山西省人口老龄化预测分析

Analysis of Population Ageing Projections in Shanxi Province

摘要: 近年来，山西省人口老龄化问题日益突出，老年人口数量迅速增加，重视并解决老龄化这一问题显得尤为重要。通过建立灰色GM(1, 1)模型，选取山西省2013年至2019年65岁以上人口的数据，来预测未来的老年人口数量。结果显示，在2021年至2025年期间，山西省的老年人数量将增加，未来的养老形势严峻。

Abstract: In recent years, population ageing in Shanxi Province has become increasingly prominent and the number of elderly people has increased rapidly, making it particularly important to pay attention to and address this issue of ageing. By building a grey GM(1, 1) model, data on the population aged 65 or above in Shanxi Province from 2013 to 2019 were selected to predict the number of elderly people in the future. The results show that the number of elderly people in Shanxi Province will in-crease between 2021 and 2025, and the future situation of old age will be severe.

1. 引言

人口在经济的生产活动中发挥着重要作用，社会生产、分配和再分配与人口数量密切相关。老龄化社会是指老年人在总人口中的比重达到或超过一定比例的人口模式。根据联合国的标准，如果一个地区有7%的人口在65岁以上，就被认为是一个老龄化社会 [1]。

通过2015~2020年《山西省国民经济和社会发展统计公报》的数据可以看出，自山西省的老龄化速度从2000年开始快于全国之后，山西的老年人口比重逐年升高。鉴于山西省的老龄化人口结构，了解山西省的人口老龄化趋势及其可能产生社会经济后果是非常重要的。通过了解山西省的人口现状及发展趋势，可以为山西省未来的社会经济发展方向提供一个新的视角，它还将有助于探索山西省未来的新经济，并在经济可持续增长的背景下促进其人民的发展。

2. 已有研究成果综述

我国目前处在人口老龄化快速发展的阶段，人口年龄结构的不平衡对社会和经济发展有诸多影响。随着老年人数量的增加，我国的社会保障体系、福利政策、养老金和医疗保险在满足老年人需求方面相对滞后。因此，预测国家和地区的人口趋势可以为政府决策提供有效的信息，这对国计民生至关重要。自21世纪初以来，一些中国研究人员一直关注着老龄化问题，旨在研究和解决中国人口结构各方面的变化，并提出针对性的对策和建议。杨真真、刘琳(2021)等人根据中国统计年鉴2011~2019年数据，使用GM(1, 1)模型预测中国的老龄化趋势，预计到2025年我国将进入深度老龄化社会，到2030年，将迈入超级老龄化社会 [2]。李文华(2020)在描述人口老龄化现状的基础上，建立GM(1, 1)模型来预测中国人口老龄化水平，发现目前中国人口老龄化严重，未来老龄化率将继续上升 [3]。李晓鹤、刁力(2019)基于第六次人口普查的数据，评估了2010年至2060年中国老年失能人口数量的变化，结果显示，中国老年失能人口数量有快速增长的趋势，并存在高龄化、城乡差异和性别差异特征 [4]。陈艳玫、刘子锋(2018)等人我们利用1994年至2010年的特定年龄和性别的死亡率数据建立了ARIMA预测模型，得出2015年至2050年期间中国特定年龄和性别的预测生存率，结果显示，在2015年至2050年间，中国的老年人总数将持续增加，且年龄段越高，女性老年人口占比越高；另外，80岁及以上高龄老年人在老年人口总量中的比重逐年增加且增速加快 [5]。

我国的研究人员已经对中国的人口老龄化问题进行了多次研究，并从不同的角度提出了政策建议，但针对山西省的人口老龄化研究涉及较少。在此基础上，本文根据2013年至2019年山西省老年人口数据，利用GM(1, 1)模型对2022年至2025年山西省65岁及以上人口数量进行了预测，通过实证分析提出了相应的对策，对研究山西省人口老龄化问题对区域经济发展及社会结构调整具有重要的理论价值和现实意义 [6]。

3. 人口老龄化预测的GM(1, 1)模型

3.1. GM(1, 1)模型基本原理

灰色预测理论表明，虽然一些系统性问题不明确，也很复杂，但它们是有组织、有结构的，是作为一个整体发挥作用的。GM(1, 1)模型是基于灰色预测理论的原理，针对较为离散且规律性不强的数据进

行分析，主要用于中长期预测，应用范围很广。在GM(1, 1)模型 $x^{\left(0\right)}\left(k\right)+a{z}^{\left(1\right)}\left(k\right)=b$ 中，通过形成数列，以微方程的时间连续模型表示时间序列，即 $x^{\left(1\right)}\left(k+1\right)=\left(x^{\left(0\right)}\left(1\right)-b/a\right){\text{e}}^{-ak}+b/a$， $k=1,2,3,\cdots ,n$。通过以上模型对山西省65岁及以上的人口数量进行预测，其中M表示山西省的老龄化变量，m表示山西省的老龄化具体数值 [7]。

