希尔伯特空间算子的数值域半径不等式

Numerical Radius Inequalities for Hilbert Space Operators

摘要: 算子数值域半径不等式在算子论的研究中有着很重要的作用。本文利用Bohr不等式和Young不等式得到一些Hilbert空间中的算子数值域半径不等式，同时和文献中的已知结果做了一些对比。

Abstract: Inequalities of numerical radius play an important role in operator theory. In the present paper, we obtain some numerical radius refinements of inequalities for operators acting on a Hilbert space by using the Bohr and Young inequalities. We also compare our results with some known results.

1. 引言和主要结果

本文设H表示复Hilbert空间， $B\left(H\right)$ 表示在复Hilbert空间H上的所有有界线性算子的 $C^{*}$ -代数，对任意算子 $T\in B\left(H\right)$，设 $\left|T\right|={\left(T^{*}T\right)}^{\frac{1}{2}}$ 表示算子的算术平方根，其中 $T^{*}$ 表示T的伴随算子。如果对任意算子 $T\in B\left(H\right)$，T可以写为 $T=A+iB$，i为虚数单位，那么称此表达式为算子T的Cartesian分解，其中 $A=\mathrm{Re}\left(T\right)=\frac{T+T^{*}}{2}$， $B=\mathrm{Im}\left(T\right)=\frac{T-T^{*}}{2i}$。如果对任意非零向量 $x\in H$，有 $\langle Tx,x\rangle \ge 0$，那么称T为半正定算子，记为 $T\ge 0$。算子T的数值域半径定义 [1] 为 $\omega \left(T\right)=\sup \left\{\left|\langle Tx,x\rangle \right|:x\in H,\Vert x\Vert =1\right\}$。显然 $\omega \left(T\right)$ 在 $B\left(H\right)$ 上定义了一个范数，此范数 $\Vert •\Vert$ 是算子范数，通常算子范数和数值域半径是等价的 [2] [3]，即有不等式

$\frac{1}{2}\Vert T\Vert \le \omega \left(T\right)\le \Vert T\Vert$ (1.1)

成立。 $\omega \left(T\right)$ 的一个重要不等式是数值域半径的幂的不等式 [3] [4]

$\omega \left(T^n\right)\le {\omega }^n\left(T\right)$ (1.2)

其中 $n=1,2,3,\cdots$。利用该不等式，很多文献 [2] - [14] 得到很多关于 $\omega \left(T\right)$ 的重要估计不等式。

一般而言，算子数值域半径的计算很困难，所以研究给出 $\omega \left(T\right)$ 上下界的估计或者推广就显得很重要，比如文献 [5] 证明了

$\omega \left(T\right)\le \frac{1}{2}\Vert T\Vert +\frac{1}{2}{\Vert T^2\Vert }^{\frac{1}{2}}$ (1.3)

明显(1.3)要比(1.1)好。文献 [14] 又得到

$\omega \left(T\right)\le \frac{1}{2}\Vert T\Vert +\frac{1}{2}\omega \left(\bar{T}\right)$ (1.4)

可以看出(1.4)又改进了(1.3)，其中 $\bar{T}$ 是算子T的Aluthge变换，定义为 [3] $\bar{T}={\left|T\right|}^{\frac{1}{2}}U{\left|T\right|}^{\frac{1}{2}}$，U为部分等距算子， $T=U\left|T\right|$ 是算子T的极分解，在文 [7] 和文献 [14] 中，研究了 $\omega \left(\bar{T}\right)$ 的界，得到一些很好的不等式。近期，Sababheh等证明了 [10]，对任意算子 $A,B,X\in B\left(H\right)$，如果有 $A,B\ge 0$，那么对任意算子X，有

${\omega }^r\left(A^{\alpha }X{B}^{\alpha }\right)\le {\Vert X\Vert }^r{\Vert \frac{1}{p}{A}^{pr}+\frac{1}{q}{B}^{pr}\Vert }^{\alpha }$ (1.5)

其中 $0\le \alpha \le 1,r>0,p,q>1$，并且实数篇， $p,q$ 满足 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$。

