半群I_n^k的秩和平方幂等元秩

On the Rank and Quasi-Idempotent Rank of Semigroup I_n^k

摘要: 设自然数n≥3，I_n和S_n是有限集X_n={1,2,…,n}上的对称逆半群和置换群。对任意的正整数k满足1≤k≤n，令S_k={α∈S_n:∀x∈{k+1,…,n},xα=x}。易见，S_k是S_n的子群，则称S_k是X_n上的k-局部置换群，再令I_n^k=S_k∪(I_n\S_n)。易证，I_n^k是对称逆半群I_n的子半群。通过分析半群 的格林关系和平方幂等元，获得了半群 的极小生成集和平方幂等元极小生成集。进一步，确定了半群I_n^k的秩和平方幂等元秩。

Abstract: Let I_n and S_n be symmetric inverse semigroup and permutation group on the finite set X_n={1,2,…,n} if nature number n≥3, respectively. For any positive integer k that satisfies 1≤k≤n, let S_k={α∈S_n:∀x∈{k+1,…,n},xα=x}. It is easy to prove that S_k is a subgroup of S_n, then S_k is called the k-local permutation group on X_n, and then let I_n^k=S_k∪(I_n\S_n), it is easy to prove that is a subsemigroup of symmetric inverse semigroup I_n^k. By analyzing the Green’s relations and the quasi idempotent of the semigroup I_n^k, the minimal generating set and the minimal generating set of quasi idempotent be obtained, respectively. Further, the rank and quasi idempotent rank are definite, respectively.

1. 引言

设S是半群，A是S的非空子集且 $a,e\in S$ 。若对任意 $s\in S$ 存在 $a_1,a_2,\cdots ,a_m\in A$ 使得 $s=a_1{a}_2\cdots a_m$ 称A为半群S的生成集，记为 $S=\langle A\rangle$ 。对半群S的任意的生成集B，如果 $\left|A\right|\le \left|B\right|$ 称A为半群S的极小生成集，进而称 $\left|A\right|$ 为半群S的秩，记为 $\text{rank}S=\text{min}\left\{\left|A\right|:A\subseteq S,\langle A\rangle =S\right\}$ 。若 $e^2=e$ ，则称e为半群S的幂等元，S中所有的幂等元之集记为 $E\left(S\right)$ 。类似的，A中所有的幂等元之集记为 $E\left(A\right)$ 。若 $a^2\ne a$ 且 ${\left(a{}^2\right)}^2=a^2$ 则称a是半群S的平方幂等元，S中所有平方幂等元之集记为 $E^2\left(S\right)$ 。类似的，A中所有平方幂等元之集记为 $E^2\left(A\right)$ 。若 $A\subseteq E^2\left(S\right)$ 且对任意 $s\in S$ 存在 $b_1,b_2,\cdots ,b_t\in A$ 使得 $s=b_1{b}_2\cdots b_t$ ，则称A为半群S的平方幂等元生成集。对半群S的任意的平方幂等元生成集B，如果 $\left|A\right|\le \left|B\right|$ ，称A为半群S的平方幂等元极小生成集。进而称 $\left|A\right|$ 为半群S的平方幂等元秩，记为 ${\text{rank}}^{2}S=\min \left\{\left|A\right|:A\subseteq E^2\left(S\right),\langle A\rangle =S\right\}$ 。对于有限半群的秩，平方幂等元秩的研究一直以来都是半群代数理论的研究热点之一 [1] - [12] 。

设 $X_n=\{1,2,\cdots ,n\}$ ，并赋予自然序。 $I_n$ ， $S_n$ 是 $X_n$ 上的对称逆半群和置换群。对任意的正整数k满足 $1\le k\le n$ ，令 $S_k=\left\{\alpha \in S_n:\forall x\in \left\{k+1,\cdots ,n\right\},x\alpha =x\right\}$ 。易见， $S_k$ 是 $S_n$ 的子群，则称 $S_k$ 是 $X_n$ 上的k-局部置换群，再令 $I_n^k=S_k\cup \left(I_n\backslash S_n\right)$ 。易证， $I_n^k$ 是对称逆半群 $I_n$ 的子半群。

1982年，喻方元 [1] 证明了交错群及对称群的生成元组；2012年，罗永贵，游泰杰和高荣海 [2] 确定了 $K_D\left(n,r\right)$ 的秩为 $C_n^r$ ；2013年至2017年，文 [3] [4] [5] 获得了若干类型半群的秩；2019年，李晓敏等 [6] 研究了双边k型–保序严格部分一一变换半群 $O{I}_n^k$ 的双边理想 $O{I}_{(n,r)}^k$ 的秩和相关秩；2021年，龙伟锋和涂晨 [7] 证明了保序且保距严格部分一一变换半群 $OD{I}_n$ 的秩为n；2021年，吕会等 [8] 确立了半群 $C{I}_n$ 的秩为2或3；1990年，GARBA G U [9] 获得了部分变换半群 $P_n$ 的理想的幂等元秩；1995年，Howie J M [13] 证明了部分变换半群 $P{I}_n$ 和 $S{I}_n$ 的相关秩为 $S\left(n,r\right)$ ；在文献 [1] - [14] 的基础上研究半群 $I_n^k$ 的(平方幂等元)极小生成集和(平方幂等元)秩。得到了如下结果：

定理1 设 $n\ge 3$ ， $1\le k\le n$ ， $K=\left\{{\alpha }_{(1,k+1)},{\alpha }_{(k+1,k+2)},{\alpha }_{(k+2,k+3)},\cdots ,{\alpha }_{(n-1,n)},{\alpha }_{(n,1)}^{*}\right\}$ ，则

$I_n^k=\langle S_k\cup D_{n-1}\rangle =\{\begin{array}{ll}\langle \left\{g_k\right\}\cup D_{n-1}\rangle ,\hfill & k=1;\hfill \\ \langle \left\{\left(12\right)\right\}\cup K\rangle ,\hfill & k=2;\hfill \\ \langle \left\{g_k,\left(23\right)\right\}\cup K\rangle ,\hfill & 3\le k\le n.\hfill \end{array}$

定理2 设 $n\ge 3$ ， $1\le k\le n$ ，则

$\text{rank}{I}_n^k=\{\begin{array}{cc}n-k+2,& k=2;\\ n-k+3,& k=1,3\le k\le n.\end{array}$

定理3 设 $n\ge 3$ ， $2\le k\le n$ ， $W=\left\{{\alpha }_{(k,k+1)},{\alpha }_{(k+1,k+2)},{\alpha }_{(k+2,k+3)},\cdots ,{\alpha }_{(n-1,n)},{\alpha }_{(n,1)}^{**}\right\}$ ，则

$I_n^k=\langle S_k\cup D_{n-1}\rangle =\langle \left\{\left(12\right)\left(23\right)\cdots \left(k-1k\right)\right\}\cup W\rangle .$

