广义四元数代数的Jordan中心化子和Lie中心化子

doi:10.12677/AAM.2022.1112928

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广义四元数代数的Jordan中心化子和Lie中心化子
Jordan Centralizers and Lie Centralizers on Generalized Quaternion Algebras

DOI: 10.12677/AAM.2022.1112928, PDF, HTML, XML, 下载: 207 浏览: 278 国家自然科学基金支持
作者: 麻艾群：贵州大学数学与统计学院，贵州贵阳；陈琳^*：常熟理工学院数学与统计学院，江苏常熟
关键词: 广义四元数代数；Jordan中心化子；Lie中心化子；Generalized Quaternion Algebras； Jordan Centralizers； Lie Centralizers

摘要: 本文研究了实数域上广义四元数代数的Jordan中心化子和Lie中心化子，在特定条件下，证明了广义四元数代数上的每个Jordan中心化子是中心化子，同时得到了广义四元数代数的中心化子和Jordan中心化子以及Lie中心化子的矩阵表示，并且分别给出了广义四元数代数的可加映射是中心化子和Lie中心化子的等价条件。

Abstract: In this paper, we consider Jordan centralizers and Lie centralizers on generalized quaternion al-gebras over the field of real numbers. Under certain conditions, we prove that every Jordan cen-tralizer on generalized quaternion algebras is a centralizer. At the same time, we obtain the matrix representation of the centralizers and Jordan centralizers and Lie centralizers on generalized quaternion algebras, and give the equivalent conditions that additive mappings on generalized quaternion algebras are centralizers and lie centralizers respectively.

文章引用：麻艾群, 陈琳. 广义四元数代数的Jordan中心化子和Lie中心化子[J]. 应用数学进展, 2022, 11(12): 8811-8819. https://doi.org/10.12677/AAM.2022.1112928

1. 引言

设 $A$ 是一个代数，对 $\forall x, y \in A$ ，分别称 $x \circ y = x y + y x$ 和 $[x, y] = x y - y x$ 为 $x, y$ 的Jordan积和Lie积。设 $φ : A \to A$ ，如果对 $\forall x, y \in A$ ，有 $φ (x y) = φ (x) y = x φ (y)$ ，则称 $φ$ 是 $A$ 上的中心化子；若有 $φ (x \circ y) = φ (x) \circ y = x \circ φ (y)$ ，则称 $φ$ 是 $A$ 上的Jordan中心化子；如有 $φ ([x, y]) = [φ (x), y] = [x, φ (y)]$ ，则称 $φ$ 是 $A$ 上的Lie中心化子。

四元数不仅对纯粹数学领域的各主要分支：代数学、分析学和几何学的发展都产生了重要的影响，并且在其他自然学科如物理学、计算机科学和工程技术、量子力学和量子场论中有着广泛的应用 [1] [2] [3] [4]。Jafari和Yayli [5] 研究了广义四元数的一些基本性质，并证明了所有单位广义四元数是一个三维Lie群。Kizil等学者 [6] 研究了广义四元数代数在实数域上的导数。中心化子不仅具有重要的理论意义，而且具有重要的应用价值，许多学者已经对环和代数上的中心化子进行了深入的研究。例如，Zalar [7] 研究了素环和半素环上的中心化子和Jordan中心化子，证明了特征不为2的半素环上的Jordan中心化子是中心化子。Fošner等学者 [8] 引进了Lie中心化子的定义，并对三角代数和套代数上的Lie中心化子进行刻画。Jabeen [9] 主要研究了广义矩阵代数上的Jordan中心化子和Lie中心化子。

本文将分为四个部分研究实数域上广义四元数代数的Jordan和Lie中心化子：在第一部分，主要介绍广义四元数的定义与它的一些基本性质；在第二部分，研究实数域上广义四元数代数的Jordan中心化子，在特定条件下，证明了广义四元数代数上的每个Jordan中心化子是中心化子，并得到了广义四元数代数的中心化子和Jordan中心化子的矩阵表示；在第四部分，研究实数域上的广义四元数代数的Lie中心化子，并得到了广义四元数代数的Lie中心化子的矩阵表示。

2. 四元数代数

域F上的代数 $A$ 是指在F上的向量空间具有双射 $A \times A \to A$ ，在本文中仅考虑 $F = R$ 和 $A$ 是R上四元数代数的情况。在这一部分，主要介绍广义四元数的定义与它的一些基本性质。