山西省人口老龄化的原始序列 $M^{\left(0\right)}=\left(m^{\left(0\right)}\left(1\right),m^{\left(0\right)}\left(2\right),\cdots ,m^{\left(0\right)}\left(n\right)\right)$，M⁽¹⁾为M⁽⁰⁾的1－AGO序列；

生成的紧邻均值生成序列：

$M^{\left(1\right)}=\left(m^{\left(1\right)}\left(1\right),m^{\left(1\right)}\left(2\right),\cdots ,m^{\left(1\right)}\left(n\right)\right)$， $M^{\left(1\right)}\left(k\right)={\displaystyle {\sum }_{i=1}^k{m}^{\left(0\right)}\left(i\right)}$， $k=1,2,3,\cdots ,n$ ；Z⁽¹⁾为M⁽¹⁾；

$Z^{\left(1\right)}=\left(z^{\left(1\right)}\left(2\right),z^{\left(1\right)}\left(3\right),\cdots ,z^{\left(1\right)}\left(n\right)\right)$，其中 $Z^{\left(1\right)}\left(k\right)=0.5\left(m^{\left(1\right)}\left(k\right)+m^{\left(1\right)}\left(k+1\right)\right)$， $k=1,2,3,\cdots ,n$。

GM(1, 1)模型的基本形式为：

$x^{\left(0\right)}\left(k\right)+a{z}^{\left(1\right)}\left(k\right)=b$

可以得出：

GM(1, 1)模型 $m^{\left(0\right)}\left(k\right)+a{z}^{\left(1\right)}\left(k\right)=b$，其中， $a={\left[a,b\right]}^{\text{T}}={\left(B^{\text{T}}B\right)}^{-1}{B}^{\text{T}}Y$。

时间响应式为： $m^{\left(1\right)}\left(k+1\right)=\left(m^{\left(0\right)}\left(1\right)-b/a\right){\text{e}}^{-ab}+ba$， $k=1,2,3,\cdots ,n$。

累减还原式： $m^{\left(0\right)}\left(k+1\right)=m^{\left(1\right)}\left(k+1\right)-m^{\left(1\right)}\left(k\right)$， $k=1,2,3,\cdots ,n$ [7]。

公式中，−a，b分别表示发展系数、灰色作用量。而−a用来反映x⁽¹⁾和x⁽⁰⁾的发展态势。

3.2. GM(1, 1)模型误差检验

通过建立GM(1, 1)模型，估计和处理数据，可以用来预测山西省65岁及以上的人口数量。GM(1, 1)模型只有在通过测试后才能用于预测。一般用后验差C和小误差概率P来综合评定灰色模型的建模优劣精度，因此需要对 GM(1, 1)模型的精度进行后验差检验。后验差检验需要分别计算残差序列与相对残差序列，根据模型数据可得到相对残差的最大值，当最大值小于0.01时，可判断该模型的拟合效果较好。

4. GM(1, 1)模型的实证检验和分析

4.1. 数据来源与模型构建

GM(1, 1)模型的数据来自2013~2019年的山西省统计年鉴，对65岁及以上老年人口数据整理所得，如表1所示。

Table 1. Population statistics of Shanxi Province 2010~2019

表1. 2010~2019山西省人口统计表

GM(1, 1)模型用原始数据进行了测试，如果测试的准确性很高，那么在未来几年里，该模型对山西省65岁及以上人口数量的预测值只会越来越可靠。

$M^{\left(0\right)}=\left(303.81,316.64,333.43,349.39,368.38,386.71,409.10\right)$，M⁽¹⁾为M⁽⁰⁾的1-AGO序列 [7]，则M⁽¹⁾均值生成数列为 $z^{\left(1\right)}=\left(462.13,787.17,1128.58,1487.46,1865.01,2262.91\right)$。GM(1, 1)模型的时间响应式为 $m^{\left(1\right)}\left(k+1\right)=14919{\text{e}}^{0.0223k}+14586$， $k=1,2,\cdots ,n$，得 $m^{\left(1\right)}=\left(333.41,669.51,1013.2,1364.6,1723.9\right)$。作累减还原，得 $m^{\left(0\right)}={\left\{m^{\left(0\right)}\right\}}_2^5=\left(333.41,336.1,343.67,351.41,359.33\right)$。

4.2. 对人口老龄化趋势的实证研究

为保证GM(1, 1)模型在经验估计过程中的准确性及有效性，一般要求误差概率和残差均值尽可能小，表2显示了GM(1, 1)模型在数据分析中的准确性。

Table 2. Description of grey fuzzy evaluation prediction accuracy levels

表2. 灰色模糊评价预测精度等级描述

GM(1, 1)模型 $m^{\left(1\right)}\left(k+1\right)=14919{\text{e}}^{0.0223k}+14586$， $k=1,2,\cdots ,n$，应检查GM(1, 1)模型的准确性，保证预测有效，以下是山西省65岁及以上人口准确率测试的预测模型。原始序列为 $m^{\left(0\right)}=\left(303.81,316.64,333.43,349.39,368.38,386.71,409.10\right)$，预测模型序列为 $m^{\left(0\right)}={\left\{m^{\left(0\right)}\right\}}_2^5=\left(333.41,336.1,343.67,351.41,359.33\right)$