注：当 $k=1$ 时， $I_n^k$ 不可由平方幂等元生成。

定理4 设 $n\ge 3$ ， $2\le k\le n$ ，则 ${\text{rank}}^2{I}_n^k=n$ 。

2. 预备知识

以下给出本文将用到的基本概念及符号。

设 $\alpha \in I_n^k$ 分别用 $\text{dom}\left(\alpha \right)$ 和 $\text{im}\left(\alpha \right)$ 表示 $\alpha$ 的原象集和象集。 $\ker \left(\alpha \right)$ 表示在 $\text{dom}\left(\alpha \right)$ 上的等价关系： $\ker \left(\alpha \right)=\left\{\left(x,y\right)\in \text{dom}\alpha \times \text{dom}\alpha \text{:}x\alpha =y\alpha \right\}$ 。

为了方便叙述，在这里引入Green’s-等价关系 [13] [14] ，在半群 $I_n^k$ 中 $L,R,H,J$ 有如下刻划：对任意的 $\alpha ,\beta \in I_n^k$ ，有：

1) $\left(\alpha ,\beta \right)\in L\iff \text{im}\alpha =\text{im}\beta$ ；

2) $\left(\alpha ,\beta \right)\in R\iff \ker \left(\alpha \right)=\ker \left(\beta \right)$ ；

3) $\left(\alpha ,\beta \right)\in J$ 当且仅当 $\left|\text{im}\alpha \right|=\left|\text{im}\beta \right|$ ；

4) $\left(\alpha ,\beta \right)\in H$ 当且仅当 $\ker \left(\alpha \right)=\ker \left(\beta \right)$ ， $\text{im}\alpha =\text{im}\beta$ ；

5) $D=J$ 。

令 $D_r=\left\{\alpha \in I_n^k:\left|\text{im}\alpha \right|=r\right\}$ 则 $I_n^k=D_0\cup D_1\cup \cdots \cup D_{n-1}\cup D_n$ ，其中， $D_n=S_k$ 。

对任意 $i,j\in X_n$ ，在 $D_{n-1}$ 中定义下列符号：

$R_i=\left\{\alpha \in D_{n-1}:\text{dom}\alpha =X_n\backslash \left\{i\right\}\right\};L_j=\left\{\alpha \in D_{n-1}:\text{im}\alpha =X_n\backslash \left\{j\right\}\right\};H_{ij}=R_i\cap L_j;$

$\Theta =\left\{X_n\backslash \left\{i\right\}:1\le i\le k\right\},\Lambda =\left\{X_n\backslash \left\{i\right\}:k+1\le i\le n\right\};$

$\alpha \left(\Theta ,\Theta \right)=\left\{\alpha \in D_{n-1}:\text{dom}\alpha \in \Theta ,\text{im}\alpha \in \Theta \right\};$

$\alpha \left(\Theta ,\Lambda \right)=\left\{\alpha \in D_{n-1}:\text{dom}\alpha \in \Theta ,\text{im}\alpha \in \Lambda \right\};$

$\alpha \left(\Lambda ,\Theta \right)=\left\{\alpha \in D_{n-1}:\text{dom}\alpha \in \Lambda ,\text{im}\alpha \in \Theta \right\};$

$\alpha \left(\Lambda ,\Lambda \right)=\left\{\alpha \in D_{n-1}:\text{dom}\alpha \in \Lambda ,\text{im}\alpha \in \Lambda \right\};$

则 $D_{n-1}=\alpha \left(\Theta ,\Theta \right)\cup \alpha \left(\Theta ,\Lambda \right)\cup \alpha \left(\Lambda ,\Theta \right)\cup \alpha \left(\Lambda ,\Lambda \right)$ 。

${\alpha }_{ij}=\{\begin{array}{ll}\left(\begin{array}{cccccccccccc}1& 2& \cdots & i-1& i+1& \cdots & j-1& j& j+1& \cdots & n-1& n\\ 1& 2& \cdots & i-1& i& \cdots & j-2& j-1& j+1& \cdots & n-1& n\end{array}\right),\underset{\begin{array}{l}\\ \end{array}}{}\hfill & i<j.\hfill \\ \left(\begin{array}{cccccccccccc}1& 2& \cdots & i-2& i-1& i+1& i+2& \cdots & \cdots & n-2& n-1& n\\ 1& 2& \cdots & i-2& i-1& i+1& i+2& \cdots & \cdots & n-2& n-1& n\end{array}\right),\underset{\begin{array}{l}\\ \end{array}}{}\hfill & i=j;\hfill \\ \left(\begin{array}{cccccccccccc}1& 2& \cdots & j-1& j& j+1& \cdots & i-1& i+1& \cdots & n-1& n\\ 1& 2& \cdots & j-1& j+1& j+2& \cdots & i& i+1& \cdots & n-1& n\end{array}\right),\hfill & i>j.\hfill \end{array}$

${\alpha }_{ij}^{*}=\{\begin{array}{ll}\left(\begin{array}{cccccccccccc}1& 2& \cdots & i-1& i+1& \cdots & j-1& j& j+1& \cdots & n-1& n\\ 2& 3& \cdots & i& i+1& \cdots & j-1& j+1& j+2& \cdots & n-1& 1\end{array}\right),\underset{\begin{array}{l}\\ \end{array}}{}\hfill & i<j.\hfill \\ \left(\begin{array}{cccccccccccc}1& 2& \cdots & i-2& i-1& i+1& i+2& \cdots & \cdots & n-2& n-1& n\\ 2& 3& \cdots & i-1& i+1& i+2& i+3& \cdots & \cdots & n-1& n& 1\end{array}\right),\underset{\begin{array}{l}\\ \end{array}}{}\hfill & i=j;\hfill \\ \left(\begin{array}{cccccccccccc}1& 2& \cdots & j-1& j& j+1& \cdots & i-1& i+1& \cdots & n-1& n\\ 2& 3& \cdots & j+1& j+2& j+3& \cdots & i+1& i+2& \cdots & n& 1\end{array}\right),\hfill & i>j.\hfill \end{array}$

${\alpha }_{ij}^{**}=\{\begin{array}{ll}\left(\begin{array}{cccccccccccc}1& 2& \cdots & i-1& i+1& \cdots & j-1& j& j+1& \cdots & n-1& n\\ 2& 3& \cdots & i& i+1& \cdots & j-1& j+1& j+2& \cdots & n-1& 1\end{array}\right),\underset{\begin{array}{l}\\ \end{array}}{}\hfill & i<j.\hfill \\ \left(\begin{array}{cccccccccccc}1& 2& \cdots & i-2& i-1& i+1& i+2& \cdots & \cdots & n-2& n-1& n\\ 2& 3& \cdots & i-1& i+1& i+2& i+3& \cdots & \cdots & n-1& n& 1\end{array}\right),\underset{\begin{array}{l}\\ \end{array}}{}\hfill & i=j;\hfill \\ \left(\begin{array}{cccccccccccc}1& 2& \cdots & j-1& j& j+1& \cdots & i-1& i+1& \cdots & n-1& n\\ 2& 3& \cdots & j+1& j+2& j+3& \cdots & i+1& i+2& \cdots & n& 1\end{array}\right),\hfill & i>j.\hfill \end{array}$

