3.2. 建立灰色GM(1,1)预测模型

第一步，级比检验，建模可行性分析

本研究根据《北京市统计年鉴》整理了2010~2020年北京常住人口数、65岁及以上的人口数及老龄化系数比的数据(见表1)，根据2010~2020年北京65岁及以上的人口数量建立原始数据列 ${\text{X}}^{\left(0\right)}$ ：

$\begin{array}{c}{\text{X}}^{\left(0\right)}=\left({\text{x}}^{\left(0\right)}\left(\text{1}\right),{\text{x}}^{\left(0\right)}\left(\text{2}\right),{\text{x}}^{\left(0\right)}\left(\text{3}\right),{\text{x}}^{\left(0\right)}\left(\text{4}\right),{\text{x}}^{\left(0\right)}\left(\text{5}\right),{\text{x}}^{\left(0\right)}\left(\text{6}\right),{\text{x}}^{\left(0\right)}\left(\text{7}\right),{\text{x}}^{\left(0\right)}\left(\text{8}\right),{\text{x}}^{\left(0\right)}\left(\text{9}\right),{\text{x}}^{\left(0\right)}\left(\text{1}0\right),{\text{x}}^{\left(0\right)}\left(\text{11}\right)\right)\\ =\left(\text{462}.\text{2},\text{475}.\text{9},\text{487}.\text{9},\text{496}.\text{2},\text{518}.\text{7},\text{532}.\text{4},\text{543}.\text{8},\text{555}.\text{9},\text{564}.\text{2},\text{571}.\text{6},\text{582}.\text{4},\text{1743}.\text{4},\text{2}0\text{16}.\text{4},\text{2296}.\text{8},\text{2588}\right).\end{array}$

令 $\sigma \left(\text{k}\right)$ 为原始数据列 ${\text{X}}^{\left(0\right)}$ 的级比，通过计算可得：

$\begin{array}{c}\sigma \left(\text{k}\right)=\left(\sigma \left(\text{2}\right),\sigma \left(\text{3}\right),\sigma \left(\text{4}\right),\sigma \left(\text{5}\right),\sigma \left(\text{6}\right),\sigma \left(\text{7}\right),\sigma \left(\text{8}\right),\sigma \left(\text{9}\right),\sigma \left(\text{1}0\right)\right)\\ =(0.\text{97121244},0.\text{9754}0\text{4796},0.\text{983272874},0.\text{956622325},0.\text{974267468},\\ 0.\text{979}0\text{364},0.\text{978233495},0.\text{9852889}0\text{5},0.\text{987}0\text{53884},0.\text{981456}0\text{44}),\end{array}$

所有级比都落在区间(0.800737403~1.248848869)内。所以可以建立模型。

Table 1. Statistics of total population, population over 65 years old and aging coefficient in Beijing from 2010 to 2020

表1. 2010~2020年北京市总人口和65岁以上人口及老龄系数统计表

第二步，运用灰色GM(1,1)建立模型

1) 对原始数据 ${\text{X}}^{\left(\text{Z}0\right)}$ 作一次累加：

${\text{X}}^{\left(1\right)}\left(\text{k}\right)={\displaystyle {\sum }_{\text{m}=1}^{\text{k}}{\text{x}}^{\left(0\right)}}\left(\text{m}=0\right)\left(\text{k}=\text{1},\text{2},\cdots ,\text{11}\right)$,

计算可得：

$\begin{array}{c}{\text{X}}^{\left(1\right)}=\left({\text{x}}^{\left(1\right)}\left(\text{1}\right),{\text{x}}^{\left(1\right)}\left(\text{2}\right),\cdots ,{\text{x}}^{\left(1\right)}\left(\text{11}\right)\right)\\ =\left(\text{171},\text{355}.\text{7},\text{552}.\text{4},\text{757}.\text{4},\text{984}.\text{9},\text{1226}.\text{1},\text{1478}.\text{7},\text{1743}.\text{4},\text{2}0\text{16}.\text{4},\text{2296}.\text{8},\text{2588}\right)\end{array}$

