双偶数阶幻方构造规律的矩阵化

Matrix of Construction Law of Magic Squares of Double Even Order

摘要: 以和幻方的定义及性质为基础，利用矩阵化解决双偶数阶(4n阶)幻方，通过分块矩阵的运算，给出双偶数阶幻方构造的通法。

Abstract: Based on the definition and properties of sum magic squares, the paper solves the magic squares of double even order (4n order) by matrix, and gives the general method of constructing magic squares of double even order by the operation of block matrix.

1. 引言

幻方是我国先祖最早发现的一个著名组合算题，现如今，幻方仍然是组合数学的研究课题之一，文献 [1] - [10] 是关于幻方的研究成果。将矩阵和幻方结合起来，主要研究双偶数阶幻方的构造规律，给出一种矩阵化方法构造幻方，利用矩阵的各类运算解决幻方难题。文献 [11] [12] [13] 系统地介绍了现代矩阵理论与应用的基本内容。

2. 预备知识

定义1： [1] 设F是数域，如果矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{m\times m}\in F^{m\times m}$ 满足

$\begin{array}{l}A\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{E}_{i1}\left(m,1\right)}\right)=S_r\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{E}_{j1}\left(m,1\right)}\right),\\ \left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{E}_{1i}\left(1,m\right)}\right)A=S_c\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{E}_{1j}\left(1,m\right)}\right),\\ S_r=S_c=S.\end{array}$

则称矩阵A为数域F上的m阶弱和幻方，并称S为m阶弱和幻方A的幻和。

定义2： [1] 设F是数域，如果矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{m\times m}\in F^{m\times m}$ 满足

$\begin{array}{l}A\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{E}_{i1}\left(m,1\right)}\right)=S_r\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{E}_{j1}\left(m,1\right)}\right),\\ \left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{E}_{1i}\left(1,m\right)}\right)A=S_c\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{E}_{1j}\left(1,m\right)}\right),\\ S_r=S_c=S,\\ {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{E}_{1i}\left(1,m\right)A{E}_{i1}\left(m,1\right)}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{E}_{1i}\left(1,m\right)A{E}_{m+1-i,1}\left(m,1\right)}=S.\end{array}$

则称矩阵A为数域F上的m阶和幻方，并称S为m阶和幻方A的幻和。

定义3： [1] 设F是数域，如果矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{m\times m}\in F^{m\times m}$ 满足

$\begin{array}{l}A\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{E}_{i1}\left(m,1\right)}\right)=S_r\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{E}_{j1}\left(m,1\right)}\right),\\ \left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{E}_{1i}\left(1,m\right)}\right)A=S_c\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{E}_{1j}\left(1,m\right)}\right),\\ S_r=S_c=S,\\ {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{E}_{1i}\left(1,m\right)A{E}_{i1}\left(m,1\right)}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{E}_{1i}\left(1,m\right)A{E}_{m+1-i,1}\left(m,1\right)}=S,\\ a_{ij}\ne a_{kl}\left(i\ne k或j\ne l,i,j,k,l=1,2,\cdots ,m\right).\end{array}$

则称矩阵A为数域F上的m阶异元和幻方，并称S为m阶异元和幻方A的幻和。

定义4： [1] 设F是数域，如果矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{m\times m}\in {\left\{1,2,\cdots ,m^2\right\}}^{m\times m}$ 满足

$\begin{array}{l}A\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{E}_{i1}\left(m,1\right)}\right)=S_r\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{E}_{j1}\left(m,1\right)}\right),\\ \left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{E}_{1i}\left(1,m\right)}\right)A=S_c\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{E}_{1j}\left(1,m\right)}\right),\\ S_r=S_c=S,\\ {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{E}_{1i}\left(1,m\right)A{E}_{i1}\left(m,1\right)}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{E}_{1i}\left(1,m\right)A{E}_{m+1-i,1}\left(m,1\right)}=S,\\ a_{ij}\ne a_{kl}\left(i\ne k或j\ne l,i,j,k,l=1,2,\cdots ,m\right).\end{array}$

则称矩阵A为数域F上的m阶始元和幻方，并称S为m阶始元和幻方A的幻和。

定义5： [1] 设F是数域，如果矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{m\times m}\in {\left\{a+1,a+2,\cdots ,a+m^2\right\}}^{m\times m}$ 满足