Mirmostaeface证明了 [7]，如果对任意的算子 $T_j$ 有Cartesian分解 $T_j=A_j+i{B}_j,j=1,2,\cdots ,n$，当 $n\ge 1$ 时，有

${\omega }^r\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{T}_j}\right)\le {\left(\sqrt{2}\right)}^{r-1}{{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}\Vert {\left|A_j\right|}^{2r}+{\left|B_j\right|}^{2r}\Vert }}^{\frac{1}{2}}$ (1.6)

和

${\omega }^r\left(T\right)\le {\left(\sqrt{2}\right)}^r{\Vert {\left|A_j+B_j\right|}^{2r}+{\left|A_j-B_j\right|}^{2r}\Vert }^{\frac{1}{2}}$ (1.7)

成立。

本文利用Bohr不等式和Young不等式得到给出了一些新的算子数值域半径界的不等式，同时和文献中的已知结果做了一些对比，这在研究算子数值域半径上界的不等式有一定的理论和实际意义，本文主要得到以下一些结果。

定理1.1 设 $T_j\in B\left(H\right)$ 有Cartesian分解 $T_j=A_j+i{B}_j,j=1,2,\cdots ,n,r\ge 1,p_j>0$，则有

${\omega }^r\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{T}_j}\right)\le {\left(\sqrt{2}{n}^2\right)}^{r-1}{{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}\Vert {\left|A_j\right|}^{2r}+{\left|B_j\right|}^{2r}\Vert }}^{\frac{1}{2}}$ (1.8)

定理1.2 设 $A_j,B_j,T\in B\left(H\right)$，并且 $A_j,B_j>0,r>1,0\le \alpha \le 1,p,q>1$ 满足 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$， $pr\ge 2$，那么有

${\omega }^r\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{A}_j^{\alpha }T{B}_j^{\alpha }}\right)\le n^{r-1}{\Vert T\Vert }^r{{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}\Vert \frac{1}{p}{A}_j^{pr}+\frac{1}{q}{B}_j^{qr}\Vert }}^{\alpha }$ (1.9)

定理1.3 设 $T\in B\left(H\right)$，函数f和g是定义在 $\left[0,+\infty \right)$ 上非负连续函数，并且满足 $f\left(t\right)g\left(t\right)=t,\left(t\ge 0\right)$，那么

${\omega }^{2r}\left(T\right)\le \frac{1}{2}\left({\Vert T\Vert }^{2r}+\Vert \frac{p}{p+q}{f}^{\frac{r\left(p+q\right)}{q}}\left(\left|T^2\right|\right)+\frac{q}{p+q}{g}^{\frac{r\left(p+q\right)}{p}}\left(\left|{\left(T^{*}\right)}^2\right|\right)\Vert \right)$ (1.10)

其中， $r>1$， $p\ge q>1$， $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$， $pr\ge 2$。

定理1.4 设 $T_j\in B\left(H\right)$， $r_j\ge 1,j=1,\cdots ,n$， $0\le \alpha \le 1,x\in H,\Vert x\Vert =1$，那么

${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\prod }}{\left|\langle T_{j}x,x\rangle \right|}^{r_j}}\le \frac{n}{8}\Vert {\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{r}_j^2\left({\left|T_j\right|}^{4\alpha }+{\left|T_j^{*}\right|}^{4\left(1-\alpha \right)}\right)}\Vert$ (1.11)

定理1.5 对任意算子 $T\in B\left(H\right)$，存在酉算子U和实数 $\theta$ 对任意 $x\in H$，使得 $y_1=\left({\text{e}}^{i\theta }-U^{*}\right)x$， $y_1=\left({\text{e}}^{i\theta }+U^{*}\right)x$，那么

$\omega \left(T\right)\le \frac{M}{2}\left(2\Vert T\Vert +\Vert \mathrm{Re}\left({\text{e}}^{i\theta }\bar{T}\right)\Vert -\langle {\left|T\right|}^{\frac{1}{2}}{y}_2,y_2\rangle \right)\le \frac{M}{2}\left(2\Vert T\Vert +\omega \left(\bar{T}\right)\right)$ (1.12)