注：当 $i=j$ 时， ${\alpha }_{ij}={\alpha }_{ij}^{**}$ 。

$K=\left\{{\alpha }_{(1,k+1)},{\alpha }_{(k+1,k+2)},{\alpha }_{(k+2,k+3)},\cdots ,{\alpha }_{(n-1,n)},{\alpha }_{(n,1)}^{*}\right\}$

$W=\left\{{\alpha }_{(k,k+1)},{\alpha }_{(k+1,k+2)},{\alpha }_{(k+2,k+3)},\cdots ,{\alpha }_{(n-1,n)},{\alpha }_{(n,1)}^{**}\right\}$

$M=\left\{{\alpha }_{(12)},{\alpha }_{(23)},\cdots {\alpha }_{(k-1_{}k)},{\alpha }_{(k_{}k+1)},\cdots ,{\alpha }_{(n-1_{}n)},{\alpha }_{(n_{}1)}\right\}$

其中M中元素分别位于不同的L-类和R-类。易证：

$g_k=\left(\begin{array}{ccccccccc}1& 2& \cdots & k-1& k& k+1& \cdots & n-1& n\\ 2& 3& \cdots & k& 1& k+1& \cdots & n-1& n\end{array}\right)\in S_k.$

本文未定义的术语及符号参见文 [13] [14] 。

3. 半群 $I_n^k$ 的秩

为完成定理1和定理2的证明需要引入下列引理和推论。

引理1 [1] 设 $n\ge 2$ ， $S_n$ 是 $X_n$ 上的对称群， $\left(i_1{i}_2\cdots i_n\right)$ 为 $X_n$ 上任一长为n的轮换， $\left(i_s{i}_t\right)\left(s<t\right)$ 为对换，满足 $t-s$ 与n互素，即有 $S_n=\langle \left(i_1{i}_2\cdots i_n\right),\left(i_s{i}_t\right)\rangle$ 。

引理2 [1] 设 $n\ge 3$ ， $1\le k\le n$ 有 $S_k=\{\begin{array}{cc}\langle g_k\rangle ,& k=1;\\ \langle \left(12\right)\rangle ,& k=2;\\ \langle g_k,\left(23\right)\rangle ,& 3\le k\le n.\end{array}$

推论3 [1] 设 $n\ge 3$ ， $1\le k\le n$ 有 $\text{rank}{S}_k=\{\begin{array}{cc}1,& k=1,2;\\ 2,& 3\le k\le n.\end{array}$ 。

证 由引理2可知，当 $k=1$ 时， $S_k=\left\{\langle g_k\rangle \right\}$ ，易见 $\text{rank}{S}_k=1$ ；当 $k=2$ 时，由 $S_k=\langle \left(12\right)\rangle$ 可知 $\text{rank}{S}_k\le 1$ ，又因为 $S_k$ 中至少有一个元素，即 $\text{rank}{S}_k\ge 1$ ，故 $\text{rank}{S}_k=1$ ；当 $3\le k\le n$ 时， $S_k=\langle g_k,\left(23\right)\rangle$ ，则 $\text{rank}{S}_k\le 2$ ，假设 $\text{rank}{S}_k=1$ ，则 $S_k$ 为循环群进而是交换群与 $S_k$ 是非交换群矛盾，即有 $\text{rank}{S}_k=2$ 。

引理4 [13] 设 $0\le r\le n-2$ ，则 $D_r\subseteq D_{r+1}\cdot D_{r+1}$ 。

结合 $I_{\text{n}}^k=D_0\cup D_1\cup \cdots \cup D_{n-1}\cup D_n^{}$ 及引理4可得

推论5半群 $I_n^k=\langle D_n\cup D_{n-1}\rangle$ 。

引理6 设A与B是有限集且 $A\subseteq B$ ， $\left|A\right|=\left|B\right|$ ，则 $A=B$ 。

证 若A真包含于B，则 $\left|A\right|\ne \left|B\right|$ 与 $\left|A\right|=\left|B\right|$ 矛盾，故 $A=B$ 。

引理7 设 $n\ge 3$ ， $1\le k\le n$ ，

1) 对任意的 $\xi$ ， $\eta \in S_k$ ， ${\alpha }_{ij}\in H_{ij}\subseteq \alpha \left(\Theta ,\Theta \right)$ ，则存在 $1\le t_1$ ， $t_2\le k$ 使得 $\xi {\alpha }_{ij}\eta \in H_{t_1{}_{}{t}_2}\subseteq \alpha \left(\Theta ,\Theta \right)$ ；

2) 对任意的 $\xi \in S_k$ ， ${\alpha }_{ij}\in H_{ij}\subseteq \alpha \left(\Lambda ,\Theta \right)$ ，则存在 $1\le t_3\le k$ 使得 $\xi {\alpha }_{ij}\in H_{t_3{}_{}j}\subseteq \alpha \left(\Lambda ,\Theta \right)$ ；

3) 对任意的 $\eta \in S_k$ ， ${\alpha }_{ij}\in H_{ij}\subseteq \alpha \left(\Theta ,\Lambda \right)$ ，则存在 $1\le t_4\le k$ 使得 ${\alpha }_{ij}\eta \in H_{i_{}{t}_4}\subseteq \alpha \left(\Theta ,\Lambda \right)$ ；

4) 对任意的 $\xi$ ， $\eta \in S_k$ ， ${\alpha }_{ij}\in H_{ij}\subseteq \alpha \left(\Lambda ,\Lambda \right)$ 有 $\xi {\alpha }_{ij}\eta \in H_{ij}\subseteq \alpha \left(\Lambda ,\Lambda \right)$ 。

证 对任意的 $H_{ij}=\left\{\alpha \in D_{n-1}:i\notin \text{dom}\alpha ,j\notin \text{im}\alpha \right\}$ ，有

1) 若 $\text{dom}\alpha \in \Theta$ 且 $i\text{m}\alpha \in \Theta$ ，即是 $H_{ij}\in \alpha \left(\Theta ,\Theta \right)$ 。因为 $g_k\in S_k$ ，经验证，当 $1\le l\le i-1$ ， $1\le s\le k-j$ 时，有 $g_k^l{H}_{ij}{g}_k^s=H_{i-l_{}j+s}\in \alpha \left(\Theta ,\Theta \right)$ ；当 $1\le l\le i-1$ ， $1\le s\le j$ 时，有 $g_k^l{H}_{ij}{g}_k^{k-j+s}=H_{i-l_{}s}\in \alpha \left(\Theta ,\Theta \right)$ ；当 $1\le l\le k-i-1$ ， $1\le s\le k-j$ 时，有 $g_k^{i+l}{H}_{ij}{g}_k^s=H_{k-l_{}j+s}\in \alpha \left(\Theta ,\Theta \right)$ ；当 $1\le l\le k-i-1$ ， $1\le s\le j$ 时，有 $g_k^{i+l}{H}_{ij}{g}_k^{\text{k-}j+s}=H_{k-l_{}s}\in \alpha \left(\Theta ,\Theta \right)$ 。当 $i=2$ 时， $\left(23\right)H_{ij}\left(23\right)=H_{3j}\in \alpha \left(\Theta ,\Theta \right)$ ；当 $i=3$ 时， $\left(23\right)H_{ij}\left(23\right)=H_{2j}\in \alpha \left(\Theta ,\Theta \right)$ ；当 $i\ne 2$ 且 $i\ne 3$ 时， $\left(23\right)H_{ij}\left(23\right)=H_{ij}\in \alpha \left(\Theta ,\Theta \right)$ 。由引理2可知对任意的 $\xi ,\eta \in S_k=\langle g_k,\left(23\right)\rangle$ ，则存在 $l,s,p,q\in X_n$ ， $1\le t_1$ ， $t_2\le k$ 满足 $\xi =g_k^l{\left(23\right)}^p$ ， $\eta =g_k^s{\left(23\right)}^q$ 使得 $\xi H_{ij}\eta =g_k^l{\left(23\right)}^p{H}_{ij}{g}_k^s{\left(23\right)}^q\in H_{t_1{}_{}{t}_2}\subseteq \alpha \left(\Theta ,\Theta \right)$ 。