$\begin{array}{l}A\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{E}_{i1}\left(m,1\right)}\right)=S_r\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{E}_{j1}\left(m,1\right)}\right),\\ \left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{E}_{1i}\left(1,m\right)}\right)A=S_c\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{E}_{1j}\left(1,m\right)}\right),\\ S_r=S_c=S,\\ {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{E}_{1i}\left(1,m\right)A{E}_{i1}\left(m,1\right)}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{E}_{1i}\left(1,m\right)A{E}_{m+1-i,1}\left(m,1\right)}=S,\\ a_{ij}\ne a_{kl}\left(i\ne k或j\ne l,i,j,k,l=1,2,\cdots ,m\right).\end{array}$

则称矩阵A为数域F上的m阶连元和幻方，并称S为m阶连元和幻方A的幻和。

3. 主要结果

将双偶数阶幻方用矩阵化方法表示出来，利用矩阵的运算解决双偶数阶幻方问题。

规定 $A_{pq}$ 表示矩阵A中第p行q列的分块矩阵， $A_{pq}\left(i_p,j_q\right)$ 表示矩阵A中第p行q列的分块矩阵的第 $i_p$ 行 $j_q$ 列。

定理1：首先构造4n阶矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{4n\times 4n}$ ，其中 $a_{ij}=4n\left(i-1\right)+j$ ， $i,j=1,2,\cdots ,4n$ ，然后将矩阵A分为 $n^2$ 块，每块为4行4列的分块矩阵，即

$A=\left[\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& \cdots & A_{1n}\\ A_{21}& A_{22}& \cdots & A_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{n1}& A_{n2}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right]$

$i_p,j_q=1,2,3,4,p,q=1,2,\cdots ,n$ ，

接着设4n阶矩阵 $B={\left(b_{ij}\right)}_{4n\times 4n},C={\left(c_{ij}\right)}_{4n\times 4n}$ ，同样将矩阵B、C分为 $n^2$ 块，每块为4行4列的分块矩阵，其中

$B_{pq}\left(i_p,j_q\right)=\{\begin{array}{l}{A}_{pq}\left(i_p,j_q\right),i_p\ne j_q且i_p+j_q\ne n+1\\ 0,其它\end{array},i_p,j_q=1,2,3,4,p,q=1,2,\cdots ,n$

$C_{pq}\left(i_p,j_q\right)=\{\begin{array}{l}{A}_{pq}\left(5-i_p,5-j_q\right),i_p=j_q或i_p+j_q=n+1\\ 0,其它\end{array},i_p,j_q=1,2,3,4,p,q=1,2,\cdots ,n$

然后令

$F=\left[\begin{array}{cccc}{B}_{11}& B_{12}& \cdots & B_{1n}\\ B_{21}& B_{22}& \cdots & B_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ B_{n1}& B_{n2}& \cdots & B_{nn}\end{array}\right]$ ， $G=\left[\begin{array}{cccc}{C}_{nn}& C_{n\left(n-1\right)}& \cdots & C_{n1}\\ C_{\left(n-1\right)n}& C_{\left(n-1\right)\left(n-1\right)}& \cdots & C_{\left(n-1\right)1}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ C_{1n}& C_1{}_{\left(n-1\right)}& \cdots & C_{11}\end{array}\right]$

则矩阵H = F + G即为通过矩阵化方法构造得出的4n阶始元和幻方。

证明：要证明矩阵H为和幻方，则需证明矩阵H的每行每列及对角线的和均相等，由于双偶数阶和幻方是利用 $n\times n$ 个同型的分块矩阵构造得来，所以要想证明矩阵H每行每列和相等，只需要证明每一个分块矩阵为弱和幻方即可，且矩阵H的行和列和为n倍的弱和幻方的幻和。

$H=F+G=\left[\begin{array}{cccc}{B}_{11}+C_{nn}& B_{12}+C_{n\left(n-1\right)}& \cdots & B_{1n}+C_{n1}\\ B_{21}+C_{\left(n-1\right)n}& B_{22}+C_{\left(n-1\right)\left(n-1\right)}& \cdots & B_{2n}+C_{\left(n-1\right)1}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ B_{n1}+C_{1n}& B_{n2}+C_1{}_{\left(n-1\right)}& \cdots & B_{nn}+C_{11}\end{array}\right]$

所以

$H_{pq}\left(i_p,j_q\right)=B_{pq}\left(i_p,j_q\right)+C_{\left(n+1-p\right)\times \left(n+1-q\right)}\left(i_p,j_q\right)$

其中

$B_{pq}\left(i_p,j_q\right)=\left[\begin{array}{cccc}0& a_{4\left(p-1\right)+1,4\left(q-1\right)+2}& a_{4\left(p-1\right)+1,4\left(q-1\right)+3}& 0\\ a_{4\left(p-1\right)+2,4\left(q-1\right)+1}& 0& 0& a_{4\left(p-1\right)+2,4\left(q-1\right)+4}\\ a_{4\left(p-1\right)+3,4\left(q-1\right)+1}& 0& 0& a_{4\left(p-1\right)+3,4\left(q-1\right)+4}\\ 0& a_{4\left(p-1\right)+4,4\left(q-1\right)+2}& a_{4\left(p-1\right)+4,4\left(q-1\right)+3}& 0\end{array}\right]$ ，