其中 $M=\max \left\{{\langle \left|T\right|y_1,y_1\rangle }^{\frac{1}{2}},{\langle \left|T\right|y_2,y_2\rangle }^{\frac{1}{2}}\right\}$。

本文结构安排如下，第一部分引言和主要结果，第二部分引理，第三部分定理的证明和注。第四部分为小结。为了给出定理的证明，需要以下的几个引理。

2. 几个引理

引理2.1 [3] [8] [10] 设 $a,b\ge 0,0\le \alpha \le 1,p,q>1,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$，那么

1) $a^{\alpha }{b}^{1-\alpha }\le \alpha a+\left(1-\alpha \right)b\le {\left(\alpha a^r+\left(1-\alpha \right)b^r\right)}^{\frac{1}{r}},r\ge 1$

2) $ab\le \frac{{\alpha }^p}{p}+\frac{b^q}{q}\le {\left(\frac{a^{rp}}{p}+\frac{b^{rq}}{q}\right)}^{\frac{1}{r}},r\ge 1$

注意到引理2.1 (1)第一个不等式是权重为 $\alpha$ 的Young不等式 [3] [8] [10]，权重为 $\left(p,q\right)$ 的不等式可以写为

$a^p{b}^q\le \frac{p}{p+q}{a}^{p+q}+\frac{q}{p+q}{b}^{p+q}$ (2.1)

其中 $a,b,p,q>0$，该式在不等式的研究中具有广泛的应用 [7] [8] [9]。

引理2.2 [11] [12] 设 $z_j,j=1,2,\cdots ,n$ 表示复数，满足 $p_j>0,r\ge 1$，那么有

${\left|{\displaystyle {\sum }_{j=1}^n{z}_j}\right|}^r\le {\left({\displaystyle {\sum }_{j=1}^n{p}_j^{1/1-r}}\right)}^{r-1}{{\displaystyle {\sum }_{j=1}^n{p}_j\left|z_j\right|}}^r$，特别的，当 $p_j=1$ 时，得到经典的Borh不等式

${\left|{\displaystyle {\sum }_{j=1}^n{z}_j}\right|}^r\le n^{r-1}{{\displaystyle {\sum }_{j=1}^n\left|z_j\right|}}^r$

引理2.3 [7] [8] [13] (Cauchy-Schwarz) 设算子 $T\in B\left(H\right)$，对任意向量 $x,y\in H,0\le \alpha \le 1$，那么

1) ${\left|\langle Tx,y\rangle \right|}^2\le \langle {\left|T\right|}^{2\alpha }x,x\rangle \langle {\left|T^{*}\right|}^{2\left(1-\alpha \right)}y,y\rangle$ ；

2) 函数f和g是定义在 $\left[0,+\infty \right)$ 上非负连续函数，并且满足 $f\left(t\right)g\left(t\right)=t,\left(t\ge 0\right)$，那么有

$\left|\langle Tx,x\rangle \right|\le \Vert f\left(\left|T\right|\right)x\Vert \Vert g\left(\left|T^{*}\right|y\right)\Vert$。

引理2.4 [1] [8] (Mc-Carty) $T\in B\left(H\right),T\ge 0$，那么

1) ${\left|\langle Tx,x\rangle \right|}^r\le \langle T^{r}x,x\rangle ,r\ge 1$ ；

2) ${\left|\langle Tx,x\rangle \right|}^r\le {\langle Tx,x\rangle }^r,0<r\le 1$。

3. 定理的证明和注

定理1.1的证明 对任意向量 $x\in H$，设 $T_j=A_j+i{B}_j,j=1,2,\cdots ,n$ 那么当 $r\ge 1$ 时，有

${\left|\langle \left({\displaystyle {\sum }_{j=1}^n{T}_j}\right)x,x\rangle \right|}^r={\left|\langle \left({\displaystyle {\sum }_{j=1}^n{A}_j}\right)x,x\rangle +i\langle \left({\displaystyle {\sum }_{j=1}^n{B}_j}\right)x,x\rangle \right|}^r$