定义2.1 一个广义四元数q的表达形式为

$q = a_{0} e_{0} + a_{1} e_{1} + a_{2} e_{2} + a_{3} e_{3}$ ，

其中 $a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3} \in R$ ，四元数单位 $e_{0}, e_{1}, e_{2}, e_{3}$ 满足下面的等式：

$e_{1}^{2} = - α$ ， $e_{2}^{2} = - β$ ， $e_{3}^{2} = - α β$ ，

$e_{1} e_{2} = e_{3} = - e_{2} e_{1}$ ，

$e_{2} e_{3} = β e_{1} = - e_{3} e_{2}$ ，

$e_{3} e_{1} = α e_{2} = - e_{1} e_{3}$ ，

其中 $α, β \in R$ 。

设 $u = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$ 和 $v = (v_{1}, v_{2}, v_{3})$ ，其中 $u, v \in R^{3}$ ，如果 $α, β \in R^{+}$ ，u和v的广义内积定义为 $g (u, v) = α u_{1} v_{1} + β u_{2} v_{2} + α β u_{3} v_{3}$ ，向量积被定义为

$u \land v = | \begin{matrix} β e_{1} & α e_{2} & e_{3} \\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{matrix} |$ ，

其中 $e_{1} \land e_{2} = e_{3}$ ， $e_{2} \land e_{3} = β e_{1}$ ， $e_{3} \land e_{1} = α e_{2}$ 。

用 $H_{α, β}$ 表示基为 $B (H_{α, β}) = {e_{0}, e_{1}, e_{2}, e_{3}}$ 的实数域上广义四元数的集合。一个广义四元数是一个标量和一个向量的和，其标量部分是 $S_{q} = a_{0} e_{0}$ ，向量部分是 $V_{q} = a_{1} e_{1} + a_{2} e_{2} + a_{3} e_{3} \in R_{α, β}^{3}$ 。因此， $H_{α, β}$ 形成了一个包含实轴R和三维实线性空间 $R_{α, β}^{3}$ 的四维实空间，因此 $H_{α, β} = R \oplus R_{α, β}^{3}$ 。注意到 $e_{0}$ 是单位元，即对 $\forall i (i = 0, 1, 2, 3)$ 有 $e_{0} e_{i} = e_{i} e_{0} = e_{i}$ ，故 $H_{α, β}$ 的中心是 $Z (H_{α, β}) = R e_{0} = R$ 。

广义四元数 $p = a_{0} e_{0} + a_{1} e_{1} + a_{2} e_{2} + a_{3} e_{3} \in H_{α, β}$ 和 $q = b_{0} e_{0} + b_{1} e_{1} + b_{2} e_{2} + b_{3} e_{3} \in H_{α, β}$ 的加法为

$p + q = (a_{0} + b_{0}) e_{0} + (a_{1} + b_{1}) e_{1} + (a_{2} + b_{2}) e_{2} + (a_{3} + b_{3}) e_{3}$ ，

广义四元数的加法保持了加法的结合性和交换性。

一个标量c和一个广义四元数 $p = a_{0} e_{0} + a_{1} e_{1} + a_{2} e_{2} + a_{3} e_{3} \in H_{α, β}$ 的积定义为

$c p = c S_{p} + c V_{p} = (c a_{0}) e_{0} + (c a_{1}) e_{1} + (c a_{2}) e_{2} + (c a_{3}) e_{3}$ 。

广义四元数的乘法被定义为

$p q = (S_{p} S_{q} - g (V_{p}, V_{q})) e_{0} + S_{p} V_{q} + S_{q} V_{p} + V_{p} \land V_{q}$ 。

3. 广义四元数代数 $H_{α, β}$ 的Jordan中心化子

在这一部分，首先研究了实数域上广义四元数代数 $H_{α, β}$ 的中心化子，其次研究实数域上广义四元数代数 $H_{α, β}$ 的Jordan 中心化子，并得到了其中心化子和Jordan中心化子的矩阵表示。

引理3.1 设 $φ : H_{α, β} \to H_{α, β}$ 是可加映射，则下列叙述等价：

1) $φ$ 是中心化子；

2) 对 $\forall x, y \in H_{α, β}$ ，有 $2 φ (x y) = φ (x) y + x φ (y)$ ；

3) 对 $\forall x, y \in H_{α, β}$ ，有 $φ (x \circ y) = φ (x) y + φ (y) x = x φ (y) + y φ (x)$ ；

