加权Bergman空间上具有调和符号的斜Toeplitz算子的正规性及亚正规性

The Normality and Hyponormality of Slant Toeplitz Operators with Harmonic Symbols on the Weighted Bergman Spaces

摘要: 本文对单位圆盘的加权Bergman空间上斜Toeplitz算子的正规性及亚正规性展开研究，得到了以有界解析函数、共轭解析函数及调和多项式函数为符号的斜Toeplitz算子是正规算子或亚正规算子的充要条件是其符号函数是零函数，当且仅当该类算子是零算子，也得到了该类算子的正规性和亚正规性是等价的。

Abstract: The normality and hyponormality of slant Toeplitz operators on the weighted Bergman space of the unit disk are studied, and obtain the sufficient and necessary conditions for slant Toeplitz operators with bounded analytic function, conjugate analytic function and harmonic polynomial function to be normal or hyponormal are that their symbol functions are zero function, if and only if such opera-tors are zero operator, and also get the normality and the hyponormality of such operators are equivalent.

1. 引言

斜Toeplitz算子是Toeplitz算子的一类推广，由于它在小波分析、方程求解等方面的关联以及与Toeplitz算子的联系，人们对该类算子及其推广进行深入探讨，得到众多结论。本文主要对加权Bergman空间上斜Toeplitz算子的正规性和亚正规性展开研究。

关于斜Toeplitz算子性质的研究最早是由Mark给出的 [1] [2] [3] [4] ，主要是单位圆周的 $L^2\left(T\right)$ 空间和Hardy空间 $H^2\left(T\right)$ 上斜Toeplitz算子及其共轭算子的表达式、判别标准、谱和谱半径等性质。之后Arora与Batra将 $L^2\left(T\right)$ 和Hardy空间 $H^2\left(T\right)$ 上斜Toeplitz算子的概念推广为广义斜Toeplitz算子，并探讨了广义斜Toeplitz算子的若干性质 [5] [6] [7] 。此后人们又对该类算子的性质展开研究，并推广到各类空间上，如：Bergman空间、Dirichlet空间、Fock空间以及环面的Hardy空间和Lebesgue空间等 [8] - [25] 。

设H是Hilbert空间， $B\left(H\right)$ 是H上的所有有界线性算子构成的空间。对于 $T\in B\left(H\right)$ ，如果 $T^{\ast }T=T{T}^{\ast }$ ，则称算子T是正规的；如果 $T^{\ast }T\ge T{T}^{\ast }$ ，则称算子T是亚正规的。

在本文中设实数 $\alpha >-1$ ，D是复平面内的单位开圆盘， $dA$ 表示单位圆盘D上的正规化面积测度，

$d{A}_{\alpha }\left(z\right)=\left(1+\alpha \right){\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{\alpha }dA\left(z\right)$ ， $z\in D$ 。

$L^2\left(D,d{A}_{\alpha }\right)$ 是D上关于测度 $d{A}_{\alpha }$ 平方可积的可测函数全体组成的希尔伯特空间，其中内积和范数分别是

$\langle f,g\rangle ={\displaystyle {\int }_{D}f\left(z\right)\overline{g\left(z\right)}}d{A}_{\alpha }(z)$ ， $\Vert f\Vert ={\left({\displaystyle {\int }_D{\left|f\left(z\right)\right|}^{2}d{A}_{\alpha }\left(z\right)}\right)}^{1/2}$ 。

加权Bergman空间 $A_{\alpha }^2\left(D\right)$ 是 $L^2\left(D,d{A}_{\alpha }\right)$ 中所有解析函数构成的闭线性空间，且其正交基为 ${\left\{z^n\right\}}_{n\in N}$ ，其中N和 $N_{+}$ 分别表示非负整数集和正整数集。设 $L^{\infty }\left(D\right)$ 表示D上关于测度 $d{A}_{\alpha }$ 本性有界的复值可测函数全体构成的巴拿赫空间， $H^{\infty }\left(D\right)$ 表示D上有界解析函数构成的代数。

对任意的 $\phi \in L^{\infty }\left(D\right)$ ，定义在空间 $A_{\alpha }^2\left(D\right)$ 上的斜Toeplitz算子定义为 $B_{\phi }=W{T}_{\phi }$ ，其中 $T_{\phi }$ 是空间 $A_{\alpha }^2\left(D\right)$ 上以函数 $\phi$ 为符号的Toeplitz算子，算子W定义为 $W{z}^{2n}=z^n$ ， $W{z}^{2n+1}=0$ ， $n\in N$ ，其共轭算子是 $W^{\ast }\left(z^n\right)=\frac{n!\Gamma \left(2n+2+\alpha \right)}{\left(2n\right)!\Gamma \left(n+2+\alpha \right)}{z}^{2n}$ ， $n\in N$ 。而且算子W及其共轭算子都是有界线性算子。

设 $\Gamma \left(x\right)$ 是实数域R上的伽玛函数，该函数具有以下性质： $\Gamma \left(x+1\right)=x\Gamma \left(x\right)$ ， $x>0$ ； $\Gamma \left(n\right)=\left(n-1\right)!$ ， $n\in N_{+}$ 。

2. 斜Toeplitz算子的正规性

算子正规性问题是一个较为久远且结论较为丰富的问题。而对于斜Toeplitz算子正规性的探讨最早是由Arora和Batra得到的，结论是单位圆周的 $L^2\left(T\right)$ 空间和Hardy空间 $H^2\left(T\right)$ 上广义斜Toeplitz算子是正规的当且仅当该算子的符号函数是零函数，即该算子是零算子 [5] 。由于单位圆盘上的可测函数比单位圆周上的可测函数结构更为复杂，文献 [6] 仅给出了单位圆盘的Bergman空间上带有特殊调和符号的广义斜Toeplitz算子是正规的当且仅当其符号是零函数，该结论与 $L^2\left(T\right)$ 空间和Hardy空间 $H^2\left(T\right)$ 上的结论类似。本节将对加权Bergman空间上带有调和符号的斜Toeplitz算子的正规性进行探讨，首先考虑正规斜Toeplitz算子的符号函数具有什么性质。

对任意的 $\phi \in L^{\infty }\left(D\right)$ ，如果斜Toeplitz算子 $B_{\phi }$ 是正规算子，那么由正规算子的定义可得算子 $B_{\phi }$ 应满足 $B_{\phi }^{\ast }{B}_{\phi }=B_{\phi }{B}_{\phi }^{\ast }$ ，且空间 $A_{\alpha }^2\left(D\right)$ 的正交基是 ${\left\{z^n\right\}}_{n\in N}$ ，所以可得对任意的 $\beta \in N$ ，有

$B_{\phi }^{\ast }{B}_{\phi }{z}^{\beta }=B_{\phi }{B}_{\phi }^{\ast }{z}^{\beta }$ 。 (1)

而随着函数 $\phi$ 的不同，(1)式两端计算得到的函数也随之变化，所以这里将函数 $\phi$ 分为三类情况逐步展开，即解析情况、共轭解析情况和调和多项式情况。

定理2.1如果函数 $\phi \in H^{\infty }\left(D\right)$ ，那么 $B_{\phi }$ 是正规算子的充分必要条件是函数 $\phi$ 恒等于零。

证明既然函数 $\phi \in H^{\infty }\left(D\right)$ ，所以函数 $\phi$ 可表示为 $\phi \left(z\right)={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_n{z}^n}$ ， $z\in D$ 。如果函数 $\phi$ 恒等于零，那么显然可以得到 $B_{\phi }$ 是正规的。

如果 $B_{\phi }$ 是正规的，那么由(1)可得对任意的 $\beta \in N$ ， $B_{\phi }^{\ast }{B}_{\phi }{z}^{\beta }=B_{\phi }{B}_{\phi }^{\ast }{z}^{\beta }$ ，下面将按照 $\beta$ 的不同取值展开讨论。

当 $\beta =0$ 时，那么由 $B_{\phi }$ 及其共轭算子的定义可得

$B_{\phi }{z}^0=W{T}_{\phi }\left(z^0\right)=W\left({\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_n{z}^n}\right)={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_{2n}{z}^n}$ ，

$B_{\phi }^{\ast }{z}^0=T_{\bar{\phi }}{W}^{\ast }\left(z^0\right)=\overline{a_0}{z}^0$ ，

从而可得

$\begin{array}{c}{B}_{\phi }^{\ast }{B}_{\phi }{z}^0=B_{\phi }^{\ast }\left({\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_{2n}{z}^n}\right)=T_{\bar{\phi }}{W}^{\ast }\left({\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_{2n}{z}^n}\right)=T_{\bar{\phi }}\left[{\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_{2n}\frac{n!\Gamma \left(2n+2+\alpha \right)}{\left(2n\right)!\Gamma \left(n+2+\alpha \right)}{z}^{2n}}\right]\\ ={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{m=0}{\overset{2n}{\sum }}\overline{a_m}{a}_{2n}}}\frac{n!\Gamma \left(2n-m+2+\alpha \right)}{\left(2n-m\right)!\Gamma \left(n+2+\alpha \right)}{z}^{2n-m}\end{array}$ ，