2) 紧邻均值生成数据列 ${\text{Z}}^{\left(1\right)}$ ：

$\begin{array}{c}{\text{Z}}^{\left(1\right)}=\left({\text{z}}^{\left(1\right)}\left(\text{1}\right),{\text{z}}^{\left(1\right)}\left(\text{2}\right),{\text{z}}^{\left(1\right)}\left(\text{3}\right),{\text{z}}^{\left(1\right)}\left(\text{4}\right),{\text{z}}^{\left(1\right)}\left(\text{5}\right),{\text{z}}^{\left(1\right)}\left(\text{6}\right),{\text{z}}^{\left(1\right)}\left(\text{7}\right),{\text{z}}^{\left(1\right)}\left(\text{8}\right),{\text{z}}^{\left(1\right)}\left(\text{9}\right),{\text{z}}^{\left(1\right)}\left(\text{1}0\right)\right)\\ =\left(\text{263}.\text{35},\text{454}.0\text{5},\text{654}.\text{9},\text{871}.\text{15},\text{11}0\text{5}.\text{5},\text{1352}.\text{4},\text{1611}.0\text{5},\text{1879}.\text{9},\text{2156}.\text{6},\text{2442}.\text{4}\right)\end{array}$

引入矩阵形式：

$\text{B}=\left(\begin{array}{cc}-{\text{z}}^{\left(1\right)}\left(1\right)& 1\\ -{\text{z}}^{\left(1\right)}\left(2\right)& 1\\ ⋮& ⋮\\ -{\text{z}}^{\left(1\right)}\left(10\right)& 1\end{array}\right)$, $\text{Y}=\left(\begin{array}{c}{x}^{\left(1\right)}\left(1\right)\\ x^{\left(1\right)}\left(2\right)\\ ⋮\\ x^{\left(1\right)}\left(11\right)\end{array}\right)$, $\mu ={\left(\text{a},\text{b}\right)}^{\text{T}}$

其中B表示数据矩阵，Y表示参数向量。

3) 最小二乘估计求参数列 $\text{P}={\left(\text{a},\text{b}\right)}^{\text{T}}$ ：

$\text{P}={\left(\text{a},\text{b}\right)}^{\text{T}}={\left({\text{BB}}^{\text{T}}\right)}^{-\text{1}}{\text{B}}^{\text{T}}\text{Y}=\left(\begin{array}{c}-0.49252482\\ 178.15132\end{array}\right)$

计算得到a = −0.049524818，b = 178.35132，b/a = −3601.25142

4) 建立预测模型：

${\text{X}}^{\left(1\right)}\left(\text{k}+\text{1}\right)=\left[{\text{x}}^{\left(0\right)}\left(\text{1}\right)-\text{b}/\text{a}\right]{\text{e}}^{-\text{ak}}+\text{b}/\text{a}=\text{3772}.{\text{25142e}}^{\left(0.0\text{49524818}\right)\text{k}}+\left(-\text{36}0\text{1}.\text{25142}\right)$

第三步，模型检验

最后进行模型精度检验得出方差比C = 0.1500960 < 0.35，小误差概率P = 1 > 0.95。根据表2灰色模型精度检验对照表判断，该模型精度为I级(好)，因此该模型结果可信度高，可用于65岁及以上人口数量预测，从而得到2021~2050年北京65岁及以上人口预测值(见表3)。

Table 2. Comparison table of grey model accuracy test

表2. 灰色模型精度检验对照表

Table 3. Prediction of aging population and aging coefficient in Beijing in the next 30 years

表3. 北京市未来30年老龄人口和老龄化系数预测

同理，根据上述步骤建立步骤，建立老龄化系数灰色GM(1,1)预测模型，所建GM(1,1)模型的预测过程如下：首先对老龄化系数的数据做建模的可行性检验，该数列所有级比都落在区间(0.800737403~1.248848869)内，即可做GM(1,1)建模。再通过运算得出a = −0.043251996，b = 0.0856428，b/a = −1.98008923。则老龄化系数GM(1,1)预测模型为： ${\text{X}}^{\left(1\right)}\left(\text{k}+\text{1}\right)=\text{2}.0{\text{67249636e}}^{-\left(-0.0\text{43251996}\right)\text{k}}+\left(-\text{1}.\text{98}00\text{8923}\right)$。最后进行模型精度检验，得出方差比C = 0.1024815 < 0.35，小误差概率P = 1 > 0.95。根据表2灰色模型精度检验对照表判断，该模型精度为I级(好)，因此该模型结果可信度高，可用于北京市老龄化系数预测，从而得到2021~2050年北京市人口老龄化预测值(见表3)。

3.3. 灰色GM(1,1)预测结果分析

根据灰色预测模型可知，北京市未来30年老年人口数量速度将加速提升，且增长速度逐年变快。老龄化系数在2050年会达到49.36%，老年人口数量占总人口数量的比例将达到一半，人口结构严重失衡。根据国际标准，一个国家或地区65岁以上人口在总人口比例达到21%，则认为该国家或地区成为超高龄社会。2031年北京65岁及以上人口达到515.69万从老龄人口占总人口比例来看，将达到21.70%，每5个人当中就有1名老人。预示着在2031年后，北京市将会进入超高龄社会的平台期。届时，人口红利消失，劳动力人口减少，城市发展成本提高，社会经济活力不足，老人生活保障和医护问题越来越突出。