2) 若 $\text{dom}\alpha \in \Lambda$ 且 $\text{im}\alpha \in \Theta$ ，即是 $H_{ij}\in \alpha \left(\Lambda ,\Theta \right)$ 。因为 $g_k\in S_k$ ，经验证，当 $1\le l\le i$ 时，有 $\text{g}{}_k{}^{i-l}H{}_{ij}=H_{lj}\in \alpha \left(\Lambda ,\Theta \right)$ ；当 $0\le l\le k-i-1$ 时，有 $\text{g}{}_k{}^{i+l}H{}_{ij}=H_{k-l_{}j}\in \alpha \left(\Lambda ,\Theta \right)$ 。当 $j=2$ 时， $\left(23\right)H_{ij}=\left(23\right)H_{i2}=H_{i3}\in \alpha \left(\Lambda ,\Theta \right)$ ；当 $j=3$ 时， $\left(23\right)H_{\text{ij}}=\left(23\right)H_{i3}=H_{i2}\in \alpha \left(\Lambda ,\Theta \right)$ ；当 $j\ne 2$ 且 $j\ne 3$ 时， $\left(23\right)H_{\text{ij}}=H_{ij}\in \alpha \left(\Lambda ,\Theta \right)$ ，由引理2可知对任意的 $\xi \in S_k=\langle g_k,\left(23\right)\rangle$ ，则存在 $l,p\in X_n$ ， $1\le t_3\le k$ 满足 $\xi =g_k^l{\left(23\right)}^p$ 使得 $\xi H_{ij}=g_k^l{\left(23\right)}^p{H}_{ij}\in H_{t_3{}_{}j}\subseteq \alpha \left(\Lambda ,\Theta \right)$ 。

3) 若 $\text{dom}\alpha \in \Theta$ 且 $\text{im}\alpha \in \Lambda$ ，即是 $H_{ij}\in \alpha \left(\Theta ,\Lambda \right)$ 。因为 $g_k\in S_k$ ，经验证，当 $1\le s\le j$ 时，有 $H_{ij}{g}_k^{k-j+s}=H_{i_{}s}\in \alpha \left(\Theta ,\Lambda \right)$ ；当 $0\le s\le k-j$ 时，有 $H_{ij}{g}_k^s=H_{s_{}j+s}\in \alpha \left(\Theta ,\Lambda \right)$ 。当 $i=2$ 时， $H_{ij}\left(23\right)=H_{2j}\left(23\right)=H_{3j}\in \alpha \left(\Theta ,\Lambda \right)$ ；当 $i=3$ 时， $H_{ij}\left(23\right)=H_{3j}\left(23\right)=H_{2j}\in \alpha \left(\Theta ,\Lambda \right)$ ；当 $i\ne 2$ 且 $i\ne 3$ 时， $H_{ij}\left(23\right)=H_{ij}\in \alpha \left(\Theta ,\Lambda \right)$ ，由引理2可知对任意的 $\eta \in S_k=\langle g_k,\left(23\right)\rangle$ ，则存在 $s,q\in X_n,1\le t_4\le k$ 满足 $\eta =g_k^s{\left(23\right)}^q$ 使得 $H_{ij}\eta =H_{ij}{g}_k^s{\left(23\right)}^q\in H_{i_{}{t}_4}\subseteq \alpha \left(\Theta ,\Lambda \right)$ 。

4) 若 $\text{dom}\alpha \in \Lambda$ 且 $\text{im}\alpha \in \Theta$ ，即是 $H_{ij}\in \alpha \left(\Lambda ,\Lambda \right)$ 。由 $g_k\in S_k$ ，经验证， $g_k^l{H}_{ij}{g}_k^s=H_{ij}\in \alpha \left(\Lambda ,\Lambda \right)$ ； $\left(23\right)H_{ij}\left(23\right)=H_{ij}\in \alpha \left(\Lambda ,\Lambda \right)$ 。由引理2可知对任意的 $\xi ,\eta \in S_k=\langle g_k,\left(23\right)\rangle$ ，有 $\xi H_{ij}\eta \in H_{t_1{}_{}{t}_2}\subseteq \alpha \left(\Lambda ,\Lambda \right)$ 。

引理8 [13] 设 $a,b$ 是D-类D中的元素，则 $ab\in R_a\cap L_b$ 当且仅当 $R_b\cap L_a$ 中有幂等元。

引理9 设 $n\ge 3$ ， $2\le k\le n$ ，则 $D_{n-1}\subseteq \langle K\cup S_k\rangle =\{\begin{array}{cc}\langle K\cup \left\{\left(12\right)\right\}\rangle ,& k=2;\\ \langle K\cup \left\{\left(12\right),\left(12\cdots k\right)\right\}\rangle ,& 3\le k\le n.\end{array}$

证 当 $n\ge 3$ ， $k=2$ 时， $K=\left\{{\alpha }_{(13)},{\alpha }_{(34)},{\alpha }_{(45)},\cdots ,{\alpha }_{(n-1_{}n)},{\alpha }_{(n_{}1)}^{*}\right\}\subseteq D_{n-1}$ 。

易证， ${\alpha }_{(n1)}^{*}{\alpha }_{(13)}{\alpha }_{(34)}{\alpha }_{(45)}\cdots {\alpha }_{(n-1_{}n)}=\left(12\cdots n-1\right)\in H_{nn}$ 。存在

$\beta =\left(\begin{array}{cccccccccc}1& 2& 3& 4& \cdots & k& k+1& \cdots & n-1& n\\ 2& 1& 3& 4& \cdots & k& k+1& \cdots & n-1& n\end{array}\right)\in S_k,$

${\alpha }_{nn}=\left(\begin{array}{ccccccccc}1& 2& 3& \cdots & k& k+1& \cdots & n-2& n-1\\ 1& 2& 3& \cdots & k& k+1& \cdots & n-2& n-1\end{array}\right)\in D_{n-1}$