$B_{\phi }{B}_{\phi }^{\ast }{z}^0=B_{\phi }\left(\overline{a_0}{z}^0\right)=W{T}_{\phi }\left(\overline{a_0}{z}^0\right)=W\left({\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\overline{a_0}{a}_n{z}^n}\right)={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\overline{a_0}{a}_{2n}{z}^n}$ 。

于是由算子 $B_{\phi }$ 的正规性及(1)式可得

${\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{m=0}{\overset{2n}{\sum }}\overline{a_m}{a}_{2n}}}\frac{n!\Gamma \left(2n-m+2+\alpha \right)}{\left(2n-m\right)!\Gamma \left(n+2+\alpha \right)}{z}^{2n-m}={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\overline{a_0}{a}_{2n}{z}^n}$ ，

从而由上述等式两端 $z^0$ 项的系数相等可得 ${\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\left|a_{2n}\right|}^2\frac{n!\Gamma \left(2+\alpha \right)}{\Gamma \left(n+2+\alpha \right)}}={\left|a_0\right|}^2$ ，即 ${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left|a_{2n}\right|}^2\frac{n!\Gamma \left(2+\alpha \right)}{\Gamma \left(n+2+\alpha \right)}}=0$ ，

所以可得 $a_{2n}=0$ ， $n\in N_{+}$ 。

当 $\beta =1$ 时，那么由算子 $B_{\phi }$ 及其共轭算子的定义可得

$B_{\phi }z=W{T}_{\phi }\left(z\right)=W\left({\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_n{z}^{n+1}}\right)={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_{2n+1}{z}^{n+1}}$ ，

$B_{\phi }^{\ast }z=T_{\bar{\phi }}{W}^{\ast }\left(z\right)=T_{\bar{\phi }}\left[\frac{\Gamma \left(4+\alpha \right)}{2\Gamma \left(3+\alpha \right)}{z}^2\right]={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{2}{\sum }}\overline{a_n}\frac{\Gamma \left(4-n+\alpha \right)}{\left(2-n\right)!\Gamma \left(3+\alpha \right)}{z}^{2-n}}=\overline{a_0}\frac{\Gamma \left(4+\alpha \right)}{2\Gamma \left(3+\alpha \right)}{z}^2+\overline{a_1}z$ ，

从而有

$\begin{array}{c}{B}_{\phi }^{\ast }{B}_{\phi }z=T_{\bar{\phi }}{W}^{\ast }\left({\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_{2n+1}{z}^{n+1}}\right)=T_{\bar{\phi }}\left[{\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_{2n+1}\frac{\left(n+1\right)!\Gamma \left(2n+4+\alpha \right)}{\left(2n+2\right)!\Gamma \left(n+3+\alpha \right)}{z}^{2n+2}}\right]\\ ={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{s=0}{\overset{2n+2}{\sum }}{a}_{2n+1}\overline{a_s}\frac{\left(n+1\right)!\Gamma \left(2n+4-s+\alpha \right)}{\left(2n+2-s\right)!\Gamma \left(n+3+\alpha \right)}{z}^{2n+2-s}}}\end{array}$ ，

$B_{\phi }{B}_{\phi }^{\ast }z=W{T}_{\phi }\left[\overline{a_0}\frac{\Gamma \left(4+\alpha \right)}{2\Gamma \left(3+\alpha \right)}{z}^2+\overline{a_1}z\right]=W\left[{\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\overline{a_0}{a}_n\frac{\Gamma \left(4+\alpha \right)}{2\Gamma \left(3+\alpha \right)}{z}^{n+2}+{\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\overline{a_1}{a}_n{z}^{n+1}}}\right]={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\overline{a_1}{a}_{2n+1}{z}^{n+1}}$ ，

所以由算子 $B_{\phi }$ 的正规性及(1)式可得

${\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{s=0}{\overset{2n+2}{\sum }}{a}_{2n+1}\overline{a_s}\frac{\left(n+1\right)!\Gamma \left(2n+4-s+\alpha \right)}{\left(2n+2-s\right)!\Gamma \left(n+3+\alpha \right)}{z}^{2n+2-s}={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\overline{a_1}{a}_{2n+1}{z}^{n+1}}}}$ ，

从而由等式两端z项系数相等可得 ${\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\left|a_{2n+1}\right|}^2\frac{\left(n+1\right)!\Gamma \left(3+\alpha \right)}{\Gamma \left(n+3+\alpha \right)}}={\left|a_1\right|}^2$ ，即 ${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left|a_{2n+1}\right|}^2\frac{\left(n+1\right)!\Gamma \left(3+\alpha \right)}{\Gamma \left(n+3+\alpha \right)}}=0$ ，

所以可得 $a_{2n+1}=0$ ， $n\in N_{+}$ ，即可得 $\phi \left(z\right)=a_0+a_{1}z$ 。

当 $\beta =3$ 时，那么由算子 $B_{\phi }$ 及其共轭算子的定义可得

$B_{\phi }{z}^3=W{T}_{\phi }\left(z^3\right)=a_1{z}^2$ ，

$B_{\phi }^{\ast }{z}^3=T_{\bar{\phi }}{W}^{\ast }\left(z^3\right)=T_{\bar{\phi }}\left[\frac{3!\Gamma \left(8+\alpha \right)}{6!\Gamma \left(5+\alpha \right)}{z}^6\right]=\frac{\Gamma \left(8+\alpha \right)}{120\Gamma \left(5+\alpha \right)}\overline{a_0}{z}^6+\frac{\Gamma \left(7+\alpha \right)}{20\Gamma \left(5+\alpha \right)}\overline{a_1}{z}^5$ ，

从而有

$B_{\phi }^{\ast }{B}_{\phi }{z}^3=T_{\bar{\phi }}{W}^{\ast }\left(a_1{z}^2\right)=T_{\bar{\phi }}\left[a_1\frac{2!\Gamma \left(6+\alpha \right)}{4!\Gamma \left(4+\alpha \right)}{z}^4\right]=\overline{a_0}{a}_1\frac{\Gamma \left(6+\alpha \right)}{12\Gamma \left(4+\alpha \right)}{z}^4+\frac{\Gamma \left(5+\alpha \right)}{3\Gamma \left(4+\alpha \right)}{\left|a_1\right|}^2{z}^3$ ，

$B_{\phi }{B}_{\phi }^{\ast }{z}^3=W{T}_{\phi }\left[\frac{\Gamma \left(8+\alpha \right)}{120\Gamma \left(5+\alpha \right)}\overline{a_0}{z}^6+\frac{\Gamma \left(7+\alpha \right)}{20\Gamma \left(5+\alpha \right)}\overline{a_1}{z}^5\right]=\frac{\Gamma \left(8+\alpha \right)}{120\Gamma \left(5+\alpha \right)}{\left|a_0\right|}^2{z}^3+\frac{\Gamma \left(7+\alpha \right)}{20\Gamma \left(5+\alpha \right)}{\left|a_1\right|}^2{z}^3$ ，

所以由算子 $B_{\phi }$ 的正规性及(1)式可得

$\overline{a_0}{a}_1\frac{\Gamma \left(6+\alpha \right)}{12\Gamma \left(4+\alpha \right)}{z}^4+\frac{\Gamma \left(5+\alpha \right)}{3\Gamma \left(4+\alpha \right)}{\left|a_1\right|}^2{z}^3=\frac{\Gamma \left(8+\alpha \right)}{120\Gamma \left(5+\alpha \right)}{\left|a_0\right|}^2{z}^3+\frac{\Gamma \left(7+\alpha \right)}{20\Gamma \left(5+\alpha \right)}{\left|a_1\right|}^2{z}^3$ ，

从而由等式两端 $z^3$ 项和 $z^4$ 项的系数分别相等可得

$\overline{a_0}{a}_1\frac{\Gamma \left(6+\alpha \right)}{12\Gamma \left(4+\alpha \right)}=0$ ，

$\frac{\Gamma \left(5+\alpha \right)}{3\Gamma \left(4+\alpha \right)}{\left|a_1\right|}^2=\frac{\Gamma \left(8+\alpha \right)}{120\Gamma \left(5+\alpha \right)}{\left|a_0\right|}^2+\frac{\Gamma \left(7+\alpha \right)}{20\Gamma \left(5+\alpha \right)}{\left|a_1\right|}^2$ 。

由于 $\alpha >-1$ ，所以由Gamma函数的性质上式可得

$\overline{a_0}{a}_1\frac{\left(5+\alpha \right)\left(4+\alpha \right)}{12}=0$ ，

${\left|a_1\right|}^2=\frac{\left(7+\alpha \right)\left(6+\alpha \right)\left(5+\alpha \right)}{2\left(3\alpha +5\right)\left(\alpha +2\right)}{\left|a_0\right|}^2$ ，

从而可得 $a_0=0$ ， $a_1=0$ ，即可得函数 $\phi$ 恒等于零。

定理2.2如果函数 $\phi$ 的共轭函数 $\bar{\phi }\in H^{\infty }\left(D\right)$ ，那么算子 $B_{\phi }$ 是正规算子当且仅当函数 $\phi$ 恒等于零。