$={\left({\langle \left({\displaystyle {\sum }_{j=1}^n{A}_j}\right)x,x\rangle }^2+{\langle \left({\displaystyle {\sum }_{j=1}^n{B}_j}\right)x,x\rangle }^2\right)}^{\frac{r}{2}}$

$\le {\left({\displaystyle {\sum }_{j=1}^n\left(\langle {\left|A_j\right|}^{2}x,x\rangle +\right){\langle {\left|B_j\right|}^{2}x,x\rangle }^{1/2}}\right)}^r$ (引理2.3(1)， $\alpha =1$ )

$\le {\left({\displaystyle {\sum }_{j=1}^n{p}_j^{1/1-r}}\right)}^{r-1}{\left({\displaystyle {\sum }_{j=1}^n{p}_j\left({\langle A_{j}x,x\rangle }^2+{\langle B_{j}x,x\rangle }^2\right)}\right)}^{r/2}$ (引理2.2)

$\le {\left(\sqrt{2}n\right)}^{r-1}{\left({\displaystyle {\sum }_{j=1}^n{p}_j^{1/1-r}}\right)}^{r-1}{\displaystyle {\sum }_{j=1}^n{p}_j}{\left(\langle {\left|A_j\right|}^{2r}x,x\rangle +\langle {\left|B_j\right|}^{2r}x,x\rangle \right)}^{1/2}$ (引理2.4)

$\le {\left(\sqrt{2}{n}^2\right)}^{r-1}{\displaystyle {\sum }_{j=1}^n{p}_j}{\left(\langle {\left|A_j\right|}^{2r}x,x\rangle +\langle {\left|B_j\right|}^{2r}x,x\rangle \right)}^{1/2}$ (引理2.4 (1, 2))

应为 $x\in H,\Vert x\Vert =1$，对上述不等式两边取上确界和利用定义，定理得证。

定理1.2的证明 设 $A_j,B_j,T\in B\left(H\right)$，并且 $A_j,B_j>0,r>1,0\le \alpha \le 1,p,q>1$ 满足 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$， $pr\ge 2$，那么有

${\omega }^r\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{A}_j^{\alpha }T{B}_j^{\alpha }}\right)\le n^{r-1}{{\displaystyle {\sum }_{j=1}^n\left|\langle A_j^{\alpha }T{B}_j^{\alpha }x,x\rangle \right|}}^r$ (引理2.2)

$\le n^{r-1}{{\displaystyle {\sum }_{j=1}^n\Vert T{B}_j^{\alpha }x\Vert }}^r{\Vert A_j^{\alpha }x\Vert }^r$ (引理2.3)

$\le n^{r-1}{\Vert T\Vert }^r{\displaystyle {\sum }_{j=1}^n\left(\frac{1}{p}{\langle A_j^{2\alpha }x,x\rangle }^{\frac{pr}{2}}+\frac{1}{q}{\langle B_j^{2\alpha }x,x\rangle }^{\frac{qr}{2}}\right)}$ (引理2.3 (1)引理2.1 (2))

$\le n^{r-1}{\Vert T\Vert }^r{\displaystyle {\sum }_{j=1}^n\left(\frac{1}{p}{\langle A_j^{pr}x,x\rangle }^{\alpha }+\frac{1}{q}{\langle B_j^{qr}x,x\rangle }^{\alpha }\right)}$ (引理2.4)

$\le n^{r-1}{\Vert T\Vert }^r{{\displaystyle {\sum }_{j=1}^n\left(\frac{1}{p}\langle A_j^{pr}x,x\rangle +\frac{1}{q}\langle B_j^{qr}x,x\rangle \right)}}^{\alpha }$

$=n^{r-1}{\Vert T\Vert }^r{\displaystyle {\sum }_{j=1}^n\langle \left(\frac{1}{p}{A}_j^{pr}+\frac{1}{q}{B}_j^{qr}\right)x,x\rangle }$