使得 $\left(12\right)={\alpha }_{nn}\beta \in H_{nn}$ ，即

$\left(12\right)=\left(\begin{array}{cccccccc}1& 2& \cdots & k& k+1& \cdots & n-2& n-1\\ 1& 2& \cdots & k& k+1& \cdots & n-2& n-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccccccccc}1& 2& 3& \cdots & k& k+1& \cdots & n-1& n\\ 2& 1& 3& \cdots & k& k+1& \cdots & n-1& n\end{array}\right)\in H_{nn}$

由引理1可得群 $H_{nn}=\langle \left(12\right)\left(12\cdots n-1\right)\rangle$ 。再由引理7及引理8可得 $M=\left\{{\alpha }_{(12)},{\alpha }_{(23)},\cdots {\alpha }_{(k-1_{}k)},{\alpha }_{(k_{}k+1)},\cdots ,{\alpha }_{(n-1_{}n)},{\alpha }_{(n_{}1)}\right\}$ ，其中M中元素分别位于不同的L-类和R-类。即 $D_{n-1}\subseteq \langle \left\{\left(12\right)\left(12\cdots n-1\right)\right\}\cup M\rangle \subseteq \langle \left\{{\alpha }_{(13)},{\alpha }_{(34)},{\alpha }_{(45)},\cdots ,{\alpha }_{(n-1_{}n)},{\alpha }_{(n1)}^{*}\right\},\beta \rangle \subseteq \langle K\cup S_k\rangle$ 。

当 $3\le k\le n$ 时， $K=\left\{{\alpha }_{（1_{}k+1)},{\alpha }_{(k+1_{}k+2)},{\alpha }_{(k+2_{}k+3)},\cdots ,{\alpha }_{(n-1_{}n)},{\alpha }_{(n_{}1)}^{*}\right\}\subseteq D_{n-1}$ 。

易证 ${\alpha }_{（1_{}k+1)}{\alpha }_{(k+1_{}k+2)}{\alpha }_{(k+2_{}k+3)}\cdots {\alpha }_{(n-1_{}n)}{\alpha }_{(n_{}1)}^{*}=\left(23\cdots n\right)\in H_{11}$ ，

${\alpha }_{11}=\left(\begin{array}{ccccccccc}2& 3& 4& \cdots & k& k+1& \cdots & n-1& n\\ 2& 3& 4& \cdots & k& k+1& \cdots & n-1& n\end{array}\right)\in D_{n-1}$ ,

令

${\alpha }_{12}=\left(\begin{array}{ccccccccc}2& 3& 4& \cdots & k& k+1& \cdots & n-1& n\\ 1& 3& 4& \cdots & k& k+1& \cdots & n-1& n\end{array}\right)\in D_{n-1}$

则存在

$\beta =\left(\begin{array}{cccccccccc}1& 2& 3& 4& \cdots & k& k+1& \cdots & n-1& n\\ 2& 1& 3& 4& \cdots & k& k+1& \cdots & n-1& n\end{array}\right)\in S_k,$

$\sigma =\left(\begin{array}{cccccccccc}1& 3& 2& 4& \cdots & k& k+1& \cdots & n-1& n\\ 3& 2& 1& 4& \cdots & k& k+1& \cdots & n-1& n\end{array}\right)\in S_k,$

使得 ${\alpha }_{12}={\alpha }_{11}\beta$ 且 $\left(23\right)={\alpha }_{12}\sigma ={\alpha }_{11}\beta \sigma \in H_{11}$ ，即

$\left(23\right)=\left(\begin{array}{ccccccccc}2& 3& 4& \cdots & k& k+1& \cdots & n-1& n\\ 1& 3& 4& \cdots & k& k+1& \cdots & n-1& n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccc}1& 3& 2& 4& \cdots & k& k+1& \cdots & n-1& n\\ 3& 2& 1& 4& \cdots & k& k+1& \cdots & n-1& n\end{array}\right)\in H_{11},$

由引理1可得群 $H_{11}=\langle \left(23\right)\left(23\cdots n\right)\rangle$ 。再由引理7及引理8可得 $M=\left\{{\alpha }_{(12)},{\alpha }_{(23)},\cdots {\alpha }_{(k-1_{}k)},{\alpha }_{(k_{}k+1)},\cdots ,{\alpha }_{(n-1_{}n)},{\alpha }_{(n_{}1)}\right\}$ ，其中M中元素分别位于不同的L-类和R-类。即 $D_{n-1}\subseteq \langle \left\{\left(23\right)\left(23\cdots n\right)\right\}\cup M\rangle \subseteq \langle \left\{{\alpha }_{（1_{}k+1)},{\alpha }_{(k+1_{}k+2)},{\alpha }_{(k+2_{}k+3)},\cdots ,{\alpha }_{(n-1_{}n)},{\alpha }_{(n_{}1)}^{*}\right\},\beta ,\sigma \rangle \subseteq \langle K\cup S_k\rangle$ 。

由引理2以及上述证明可得

$D_{n-1}\subseteq \langle K\cup S_k\rangle =\{\begin{array}{cc}\langle K\cup \left\{\left(12\right)\right\}\rangle ,& k=2;\\ \langle K\cup \left\{\left(12\right),\left(12\cdots k\right)\right\}\rangle ,& 3\le k\le n.\end{array}$

因为当 $k=2$ ， $\left|\langle K\cup \left\{\left(12\right)\right\}\rangle \right|=n-k+2$ ； $3\le k\le n$ ， $\left|\langle K\cup \left\{\left(12\right),\left(12\cdots k\right)\right\}\rangle \right|=n-k+3$ ，再结合引理9得出如下推论：

推论10 设 $n\ge 3$ ， $2\le k\le n$ ，有 $\text{rank}{I}_n^k\le \{\begin{array}{cc}n-k+2,& k=2;\\ n-k+3,& 3\le k\le n.\end{array}$

引理11 [13] 对任意的 $\alpha ,\beta \in S_n$ ，有 $\text{dom}\left(\alpha \beta \right)\subseteq \text{dom}\alpha$ ， $\text{im}\left(\alpha \beta \right)\subseteq \text{im}\beta$ 。

引理12 设 $\alpha ,{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s\in D_n$ 使得 $\alpha ={\alpha }_1{\alpha }_2\cdots {\alpha }_s$ 则 $\left(\alpha ,{\alpha }_1\right)\in R$ ， $\left(\alpha ,{\alpha }_s\right)\in L$ 。

证 第一步：证明 $\left(\alpha ,{\alpha }_1\right)\in R$ 。

对任意 $\left(x,y\right)\in \ker \left({\alpha }_1\right)$ 有 $x{\alpha }_1=y{\alpha }_1$ 可知 $x{\alpha }_1{\alpha }_2\cdots {\alpha }_s=y{\alpha }_1{\alpha }_2\cdots {\alpha }_s$ ，即是 $\left(\alpha ,{\alpha }_s\right)\in D$ ， $\left(x,y\right)\in \ker \left(\alpha \right)$ ， $x\alpha =y\alpha$ ，易见 $\ker \left({\alpha }_1\right)\subseteq \ker \left(\alpha \right)$ 。对任意的 $a\in \text{dom}\alpha$ ，有 $a\ker \left({\alpha }_1\right)\in \text{dom}\alpha /\text{ker}\left({\alpha }_{\text{1}}\right)$ 。对任意的 $x\in a\ker \left({\alpha }_1\right)$ ，有 $\left(x,a\right)\in \ker \left({\alpha }_1\right)$ ，所以 $\left(x,a\right)\in \ker \left(\alpha \right)$ ，