证明既然函数 $\bar{\phi }\in H^{\infty }\left(D\right)$ ，所以函数 $\bar{\phi }$ 可表示为 $\bar{\phi }\left(z\right)={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\overline{a_n}{z}^n}$ ， $z\in D$ ，从而可得函数 $\phi$ 可表示为 $\phi \left(z\right)={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_n{\bar{z}}^n}$ ， $z\in D$ 。如果函数 $\phi$ 恒等于零，那么显然可以得到算子 $B_{\phi }$ 是正规的。

如果算子 $B_{\phi }$ 是正规的，那么由(1)可见对任意的 $\beta \in N$ ， $B_{\phi }^{\ast }{B}_{\phi }{z}^{\beta }=B_{\phi }{B}_{\phi }^{\ast }{z}^{\beta }$ ，下面将按照 $\beta$ 的不同取值展开讨论。

当 $\beta =0$ 时，那么由算子 $B_{\phi }$ 及其共轭算子的定义可得

$B_{\phi }{z}^0=W{T}_{\phi }\left(z^0\right)=W\left[{\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_{n}P\left({\bar{z}}^n{z}^0\right)}\right]=W\left(a_0{z}^0\right)=a_0{z}^0$ ，

$B_{\phi }^{\ast }{z}^0=T_{\bar{\phi }}{W}^{\ast }\left(z^0\right)=T_{\bar{\phi }}\left(z^0\right)={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\overline{a_n}{z}^n}$ ，

从而有

$B_{\phi }^{\ast }{B}_{\phi }{z}^0=B_{\phi }^{\ast }\left(a_0{z}^0\right)=a_0{B}_{\phi }^{\ast }\left(z^0\right)={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_0\overline{a_n}{z}^n}$ ，

$\begin{array}{c}{B}_{\phi }{B}_{\phi }^{\ast }{z}^0=B_{\phi }\left({\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\overline{a_n}{z}^n}\right)=W{T}_{\phi }\left({\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\overline{a_n}{z}^n}\right)=W\left[{\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{s=0}{\overset{n}{\sum }}{a}_s\overline{a_n}\frac{n!\Gamma \left(n-s+2+\alpha \right)}{\left(n-s\right)!\Gamma \left(n+2+\alpha \right)}{z}^{n-s}}}\right]\\ ={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{m=0}{\overset{\left[\frac{n}{2}\right]}{\sum }}\overline{a_n}{a}_{n-2m}\frac{n!\Gamma \left(2m+2+\alpha \right)}{\left(2m\right)!\Gamma \left(n+2+\alpha \right)}{z}^m}}\end{array}$ ，

这里 $\left[x\right]$ 表示实数x的整数部分。于是由算子 $B_{\phi }$ 的正规性可得

${\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_0\overline{a_n}{z}^n}={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{m=0}{\overset{\left[\frac{n}{2}\right]}{\sum }}\overline{a_n}{a}_{n-2m}\frac{n!\Gamma \left(2m+2+\alpha \right)}{\left(2m\right)!\Gamma \left(n+2+\alpha \right)}{z}^m}}$ ，

从而由等式两端 $z^0$ 项的系数相等可得 ${\left|a_0\right|}^2={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\left|a_n\right|}^{\text{2}}}\frac{n!\Gamma \left(2+\alpha \right)}{\Gamma \left(n+2+\alpha \right)}$ ，所以 ${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left|a_n\right|}^2}\frac{n!\Gamma \left(2+\alpha \right)}{\Gamma \left(n+2+\alpha \right)}=0$ ，即得对所有的 $n\in N_{\text{+}}$ ， $a_n=0$ 。于是可得 $\phi \left(z\right)=a_0$ ，又因为常值函数都是解析函数，所以由定理2.1可以得到函数 $\phi$ 恒等于零。

接着讨论的是带有调和多项式符号的斜Toeplitz算子的正规性，由于在分析论证的过程中需要用到关于Gamma函数的不等式，所以这里首先给出以下引理。

引理2.3已知非负整数 $p,s$ 满足 $p>s$ ，那么对满足 $0\le l\le s$ 的任意整数l，有

$\frac{{\left[\left(2p\right)!\right]}^2\Gamma \left(4p-2l+2+\alpha \right)}{\left(4p-2l\right)!{\left[\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)\right]}^2}-\frac{\left(l+p\right)!}{\Gamma \left(l+p+2+\alpha \right)}>0$ ， (2)

$\frac{\left(4p+2l\right)!{\left[\Gamma \left(4p+2+\alpha \right)\right]}^2}{{\left[\left(4p\right)!\right]}^2\Gamma \left(4p+2l+2+\alpha \right)}-\frac{\left(p-l\right)!{\left[\Gamma \left(2p-2l+2+\alpha \right)\right]}^2}{{\left[\left(2p-2l\right)!\right]}^2\Gamma \left(p-l+2+\alpha \right)}>0$ ， (3)

$\frac{{\left[\left(2p+1\right)!\right]}^2\Gamma \left[4p-2l+3+\alpha \right]}{\left(4p-2l+1\right)!{\left[\Gamma \left(2p+3+\alpha \right)\right]}^2}-\frac{\left(l+p+1\right)!}{\Gamma \left(l+p+3+\alpha \right)}>0$ 。 (4)

证明为了简化证明下面记 $\gamma =1+\alpha$ ，因为 $\alpha >-1$ ，所以 $\gamma >0$ 。

令 $f\left(x\right)=1+\frac{\gamma }{x}$ ， $x>0$ ，则显然 $f^{\prime }\left(x\right)=-\frac{\gamma }{x^2}<0$ ，所以可得 $f\left(x\right)$ 在 $\left(0,\infty \right)$ 上严格单调递减，即如果 $x>y$ ， $f\left(x\right)<f\left(y\right)$ 。

为了证明(2)式，记 $A=\frac{{\left[\left(2p\right)!\right]}^2\Gamma \left(4p-2l+2+\alpha \right)}{\left(4p-2l\right)!{\left[\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)\right]}^2}-\frac{\left(l+p\right)!}{\Gamma \left(l+p+2+\alpha \right)}$ ，那么通过简单计算可得

$A=\frac{{\left[\left(2p\right)!\right]}^2\left(l+p\right)!\left(4p-2l\right)!}{\left(4p-2l\right)!{\left[\Gamma \left(2p+1+\gamma \right)\right]}^2\Gamma \left(l+p+1+\gamma \right)}\left\{\frac{\Gamma \left(4p-2l+1+\gamma \right)\Gamma \left(l+p+1+\gamma \right)}{\left(l+p\right)!\left(4p-2l\right)!}-\frac{{\left[\Gamma \left(2p+1+\gamma \right)\right]}^2}{{\left[\left(2p\right)!\right]}^2}\right\}$ ，

所以由题意可得 $A>0$ 等价于 $\frac{\Gamma \left(4p-2l+1+\gamma \right)\Gamma \left(l+p+1+\gamma \right)}{\left(l+p\right)!\left(4p-2l\right)!}-\frac{{\left[\Gamma \left(2p+1+\gamma \right)\right]}^2}{{\left[\left(2p\right)!\right]}^2}>0$ 。而由Gamma函数的性质计算可得

$\begin{array}{l}\frac{\Gamma \left(4p-2l+1+\gamma \right)\Gamma \left(l+p+1+\gamma \right)}{\left(l+p\right)!\left(4p-2l\right)!}-\frac{{\left[\Gamma \left(2p+1+\gamma \right)\right]}^2}{{\left[\left(2p\right)!\right]}^2}\\ =\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{l+p}{\prod }}\left(i+\gamma \right)}}{\left(l+p\right)!}\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2p}{\prod }}\left(i+\gamma \right)}}{\left(2p\right)!}{\left[\Gamma \left(1+\gamma \right)\right]}^2\left[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{p-l}{\prod }}\left(1+\frac{\gamma }{2p+2i-1}\right)}\left(1+\frac{\gamma }{2p+2i}\right)-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{p-l}{\prod }}\left(1+\frac{\gamma }{l+p+i}\right)}\right]\end{array}$ ，

所以可得 $A>0$ 等价于 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{p-l}{\prod }}\left(1+\frac{\gamma }{2p+2i-1}\right)}\left(1+\frac{\gamma }{2p+2i}\right)-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{p-l}{\prod }}\left(1+\frac{\gamma }{l+p+i}\right)}>0$ 。

而对任意的 $t=1,2,\cdots ,p-l$ ，

$\begin{array}{c}\left(1+\frac{\gamma }{2p+2t-1}\right)\left(1+\frac{\gamma }{2p+2t}\right)=1+\frac{\gamma }{2p+2t-1}+\frac{\gamma }{2p+2t}+\frac{{\gamma }^2}{\left(2p+2t-1\right)\left(2p+2t\right)}\\ >1+2\frac{\gamma }{2p+2t}=1+\frac{\gamma }{p+t}>1+\frac{\gamma }{p+l+t}\end{array}$ ，

所以显然可得 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{p-l}{\prod }}\left(1+\frac{\gamma }{2p+2i-1}\right)}\left(1+\frac{\gamma }{2p+2i}\right)-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{p-l}{\prod }}\left(1+\frac{\gamma }{l+p+i}\right)}>0$ ，即 $A>0$ 。