4. 北京市人口老龄化影响因素的灰色关联度分析

4.1. 灰色分析关联方法介绍灰色关联分析

灰色关联度分析是动态发展态势的量化比较分析。从其思想方法上来看，它属于几何处理的范畴，其实质是对反映各因素变化特征的数据序列所进行的集合比较。

作关联分析首先要指定参考数据列，参考数据列常用x₀表示。不同时刻数据表示为： ${\text{x}}_0=\left({\text{x}}_0\left(\text{1}\right),{\text{x}}_0\left(\text{2}\right),\cdots ,{\text{x}}_0\left(\text{n}\right)\right)$，关联分析中的被比较数列常记为 ${\text{x}}_{\text{1}},{\text{x}}_{\text{2}},\cdots ,{\text{x}}_{\text{i}}$， ${\text{x}}_{\text{i}}=\left({\text{x}}_{\text{i}}\left(\text{1}\right),{\text{x}}_{\text{i}}\left(\text{2}\right),\cdots ,{\text{x}}_{\text{i}}\left(\text{n}\right)\right)$， $\text{i}=\text{1},\text{2},\text{3},\cdots ,\text{n}$。由于x₀与x_i的量刚不同，关联曲线的空间相对位置也会不同，这就会影响计算结果。为了增强不同量纲的因素之间的可比性，就需要在进行关联系数计算之前，首先对各要素的原始数据作初值变换或均值变换，然后利用变换后所得到的新数据作关联系数计算。

$\xi 0\text{i}\left(\text{t}\right)=\left(\Delta \text{min}+\text{K}\times \Delta \text{max}\right)/\left(\Delta 0\text{i}\left(\text{t}\right)+\text{K}\times \Delta \text{max}\right)$

$\text{t}=\text{1},\text{2},\text{3},\cdots ,\text{M}$

4.2. 北京市人口老龄化影响因子关联度分析

通过对比分析国内学者对于人口老龄化的文献及对人口老龄化影响因素的定性研究，确定了9个主要影响因素，分别为X₁人均GDP (元)；X₂农村恩格尔系数(%)；X₃城镇恩格尔系数(%)；X₄医疗卫生机构数量(个)；X₅少年儿童系数(%)；X₆高级中等学生招生(万人)；X₇城镇人口比重(%)；X₈参加职工基本养老金人数(人)；X₉可吸入颗粒物年平均浓度值(%)，北京2010~2020年老龄化系数为参考数列X₀ (见表4)，根据灰色建模理论，建立灰色关联分析。

首先运用初值化变化方法 ${\text{<msup> <mi> X </mi> <mo> ′ </mo> </msup>}}_{\text{t}}\left(\text{t}\right)={\text{x}}_{\text{i}}\left(\text{t}\right)/{\text{x}}_{\text{i}}\left(\text{1}\right)$， $\text{i}=\text{1},\text{2},\cdots ,\text{N}$ ； $\text{t}=\text{1},\text{2},\cdots ,\text{M}$ 对数据进行无量纲化处理，再求绝对差及两级最小差和两级最大差，并结合灰色关联度系数的计算公式得到关联系数。根据表5数据求出关联度(r₁, r₂, r₃, r₄, r₅, r₆, r₇, r₈, r₉) = (0.704, 0.710, 0.608, 0.795, 0.915, 0.649, 0.715, 0.778, 0.597)，并进行排序得r₅ > r₄ > r₈ > r₇ > r₂ > r₁ > r₆ > r₃ > r₉，所以关联序为X₅ > X₄ > X₈ > X₇ > X₂ > X₁ > X₆ > X₃ > X₉。从排序结果可以看出，少年儿童系数是影响老龄化系数最关键的因素，其次是卫生医疗机构数量、参加职工基本养老金人数、城镇人口比重、农村恩格尔系数、人均GDP、高级中等学校招生数、城镇恩格尔系数，最后是可吸入颗粒物年平均浓度值。

Table 4. List of original data of various influencing factors in Beijing from 2001 to 2012