4.2.1. 平均相对模拟百分比误差测试

残差序列 ${\epsilon }^{\left(0\right)}=\left(0,174.08,164.06,148.17,129.32,102.70,71.68,35.84\right)$ ；相对误差序列 $\Delta =\left(0,0.52208,0.46956,0.40222,0.33441,0.25103,0.20109\right)$。

平均相对模拟百分比误差 $\bar{\Delta }=\frac{1}{n}{\displaystyle {\sum }_i^n{\Delta }_i}=0.00398=0.098\%<0.01$，精度为优。

4.2.2. 小误差概率测试

0.6745S_i = 7.342，ε1－ε－ = 0.096，ε2－ε－ = 1.426，ε3－ε－ = 2.544，ε4－ε－ = 1.526，ε5－ε－ = 0.504，所以 $m=M\left({\epsilon }^{\left(k\right)}-\epsilon -0.6745S_i\right)=10.95$，小概率事件为优。

4.2.3. 级差比检验

为了检查模型预测的可靠性，通过以下过程对数据进行了检验比对，即对2013年至2019年的数据进行级比检验。根据最初的累积数据，进行级比检验，则获得山西省老龄人口原始数据的级差比为

${\lambda }^{\left(0\right)}\left(k\right)=\left(0.959,0.950,0.954,0.948,0.953,0.945\right)$，根据上述分析，数据及对应的级差比结果均保持条件 ${\lambda }^{\left(0\right)}\left(k\right)\in \left[{\text{e}}^{-2/n-1},{\text{e}}^{2/n-1}\right]$，故级差比检验通过，获得原始数据构建GM(1, 1)模型的预测条件。

4.2.4. 实证分析

GM(1, 1)模型通过了多项测试，取得了较高的准确度，因此GM(1, 1)模型可以用来预测山西省的老年人口。可得： $m^{\left(1\right)}\left(k+1\right)=14919{\text{e}}^{0.0223k}+14586$， $k=1,2,\cdots ,n$ ；且 $m^{\left(0\right)}\left(k+1\right)=m^{\left(1\right)}\left(k+1\right)-m^{\left(1\right)}\left(k\right)$， $k=1,2,\cdots ,n$。根据上式进行k的赋值，表3是山西省2022~2025年的人口老龄化预测。

Table 3. Ageing population development and projections, 2022~2025

表3. 2022~2025年老龄人口发展及预测

4.3. 实证结果分析

表3显示，山西省的老年人口很多，而且在不断增加。2019年，山西省老年人口达到409.1万人，占全省总人口的10.97%。经过建模及计算，通过近几年的人口数据以及预测结果可以看出，2019年之后的6年内，山西省老年人口的数量将逐年增加，并且上涨速度很快，同时，人口老龄化预计将给养老问题、社会劳动力问题以及医疗保健消费方面的问题带来巨大压力，这将对山西省的经济发展和社会建设产生一定影响 [8]。简而言之，山西的人口正在逐渐老龄化；与全国水平相比，山西的人口老龄化速度很快。

同时，基于GM(1, 1)模型的预测偏差，经过数据计算和处理，预测的模拟残差、残差和相对误差见表4。

Table 4. Predicted simulation residuals and residuals based on the GM(1, 1) model

表4. 预测的模拟残差和基于GM(1, 1)模型的残差

从表4的计算结果来看，平均相对误差为0.100546487，模型构建合理科学，预测精度很好。因此，该模型的预测结果是高度可靠的，可用于预测山西省的人口老龄化。

5. 结论

人口预测是利用现代科学技术方法，根据现有的人口模式及时预测人口动态，帮助公共政策制定者制定政策，以保证社会经济持续健康发展。人口预测的模型有很多，如增长模型、灰色系统模型法、时间序列法、神经网络模型、回归分析预测法等，选择一个合适的模型是人口预测的关键。人口系统的灰色性质使其更适合使用灰色预测方法来研究相关问题。通过利用灰色GM(1, 1)模型，结合2013年至2019年山西省65岁以上老年人口的数据，预测未来老龄化趋势。

首先，估算和精度实验结果表明，GM(1, 1)模型对山西省65岁及以上人口数量的估计具有较高的可靠性，是一种较好的人口预测方法，适合于中短期内的人口老龄化预测。这项研究发现，山西省的人口正在老龄化，未来的养老形势很严峻。其次，山西省人口老龄化进程加快，老年人占总人口的比例逐年上升。研究表明，预计山西省老龄人口数将会快速上升，老龄化趋势日益加剧。因此，政府和社会各界都必须积极应对人口老龄化，提早制定相应的老年人保障对策，以应对老年人口在健康需求和医疗服务等各方面的需求。