关于复合算子T°d°G的高阶可积性研究

doi:10.12677/AAM.2023.1211473

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关于复合算子T°d°G的高阶可积性研究
Study on Higher Integrability of Composition Operator T°d°G

DOI: 10.12677/AAM.2023.1211473, PDF, HTML, XML, 下载: 125 浏览: 170 科研立项经费支持
作者: 李群芳：赣州师范高等专科学校数学系，江西赣州
关键词: 高阶可积性；微分形式；复合算子；调和方程；Higher Integrability； Differential Forms； Composition Operator； Harmonic Equation

摘要: 本文研究了满足A-调和方程的微分形式高阶可积性问题。文中利用微分形式的Hölder不等式及同仑算子与格林算子的相关结果首先证明了1

Abstract: In this paper, we have studied higher order integrability for differential forms satisfying A-harmonic equation. Based on Hölder inequality of differential forms and some results of Ho-motopy operator and Green’s operator, we first establish local higher order integrability for compo-sition operator T°d°G applied to differential forms satisfying A-harmonic equation with the con-dition 1

文章引用：李群芳. 关于复合算子T°d°G的高阶可积性研究[J]. 应用数学进展, 2023, 12(11): 4798-4805. https://doi.org/10.12677/AAM.2023.1211473

1. 引言

2009年，文献 [1] 中证明了 $δ$ -John域上作用于微分形式复合算子 $T \circ H$ 的Poincaré-型嵌入不等式

${‖ T (H (u)) ‖}_{W^{1, s} (Ω), w_{1}} \leq C (n, s, α, λ, Ω) {‖ u ‖}_{s, Ω, w_{2}},$ (1)

其中 $T \circ H$ 为同仑算子T与投影算子H的复合算子，， $w_{2} (x) = \sum_{i} χ_{Q_{i}} \frac{1}{{| x - x_{Q_{i}} |}^{λ}}$ ，常数 $α, λ$ 满足 $0 \leq λ < α < λ + (n + 1) s$ ，微分形式u满足非齐次A-调和方程 $d^{⋆} A (x, d u) = B (x, d u)$ 。

2014年，文献 [2] 给出了复合算子 $M_{s} \circ P$ 的如下Poincaré-型不等式

${‖ M_{s} \circ P (u) - {(M_{s} \circ P (u))}_{Ω} ‖}_{t, Ω} \leq C {‖ u ‖}_{t, Ω},$ (2)

其中 $M_{s}$ 为Hardy-Littlewood极大算子、P为potential算子， $Ω$ 为 $R^{n}$ 上的一有界凸区域。

2020年，文献 [3] 给出了如下作用于Dirac-调和方程 $d^{*} A (x, D w) = 0$ 的光滑微分形式的迭代算子 $D^{k} G^{k}$ 的局部 $A_{r}^{λ_{3}} (λ_{1}, λ_{2}; E)$ -权 $L^{p}$ -积分不等式。

${(\int_{B} {| D^{k} G^{k} (u) |}^{p} w_{1}^{α λ_{1}} d x)}^{1 / p} \leq C {(\int_{σ B} {| u |}^{p} w_{2}^{α λ_{2} λ_{3}} d x)}^{1 / p},$ (3)

这里D是Dirac算子， $(w_{1}, w_{2}) \in A_{r}^{λ_{3}} (λ_{1}, λ_{2}; Ω)$ ， $1 < p < \infty$ ， $0 < α < 1$ ， $σ > 1$ ， $k \in N^{+}$ 。

显然，上述结果均是用微分形式的 $L^{p}$ -范数去估计算子的 $L^{p}$ -范数，如式(2)以微分形式的加权 $L^{p}$ -范数 ${‖ u ‖}_{p}$ 去估计Potential算子P加权 $L^{p}$ -范数 ${‖ M_{s} \circ P (u) ‖}_{p}$ ，若 $s > p$ ，则Potential算子P的 $L^{s}$ -范数 ${‖ M_{s} \circ P (u) ‖}_{s}$ 就无法用式(2)中的微分形式的 $L^{p}$ -范数 ${‖ u ‖}_{p}$ 来估计了，此时就需要讨论Potential算子 $M_{s} \circ P$ 是否具有比微分形式更高阶的范数。称算子范数高于微分形式范数的研究为算子的高阶范数研究。由于复合算子的范数估计远比单算子的范数估计复杂，故本文选择复合算子 $T \circ d \circ G$ 的高阶可积性作为研究内容，分别在 $1 < q < n$ 与 $q \geq n$ 条件下证明了复合算子 $T \circ d \circ G$ 的局部高阶可积性。