表4. 2001~2012年北京市各影响因子原始数据一览表

Table 5. Grey correlation coefficient

表5. 灰色关联系数

少年儿童系数与人口老龄化系数的关联度最大，因为少年儿童系数的大小与老龄化系数的比例存在必然的联系。北京独特的经济环境，高度的生活压力加之年轻人大多受过高等教育，使得年轻父母的生育观发生极大改变，生育率保持低趋势走向。卫生医疗机构数量的日益增多能为人们特别是老年人获得医疗卫生服务提供最直接的保障，也是医养合作项目、社区养老、居家养老等的基础。参加职工基本养老金人数的不断增加，社会保障政策的不断完善，使得老年人的生活水平不断提高，老年生活质量得到保障，在一定程度上延长了老年人的平均寿命，降低了死亡率，从而老龄化程度不断加深。

城镇恩格尔系稳定在20%上下及人均GDP大幅上升反映了北京城镇老年人的生活质量较高，不仅在物质上可以得到满足，更在精神生活上得到充实感，在身心健康的老年生活下，老年人寿命必然会延长。但上述数据表明这些因素与老龄化系数的关联度不大，即影响力并非直接的，而是发挥辅助作用。相对于城镇恩格尔系数，农村恩格尔系数与老龄化系数的关联度更大，说明在北京农村，不断提高的生活质量及丰富的精神活动对于老年人寿命延长有极大的促进作用。

5. 政策建议

5.1. 积极鼓励三胎生育，不断优化人口结构

灰色关联度系数以及关联序表明少年儿童系数与老龄化系数间关联度为0.915，是位于第一的变量。同时，GM(1,1)模型预测出北京老龄化仍然是上升趋势，老年人数量仍将逐年增加。若少年儿童人数的增长与老年人口增速持平或远低于老年人口的增速，那么人口结构将会持续呈现不平衡状态，人口的可持续发展将会变得举步维艰。2021年，为了提高生育率，政府逐渐向全国放开三胎政策，但实施效果不佳。为了不断优化我国人口结构，政府应当出台与生育政策相匹配的优惠政策，如抚养补贴，教育补助等实质性激励，鼓励年轻一代父母积极响应三胎政策，真正促进北京市人口结构调整，补偿人口亏损，使北京市人口发展到适度水平，最终实现人口平衡和可持续发展能力。

5.2. 扩大养老机构规模，正确引导养老服务产业发展

灰色关联度分析结果表明老龄化系数与卫生医疗机构有着极高的关联度。但北京目前的养老机构数量和规模还无法与市场需求相匹配，这一严峻的形势对老龄化日益加剧的北京提出了巨大挑战。加快制定养老产业发展蓝图并尽快付诸于实际已迫在眉睫。政府应当加大政策扶持力度，正向引导社会资本进入养老服务产业，如养老服务政府和社会资本合作(PPP)项目，医养结合PPP项目，老年公寓PPP项目等 [11]，同时在土地、资金、人员各方面给予帮助，充分发挥社会力量。再者注重养老产业发展模式的创新，不断优化升级，努力营造养老产业集聚发展氛围，并结合北京高经济水平的优势，推行连锁化战略，形成有规模、特色的养老基地。

5.3. 缩小城乡养老服务差距，努力提高城乡居家养老服务品质

灰色关联度分析显示，农村恩格尔系数与人口老龄化系数的关联度更加紧密。目前北京城区的养老服务水平已走在全国前列，老人可以享受优质的养老服务。但与城区相比，农村养老服务有所欠缺，与城镇养老服务存在差距。一方面，在政府的主导下，居家养老服务政策和养老社会资源需要倾斜于农村。鼓励市场参与其中，引入高品质的居家养老服务机构，并且在第三方监督机构的对居家养老服务机构全方位的评估下，促其不断优化居家养老服务质量。另一方面，通过社会力量，整合社区资源，完善社区服务项目是应对北京老龄化的重要渠道。针对农村社区养老服务，要从老人自身需求出发，注意服务方式的合理性，达到养老服务的供需匹配，对不同特征的老年人实行差异化服务，提供精准的服务方案。

6. 结论

目前，我国正在经历从人口红利转向人口负担的过渡时期，“一老一小”问题是社会正在面临的严峻考验，因此准确预测人口老龄化发展趋势对政策制定以及社会发展具有重要意义。本文通过灰色GM(1,1)模型和灰色关联度分析预测了未来30年北京市人口老龄化走势及其影响因素，结果显示在65岁以上的老年人口数量将持续走高，儿童系数和老年化系数是影响老龄化程度的重要因素。因此，北京市应尽快采取措施，积极应当人口老龄化问题，政府需改进生育政策，优化人口结构；加大对养老机构的扶持力度，引导养老服务产业发展；整合社会力量，提高居家养老服务质量。北京市可以结合其实际情况，利用其独特优势，构建符合北京发展的养老发展模式以应对日益发展的人口老龄化问题。

基金项目

国家社会科学基金项目(21BRK006)。

NOTES

^*第一作者。