4) 存在 $λ \in Z (H_{α, β})$ ，使得对 $\forall x \in H_{α, β}$ ，有 $φ (x) = λ x$ 。

证明：(1) $\Rightarrow$ (2)，(1) $\Rightarrow$ (3)，(4) $\Rightarrow$ (1)是显然的。对于(2) $\Rightarrow$ (1)，取 $x = e_{0}$ ，对任意的 $y \in H_{α, β}$ ，

有 $φ (y) = φ (e_{0}) y$ ，取 $y = e_{0}$ ，对 $\forall x \in H_{α, β}$ ，有 $φ (x) = x φ (e_{0})$ ，因此， $φ$ 是中心化子。

对于(3) $\Rightarrow$ (4)，取 $y = e_{0}$ ，对 $\forall x \in H_{α, β}$ ，有

$2 φ (x) = φ (x \circ e_{0}) = φ (x) e_{0} + x φ (e_{0}) = x φ (e_{0}) + e_{0} φ (x)$ ，

所以 $φ (x) = φ (e_{0}) x = x φ (e_{0})$ ，进而 $λ = φ (e_{0})$ ，且对 $\forall x \in H_{α, β}$ ，有 $φ (x) = λ x$ 。证毕。

定理3.1 设 $φ : H_{α, β} \to H_{α, β}$ 是Jordan中心化子和 $α, β$ 均不为零，则 $φ$ 是中心化子。

证明：因为 $φ$ 是 $H_{α, β}$ 的Jordan中心化子，则对 $\forall x \in H_{α, β}$ ，有

$2 φ (x) = φ (x \circ e_{0}) = x φ (e_{0}) + φ (e_{0}) x$ ， (1)

设 $φ (e_{1}) = a_{0} e_{0} + a_{1} e_{1} + a_{2} e_{2} + a_{3} e_{3}$ ， $φ (e_{2}) = b_{0} e_{0} + b_{1} e_{1} + b_{2} e_{2} + b_{3} e_{3}$ ，其中 $a_{i}, b_{i} \in R (i = 0, 1, 2, 3)$ ，则有

$- 2 α φ (e_{0}) = φ (e_{1} \circ e_{1}) = φ (e_{1}) \circ e_{1} = - 2 a_{1} α e_{0} + 2 a_{0} e_{1}$ ， (2)

$- 2 β φ (e_{0}) = φ (e_{2} \circ e_{2}) = φ (e_{2}) \circ e_{2} = - 2 b_{2} β e_{0} + 2 b_{0} e_{2}$ ， (3)

从而 $- 2 a_{1} e_{0} + 2 a_{0} \frac{1}{α} e_{1} = - 2 b_{2} e_{0} + 2 b_{0} \frac{1}{β} e_{2}$ ，则 $a_{0} = b_{0} = 0$ 且 $a_{1} = b_{2}$ ，进而由式(2)和(3)得 $φ (e_{0}) = a_{1} e_{0} \in R$ ，再由式(1)有，对 $\forall x \in H_{α, β}$ ，有 $φ (x) = φ (e_{0}) x$ 。因此， $φ$ 是一个中心化子。证毕。

实数域上广义四元数代数 $H_{α, β}$ 的Jordan中心化子 $φ$ 一定满足：对 $\forall x, y \in H_{α, β}$ ，有

$2 φ (x \circ y) = φ (x) \circ y + x \circ φ (y)$ ，(4)

但是反之不一定成立，下面证明其成立的一种情况。

定理3.2 设 $φ : H_{α, β} \to H_{α, β}$ 是一个满足式(4)的可加映射且 $α, β$ 均不为零，则 $φ$ 是中心化子。

证明：设 $φ (e_{1}) = a_{0} e_{0} + a_{1} e_{1} + a_{2} e_{2} + a_{3} e_{3}$ ， $φ (e_{2}) = b_{0} e_{0} + b_{1} e_{1} + b_{2} e_{2} + b_{3} e_{3}$ ，其中 $a_{i}, b_{i} \in R (i = 0, 1, 2, 3)$ ，在式(4)分别取 $x = y = e_{1}$ 和 $x = y = e_{2}$ 有

$- 4 α φ (e_{0}) = 2 φ (e_{1} \circ e_{1}) = - 4 a_{1} α e_{0} + 4 a_{0} e_{1}$ ， (5)

$- 4 β φ (e_{0}) = 2 φ (e_{2} \circ e_{2}) = - 4 b_{2} β e_{0} + 4 b_{0} e_{2}$ ， (6)