$C_{\left(n+1-p\right)\times \left(n+1-q\right)}\left(i_p,j_q\right)=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{4\left(n-p\right)+4,4\left(n-q\right)+4}& 0& 0& a_{4\left(n-p\right)+4,4\left(n-q\right)+1}\\ 0& a_{4\left(n-p\right)+3,4\left(n-q\right)+3}& a_{4\left(n-p\right)+3,4\left(n-q\right)+2}& 0\\ 0& a_{4\left(n-p\right)+2,4\left(n-q\right)+3}& a_{4\left(n-p\right)+2,4\left(n-q\right)+2}& 0\\ a_{4\left(n-p\right)+1,4\left(n-q\right)+4}& 0& 0& a_{4\left(n-p\right)+1,4\left(n-q\right)+1}\end{array}\right]$

所以

$\begin{array}{c}{H}_{pq}\left(i_p,j_q\right)=\left[\begin{array}{cccc}{h}_{4\left(p-1\right)+1,4\left(q-1\right)+1}& h_{4\left(p-1\right)+1,4\left(q-1\right)+2}& h_{4\left(p-1\right)+1,4\left(q-1\right)+3}& h_{4\left(p-1\right)+1,4\left(q-1\right)+4}\\ h_{4\left(p-1\right)+2,4\left(q-1\right)+1}& h_{4\left(p-1\right)+2,4\left(q-1\right)+2}& h_{4\left(p-1\right)+2,4\left(q-1\right)+3}& h_{4\left(p-1\right)+2,4\left(q-1\right)+4}\\ h_{4\left(p-1\right)+3,4\left(q-1\right)+1}& h_{4\left(p-1\right)+3,4\left(q-1\right)+2}& h_{4\left(p-1\right)+3,4\left(q-1\right)+3}& h_{4\left(p-1\right)+3,4\left(q-1\right)+4}\\ h_{4\left(p-1\right)+4,4\left(q-1\right)+1}& h_{4\left(p-1\right)+4,4\left(q-1\right)+2}& h_{4\left(p-1\right)+4,4\left(q-1\right)+3}& h_{4\left(p-1\right)+4,4\left(q-1\right)+4}\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{cccc}{a}_{4\left(n-p\right)+4,4\left(n-q\right)+4}& a_{4\left(p-1\right)+1,4\left(q-1\right)+2}& a_{4\left(p-1\right)+1,4\left(q-1\right)+3}& a_{4\left(n-p\right)+4,4\left(n-q\right)+1}\\ a_{4\left(p-1\right)+2,4\left(q-1\right)+1}& a_{4\left(n-p\right)+3,4\left(n-q\right)+3}& a_{4\left(n-p\right)+3,4\left(n-q\right)+2}& a_{4\left(p-1\right)+2,4\left(q-1\right)+4}\\ a_{4\left(p-1\right)+3,4\left(q-1\right)+1}& a_{4\left(n-p\right)+2,4\left(n-q\right)+3}& a_{4\left(n-p\right)+2,4\left(n-q\right)+2}& a_{4\left(p-1\right)+3,4\left(q-1\right)+4}\\ a_{4\left(n-p\right)+1,4\left(n-q\right)+4}& a_{4\left(p-1\right)+4,4\left(q-1\right)+2}& a_{4\left(p-1\right)+4,4\left(q-1\right)+3}& a_{4\left(n-p\right)+1,4\left(n-q\right)+1}\end{array}\right]\end{array}$

1) 行和、列和

分块矩阵的行和：

$S{r}_{pq}={\displaystyle \underset{j_p=1}{\overset{4}{\sum }}{h}_{4\left(p-1\right)+i_p,4\left(q-1\right)+j_q},i_p}=1,2,3,4,p,q=1,2,\cdots ,n$

代入 $a_{ij}=4n\left(i-1\right)+j$ 中可得 $S{r}_{pq}=32n^2+2$

分块矩阵的列和：

$S{c}_{pq}={\displaystyle \underset{i_p=1}{\overset{4}{\sum }}{h}_{4\left(p-1\right)+i_p,4\left(q-1\right)+j_q},j_p}=1,2,3,4,p,q=1,2,\cdots ,n$