为了证明(3)式，记 $B=\frac{\left(4p+2l\right)!{\left[\Gamma \left(4p+2+\alpha \right)\right]}^2}{{\left[\left(4p\right)!\right]}^2\Gamma \left(4p+2l+2+\alpha \right)}-\frac{\left(p-l\right)!{\left[\Gamma \left(2p-2l+2+\alpha \right)\right]}^2}{{\left[\left(2p-2l\right)!\right]}^2\Gamma \left(p-l+2+\alpha \right)}$ ，那么经过简单计算可得

$\begin{array}{c}B=\frac{\left(4p+2l\right)!{\left[\left(2p-2l\right)!\right]}^2\left(p-l\right)!{\left[\left(4p\right)!\right]}^2}{{\left[\left(4p\right)!\right]}^2{\left[\left(2p-2l\right)!\right]}^2\Gamma \left(4p+2l+1+\gamma \right)\Gamma \left(p-l+1+\gamma \right)}\\ \times \left\{\frac{{\left[\Gamma \left(4p+1+\gamma \right)\right]}^2\Gamma \left(p-l+1+\gamma \right)}{\left(p-l\right)!{\left[\left(4p\right)!\right]}^2}-\frac{{\left[\Gamma \left(2p-2l+1+\gamma \right)\right]}^2\Gamma \left(4p+2l+1+\gamma \right)}{\left(4p+2l\right)!{\left[\left(2p-2l\right)!\right]}^2}\right\}\end{array}$ ，

所以显然 $B>0$ 等价于 $\frac{{\left[\Gamma \left(4p+1+\gamma \right)\right]}^2\Gamma \left(p-l+1+\gamma \right)}{\left(p-l\right)!{\left[\left(4p\right)!\right]}^2}-\frac{{\left[\Gamma \left(2p-2l+1+\gamma \right)\right]}^2\Gamma \left(4p+2l+1+\gamma \right)}{\left(4p+2l\right)!{\left[\left(2p-2l\right)!\right]}^2}>0$ 。而由Gamma函数的性质可得

$\begin{array}{l}\frac{{\left[\Gamma \left(4p+1+\gamma \right)\right]}^2\Gamma \left(p-l+1+\gamma \right)}{\left(p-l\right)!{\left[\left(4p\right)!\right]}^2}-\frac{{\left[\Gamma \left(2p-2l+1+\gamma \right)\right]}^2\Gamma \left(4p+2l+1+\gamma \right)}{\left(4p+2l\right)!{\left[\left(2p-2l\right)!\right]}^2}\\ =\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{p-l}{\prod }}\left(i+\gamma \right)}}{\left(p-l\right)!}\cdot \frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2p-2l}{\prod }}\left(i+\gamma \right)}}{\left(2p-2l\right)!}\cdot \frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{4p}{\prod }}\left(i+\gamma \right)}}{\left(4p\right)!}{\left[\Gamma \left(1+\gamma \right)\right]}^3\left[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2p+2l}{\prod }}\left(1+\frac{\gamma }{2p-2l+i}\right)}-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{p-l}{\prod }}\left(1+\frac{\gamma }{p-l+i}\right)}\cdot {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2l}{\prod }}\left(1+\frac{\gamma }{4p+i}\right)}\right]\end{array}$ ，

所以可得 $B>0$ 等价于 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2p+2l}{\prod }}\left(1+\frac{\gamma }{2p-2l+i}\right)}-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{p-l}{\prod }}\left(1+\frac{\gamma }{p-l+i}\right)}\cdot {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2l}{\prod }}\left(1+\frac{\gamma }{4p+i}\right)}>0$ 。

于是由函数 $f\left(x\right)$ 的单调性，计算可得当 $i=1,2,\cdots ,p-l$ 时，

$\begin{array}{l}\left(1+\frac{\gamma }{2p-2l+2i-1}\right)\left(1+\frac{\gamma }{2p-2l+2i}\right)\\ =1+\frac{\gamma }{2p-2l+2i-1}+\frac{\gamma }{2p-2l+2i}+\frac{{\gamma }^2}{\left(2p-2l+2i-1\right)\left(2p-2l+2i\right)}\\ >1+2\frac{\gamma }{2p-2l+2i}=1+\frac{\gamma }{p-l+i}\end{array}$ ，

当 $i=p-l+1,p-l+2,\cdots ,p+l$ 时，令 $t=i-\left(p-l\right)$ ，则可得 $t=1,2,\cdots ,2l$ ，且

$\begin{array}{l}\left(1+\frac{\gamma }{2p-2l+2i-1}\right)\left(1+\frac{\gamma }{2p-2l+2i}\right)\\ =\left(1+\frac{\gamma }{4p-4l+2t-1}\right)\left(1+\frac{\gamma }{4p-4l+2t}\right)\\ =1+\frac{\gamma }{4p-4l+2t-1}+\frac{\gamma }{4p-4l+2t}+\frac{{\gamma }^2}{\left(4p-4l+2t-1\right)\left(4p-4l+2t\right)}\\ >1+2\frac{\gamma }{4p-4l+2t}=1+\frac{\gamma }{2p-2l+t}>1+\frac{\gamma }{4p+t}\end{array}$ ，

即 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{p-l}{\prod }}\left(1+\frac{\gamma }{2p-2l+2i-1}\right)\left(1+\frac{\gamma }{2p-2l+2i}\right)}>{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{p-l}{\prod }}\left(1+\frac{\gamma }{p-l+i}\right)}$ ，

${\displaystyle \underset{t=1}{\overset{2l}{\prod }}\left(1+\frac{\gamma }{4p-4l+2t-1}\right)\left(1+\frac{\gamma }{4p-4l+2t}\right)}>{\displaystyle \underset{t=1}{\overset{2l}{\prod }}\left(1+\frac{\gamma }{4p+t}\right)}$ ，

所以 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2p+2l}{\prod }}\left(1+\frac{\gamma }{2p-2l+i}\right)}-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{p-l}{\prod }}\left(1+\frac{\gamma }{p-l+i}\right)}\cdot {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2l}{\prod }}\left(1+\frac{\gamma }{4p+i}\right)}>0$ ，即 $B>0$ 。

为了证明(4)式，记 $G=\frac{{\left[\left(2p+1\right)!\right]}^2\Gamma \left[4p-2l+3+\alpha \right]}{\left(4p-2l+1\right)!{\left[\Gamma \left(2p+3+\alpha \right)\right]}^2}-\frac{\left(l+p+1\right)!}{\Gamma \left(l+p+3+\alpha \right)}$ ，经过简单计算可得

$G=\frac{{\left[\left(2p+1\right)!\right]}^2\left(l+p+1\right)!}{{\left[\Gamma \left(2p+2+\gamma \right)\right]}^2\Gamma \left(l+p+2+\gamma \right)}\left\{\frac{\Gamma \left(4p-2l+2+\gamma \right)\Gamma \left(l+p+2+\gamma \right)}{\left(l+p+1\right)!\left(4p-2l+1\right)!}-\frac{{\left[\Gamma \left(2p+2+\gamma \right)\right]}^2}{{\left[\left(2p+1\right)!\right]}^2}\right\}$ ，

于是由Gamma函数的性质计算可得

$G=\frac{\left(2p+1\right)!{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{l+p+1}{\prod }}\left(i+\gamma \right)}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2p+1}{\prod }}\left(i+\gamma \right)}}{{\left[\Gamma \left(2p+2+\gamma \right)\right]}^2\Gamma \left(l+p+2+\gamma \right)}{\left[\Gamma \left(1+\gamma \right)\right]}^2\left[{\displaystyle \underset{i=2}{\overset{2p-2l+1}{\prod }}\left(1+\frac{\gamma }{2p+i}\right)}-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{p-l}{\prod }}\left(1+\frac{\gamma }{l+p+1+i}\right)}\right]$ ，

所以可得 $G>0$ 等价于 ${\displaystyle \underset{i=2}{\overset{2p-2l+1}{\prod }}\left(1+\frac{\gamma }{2p+i}\right)}-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{p-l}{\prod }}\left(1+\frac{\gamma }{l+p+1+i}\right)}>0$ 。

而由函数 $f\left(x\right)$ 的单调性，计算可得当 $i=1,2,\cdots ,p-l$ 时，

$\begin{array}{l}\left(1+\frac{\gamma }{2p+2i}\right)\left(1+\frac{\gamma }{2p+2i+1}\right)=1+\frac{\gamma }{2p+2i}+\frac{\gamma }{2p+2i+1}+\frac{{\gamma }^2}{\left(2p+2i\right)\left(2p+2i+1\right)}>1+2\frac{\gamma }{2p+2i+1}\\ >1+2\frac{\gamma }{2p+2i+2}=1+\frac{\gamma }{p+i+1}\ge 1+\frac{\gamma }{l+p+i+1}\end{array}$ ，

所以可得 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{p-l}{\prod }}\left(1+\frac{\gamma }{2p+2i}\right)\left(1+\frac{\gamma }{2p+2i+1}\right)}-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{p-l}{\prod }}\left(1+\frac{\gamma }{l+p+1+i}\right)}>0$ ，即 $G>0$ 。