于是 $- a_{1} e_{0} + a_{0} \frac{1}{α} e_{1} = - b_{2} e_{0} + b_{0} \frac{1}{β} e_{2}$ ，则 $a_{0} = b_{0} = 0$ 且 $a_{1} = b_{2}$ ，由式(5)可得 $φ (e_{0}) = a_{1} e_{0} \in R$ ，则对 $\forall x \in H_{α, β}$ ，由式(4)有 $4 φ (x) = 2 φ (x \circ e_{0}) = φ (e_{0}) \circ x + e_{0} \circ φ (x)$ ，从而有 $φ (x) = φ (e_{0}) x$ ，因此 $φ$ 是中心化子。证毕。

最后，通过实数域上广义四元数代数 $H_{α, β}$ 的中心化子和Jordan中心化子的矩阵表示研究中心化子和Jordan中心化子的关系。当 $α, β$ 均不为零时，实数域上广义四元数代数 $H_{α, β}$ 的Jordan中心化子就是中心化子。

推论3.1 设 $φ : H_{α, β} \to H_{α, β}$ 是中心化子， $φ$ 的矩阵表示 $[φ]$ 为

$[\begin{matrix} a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & 0 \\ b & 0 & 0 & a \end{matrix}]$ ，

其中 $a, b \in R$ ，b的取值依赖于 $α, β$ ，当 $α, β$ 均不为零时，有 $b = 0$ ，当 $α, β$ 至少有一个等于零时，b为任意实数。

证明：因为 $φ$ 对于基 $B (H_{α, β})$ 有矩阵表示，其为4 × 4矩阵 $[φ] = {(d_{i j})}^{T}$ ，且其元素由下面的等式定义

$φ (e_{i - 1}) = \sum_{j = 1}^{4} d_{i j} e_{j - 1}$ ， $1 \leq i \leq 4$ ，

现将 $φ$ 作用于四元数单位，因为 $φ (e_{0} e_{1}) = φ (e_{0}) e_{1} = e_{0} φ (e_{1})$ ，由

$φ (e_{0}) e_{1} = - α d_{12} e_{0} + d_{11} e_{1} + α d_{14} e_{2} - d_{13} e_{3}$ ，

$e_{0} φ (e_{1}) = d_{21} e_{0} + d_{22} e_{1} + d_{23} e_{2} + d_{24} e_{3}$ ，

可得

$d_{11} = d_{22}$ ， $α d_{12} = - d_{21}$ ， $d_{13} = - d_{24}$ ， $α d_{14} = d_{23}$ ， (7)

因为 $φ (e_{1} e_{0}) = φ (e_{1}) e_{0} = e_{1} φ (e_{0})$ ，由

$φ (e_{1}) e_{0} = d_{21} e_{0} + d_{22} e_{1} + d_{23} e_{2} + d_{24} e_{3}$ ，

$e_{1} φ (e_{0}) = - α d_{12} e_{0} + d_{11} e_{1} - α d_{14} e_{2} + d_{13} e_{3}$ ，

可得

$d_{11} = d_{22}$ ， $α d_{12} = - d_{21}$ ， $d_{13} = d_{24}$ ， $α d_{14} = - d_{23}$ ， (8)

结合式(7)和(8)有

$d_{11} = d_{22}$ ， $d_{24} = 0$ ， $d_{13} = 0$ ， $d_{23} = 0$ 。 (9)

接下来对 $φ (e_{1} e_{3})$ ， $φ (e_{3} e_{1})$ ， $φ (e_{0} e_{2})$ ， $φ (e_{2} e_{0})$ 和 $φ (e_{0} e_{3})$ ， $φ (e_{3} e_{0})$ 使用相同的方法。对于 $φ (e_{1} e_{3})$ 和 $φ (e_{3} e_{1})$ ，分别有

$d_{21} = d_{43}$ ， $α d_{22} = α d_{44}$ ， $β d_{23} = d_{41}$ ， $α β d_{24} = α d_{42}$ ， (10)

$d_{21} = - d_{43}$ ， $α d_{22} = α d_{44}$ ， $β d_{23} = - d_{41}$ ， $α β d_{24} = α d_{42}$ ， (11)

结合式(9)，(10)和(11)得

$d_{21} = 0$ ， $d_{43} = 0$ ， $d_{41} = 0$ 。 (12)