最后一个不等式是因为当 $0\le \alpha \le 1$ 时，函数 $t^{\alpha }$ 是凹函数，定理得证。

定理1.3的证明 设 $x\in H,\Vert x\Vert =1$，那么

${\left|\langle T^{2}x,x\rangle \right|}^r\le {\Vert f\left(\left|T^2\right|\right)x\Vert }^r{\Vert g\left(\left|{\left(T^{*}\right)}^2\right|\right)x\Vert }^r$

$={\left({\langle f^2\left({\left|T\right|}^2\right)x,x\rangle }^p\right)}^{\frac{r}{2p}}{\left({\langle g^2\left({\left|\left(T^{*}\right)\right|}^2\right)x,x\rangle }^q\right)}^{\frac{r}{2q}}$

$\le \frac{q}{p+q}{\left[\langle f^2\left(\left|T^2\right|\right)x,x\rangle \right]}^{\frac{r\left(p+q\right)}{2q}}+\frac{p}{p+q}{\left[\langle g^2\left(\left|{\left(T^{*}\right)}^2\right|\right)x,x\rangle \right]}^{\frac{r\left(p+q\right)}{2p}}$ (不等式2.1)

$\le \langle \left(\frac{q}{p+q}{f}^{\frac{r\left(p+q\right)}{q}}\left(\left|T^2\right|\right)+\frac{p}{p+q}{g}^{\frac{r\left(p+q\right)}{p}}\left(\left|{\left(T^{*}\right)}^2\right|\right)x,x\right)\rangle$

再利用不等式 [10]， ${\left|\langle Tx,x\rangle \right|}^r\le \frac{1}{2}\left({\Vert Tx\Vert }^r{\Vert T^{*}x\Vert }^r+{\left|\langle T^{2}x,x\rangle \right|}^r\right)$，所以

${\left|\langle Tx,x\rangle \right|}^{2r}\le \frac{1}{2}\left({\Vert Tx\Vert }^r{\Vert T^{*}x\Vert }^r+\langle \left(\frac{p}{p+q}{f}^{\frac{r\left(p+q\right)}{q}}\left(\left|T^2\right|\right)+\frac{q}{p+q}{g}^{\frac{r\left(p+q\right)}{p}}\left(\left|{\left(T^{*}\right)}^2\right|\right)\right)x,x\rangle \right)$

对上述不等式两边取上确界和利用定义，定理得证。

注2.1 在不等式(1.10)中，令 $f\left(t\right)=g\left(t\right)=\sqrt{t},\left(t\ge 0\right),p=q=2,r\ge 1$，那么有

${\omega }^{2r}\left(T\right)\le \frac{1}{2}\left({\Vert T\Vert }^{2r}+\Vert \frac{1}{2}{\left|T^2\right|}^r+\frac{1}{2}{\left|{\left(T^{*}\right)}^2\right|}^r\Vert \right)={\left|T\right|}^{2r}$，显然，该式蕴含 $\omega \left(T\right)\le \Vert T\Vert$，所以不等式(1.10)是(1.1)的推广。

定理1.4的证明 设 $T_j\in B\left(H\right)$， $r_j\ge 1,j=1,\cdots ,n$， $0\le \alpha \le 1,x\in H,\Vert x\Vert =1$，那么

${{\displaystyle {\prod }_{j=1}^n\left|\langle T_{j}x,x\rangle \right|}}^{r_j}\le {{\displaystyle {\prod }_{j=1}^n\left(\langle {\left|T_j\right|}^{2\alpha }x,x\rangle \langle {\left|T_j^{*}\right|}^{2\left(1-\alpha \right)}x,x\rangle \right)}}^{\frac{r_j}{2}}$ (引理2.3(1))