定理2.4已知函数 $\phi \left(z\right)={\displaystyle \underset{l=0}{\overset{m}{\sum }}{a}_l{z}^l}+{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{n}{\sum }}{b}_l{\bar{z}}^l}\in L^{\infty }\left(D\right)$ ，其中m和n均是正整数，则算子 $B_{\phi }$ 是正规的当且仅当函数 $\phi$ 恒等于零。

证明如果函数 $\phi$ 恒等于零，那么显然可以得到算子 $B_{\phi }$ 是正规的。

如果算子 $B_{\phi }$ 是正规的，那么由(1)式可得对任意的非负整数 $\beta$ ， $B_{\phi }^{\ast }{B}_{\phi }{z}^{\beta }=B_{\phi }{B}_{\phi }^{\ast }{z}^{\beta }$ 。

既然m和n均为正整数，不妨设 $m=2s+q_1$ ， $n=2t+q_2$ ，其中 $s,t,q_1,q_2$ 是非负整数且 $q_1\le 1$ ， $q_2\le 1$ 。由于(1)式中 $\beta$ 的任意性，不妨取 $\beta =2p$ ， $p=s+t+q\ge 0$ ， $q=\max \left\{q_1,q_2\right\}$ ，那么由算子 $B_{\phi }$ 及其共轭算子的定义可得

$\begin{array}{c}{B}_{\phi }{z}^{\beta }=B_{\phi }{z}^{2p}=W{T}_{\phi }\left(z^{2p}\right)=W\left[{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{m}{\sum }}{a}_l{z}^{l+2p}}+{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{n}{\sum }}{b}_l\frac{\left(2p\right)!\Gamma \left(2p-l+2+\alpha \right)}{\left(2p-l\right)!\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)}{z}^{2p-l}}\right]\\ ={\displaystyle \underset{l=0}{\overset{s}{\sum }}{a}_{2l}{z}^{l+p}}+{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{t}{\sum }}{b}_{2l}\frac{\left(2p\right)!\Gamma \left(2p-2l+2+\alpha \right)}{\left(2p-2l\right)!\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)}{z}^{p-l}}\end{array}$ ，

$\begin{array}{c}{B}_{\phi }^{\ast }{z}^{\beta }=B_{\phi }^{\ast }{z}^{2p}=T_{\bar{\phi }}{W}^{\ast }\left(z^{2p}\right)=T_{\bar{\phi }}\left[\frac{\left(2p\right)!\Gamma \left(4p+2+\alpha \right)}{\left(4p\right)!\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)}{z}^{4p}\right]\\ ={\displaystyle \underset{l=0}{\overset{m}{\sum }}\overline{a_l}\frac{\left(2p\right)!\Gamma \left(4p-l+2+\alpha \right)}{\left(4p-l\right)!\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)}{z}^{4p-l}}+{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{n}{\sum }}\overline{b_l}\frac{\left(2p\right)!\Gamma \left(4p+2+\alpha \right)}{\left(4p\right)!\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)}{z}^{4p+l}}\end{array}$ ，

从而可得

$\begin{array}{c}{B}_{\phi }^{\ast }{B}_{\phi }{z}^{\beta }=B_{\phi }^{\ast }\left(B_{\phi }{z}^{\beta }\right)=T_{\bar{\phi }}{W}^{\ast }\left[{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{s}{\sum }}{a}_{2l}{z}^{l+p}}+{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{t}{\sum }}{b}_{2l}\frac{\left(2p\right)!\Gamma \left(2p-2l+2+\alpha \right)}{\left(2p-2l\right)!\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)}{z}^{p-l}}\right]\\ =T_{\bar{\phi }}\{{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{s}{\sum }}{a}_{2l}\frac{\left(l+p\right)!\Gamma \left(2l+2p+2+\alpha \right)}{\left(2l+2p\right)!\Gamma \left(l+p+2+\alpha \right)}{z}^{2l+2p}}\\ +{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{t}{\sum }}{b}_{2l}\frac{\left(2p\right)!\left(p-l\right)!{\left[\Gamma \left(2p-2l+2+\alpha \right)\right]}^2}{{\left[\left(2p-2l\right)!\right]}^2\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)\Gamma \left(p-l+2+\alpha \right)}{z}^{2p-2l}}\}\\ ={\displaystyle \underset{l=0}{\overset{s}{\sum }}{\displaystyle \underset{i=0}{\overset{m}{\sum }}{a}_{2l}\overline{a_i}\frac{\left(l+p\right)!\Gamma \left(2l+2p-i+2+\alpha \right)}{\left(2l+2p-i\right)!\Gamma \left(l+p+2+\alpha \right)}{z}^{2l+2p-i}}}+{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{s}{\sum }}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{a}_{2l}\overline{b_i}\frac{\left(l+p\right)!\Gamma \left(2l+2p+2+\alpha \right)}{\left(2l+2p\right)!\Gamma \left(l+p+2+\alpha \right)}{z}^{2l+2p+i}}}\\ +{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{t}{\sum }}{\displaystyle \underset{i=0}{\overset{m}{\sum }}{b}_{2l}\overline{a_i}\frac{\left(2p\right)!\left(p-l\right)!\Gamma \left(2p-2l+2+\alpha \right)\Gamma \left(2p-2l-i+2+\alpha \right)}{\left(2p-2l\right)!\left(2p-2l-i\right)!\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)\Gamma \left(p-l+2+\alpha \right)}{z}^{2p-2l-i}}}\\ +{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{t}{\sum }}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{b}_{2l}\overline{b_i}\frac{\left(2p\right)!\left(p-l\right)!{\left[\Gamma \left(2p-2l+2+\alpha \right)\right]}^2}{{\left[\left(2p-2l\right)!\right]}^2\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)\Gamma \left(p-l+2+\alpha \right)}{z}^{2p-2l+i}}}\end{array}$ ，(5)

$\begin{array}{l}{B}_{\phi }{B}_{\phi }^{\ast }{z}^{\beta }=B_{\phi }\left(B_{\phi }^{\ast }{z}^{\beta }\right)=W{T}_{\phi }\left[{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{m}{\sum }}\overline{a_l}\frac{\left(2p\right)!\Gamma \left(4p-l+2+\alpha \right)}{\left(4p-l\right)!\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)}}{z}^{4p-l}+{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{n}{\sum }}\overline{b_l}\frac{\left(2p\right)!\Gamma \left(4p+2+\alpha \right)}{\left(4p\right)!\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)}}{z}^{4p+l}\right]\\ =W[{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{m}{\sum }}{\displaystyle \underset{i=0}{\overset{m}{\sum }}\overline{a_l}{a}_i\frac{\left(2p\right)!\Gamma \left(4p-l+2+\alpha \right)}{\left(4p-l\right)!\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)}{z}^{4p-l+i}}}+{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{m}{\sum }}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\overline{a_l}{b}_i\frac{\left(2p\right)!\Gamma \left(4p-l-i+2+\alpha \right)}{\left(4p-l-i\right)!\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)}{z}^{4p-l-i}}}\\ +{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle \underset{i=0}{\overset{m}{\sum }}\overline{b_l}{a}_i\frac{\left(2p\right)!\Gamma \left(4p+2+\alpha \right)}{\left(4p\right)!\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)}{z}^{4p+l+i}}}+{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\overline{b_l}{b}_i\frac{\left(2p\right)!\left(4p+l\right)!\Gamma \left(4p+2+\alpha \right)\Gamma \left(4p+l-i+2+\alpha \right)}{\left(4p\right)!\left(4p+l-i\right)!\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)\Gamma \left(4p+l+2+\alpha \right)}{z}^{4p+l-i}}}]\\ ={\displaystyle \underset{l=0}{\overset{s}{\sum }}{\displaystyle \underset{i=0}{\overset{s}{\sum }}\overline{a_{2l}}{a}_{2i}\frac{\left(2p\right)!\Gamma \left(4p-2l+2+\alpha \right)}{\left(4p-2l\right)!\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)}{z}^{2p-l+i}}}+{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{s-1+q_1}{\sum }}{\displaystyle \underset{i=0}{\overset{s-1+q_1}{\sum }}\overline{a_{2l+1}}{a}_{2i+1}\frac{\left(2p\right)!\Gamma \left[4p-\left(2l+1\right)+2+\alpha \right]}{\left[4p-\left(2l+1\right)\right]!\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)}{z}^{2p-l+i}}}\\ +{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{s}{\sum }}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{t}{\sum }}\overline{a_{2l}}{b}_{2i}\frac{\left(2p\right)!\Gamma \left(4p-2l-2i+2+\alpha \right)}{\left(4p-2l-2i\right)!\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)}{z}^{2p-l-i}}}\end{array}$