代入 $a_{ij}=4n\left(i-1\right)+j$ 中可得 $S{c}_{pq}=32n^2+2$

$S{r}_{pq}=S{c}_{pq}=32n^2+2$

所以每一个分块矩阵都为弱和幻方，则矩阵H的行和、列和分别为：

$S_r=n\cdot S{r}_{pq}=32n^3+2n$

$S_c=n\cdot S{c}_{pq}=32n^3+2n$

2) 主对角线和

D中的主对角线元素即为A中的主对角线元素，即

$\begin{array}{c}{S}_{md}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{4n}{\sum }}{a}_{ii}}=1+\left(4n+2\right)+\left(2\cdot 4n+3\right)+\left(3\cdot 4n+4\right)+\cdots +\left(\left(4n-1\right)\cdot 4n+4n\right)\\ =\left(1\cdot 4n+2\cdot 4n+3\cdot 4n+\cdots +\left(4n-1\right)\cdot 4n\right)+\left(1+2+\cdots +4n\right)\\ =32n^3+2n\end{array}$

3) 副对角线和

D中的副对角线元素即为A中的副对角线元素，即

$\begin{array}{c}{S}_{cd}={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{4n}{\sum }}{a}_{4n+1-j,j}}=\left(\left(4n-1\right)\cdot 4n+1\right)+\left(\left(4n-2\right)\cdot 4n+2\right)+\cdots +\left(4n+\left(4n-1\right)\right)+4n\\ =\left(\left(4n-1\right)\cdot 4n+\left(4n-2\right)\cdot 4n+\cdots +1\cdot 4n\right)+\left(1+2+\cdots +\left(4n-1\right)+4n\right)\\ =32n^3+2n\end{array}$

4) $S=S_r=S_c=S_{md}=S_{cd}=32n^3+2n$

即得证矩阵D为4n阶(双偶数阶)始元幻方， $S=32n^3+2n$ 为幻和。

根据矩阵性质可知，有以下推论成立。

推论1：如果一个4n阶矩阵H是一个始元和幻方，则 $H^{\text{T}}$ 也是一个始元和幻方。

证明：矩阵H的第i行第j列元素就是 $H^{\text{T}}$ 的第j行第i列元素，即有 ${\left[H\right]}_{ij}={\left[H^{\text{T}}\right]}_{ji}$ ，通过矩阵的转置未改变幻方中的元素，所以幻方 $H^{\text{T}}$ 中的元素必然是 $1~{\left(4n\right)}^2$ 中的两两互不相同的数。由于矩阵的转置只是做了元素交换，未改变原有幻方的每一行及每一列的和，只是把行和列进行了交换，所以 $H^{\text{T}}$ 中的元素必然有 $S_r=S_c=S_{md}=S_{cd}=32n^3+2n$ ，所以 $H^{\text{T}}$ 也是一个始元和幻方，幻和为 $32n^3+2n$ 。

推论2：如果一个4n阶矩阵H是一个始元和幻方， $A={\left(a\right)}_{\left(4n\right)\times \left(4n\right)},a\in N^{*}$ ，则 $A+H$ 是一个连元和幻方。

证明：由于H是一个始元和幻方，则H中元素两两互不相等，所以 $A+H$ 中的元素必然两两互不相等；又由于 $A+H$ 只是给矩阵中每个元素加一个数a，所以 $A+H$ 的每一行及每一列的和都比原有幻方的大 $a\left(4n\right)$ ， $A+H$ 中的元素必然有 $S_r=S_c=S_{md}=S_{cd}=32n^3+2n+a\cdot 4n$ ，所以 $A+H$ 是一个连元和幻方，幻和为 $32n^3+2n+a\cdot 4n$ 。

推论3：如果一个4n阶矩阵H是一个始元和幻方，则aH是一个异元和幻方( $a\in N^{*}$ )。

证明：由于H是一个始元和幻方，则H中元素两两互不相等，所以aH中的元素必然两两互不相等；又由于aH只是给矩阵中每个元素乘以一个数a，所以aH的每一行及每一列的和都是原有幻方的a倍，aH中的元素必然有 $S_r=S_c=S_{md}=S_{cd}=a\left(32n^3+2n\right)$ ，所以aH是一个异元和幻方，幻和为 $a\left(32n^3+2n\right)$ 。

4. 小结

文章给出了一种双偶数阶(4n阶)幻方的构造方法，首先对构造好的矩阵A进行分块，根据A中的分块矩阵来构造矩阵B、C，然后分别利用B、C中的分块矩阵来构造矩阵F、G，最后通过矩阵的加法运算得出双偶数阶幻方的构造通法。关于此法是否可以推广于其它类型阶幻方的构造规律中，还有待于做进一步地研究。

NOTES

^*第一作者。

^#通讯作者。