对于 $φ (e_{0} e_{2})$ 和 $φ (e_{2} e_{0})$ ，分别有

$d_{11} = d_{33}$ ， $d_{12} = d_{34}$ ， $- β d_{13} = d_{31}$ ， $β d_{14} = - d_{32}$ ， (13)

$d_{11} = d_{33}$ ， $d_{12} = - d_{34}$ ， $- β d_{13} = d_{31}$ ， $β d_{14} = d_{32}$ ， (14)

结合式(9)，(13)和(14)得

$d_{11} = d_{33}$ ， $d_{12} = 0$ ， $d_{31} = 0$ ， $d_{32} = 0$ ， $d_{34} = 0$ 。 (15)

对于 $φ (e_{0} e_{3})$ 和 $φ (e_{3} e_{0})$ ，分别有

$d_{41} = - α β d_{14}$ ， $d_{42} = β d_{13}$ ， $d_{43} = - α d_{12}$ ， $d_{44} = d_{11}$ ， (16)

$d_{41} = - α β d_{14}$ ， $d_{42} = - β d_{13}$ ， $d_{43} = α d_{12}$ ， $d_{44} = d_{11}$ ， (17)

结合式(16)和(17)得

$d_{42} = 0$ ， $d_{44} = d_{11}$ 。 (18)

结合式(9)，(12)，(15)和(18)可得

$d_{11} = d_{22} = d_{33} = d_{44}$ ，

$d_{12} = d_{13} = d_{21} = d_{23} = d_{24} = d_{31} = d_{32} = d_{34} = d_{41} = d_{42} = d_{43} = 0$ ，

$d_{14}$ 的取值依赖于 $α, β$ ，当 $α, β$ 均不为零时，有 $b = 0$ ，当 $α, β$ 至少有一个等于零时，b为任意实数。令 $d_{11} = a$ ， $d_{14} = b$ ，其中 $a, b \in R$ ，即得 $[φ]$ 。证毕。

推论3.2 设 $ϕ : H_{α, β} \to H_{α, β}$ 是Jordan中心化子， $ϕ$ 的矩阵表示 $[ϕ]$ 为

$[\begin{matrix} a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a \end{matrix}]$ ，

其中 $a \in R$ 。

证明：因为 $ϕ$ 对于基 $B (H_{α, β})$ 有矩阵表示，其为4×4矩阵 $[ϕ] = {(d_{i j})}^{T}$ ，且其元素由下面的等式定义

$ϕ (e_{i - 1}) = \sum_{j = 1}^{4} d_{i j} e_{j - 1}$ ， $1 \leq i \leq 4$ ，

现将 $ϕ$ 作用于四元数单位，因为 $ϕ (e_{0} \circ e_{1}) = ϕ (e_{0}) \circ e_{1} = e_{0} \circ ϕ (e_{1})$ ，由

$ϕ (e_{0}) \circ e_{1} = - 2 α d_{12} e_{0} + 2 d_{11} e_{1}$ ， (19)

$e_{0} \circ ϕ (e_{1}) = 2 d_{21} e_{0} + 2 d_{22} e_{1} + 2 d_{23} e_{2} + 2 d_{24} e_{3}$ ， (20)

结合式(19)和(20)得

$d_{11} = d_{22}$ ， $d_{23} = d_{24} = 0$ 。 (21)

接下来对 $ϕ (e_{0} \circ e_{2})$ 和 $ϕ (e_{0} \circ e_{3})$ 使用相同的方法。

对于 $ϕ (e_{0} \circ e_{2})$ ，有

$d_{11} = d_{33}$ ， $d_{32} = d_{34} = 0$ 。 (22)

对于 $ϕ (e_{0} \circ e_{3})$ ，有

$d_{11} = d_{44}$ ， $d_{42} = d_{43} = 0$ 。 (23)

同理，因为 $0 = ϕ (e_{1} \circ e_{2}) = ϕ (e_{1}) \circ e_{2} = e_{1} \circ ϕ (e_{2})$ ，再结合式(21)和(22)，由 $ϕ (e_{1}) \circ e_{2} = 2 d_{21} e_{2}$ 和 $e_{1} \circ ϕ (e_{2}) = 2 d_{31} e_{1}$ 可得

$d_{21} = 0$ ， $d_{31} = 0$ ， (24)

由 $0 = ϕ (e_{1} \circ e_{3}) = e_{1} \circ ϕ (e_{3}) = 2 d_{41} e_{1}$ ，可得

$d_{41} = 0$ 。 (25)