$\begin{array}{l}+{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{s-1+q_1}{\sum }}{\displaystyle \underset{i=0}{\overset{t-1+q_2}{\sum }}\overline{a_{2l+1}}{b}_{2i+1}\frac{\left(2p\right)!\Gamma \left[4p-\left(2l+1\right)-\left(2i+1\right)+2+\alpha \right]}{\left[4p-\left(2l+1\right)-\left(2i+1\right)\right]!\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)}{z}^{2p-l-i-1}}}\\ +{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{t}{\sum }}{\displaystyle \underset{i=0}{\overset{s}{\sum }}\overline{b_{2l}}{a}_{2i}\frac{\left(2p\right)!\Gamma \left(4p+2+\alpha \right)}{\left(4p\right)!\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)}{z}^{2p+l+i}}}+{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{t-1\text{+}{q}_2}{\sum }}{\displaystyle \underset{i=0}{\overset{s-1+q_1}{\sum }}\overline{b_{2l+1}}{a}_{2i+1}\frac{\left(2p\right)!\Gamma \left(4p+2+\alpha \right)}{\left(4p\right)!\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)}{z}^{2p+l+i+1}}}\\ +{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{t}{\sum }}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{t}{\sum }}\overline{b_{2l}}{b}_{2i}\frac{\left(2p\right)!\left(4p+2l\right)!\Gamma \left(4p+2+\alpha \right)\Gamma \left(4p+2l-2i+2+\alpha \right)}{\left(4p\right)!\left(4p+2l-2i\right)!\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)\Gamma \left(4p+2l+2+\alpha \right)}{z}^{2p+l-i}}}\\ +{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{t-1+q_2}{\sum }}{\displaystyle \underset{i=0}{\overset{t-1+q_2}{\sum }}\overline{b_{2l+1}}{b}_{2i+1}\frac{\left(2p\right)!\left(4p+2l+1\right)!\Gamma \left(4p+2+\alpha \right)\Gamma \left(4p+2l-2i+2+\alpha \right)}{\left(4p\right)!\left(4p+2l-2i\right)!\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)\Gamma \left(4p+2l+3+\alpha \right)}{z}^{2p+l-i}}}\end{array}$ ， (6)

所以由算子 $B_{\phi }$ 的正规性和(1)式可得(5)式与(6)式相等，从而(5)式和(6)式中 $z^{2p}$ 项的系数应相等，即

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{s}{\sum }}{\left|a_{2l}\right|}^2\left[\frac{\left(l+p\right)!\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)}{\left(2p\right)!\Gamma \left(l+p+2+\alpha \right)}-\frac{\left(2p\right)!\Gamma \left(4p-2l+2+\alpha \right)}{\left(4p-2l\right)!\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)}\right]}-{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{s-1+q_1}{\sum }}{\left|a_{2l+1}\right|}^2\frac{\left(2p\right)!\Gamma \left(4p-2l+1+\alpha \right)}{\left(4p-2l-1\right)!\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)}}\\ +{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{t}{\sum }}{\left|b_{2l}\right|}^2\left\{\frac{\left(2p\right)!\left(p-l\right)!{\left[\Gamma \left(2p-2l+2+\alpha \right)\right]}^2}{{\left[\left(2p-2l\right)!\right]}^2\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)\Gamma \left(p-l+2+\alpha \right)}-\frac{\left(2p\right)!\left(4p+2l\right)!{\left[\Gamma \left(4p+2+\alpha \right)\right]}^2}{{\left[\left(4p\right)!\right]}^2\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)\Gamma \left(4p+2l+2+\alpha \right)}\right\}}\\ -{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{t-1+q_2}{\sum }}{\left|b_{2l+1}\right|}^2\frac{\left(2p\right)!\left(4p+2l+1\right)!{\left[\Gamma \left(4p+2+\alpha \right)\right]}^2}{{\left[\left(4p\right)!\right]}^2\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)\Gamma \left(4p+2l+3+\alpha \right)}}=0\end{array}$ 。

而由引理2.3可得对于任意满足 $0\le l\le s$ 的整数l，

$\frac{\left(l+p\right)!\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)}{\left(2p\right)!\Gamma \left(l+p+2+\alpha \right)}-\frac{\left(2p\right)!\Gamma \left(4p-2l+2+\alpha \right)}{\left(4p-2l\right)!\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)}<0$ ，

对于任意满足 $1\le l\le t$ 的整数l，

$\frac{\left(2p\right)!\left(p-l\right)!{\left[\Gamma \left(2p-2l+2+\alpha \right)\right]}^2}{{\left[\left(2p-2l\right)!\right]}^2\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)\Gamma \left(p-l+2+\alpha \right)}-\frac{\left(2p\right)!\left(4p+2l\right)!{\left[\Gamma \left(4p+2+\alpha \right)\right]}^2}{{\left[\left(4p\right)!\right]}^2\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)\Gamma \left(4p+2l+2+\alpha \right)}<0$ ，

且由Gamma函数的性质可得对于任意满足 $0\le l\le s$ 的整数l， $\frac{\left(2p\right)!\Gamma \left(4p-2l+1+\alpha \right)}{\left(4p-2l-1\right)!\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)}>0$ ，对于任意满足 $1\le l\le t$ 的整数l， $\frac{\left(2p\right)!\left(4p+2l+1\right)!{\left[\Gamma \left(4p+2+\alpha \right)\right]}^2}{{\left[\left(4p\right)!\right]}^2\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)\Gamma \left(4p+2l+3+\alpha \right)}>0$ ，所以可得对任意的非负整数l有 $a_l=0$ 和 $b_l=0$ ，即 $\phi \left(z\right)\equiv 0$ ， $\forall z\in D$ 。

通过本节的分析我们得到了加权Bergman空间上以有界解析函数、有界共轭解析函数和调和多项式函数为符号的斜Toeplitz算子是正规算子当且仅当其符号函数是零函数，而斜Toeplitz算子的定义显示符号函数是零函数的该类算子必是零算子，所以加权Bergman空间上以有界解析函数、有界共轭解析函数和调和多项式函数为符号的斜Toeplitz算子中仅有零算子是正规算子，这与 $L^2\left(T\right)$ 空间和Hardy空间 $H^2\left(T\right)$ 上的结论类似。

3. 斜Toeplitz算子的亚正规性

由正规性和亚正规性的定义可以看出正规算子必定是亚正规算子，但反之不一定成立。而由上面的讨论我们发现带有特殊调和符号的斜Toeplitz算子是正规算子当且仅当该算子的符号函数是零函数，即该算子是零算子，那么人们自然地会考虑：亚正规的斜Toeplitz算子具有什么性质？亚正规的斜Toeplitz算子是否是正规的？本节主要讨论带有特殊调和符号的亚正规斜Toeplitz算子的性质，得到以下结论。

对任意的 $\phi \in L^{\infty }\left(D\right)$ ，若算子 $B_{\phi }$ 是亚正规的，那么由定义可得算子 $B_{\phi }$ 应满足对任意的 $f\in A_{\alpha }^2\left(D\right)$ ，

${\Vert B_{\phi }f\Vert }^2\ge {\Vert B_{\phi }^{\ast }f\Vert }^2$ ， $\beta \in N$ 。 (7)

由于(7)式两端的量随着符号函数 $\phi$ 的不同而发生变化，所以这里将按照符号函数 $\phi$ 的不同展开讨论。

定理3.1如果函数 $\phi \in H^{\infty }\left(D\right)$ 且 $W\left(\phi z^r\right)$ 是一个多项式函数，这里r是满足 $0\le r\le 1$ 的整数，那么算子 $B_{\phi }$ 是亚正规的当且仅当函数 $\phi$ 恒等于零。

证明由于 $\phi \in H^{\infty }\left(D\right)$ ，那么可设 $\phi \left(z\right)={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_n{z}^n}$ 。既然对满足 $0\le r\le 1$ 的整数r， $W\left(\phi z^r\right)$ 是一个多项式，则下面将根据函数 $\phi$ 的性质以及(7)式展开以下讨论。

若 $r=0$ ，即 $W\left(\phi \right)$ 是一个多项式，那么不妨设 $W\left(\phi \right)={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{m}{\sum }}{a}_{2n}{z}^n}$ ，这里m是非负整数。现取(7)式中的函数 $f\left(z\right)=z^{2\beta }$ ，这里 $\beta$ 是大于m的任意正整数，那么可得

$B_{\phi }\left(z^{2\beta }\right)=W{T}_{\phi }\left(z^{2\beta }\right)=W\left({\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_n{z}^{n+2\beta }}\right)={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{m}{\sum }}{a}_{2n}{z}^{n+\beta }}$ ，

$B_{\phi }^{\ast }\left(z^{2\beta }\right)=T_{\bar{\phi }}\left[\frac{\left(2\beta \right)!\Gamma \left(4\beta +2+\alpha \right)}{\left(4\beta \right)!\Gamma \left(2\beta +2+\alpha \right)}{z}^{4\beta }\right]={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{4\beta }{\sum }}\overline{a_n}}\frac{\left(2\beta \right)!\Gamma \left(4\beta -n+2+\alpha \right)}{\left(4\beta -n\right)!\Gamma \left(2\beta +2+\alpha \right)}{z}^{4\beta -n}$ ，