$\begin{array}{l}=\left({\langle {\left|T_1\right|}^{2\alpha }x,x\rangle }^{\frac{r_1}{2}}\cdots {\langle {\left|T_n\right|}^{2\alpha }x,x\rangle }^{\frac{r_n}{2}}\right)\left({\langle {\left|T_1^{*}\right|}^{2\left(1-\alpha \right)}x,x\rangle }^{\frac{r_1}{2}}\cdots {\langle {\left|T_n^{*}\right|}^{2\left(1-\alpha \right)}x,x\rangle }^{\frac{r_n}{2}}\right)\\ \le \left(\frac{r_1}{2}\langle {\left|T_1\right|}^{2\alpha }x,x\rangle +\cdots +\frac{r_n}{2}\langle {\left|T_n\right|}^{2\alpha }x,x\rangle \right)\left(\frac{r_1}{2}\langle {\left|T_1^{*}\right|}^{2\left(1-\alpha \right)}x,x\rangle +\cdots +\frac{r_n}{2}\langle {\left|T_n^{*}\right|}^{2\left(1-\alpha \right)}x,x\rangle \right)\\ =\frac{1}{4}\left({\displaystyle {\sum }_{j=1}^n{r}_j\langle {\left|T_j\right|}^{2\alpha }x,x\rangle }\right)\left({\displaystyle {\sum }_{j=1}^n{r}_j\langle {\left|T_j^{*}\right|}^{2\left(1-\alpha \right)}x,x\rangle }\right)\\ \le \frac{1}{8}\left({\left({\displaystyle {\sum }_{j=1}^n{r}_j\langle {\left|T_j\right|}^{2\alpha }x,x\rangle }\right)}^2+{\left({\displaystyle {\sum }_{j=1}^n{r}_j\langle {\left|T_j^{*}\right|}^{2\left(1-\alpha \right)}x,x\rangle }\right)}^2\right)\end{array}$

第二个不等号是因为当 ${\displaystyle {\sum }_{j=1}^n{q}_j}=1$ 时，有 ${\displaystyle {\prod }_{j=1}^n{a}_j^{q_j}}\le {\displaystyle {\sum }_{j=1}^n{a}_j}{q}_j$，所以定理得证。

注2.2 在不等式(1.12)中取 $n=2,r_1=r_2=1,\alpha =\frac{1}{2},T=T_1=T_2$，那么可得

${\left|\langle Tx,x\rangle \right|}^2\le \frac{1}{4}\Vert 2{\left|T^2\right|}^2+2{\left|{\left(T^{*}\right)}^2\right|}^2\Vert$,

所以不等式(1.12)变为 [7] 重要不等式 $\omega \left(T^2\right)\le \frac{\sqrt{2}}{2}{\Vert {\left|T^2\right|}^2+{\left|{\left(T^{*}\right)}^2\right|}^2\Vert }^{1/2}$。

定理1.5的证明 注意到引理2.4，有 $\omega \left(T\right)={\sup }_{\theta \in R}\Vert \mathrm{Re}\left({\text{e}}^{i\theta }\right)\Vert$，由文献 [8] 有

$\left|\langle Tx,x\rangle \right|={\sup }_{\theta \in R}\left\{{\text{e}}^{i\theta }\langle Tx,x\rangle \right\}$，那么 ${\sup }_{\theta \in R}\Vert \mathrm{Re}\left({\text{e}}^{i\theta }T\right)\Vert ={\sup }_{\theta \in R}\omega \left(\mathrm{Re}\left({\text{e}}^{i\theta }T\right)\right)=\omega \left(T\right)$，

简单计算，有

$\begin{array}{c}\langle {\text{e}}^{i\theta }Tx,x\rangle =\langle {\text{e}}^{i\theta }\left|T\right|x,U^{*}x\rangle \\ =\frac{1}{4}\left(\langle \left|T\right|\left({\text{e}}^{i\theta }+U^{*}\right)x,\left({\text{e}}^{i\theta }+U^{*}\right)x\rangle -\langle \left|T\right|\left({\text{e}}^{i\theta }-U^{*}\right)x,\left({\text{e}}^{i\theta }-U^{*}\right)x\rangle \right)\\ +\frac{1}{4}i\left(\langle \left|T\right|\left({\text{e}}^{i\theta }+i{U}^{*}\right)x,\left({\text{e}}^{i\theta }+i{U}^{*}\right)x\rangle -\langle \left|T\right|\left({\text{e}}^{i\theta }-i{U}^{*}\right)x,\left({\text{e}}^{i\theta }-i{U}^{*}\right)x\rangle \right)\end{array}$