因此 $x\in a\ker \left(\alpha \right)\in \text{dom}\alpha /\ker \left(\alpha \right)$ 。所以 $a\ker \left({\alpha }_1\right)\subseteq a\ker \left(\alpha \right)$ ，则 $\left|a\ker \left({\alpha }_1\right)\right|\le \left|a\ker \left(\alpha \right)\right|$ ，由于 ${\alpha }_1\in D_{n-1}$ ，则 $\ker \left({\alpha }_1\right)$ 有 $n-1$ 个不同的同余类，设为 $a_1\ker \left({\alpha }_1\right),a_2\ker \left({\alpha }_1\right),\cdots a_{n-1}\ker \left({\alpha }_1\right)$ ，则 $a_1\ker \left(\alpha \right),a_2\ker \left(\alpha \right),\cdots ,a_{n-1}\ker \left(\alpha \right)\in \text{dom}\alpha /\text{ker}\left(\alpha \right)$ 。

另一方面 $a_1\ker \left({\alpha }_1\right)\cup a_2\ker \left({\alpha }_1\right)\cup \cdots \cup a_{n-1}\ker \left({\alpha }_1\right)=\text{dom}\left({\alpha }_{\text{1}}\right),a_1\ker \left(\alpha \right)\cup a_2\ker \left(\alpha \right)\cup \cdots \cup a_{n-1}\ker \left(\alpha \right)$ 由 $\alpha ={\alpha }_1{\alpha }_2\cdots {\alpha }_s$ ，可知 $\text{dom}\alpha \subseteq \text{dom}{\alpha }_{\text{1}}$ 即有 $\left|\text{dom}\alpha \right|\le \left|\text{dom}{\alpha }_1\right|$ 。因 ${\alpha }_1\in D_{n-1}$ 则 $\left|\text{dom}\alpha \right|=\left|\text{dom}{\alpha }_1\right|=n-1$ 在这种条件下，存在 $\left|a_i\ker \left({\alpha }_1\right)\right|<\left|a_i\ker \left(\alpha \right)\right|$ ，

$\begin{array}{l}\left|\text{dom}{\alpha }_1\right|=\left|a_1\ker \left({\alpha }_1\right)\right|+\cdots +\left|a_i\ker \left({\alpha }_1\right)\right|+\cdots +\left|a_{n-1}\ker \left({\alpha }_1\right)\right|\\ <\left|a_1\ker \left(\alpha \right)\right|+\cdots +\left|a_i\ker \left(\alpha \right)\right|+\cdots +\left|a_{n-1}\ker \left(\alpha \right)\right|=\left|\text{dom}\alpha \right|\end{array}$

与假设矛盾，则 $\left|a_i\ker \left({\alpha }_1\right)\right|=\left|a_i\ker \left(\alpha \right)\right|$ ，所以 $\ker \left({\alpha }_1\right)=\ker \left(\alpha \right)$ ，即 $\left(\alpha ,{\alpha }_1\right)\in R$ 。

第二步：证明 $\left(\alpha ,{\alpha }_s\right)\in L$ 。

由 $\alpha ={\alpha }_1{\alpha }_2\cdots {\alpha }_s$ 可知 $\text{im}\alpha \le \text{im}{\alpha }_{\text{s}}$ ，因为 $\alpha ,{\alpha }_s\in D_{n-1}$ 则 $\left|\text{im}\alpha \right|=\left|\text{im}{\alpha }_s\right|=n-1$ ，所以 $\text{im}\alpha =\text{im}{\alpha }_s$ ，再由格林L关系可知 $\left(\alpha ,{\alpha }_s\right)\in L$ 。

由以上引理12可知以下推论：

推论13 设 $A\subseteq D_{n-1}$ 使得 $D_{n-1}\subseteq \langle A\rangle$ ，则A覆盖 $D_{n-1}$ 中的每一个R-类，每一个L-类。

引理14 令 $R_1^{*}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\cup }}{R}_i}$ ， $R_j^{*}=R_j$ ， $j=k+1,\cdots ,n$ ； $L_1^{*}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\cup }}{L}_i}$ ， $L_j^{*}=L_j$ ， $j=k+1,\cdots ,n$ 。

设 $A\subseteq S_k\cup D_{n-1}$ 且 $S_k\cup D_{n-1}\subseteq \langle A\rangle$ ，则

1) 当 $k\ge 3$ 时， $\left|A\cap S_k\right|\ge 2$ ；当 $k=2$ 时， $\left|A\cap S_k\right|\ge 1$ ；

2) $A\cap R_1^{*}\ne \varnothing$ ， $A\cap R_j^{*}\ne \varnothing$ ， $j=k+1,\cdots ,n-1,n$ ；

3) $A\cap L_1^{*}\ne \varnothing$ ， $A\cap L_j^{*}\ne \varnothing$ ， $j=k+1,\cdots ,n-1,n$ 。

证

1) 若 $A\cap S_k=\varnothing$ ，由 $A\subseteq S_k\cup D_{n-1}$ ，则 $A\subseteq D_{n-1}$ ，故 $\langle A\rangle \subseteq \langle D_{n-1}\rangle =T_n\backslash S_n$ 与 $\langle A\rangle =I_n^k$ 矛盾，即 $A\cap S_k\ne \varnothing$ ，故当 $k=2$ 时， $\left|A\cap S_k\right|\ge 1$ ；当 $k=3$ 时，若 $\left|A\cap S_k\right|=1$ ，不妨设 $A\cap S_k=\alpha$ ，则 $\langle A\cap S_k\rangle =\langle \alpha \rangle$ 是循环群，即 $\langle \alpha \rangle$ 是交换群与 $S_k$ 是非交换群矛盾。则 $\left|A\cap S_k\right|\ge 2$ 。