从而可得

${\Vert B_{\phi }\left(z^{2\beta }\right)\Vert }^2={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{m}{\sum }}\frac{\left(n+\beta \right)!\Gamma \left(2+\alpha \right)}{\Gamma \left(n+\beta +2+\alpha \right)}{\left|a_{2n}\right|}^2}$ ， ${\Vert B_{\phi }^{\ast }\left(z^{2\beta }\right)\Vert }^2={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{4\beta }{\sum }}\frac{{\left[\left(2\beta \right)!\right]}^2\Gamma \left(4\beta -n+2+\alpha \right)\Gamma \left(2+\alpha \right)}{\left(4\beta -n\right)!{\left[\Gamma \left(2\beta +2+\alpha \right)\right]}^2}}{\left|a_n\right|}^2$ 。

于是由(7)式可得

${\displaystyle \underset{n=0}{\overset{m}{\sum }}\frac{\left(n+\beta \right)!\Gamma \left(2+\alpha \right)}{\Gamma \left(n+\beta +2+\alpha \right)}{\left|a_{2n}\right|}^2}\ge {\displaystyle \underset{n=0}{\overset{4\beta }{\sum }}\frac{{\left[\left(2\beta \right)!\right]}^2\Gamma \left(4\beta -n+2+\alpha \right)\Gamma \left(2+\alpha \right)}{\left(4\beta -n\right)!{\left[\Gamma \left(2\beta +2+\alpha \right)\right]}^2}}{\left|a_n\right|}^2$ ，

而 $W\left(\phi \right)={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{m}{\sum }}{a}_{2n}{z}^n}$ ，所以上式等价于

${\displaystyle \underset{n=0}{\overset{m}{\sum }}\left\{\frac{{\left[\left(2\beta \right)!\right]}^2\Gamma \left(4\beta -2n+2+\alpha \right)}{\left(4\beta -2n\right)!{\left[\Gamma \left(2\beta +2+\alpha \right)\right]}^2}-\frac{\left(n+\beta \right)!}{\Gamma \left(n+\beta +2+\alpha \right)}\right\}}{\left|a_{2n}\right|}^2+{\displaystyle \underset{n=0}{\overset{2\beta -1}{\sum }}\frac{{\left[\left(2\beta \right)!\right]}^2\Gamma \left(4\beta -2n+\text{1}+\alpha \right)}{\left(4\beta -2n-1\right)!{\left[\Gamma \left(2\beta +2+\alpha \right)\right]}^2}}{\left|a_{2n+1}\right|}^2\le 0$ 。

而由引理2.3知 $\frac{{\left[\left(2\beta \right)!\right]}^2\Gamma \left(4\beta -2n+2+\alpha \right)}{\left(4\beta -2n\right)!{\left[\Gamma \left(2\beta +2+\alpha \right)\right]}^2}-\frac{\left(n+\beta \right)!}{\Gamma \left(n+\beta +2+\alpha \right)}>0$ ，所以可得对任意满足 $\beta >m$ 的 $\beta$ ，若 $0\le n\le 4\beta$ ， $a_n=0$ 。于是由 $\beta$ 的任意性可得对任意的非负整数n， $a_n=0$ ，即得函数 $\phi \equiv \text{0}$ 。

若 $r=1$ ，即 $W\left(\phi z\right)$ 是一个多项式，那么不妨设 $W\left(\phi \right)={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{m}{\sum }}{a}_{2n+1}{z}^{n+1}}$ ，这里m是非负整数。现取(7)式中的函数 $f\left(z\right)=z^{2\beta +1}$ ，这里 $\beta$ 是大于m的任意正整数，则由算子 $B_{\phi }$ 及其共轭算子的定义可得

$B_{\phi }\left(z^{2\beta +1}\right)=W\left({\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_n{z}^{n+2\beta +1}}\right)={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{m}{\sum }}{a}_{2n+1}{z}^{n+\beta +1}}$ ，

$B_{\phi }^{\ast }\left(z^{2\beta +1}\right)=T_{\bar{\phi }}{W}^{\ast }\left(z^{2\beta +1}\right)=T_{\bar{\phi }}\left[\frac{\left(2\beta +1\right)!\Gamma \left(4\beta +4+\alpha \right)}{\left(4\beta +2\right)!\Gamma \left(2\beta +3+\alpha \right)}{z}^{4\beta +2}\right]={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{4\beta +2}{\sum }}\overline{a_n}}\frac{\left(2\beta +1\right)!\Gamma \left(4\beta -n+4+\alpha \right)}{\left(4\beta -n+2\right)!\Gamma \left(2\beta +3+\alpha \right)}{z}^{4\beta -n+2}$ ，

从而可得

${\Vert B_{\phi }\left(z^{2\beta +1}\right)\Vert }^2={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{m}{\sum }}\frac{\left(n+\beta +1\right)!\Gamma \left(2+\alpha \right)}{\Gamma \left(n+\beta +3+\alpha \right)}{\left|a_{2n+1}\right|}^2}$ ， ${\Vert B_{\phi }^{\ast }\left(z^{2\beta +1}\right)\Vert }^2={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{4\beta +2}{\sum }}\frac{{\left[\left(2\beta +1\right)!\right]}^2\Gamma \left(4\beta -n+4+\alpha \right)\Gamma \left(2+\alpha \right)}{\left(4\beta -n+2\right)!{\left[\Gamma \left(2\beta +3+\alpha \right)\right]}^2}}{\left|a_n\right|}^2$ 。

于是由(7)式可得

${\displaystyle \underset{n=0}{\overset{m}{\sum }}\frac{\left(n+\beta \right)!}{\Gamma \left(n+\beta +2+\alpha \right)}{\left|a_{2n+r}\right|}^2}\ge {\displaystyle \underset{n=0}{\overset{4\beta +2}{\sum }}\frac{{\left[\left(2\beta \right)!\right]}^2\Gamma \left(4\beta -n+4+\alpha \right)}{\left(4\beta -n+2\right)!{\left[\Gamma \left(2\beta +3+\alpha \right)\right]}^2}}{\left|a_n\right|}^2$ ，

而 $W\left(\phi \right)={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{m}{\sum }}{a}_{2n+1}{z}^{n+1}}$ ，所以上式等价于

${\displaystyle \underset{n=0}{\overset{m}{\sum }}\left\{\frac{{\left[\left(2\beta +1\right)!\right]}^2\Gamma \left[4\beta -2n+3+\alpha \right]}{\left(4\beta -2n+1\right)!{\left[\Gamma \left(2\beta +3+\alpha \right)\right]}^2}-\frac{\left(n+\beta +1\right)!}{\Gamma \left(n+\beta +3+\alpha \right)}\right\}}{\left|a_{2n+1}\right|}^2+{\displaystyle \underset{n=0}{\overset{2\beta +1}{\sum }}\frac{{\left[\left(2\beta +1\right)!\right]}^2\Gamma \left(4\beta -2n+4+\alpha \right)}{\left(4\beta -2n+2\right)!{\left[\Gamma \left(2\beta +3+\alpha \right)\right]}^2}}{\left|a_{2n}\right|}^2\le 0$ 。

又由引理2.3知 $\frac{{\left[\left(2\beta +1\right)!\right]}^2\Gamma \left[4\beta -2n+\text{3}+\alpha \right]}{\left(4\beta -2n+\text{1}\right)!{\left[\Gamma \left(2\beta +3+\alpha \right)\right]}^2}-\frac{\left(n+\beta +1\right)!}{\Gamma \left(n+\beta +3+\alpha \right)}>0$ ，所以可得对任意满足 $\beta >m$ 的 $\beta$ ，若 $0\le n\le 2\beta +2$ ， $a_n=0$ 。于是由 $\beta$ 的任意性可得对任意的非负整数n， $a_n=0$ ，即得函数 $\phi \equiv \text{0}$ 。

反之，若函数 $\phi$ 恒等于零，那么显然可得算子 $B_{\phi }$ 是亚正规的。

定理3.2 如果函数 $\phi$ 的共轭函数 $\bar{\phi }\in H^{\infty }\left(D\right)$ ，那么算子 $B_{\phi }$ 是亚正规的当且仅当函数 $\phi$ 恒等于零。

证明若 $B_{\phi }$ 是亚正规的，现取(7)式中得函数 $f\left(z\right)=z^0$ ，那么由算子 $B_{\phi }$ 及其共轭算子的定义可得

$B_{\phi }{z}^0=W{T}_{\phi }\left(z^0\right)=W\left(a_0{z}^0\right)=a_0$ ， $B_{\phi }^{\ast }{z}^0=T_{\bar{\phi }}{W}^{\ast }\left(z^0\right)=T_{\bar{\phi }}{z}^0={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\overline{a_n}{z}^n}$ ，