综合式(21)，(22)，(23)，(24)和(25)可得

$d_{11} = d_{22} = d_{33} = d_{44}$ ，

$d_{12} = d_{13} = d_{14} = d_{21} = d_{23} = d_{24} = d_{31} = d_{32} = d_{34} = d_{41} = d_{42} = d_{43} = 0$ 。

令 $d_{11} = a$ ，其中 $a \in R$ ，即得 $[ϕ]$ 。证毕。

4. 广义四元数代数 $H_{α, β}$ 的Lie中心化子

在这一部分，研究了实数域上广义四元数代数 $H_{α, β}$ 的Lie中心化子，并得到特定条件下Lie中心化子的矩阵表示。

定理4.1 设 $φ : H_{α, β} \to H_{α, β}$ 是Lie中心化子且 $α, β$ 均不为零，则对 $\forall r = x e_{0} + y e_{1} + z e_{2} + w e_{3} \in H_{α, β}$ 有 $φ (r) = η (x) e_{0} + π (y) e_{1} + π (z) e_{2} + π (w) e_{3}$ ，其中 $η$ 和 $π$ 是R上的可加映射。

证明：对 $\forall s \in R$ ，设 $φ (s e_{1}) = x e_{0} + y e_{1} + z e_{2} + w e_{3}$ ，其中 $x, y, z, w \in R$ ，由 $φ$ 是 $H_{α, β}$ 的Lie中心化子得

$0 = φ (0) = φ ([s e_{1}, e_{1}]) = [φ (s e_{1}), e_{1}] = - 2 z e_{3} + 2 w α e_{2}$ ，

从而 $z = w = 0$ ，故 $φ (s e_{1}) = x e_{0} + y e_{1}$ 。因为

$2 φ (s e_{3}) = φ ([s e_{1}, e_{2}]) = [φ (s e_{1}), e_{2}]$ ， (26)

$2 α φ (s e_{2}) = φ ([s e_{3}, e_{1}]) = [φ (s e_{3}), e_{1}]$ ， (27)

$2 β φ (s e_{1}) = φ ([s e_{2}, e_{3}]) = [φ (s e_{2}), e_{3}]$ ， (28)

所以 $φ (s e_{3}) = y e_{3}$ ， $φ (s e_{2}) = y e_{2}$ ， $φ (s e_{1}) = y e_{1}$ 。令 $η (s) = y (s \in R)$ ，其中 $η : R \to R$ 是由 $φ$ 唯一决定的可加映射，由式(26)，(27)和(28)有

$φ (s e_{3}) = η (s) e_{3}$ ， $φ (s e_{2}) = η (s) e_{2}$ ， $φ (s e_{1}) = η (s) e_{1}$ ， (29)

对 $\forall s \in R$ ，设 $φ (s e_{0}) = x e_{0} + y e_{1} + z e_{2} + w e_{3}$ ，其中 $x, y, z, w \in R$ ，则

$0 = φ ([s e_{0}, e_{1}]) = [φ (s e_{0}), e_{1}] = 2 w α e_{2} - 2 z e_{3}$ ，

从而 $z = w = 0$ ， $φ (s e_{0}) = x e_{0} + y e_{1}$ ，又因为 $0 = φ [s e_{0}, e_{2}] = [φ (s e_{0}), e_{2}] = 2 y e_{3}$ ，则有 $y = 0$ ，因此 $φ (s e_{0}) = x e_{0}$ 。令 $π (s) = x$ ，其中 $π : R \to R$ 是由 $φ$ 唯一决定的可加映射，于是 $φ (s e_{0}) = π (s) e_{0}$ 。因此对 $r = x e_{0} + y e_{1} + z e_{2} + w e_{3}$ 有

$\begin{matrix} φ (r) = φ (x e_{0} + y e_{1} + z e_{2} + w e_{3}) = φ (x e_{0}) + φ (y e_{1}) + φ (z e_{2}) + φ (w e_{3}) \\ = π (x) e_{0} + η (y) e_{1} + η (z) e_{2} + η (w) e_{3} \end{matrix}$ 。

证毕。

实数域上广义四元数代数 $H_{α, β}$ 的Lie中心化子一定满足：对 $\forall x, y \in H_{α, β}$ 有

$2 φ ([x, y]) = [φ (x), y] + [x, φ (y)]$ ， (30)