2) 若 $A\cap R_1^{*}=\varnothing$ ，由引理7有 $\langle {\displaystyle \underset{j=k+1}{\overset{n}{\cup }}{R}_j^{*}}\cup S_k\rangle \cap R_1^{*}=\varnothing$ ，则 ${\displaystyle \underset{j=k+1}{\overset{n}{\cup }}{R}_j^{*}}\cup S_k$ 为 $I_n^k$ 真子半群，则 $\langle A\rangle \subseteq \langle {\displaystyle \underset{j=k+1}{\overset{n}{\cup }}{R}_j^{*}}\cup S_k\rangle$ ， $I_n^k=\langle S_k\cup D_{n-1}\rangle \subseteq \langle A\rangle \subseteq \langle {\displaystyle \underset{j=k+1}{\overset{n}{\cup }}{R}_j^{*}}\cup S_k\rangle$ 矛盾，则 $A\cap R_1^{*}\ne \varnothing$ ；若 $A\cap R_j^{*}=\varnothing$ ， $j=k+1,\cdots ,n$ ，由引理7有 $\langle R_1^{*}\cup S_k\cup \left\{{\displaystyle \underset{j=k+1}{\overset{n}{\cup }}{R}_j^{*}\backslash R_j}\right\}\rangle \cap R_j^{*}=\varnothing$ ，则 $\langle R_1^{*}\cup S_k\cup \left\{{\displaystyle \underset{j=k+1}{\overset{n}{\cup }}{R}_j^{*}\backslash R_j}\right\}\rangle$ 为 $I_n^k$ 真子半群，则 $\langle A\rangle \subseteq \langle R_1^{*}\cup S_k\cup \left\{{\displaystyle \underset{j=k+1}{\overset{n}{\cup }}{R}_j^{*}\backslash R_j}\right\}\rangle$ ， $I_n^k=\langle S_k\cup D_{n-1}\rangle \subseteq \langle A\rangle \subseteq \langle R_1^{*}\cup S_k\cup \left\{{\displaystyle \underset{j=k+1}{\overset{n}{\cup }}{R}_j^{*}\backslash R_j}\right\}\rangle$ ，矛盾，则 $A\cap R_j^{*}=\varnothing$ ；

3) 若 $A\cap L_1^{*}=\varnothing$ ，由引理7有 $\langle {\displaystyle \underset{j=k+1}{\overset{n}{\cup }}{L}_j^{*}}\cup S_k\rangle \cap L_1^{*}=\varnothing$ ，则 ${\displaystyle \underset{j=k+1}{\overset{n}{\cup }}{L}_j^{*}}\cup S_k$ 为 $I_n^k$ 真子半群，则 $\langle A\rangle \subseteq \langle {\displaystyle \underset{j=k+1}{\overset{n}{\cup }}{L}_j^{*}}\cup S_k\rangle$ ， $I_n^k=\langle S_k\cup D_{n-1}\rangle \subseteq \langle A\rangle \subseteq \langle {\displaystyle \underset{j=k+1}{\overset{n}{\cup }}{L}_j^{*}}\cup S_k\rangle$ 矛盾，则 $A\cap L_1^{*}\ne \varnothing$ ；若 $A\cap L_j^{*}=\varnothing$ ， $j=k+1,\cdots ,n$ ，由引理7 $\langle L_1^{*}\cup S_k\cup \left\{{\displaystyle \underset{j=k+1}{\overset{n}{\cup }}{L}_j^{*}\backslash L_j}\right\}\rangle \cap L_j^{*}=\varnothing$ ，则 $\langle L_1^{*}\cup S_k\cup \left\{{\displaystyle \underset{j=k+1}{\overset{n}{\cup }}{L}_j^{*}\backslash L_j}\right\}\rangle$ 为 $I_n^k$ 真子半群，则 $\langle A\rangle \subseteq \langle L_1^{*}\cup S_k\cup \left\{{\displaystyle \underset{j=k+1}{\overset{n}{\cup }}{L}_j^{*}\backslash L_j}\right\}\rangle$ ， $I_n^k=\langle S_k\cup D_{n-1}\rangle \subseteq \langle A\rangle \subseteq \langle L_1^{*}\cup S_k\cup \left\{{\displaystyle \underset{j=k+1}{\overset{n}{\cup }}{L}_j^{*}\backslash L_j}\right\}\rangle$ ，矛盾，则 $A\cap L_j^{*}=\varnothing$ ；

定理1的证明：

由 $I_n^k$ 的定义可知， $I_n^k=\langle S_k\cup D_{n-1}\rangle$ 。当 $k=1$ 时，由引理2可知 $S_k=\langle g_k\rangle$ ，由推论5可知 $I_n^k=\langle D_n\cup D_{n-1}\rangle =\langle S_k\cup D_{n-1}\rangle =\langle g_k\rangle$ ；当 $k=2$ 时，由引理2可知 $S_k=\langle \left(12\right)\rangle$ ，由推论5和引理9可知， $I_n^k=\langle D_n\cup D_{n-1}\rangle =\langle S_k\cup D_{n-1}\rangle =\langle K\cup S_k\rangle =\langle K\cup \left(12\right)\rangle$ ，当 $3\le k\le n$ 时，由引理2可知 $S_k=\langle g_k,\left(23\right)\rangle$ ，由推论5和引理9可 $I_n^k=\langle D_n\cup D_{n-1}\rangle =\langle S_k\cup D_{n-1}\rangle =\langle K\cup S_k\rangle =\langle K\cup \left\{\left(23\right),g_k\right\}\rangle$ ，从而

$I_n^k=\langle S_k\cup D_{n-1}\rangle =\{\begin{array}{c}\langle \left\{g_k\right\}\cup D_{n-1}\rangle ,\\ \langle \{(12)\}\cup K\rangle ,\\ \langle \{g_k,(23)\}\cup K\rangle ,\end{array}\begin{array}{c}\\ \\ \end{array}\begin{array}{c}k=1;\\ k=2;\\ 3\le k\le n.\end{array}$

定理2的证明：

当 $k=1$ 时， $I_n^k=\langle D_n\cup D_{n-1}\rangle =\langle g_k\cup D_{n-1}\rangle$ ，故 $\text{rank}{I}_n^k=n+2$ ，由K的定义可知 $\left|K\right|=n-k-1+2=n-k+1$ 。根据推论3，推论10可知 $2\le k\le n$ ，有

$\text{rank}{I}_n^k\le \{\begin{array}{cc}n-k+3,& 3\le k\le n;\\ n-k+2,& k=2.\end{array}$

由推论10，引理12，推论13，引理14可知

$\text{rank}{I}_n^k\ge \{\begin{array}{cc}n-k+3,& 3\le k\le n;\\ n-k+2,& k=2.\end{array}$

从而

$\text{rank}{I}_n^k=\{\begin{array}{cc}n-k+3,& 3\le k\le n;\\ n-k+2,& k=2.\end{array}$

4. 半群 $I_n^k$ 的平方幂等元秩

为完成定理3和定理4的证明需要引入下列引理。

引理15 [1] 设 $S_k$ 是 $X_n$ 上的k-局部对称群， $S_k$ 可由 $k-1$ 个对换 $\left(12\right),\left(23\right),\cdots ,\left(k-1\begin{array}{c}\end{array}k\right)$ 生成，则 $S_k=\langle \left(12\right)\left(23\right)\cdots \left(i\begin{array}{c}\end{array}i+1\right)\dots \left(k-1\begin{array}{c}\end{array}k\right)\rangle$ 。

引理16 [1] ${\text{rank}}^{\text{2}}{S}_k=k-1$ 。

引理17 设 $n\ge 3$ ， $2\le k\le n$ ，则 $D_{n-1}\subseteq \langle W\cup S_k\rangle =\langle W\cup \left\{\left(12\right)\left(23\right)\cdots \left(k-1_{}k\right)\right\}\rangle$ 。