从而可得 ${\Vert B_{\phi }f\Vert }^{\text{2}}={\left|a_0\right|}^2$ ， ${\Vert B_{\phi }^{\ast }f\Vert }^{\text{2}}={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{n!\Gamma \left(2+\alpha \right)}{\Gamma \left(n+2+\alpha \right)}{\left|a_n\right|}^2}$ ，于是由(7)式可得 ${\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{n!\Gamma \left(2+\alpha \right)}{\Gamma \left(n+2+\alpha \right)}{\left|a_n\right|}^2}\le {\left|a_0\right|}^2$ ，即 ${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{n!\Gamma \left(2+\alpha \right)}{\Gamma \left(n+2+\alpha \right)}{\left|a_n\right|}^2}\le 0$ 。而显然 ${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{n!\Gamma \left(2+\alpha \right)}{\Gamma \left(n+2+\alpha \right)}{\left|a_n\right|}^2}\ge 0$ ，所以 ${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{n!\Gamma \left(2+\alpha \right)}{\Gamma \left(n+2+\alpha \right)}{\left|a_n\right|}^2}=0$ ，从而对所有的正整数n， $a_n=0$ ，于是可得 $\phi \left(z\right)=a_0$ .又因为常值函数也是解析函数，所以由定理3.1可得函数 $\phi \equiv 0$ 。

反之，若函数 $\phi \equiv 0$ ，则显然可得 $B_{\phi }$ 是亚正规的。

定理3.3如果函数 $\phi \left(z\right)={\displaystyle \underset{l=0}{\overset{m}{\sum }}{a}_l{z}^l}+{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{n}{\sum }}{b}_l{\bar{z}}^l}\in L^{\infty }\left(D\right)$ ，其中m和n均是正整数，那么算子 $B_{\phi }$ 是亚正规的当且仅当函数 $\phi$ 恒等于零。

证明既然m和n都是非负整数，不妨设 $m=2s+q_1$ ， $n=2t+q_2$ ，其中 $s,t,q_1,q_2$ 是非负整数且 $q_1\le 1$ ， $q_2\le 1$ 。如果算子 $B_{\phi }$ 是亚正规的，那么由(7)式中f的任意性，不妨取 $f\left(z\right)=z^{\text{2}p}$ ， $p=s+t+q\ge 0$ ， $q=\max \left\{q_1,q_2\right\}$ ，则由算子 $B_{\phi }$ 及其共轭算子的定义计算可得

$B_{\phi }f={\displaystyle \underset{l=0}{\overset{s}{\sum }}{a}_{2l}{z}^{l+p}}+{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{t}{\sum }}{b}_{2l}\frac{\left(2p\right)!\Gamma \left(2p-2l+2+\alpha \right)}{\left(2p-2l\right)!\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)}{z}^{p-l}}$ ，

$B_{\phi }^{\ast }f={\displaystyle \underset{l=0}{\overset{m}{\sum }}\overline{a_l}\frac{\left(2p\right)!\Gamma \left(4p-l+2+\alpha \right)}{\left(4p-l\right)!\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)}{z}^{4p-l}}+{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{n}{\sum }}\overline{b_l}\frac{\left(2p\right)!\Gamma \left(4p+2+\alpha \right)}{\left(4p\right)!\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)}{z}^{4p+l}}$ ，

从而可得

${\Vert B_{\phi }f\Vert }^2={\displaystyle \underset{l=0}{\overset{s}{\sum }}{\left|a_{2l}\right|}^2\frac{\left(l+p\right)!\Gamma \left(2+\alpha \right)}{\Gamma \left(l+p+2+\alpha \right)}}+{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{t}{\sum }}{\left|b_{2l}\right|}^2\frac{{\left[\left(2p\right)!\right]}^2\left(p-l\right)!{\left[\Gamma \left(2p-2l+2+\alpha \right)\right]}^2\Gamma \left(2+\alpha \right)}{{\left[\left(2p-2l\right)!\right]}^2{\left[\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)\right]}^2\Gamma \left(p-l+2+\alpha \right)}}$ ，

${\Vert B_{\phi }^{\ast }f\Vert }^2={\displaystyle \underset{l=0}{\overset{m}{\sum }}{\left|a_l\right|}^2\frac{{\left[\left(2p\right)!\right]}^2\Gamma \left(4p-l+2+\alpha \right)\Gamma \left(2+\alpha \right)}{\left(4p-l\right)!{\left[\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)\right]}^2}}+{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{n}{\sum }}{\left|b_l\right|}^2\frac{{\left[\left(2p\right)!\right]}^2\left(4p+l\right)!{\left[\Gamma \left(4p+2+\alpha \right)\right]}^2\Gamma \left(2+\alpha \right)}{{\left[\left(4p\right)!\right]}^2{\left[\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)\right]}^2\Gamma \left(4p+l+2+\alpha \right)}}$ ，

于是由(7)式可得

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{s}{\sum }}{\left|a_{2l}\right|}^2\left\{\frac{\left(l+p\right)!}{\Gamma \left(l+p+2+\alpha \right)}-\frac{{\left[\left(2p\right)!\right]}^2\Gamma \left(4p-2l+2+\alpha \right)}{\left(4p-2l\right)!{\left[\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)\right]}^2}\right\}}-{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{s-1+q_1}{\sum }}{\left|a_{2l+1}\right|}^2\frac{{\left[\left(2p\right)!\right]}^2\Gamma \left(4p-2l+1+\alpha \right)}{\left(4p-2l-1\right)!{\left[\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)\right]}^2}}\\ +{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{t}{\sum }}{\left|b_{2l}\right|}^2\{\frac{{\left[\left(2p\right)!\right]}^2\left(p-l\right)!{\left[\Gamma \left(2p-2l+2+\alpha \right)\right]}^2}{{\left[\left(2p-2l\right)!\right]}^2{\left[\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)\right]}^2\Gamma \left(p-l+2+\alpha \right)}}-\frac{{\left[\left(2p\right)!\right]}^2\left(4p+2l\right)!{\left[\Gamma \left(4p+2+\alpha \right)\right]}^2}{{\left[\left(4p\right)!\right]}^2{\left[\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)\right]}^2\Gamma \left(4p+2l+2+\alpha \right)}\}\\ -{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{t-1+q_2}{\sum }}{\left|b_{2l+1}\right|}^2\frac{{\left[\left(2p\right)!\right]}^2\left(4p+2l+1\right)!{\left[\Gamma \left(4p+2+\alpha \right)\right]}^2}{{\left[\left(4p\right)!\right]}^2{\left[\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)\right]}^2\Gamma \left(4p+2l+3+\alpha \right)}}\ge 0\end{array}$ 。(8)

而由引理2.3可得对任意满足 $0\le l\le s$ 的l，

$\frac{\left(l+p\right)!}{\Gamma \left(l+p+2+\alpha \right)}-\frac{{\left[\left(2p\right)!\right]}^2\Gamma \left(4p-2l+2+\alpha \right)}{\left(4p-2l\right)!{\left[\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)\right]}^2}<0$ ，

对任意满足 $1\le l\le t$ 的l，

$\frac{{\left[\left(2p\right)!\right]}^2\left(p-l\right)!{\left[\Gamma \left(2p-2l+2+\alpha \right)\right]}^2}{{\left[\left(2p-2l\right)!\right]}^2{\left[\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)\right]}^2\Gamma \left(p-l+2+\alpha \right)}-\frac{{\left[\left(2p\right)!\right]}^2\left(4p+2l\right)!{\left[\Gamma \left(4p+2+\alpha \right)\right]}^2}{{\left[\left(4p\right)!\right]}^2{\left[\Gamma \left(2p+2+\alpha \right)\right]}^2\Gamma \left(4p+2l+2+\alpha \right)}<0$ ，

所以(8)式左端的式子小于等于0，从而可得(8)式左端等于0，于是可得 $a_l=0$ ， $b_j=0$ ，其中 $l=0,1,\cdots ,m$ ， $j=1,2,\cdots ,n$ ，即可得函数 $\phi \equiv 0$ 。

反之，若函数 $\phi$ 恒等于零，则显然可得算子 $B_{\phi }$ 是亚正规的。

通过本节的分析我们得到了加权Bergman空间上以特殊有界解析函数、有界共轭解析函数和调和多项式函数为符号的斜Toeplitz算子是亚正规算子当且仅当其符号函数是零函数，而斜Toeplitz算子的定义显示符号函数是零函数的该类算子必是零算子，所以加权Bergman空间上以特殊有界解析函数、有界共轭解析函数和调和多项式函数为符号的斜Toeplitz算子中仅有零算子是亚正规算子，这与 $L^2\left(T\right)$ 空间和Hardy空间 $H^2\left(T\right)$ 上的结论类似。此外，结合上一节的分析显然可得加权Bergman空间上以特殊有界解析函数、有界共轭解析函数和调和多项式函数为符号的斜Toeplitz算子是亚正规算子当且仅当该算子是正规算子，且该算子只能是零算子。

4. 总结

本文运用函数论和Gamma函数的性质研究了单位圆盘的Bergman空间上带有调和符号斜Toeplitz算子的正规性和亚正规性，得到了分别以有界解析函数、共轭解析函数和调和多项式函数为符号的斜Toeplitz算子是正规算子或亚正规算子的充分必要条件，所得结论具有原创性和创新性。今后，我们将根据空间 $L^2\left(D\right)$ 的正交分解、Mellin变换和矩阵理论对带有更一般符号的斜Toeplitz算子的正规性和亚正规性展开深入的探讨。

基金项目

国家自然科学基金项目(No: 11301046)；辽宁省教育厅科学研究经费项目(JDL2019026)。