利用推广的极化恒等式

$\langle Tx,x\rangle =\frac{1}{4}\left(\langle T\left(x+y\right),x+y\rangle -\langle T\left(x-y\right),x-y\rangle \right)+\frac{1}{4i}\left(\langle T\left(x+iy\right),x+iy\rangle -\langle T\left(x-iy\right),x-iy\rangle \right)$

设 $M=\max \left\{{\langle \left|T\right|y_1,y_1\rangle }^{\frac{1}{2}},{\langle \left|T\right|y_2,y_2\rangle }^{\frac{1}{2}}\right\}$。 $y_1=\left({\text{e}}^{i\theta }-U^{*}\right)x$， $y_1=\left({\text{e}}^{i\theta }+U^{*}\right)x$，那么

$\begin{array}{c}\mathrm{Re}\langle {\text{e}}^{i\theta }Tx,x\rangle =\frac{1}{4}\left(\langle \left|T\right|\left({\text{e}}^{i\theta }+U^{*}\right)x,\left({\text{e}}^{i\theta }+U^{*}\right)x\rangle -\langle \left|T\right|\left({\text{e}}^{i\theta }-U^{*}\right)x,\left({\text{e}}^{i\theta }-U^{*}\right)x\rangle \right)\\ \le \frac{1}{4}\left({\langle \left|T\right|\left({\text{e}}^{i\theta }+U^{*}\right)x,\left({\text{e}}^{i\theta }+U^{*}\right)x\rangle }^{\frac{1}{2}}-{\langle \left|T\right|\left({\text{e}}^{i\theta }-U^{*}\right)x,\left({\text{e}}^{i\theta }-U^{*}\right)x\rangle }^{\frac{1}{2}}\right)\\ \times 2\max \left({\langle \left|T\right|\left({\text{e}}^{i\theta }+U^{*}\right)x,\left({\text{e}}^{i\theta }+U^{*}\right)x\rangle }^{\frac{1}{2}},{\langle \left|T\right|\left({\text{e}}^{i\theta }-U^{*}\right)x,\left({\text{e}}^{i\theta }-U^{*}\right)x\rangle }^{\frac{1}{2}}\right)\\ \le \frac{M}{2}\left({\langle \left({\text{e}}^{i\theta }+U^{*}\right)\left|T\right|\left({\text{e}}^{i\theta }+U^{*}\right)x,x\rangle }^{\frac{1}{2}}-{\langle \left({\text{e}}^{i\theta }-U^{*}\right)\left|T\right|\left({\text{e}}^{i\theta }-U^{*}\right)x,x\rangle }^{\frac{1}{2}}\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}\le \frac{M}{2}\left\{\Vert {\left|T\right|}^{\frac{1}{2}}\left({\text{e}}^{i\theta }+U^{*}\right)\left({\text{e}}^{-i\theta }+U\right){\left|T\right|}^{\frac{1}{2}}\Vert -\langle {\left|T\right|}^{\frac{1}{2}}\left({\text{e}}^{i\theta }-U^{*}\right)x,\left({\text{e}}^{i\theta }-U^{*}\right)x\rangle \right\}\\ \le \frac{M}{2}\left(2\Vert T\Vert +\Vert \mathrm{Re}\left({\text{e}}^{i\theta }\bar{T}\right)\Vert -\langle {\left|T\right|}^{\frac{1}{2}}{y}_2,y_2\rangle \right)\\ \le \frac{M}{2}\left(2\Vert T\Vert +\omega \left(\bar{T}\right)\right)\end{array}$

第一个不等号成立，是因为对任意正实数 $a,b$，有 $a^2-b^2\le 2mas\left\{a,b\right\}\left(a-b\right)$，第二个不等号成立，是利用引理2.4 (2)，对上述不等式两边取上确界，定理得证。

4. 小结

算子数值域半径不等式在算子论的研究中有着很重要的作用，但是要精确计算出半径有时候相当困难，所以本文利用一些基本不等式和相关文献已有的结论，得到给出了一些新的算子数值域半径界的不等式，这在将来继续研究算子数值域半径上界的不等式有一定的好处。