反之不一定成立，下面将证明其成立的一种情况。

定理4.2设 $φ$ 是满足式(30)的可加映射且 $α, β$ 均不为零，则 $φ$ 是Lie中心化子。

证明：设

$φ (e_{1}) = a_{0} x_{0} + a_{1} e_{1} + a_{2} e_{2} + a_{3} e_{3}$ ，

$φ (e_{2}) = b_{0} x_{0} + b_{1} e_{1} + b_{2} e_{2} + b_{3} e_{3}$ ，

$φ (e_{3}) = c_{0} x_{0} + c_{1} e_{1} + c_{2} e_{2} + c_{3} e_{3}$ ，

其中 $a_{i}, b_{i}, c_{i} \in R (i = 0, 1, 2, 3)$ ，则由式(30)有

$4 φ (e_{3}) = 2 φ ([e_{1}, e_{2}]) = [φ (e_{1}), e_{2}] + [e_{1}, φ (e_{2})]$ ，

即

$4 (c_{0} e_{0} + c_{1} e_{1} + c_{2} e_{2} + c_{3} e_{3}) = - 2 a_{3} β e_{1} - 2 b_{3} α e_{2} + 2 (a_{1} + b_{2}) e_{3}$ ， (31)

比较式(31)两端可得

$c_{0} = 0$ ， $2 c_{1} = - β a_{3}$ ， $2 c_{2} = - α b_{3}$ ， $2 c_{3} = a_{1} + b_{2}$ ， (32)

同理，可由 $4 α φ (e_{2}) = 2 φ ([e_{3}, e_{1}]) = [φ (e_{3}), e_{1}] + [e_{3}, φ (e_{1})]$ 和 $4 β φ (e_{1}) = 2 φ ([e_{2}, e_{3}]) = [φ (e_{2}), e_{3}] + [e_{2}, φ (e_{3})]$ ，可得

$b_{0} = 0$ ， $2 b_{1} = - \frac{β}{α} a_{2}$ ， $2 b_{2} = c_{3} + a_{1}$ ， $2 b_{3} = - \frac{1}{α} c_{2}$ ， (33)

$a_{0} = 0$ ， $2 a_{1} = b_{2} + c_{3}$ ， $2 a_{2} = - \frac{α}{β} b_{1}$ ， $2 a_{3} = - \frac{1}{β} c_{1}$ ， (34)

结合式(32)，(33)和(34)

$a_{1} = b_{2} = c_{3}$ ， $a_{2} = a_{3} = b_{1} = b_{3} = c_{1} = c_{2} = 0$ ，

进而有

$φ (e_{1}) = a_{1} e_{1}$ ， $φ (e_{2}) = a_{1} e_{2}$ ， $φ (e_{3}) = a_{1} e_{3}$ 。 (35)

对 $\forall s \in R$ ，设 $φ (s e_{1}) = x e_{0} + y e_{1} + z e_{2} + w e_{3}$ ，其中 $x, y, z, w \in R$ ，由式(30)和式(35)，有

$0 = φ (0) = 2 φ ([s e_{1}, e_{1}]) = [φ (s e_{1}), e_{1}] + [s e_{1}, φ (e_{1})] = 2 α w e_{2} - 2 z e_{3}$ ，

从而 $φ (s e_{1}) = x e_{0} + y e_{1}$ ，再由式(30)和(35)可得

$4 φ (s e_{3}) = 2 φ ([s e_{1}, e_{2}]) = [φ (s e_{1}), e_{2}] + [s e_{1}, φ (e_{2})] = 2 y e_{3} + 2 s a_{1} e_{3}$ ， (36)

同理有

$4 φ (s e_{1}) = y e_{1} + 3 s a_{1} e_{1}$ ， $4 φ (s e_{2}) = y e_{2} + 3 s a_{1} e_{2}$ ， (37)

由于 $4 φ (s e_{1}) = y e_{1} + 3 s b_{1} e_{1} = 4 x e_{0} + 4 y e_{1}$ ，因此 $x = 0$ ， $s a_{1} = y$ ，由式(36)和(37)知

$φ (s e_{1}) = y e_{1}$ ， $φ (s e_{2}) = y e_{2}$ ， $φ (s e_{3}) = y e_{3}$ ， (38)

令 $η (s) = y$ ，其中 $η : R \to R$ 是由 $φ$ 唯一决定的可加映射，由式(38)有

$φ (s e_{1}) = η (s) e_{1}$ ， $φ (s e_{2}) = η (s) e_{2}$ ， $φ (s e_{3}) = η (s) e_{3}$ 。 (39)