证 当 $n\ge 3$ ， $2\le k\le n$ 时， $W=\left\{{\alpha }_{(k,k+1)},{\alpha }_{(k+1,k+2)},{\alpha }_{(k+2,k+3)},\cdots ,{\alpha }_{(n-1,n)},{\alpha }_{(n,1)}^{**}\right\}\subseteq D_{n-1}$ 。易证 $g^{k-1}{\alpha }_{\left(k,k+1\right)}={\alpha }_{\left(1,k+1\right)}$ 及 ${\alpha }_{\left(1,k+1\right)}{\alpha }_{\left(k+1,k+2\right)}\cdots {\alpha }_{\left(n-1,n\right)}{\alpha }_{\left(n,`1\right)}^{**}=g^{k-1}{\alpha }_{\left(k,k+1\right)}{\alpha }_{\left(k+1,k+2\right)}\cdots {\alpha }_{\left(n-1,n\right)}{\alpha }_{\left(n,`1\right)}^{**}=\left(n_{}n-1\cdots 32\right)$ ；

${\left(n_{}n-1\cdots 32\right)}^{n-1}=\left(23\cdots n-1_{}n\right)\in H_{11}$ 。

由

${\alpha }_{11}=\left(\begin{array}{ccccccccc}2& 3& 4& \cdots & k& k+1& \cdots & n-1& n\\ 2& 3& 4& \cdots & k& k+1& \cdots & n-1& n\end{array}\right)\in H_{11}$ ,

令

${\alpha }_{12}=\left(\begin{array}{ccccccccc}2& 3& 4& \cdots & k& k+1& \cdots & n-1& n\\ 1& 3& 4& \cdots & k& k+1& \cdots & n-1& n\end{array}\right)\in D_{n-1}$ ,

存在

$\beta =\left(\begin{array}{cccccccccc}1& 2& 3& 4& \cdots & k& k+1& \cdots & n-1& n\\ 2& 1& 3& 4& \cdots & k& k+1& \cdots & n-1& n\end{array}\right)\in S_k$ ,

使得 ${\alpha }_{12}={\alpha }_{11}\beta$ 且存在

$\gamma =\left(\begin{array}{cccccccccc}1& 2& 3& 4& \cdots & k& k+1& \cdots & n-1& n\\ 1& 3& 2& 4& \cdots & k& k+1& \cdots & n-1& n\end{array}\right)\in S_k$ ,

满足 $\gamma \beta =\left(23\right)\left(12\right)=\left(123\right)$ ， ${\left(\gamma \beta \right)}^2={\left(123\right)}^2=\left(132\right)$ ，

不防令

$\tau =\left(\begin{array}{cccccccccc}2& 3& 4& 5& \cdots & k& k+1& \cdots & n-1& n\\ 3& 2& 4& 5& \cdots & k& k+1& \cdots & n-1& n\end{array}\right)\in H_{11}$ ,

则 $\tau ={\alpha }_{12}{\left(\gamma \beta \right)}^2={\alpha }_{11}\beta {\left(\gamma \beta \right)}^2$ ，即

$\tau =\left(23\right)=\left(\begin{array}{cccccccccc}2& 3& 4& 5& \cdots & k& k+1& \cdots & n-1& n\\ 1& 3& 4& 5& \cdots & k& k+1& \cdots & n-1& n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccc}1& 3& 2& 4& \cdots & k& k+1& \cdots & n-1& n\\ 3& 2& 1& 4& \cdots & k& k+1& \cdots & n-1& n\end{array}\right)\in H_{11}$

由引理1可得群 $H_{11}=\langle \left(23\right)\left(23\cdots n\right)\rangle$ 。再由引理7及引理8可得 $M=\left\{{\alpha }_{(12)},{\alpha }_{(23)},\cdots {\alpha }_{(k-1_{}k)},{\alpha }_{(k_{}k+1)},\cdots ,{\alpha }_{(n-1_{}n)},{\alpha }_{(n_{}1)}\right\}$ ，其中M中元素分别位于不同的L-类和R-类。

即 $D_{n-1}\subseteq \langle \left\{\left(23\right)\left(23\cdots n\right)\right\}\cup M\rangle \subseteq \langle \left\{{\alpha }_{(k,k+1)},{\alpha }_{(k+1,k+2)},{\alpha }_{(k+2,k+3)},\cdots ,{\alpha }_{(n-1,n)},{\alpha }_{(n,1)}^{**}\right\},\beta ,\gamma \rangle \subseteq \langle W\cup S_k\rangle$ 。再结合引理15有 $D_{n-1}\subseteq \langle W\cup S_k\rangle \langle W\cup \left\{\left(12\right)\left(23\right)\cdots \left(k-1_{}k\right)\right\}\rangle$ 。

引理18设 $A\subseteq E^2\left(S_k\cup D_{n-1}\right)$ 且 $\langle S_k\cup D_{n-1}\rangle \subseteq A$ ，则

1) 当 $k\ge 3$ 时， $\left|A\cap S_k\right|=k-1$ ；

2) 当 $k=2$ 时， $\left|A\cap S_k\right|\ge 1$ 。

证 证明过程类似于引理14可得。

定理3的证明：

由 $I_n^k$ 的定义可知 $I_n^k=\langle S_k\cup D_{n-1}\rangle$ 。由引理15可知 $S_k=\langle \left(12\right)\left(23\right)\cdots \left(i\begin{array}{c}\end{array}i+1\right)\cdots \left(k-1\begin{array}{c}\end{array}k\right)\rangle$ 。由引理17可知 $D_{n-1}\subseteq \langle W\cup S_k\rangle$ ，从而 $I_n^k=\langle S_k\cup D_{n-1}\rangle =\langle \left\{\left(12\right)\left(23\right)\cdots \left(k-1_{}k\right)\right\}\cup W\rangle$ 。

定理4的证明：

由W的定义可知 $\left|W\right|=n-k+1$ 。再由定理3可知，当 $2\le k\le n$ 时， $I_n^k=\langle S_k\cup D_{n-1}\rangle =\langle W\cup \left\{\left(12\right)\left(23\right)\cdots \left(k-1_{}k\right)\right\}\rangle$ ，故 ${\text{rank}}^{\text{2}}{I}_n^k\le n-k+1+k-1=n$ 。结合引理13，引理18可知 ${\text{rank}}^{\text{2}}{I}_n^k\ge n-k+1+k-1=n$ ，即 ${\text{rank}}^{\text{2}}{I}_n^k=n-k+1+k-1=n$ 。

5. 结语

本文通过分析半群 $I_n^k$ 的格林关系和平方幂等元，当 $0\le r\le n-2$ 时，秩为r的元素可由秩为 $r+1$ 的元素生成，获得了半群 $I_n^k$ 的极小生成集和平方幂等元极小生成集，从而确定了半群 $I_n^k$ 的秩和平方幂等元秩。本文的研究方法对于其他非幂等元生成的半群的研究具有一定的借鉴意义。

基金项目

贵州师范大学学术新苗基金项目(黔师新苗[2021] B08号)}；国家自然科学基金项目(11861022)。