对 $\forall s \in R$ ，设 $φ (s e_{0}) = x e_{0} + y e_{1} + z e_{2} + w e_{3}$ ，其中 $x, y, z, w \in R$ ，由式(30)得

$φ (0) = 2 φ ([s e_{0}, e_{1}]) = [φ (s e_{0}), e_{1}] + [s e_{0}, φ (e_{1})] = 2 w α e_{2} - 2 z e_{3}$ ，

则有 $z = w = 0$ 。同理，可由 $2 φ ([s e_{0}, e_{2}]) = 2 y e_{3}$ 得 $y = 0$ ，因此 $φ (s e_{0}) = x e_{0}$ 。令 $π (s) = x (s \in R)$ ，中 $π : R \to R$ 是由 $φ$ 唯一决定的可加映射，则

$φ (s e_{0}) = π (s) e_{0}$ ， (40)

因此对 $r = x e_{0} + y e_{1} + z e_{2} + w e_{3}$ ，由式(39)和(40)得

其中 $η$ 和 $π$ 上的可加映射，因此 $φ$ 是Lie中心化子。证毕。

推论4.2 设 $φ : H_{α, β} \to H_{α, β}$ 是Lie中心化子且 $α, β$ 均不为零， $φ$ 的矩阵表示 $[φ]$ 为

$[\begin{matrix} a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 0 & b \end{matrix}]$ ，

其中 $a, b \in R$ 。

证明：因为 $φ$ 对于基 $B (H_{α, β})$ 有矩阵表示，其为4×4矩阵 $[φ] = {(d_{i j})}^{T}$ ，且其元素由下面的等式定义

$φ (e_{i - 1}) = \sum_{j = 1}^{4} d_{i j} e_{j - 1}$ ， $1 \leq i \leq 4$ ，

现将 $φ$ 作用于四元数单位，由 $φ ([e_{0}, e_{1}]) = [φ (e_{0}), e_{1}] = 0$ 和 $φ ([e_{0}, e_{2}]) = [φ (e_{0}), e_{2}] = 0$ ，可得

$d_{12} = d_{13} = d_{14} = 0$ 。 (41)

同理，由 $φ ([e_{1}, e_{1}]) = [φ (e_{1}), e_{1}] = [e_{1}, φ (e_{1})] = 0$ ， $φ ([e_{2}, e_{2}]) = [φ (e_{2}), e_{2}] = [e_{2}, φ (e_{2})] = 0$ 和 $φ ([e_{3}, e_{3}]) = [φ (e_{3}), e_{3}] = [e_{3}, φ (e_{3})] = 0$ 有

$d_{23} = d_{24} = 0$ ， $d_{32} = d_{34} = 0$ ， $d_{42} = d_{43} = 0$ 。 (42)

再由 $φ ([e_{1}, e_{2}]) = [φ (e_{1}), e_{2}] = [e_{1}, φ (e_{2})] = 2 φ (e_{3})$ ， $φ ([e_{1}, e_{3}]) = [φ (e_{1}), e_{3}] = [e_{1}, φ (e_{3})] = - 2 α φ (e_{2})$ 和 $φ ([e_{2}, e_{3}]) = [φ (e_{2}), e_{3}] = [e_{2}, φ (e_{3})] = 2 β φ (e_{1})$ ，可得

$d_{21} = d_{31} = d_{41} = 0$ ， $d_{22} = d_{33} = d_{44}$ 。 (43)

令 $d_{11} = a$ ， $d_{22} = b$ ，其中 $a, b \in R$ ，即得 $[φ]$ 。证毕。

5. 总结

本文主要研究了实数域上广义四元数代数 $H_{α, β}$ 的Jordan中心化子和Lie中心化子，证明了当 $α, β$ 均不为零时，广义四元数代数的Jordan中心化子是中心化子，并且得到了广义四元数代数的Jordan中心化子和中心化子的矩阵表示，本文从广义四元数代数的Jordan中心化子和中心化子的矩阵表示出发，也得到了当 $α, β$ 均不为零时，广义四元数代数的Jordan中心化子是中心化子。关于实数域上广义四元数代数 $H_{α, β}$ 的Lie中心化子，本文得到了当 $α, β$ 均不为零时，广义四元数代数的可加映射是Lie中心化子的等价条件和Lie中心化子的矩阵表示。今后还将继续研究复数域上广义四元数代数的Jordan中心化子和Lie中心化子。

致谢

作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见。

基金项目

本文获国家自然科学基金(No.12061018)资助。

NOTES

^*通讯作者。

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