2. 记号及预备知识

微分形式是 $R^{n}$ 上可微函数的推广,称函数 $u = u (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 为微分0-形式，称 $u (x) = \sum_{I} α_{I} d x_{I} = \sum α_{i_{1} i_{2} \dots i_{l}} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) d x_{i_{1}} \land d x_{i_{2}} \land \dots \land d x_{i_{l}}$ 是微分l-形式，其中有序l-丛 $I = {i_{1}, i_{2}, \dots, i_{l}}$ ， $1 \leq i_{1} < i_{2} < \dots < i_{l} \leq n$ ， $l = 1, 2, \dots, n$ ，关于的微分形式的相关结果可参见文献 [4] - [10] 。记 $R^{n}$ ( $n \geq 2$ )是n维欧氏空间， $Ω$ 是 $R^{n}$ 上有界子集，其勒贝格测度记为 $| Ω |$ 。设B与 $σ B$ 是 $R^{n}$ 中具有相同球心的球体，其直径满足 $d i a m (σ B) = σ d i a m (B)$ 。记d为外微分算子， $\land^{l} = \land^{l} (R^{n})$ 表示由全体微分l-形式所成的l-维向量空间。设 $ϖ (x) = α_{i_{1} i_{2} \dots i_{l}} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) d x_{i_{1}} \land d x_{i_{2}} \land \dots \land d x_{i_{l}} = α_{I} d x_{I}$ 是一微分l-形式，定义作用于 $ϖ (x)$ 上的Hodge星算子 $⋆$ 为

$⋆ ϖ = ⋆ α_{i_{1} i_{2} \dots i_{l}} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) d x_{i_{1}} \land d x_{i_{2}} \land \dots \land d x_{i_{l}} = {(- 1)}^{Σ (I)} α_{I} d x_{J},$

其中 $I = {i_{1}, i_{2}, \dots, i_{l}}$ ， $J = {1, 2, \dots, n} - {i_{1}, i_{2}, \dots, i_{l}}$ ， $Σ (I) = \frac{l (l + 1)}{2} + \sum_{j = 1}^{l} i_{j}$ 。利用外微分算子d和Hodge星算子 $⋆$ 定义Hodge上的微分算子 $d^{⋆} = {(- 1)}^{n l + 1} ⋆ d ⋆$ ， $l = 1, 2, \dots, n$ 。如在 $\land^{1} (R^{n})$ 中，取微分形式

$ω = ω (x) = ω^{1} d x_{1} + ω^{2} d x_{2} + \dots + ω^{n} d x_{n},$

则

$\begin{array}{l} ⋆ ω = ⋆ (ω^{1} d x_{1} + ω^{2} d x_{2} + \dots + ω^{n} d x_{n}) \\ = {(- 1)}^{\frac{1 \cdot (1 + 1)}{2} + 1} ω^{1} d x_{2} \land d x_{3} \land \dots \land d x_{n} + {(- 1)}^{\frac{1 \cdot (1 + 1)}{2} + 2} ω^{2} d x_{1} \land d x_{2} \land \dots \land d x_{n} + \dots + {(- 1)}^{\frac{1 \cdot (1 + 1)}{2} + n} ω^{n} d x_{1} \land d x_{2} \land \dots \land d x_{n - 1} \\ = ω^{1} d x_{2} \land d x_{3} \land \dots \land d x_{n} - ω^{2} d x_{1} \land d x_{2} \land \dots \land d x_{n} + \dots + {(- 1)}^{n + 1} ω^{n} d x_{1} \land d x_{2} \land \dots \land d x_{n - 1} \end{array}$

且

称下列非线性偏微分方程

$d^{⋆} A (x, d u) = 0$ (4)

为齐次A-调和方程，其中算子 $A : Ω \times \land^{l} \to \land^{l}$ 对几乎所有的 $x \in Ω$ ， $ξ \in \land^{l} (R^{n})$ ，满足

$| A (x, ξ) | \leq a {| ξ |}^{p - 1}, A (x, ξ) \cdot ξ \geq {| ξ |}^{p},$

上述 $a > 0$ 为一常数且 $1 < p < \infty$ 是与方程(4)有关的确定指数。定义同仑算子为

$T u = \int_{Ω} ϕ (y) K_{y} d y,$

其中 $y \in Ω$ ， $ϕ \in C_{0}^{\infty} (Ω)$ 满足 $\int_{Ω} ϕ (y) d y = 1$ ，线性算子 $K_{y} : C^{\infty} (Ω, \land^{l}) \to C^{\infty} (Ω, \land^{l - 1})$ 满足

$K_{y} (u) (x; ξ_{1}, ξ_{2}, \dots, ξ_{l - 1}) = \int_{0}^{1} t^{l - 1} u (t x + y - t y; x - y, ξ_{1}, ξ_{2}, \dots, ξ_{l - 1}) .$

记G为定义在 $C^{\infty} (Ω, \land^{l})$ 上的Green算子，且满足Poisson方程 $Δ G (u) = u - H (u)$ ，其中H为调和投影算子。更多关于A-调和方程、同仑算子与Green算子的介绍及相关成果可参见文献 [11] 。

在本文相关结论的证明将应用到下述引理。

引理1 [12] 设是球体B上的一微分形式， $l = 1, 2, \dots, n$ ， $1 < s < \infty$ ，则

${‖ \nabla (T u) ‖}_{s, B} \leq C | B | {‖ u ‖}_{s, B},$ (5)

${‖ T u ‖}_{s, B} \leq C | B | d i a m (B) {‖ u ‖}_{s, B} .$ (6)

引理2 [13] 设u是 $Ω$ 上一光滑微分形式， $1 < s < \infty$ ，则对 $Ω$ 上任一球体B，存在一不依赖于u的常数C，使得

${‖ d d^{⋆} G (u) ‖}_{s, B} + {‖ d^{⋆} d G (u) ‖}_{s, B} + {‖ d^{⋆} G (u) ‖}_{s, B} + {‖ d G (u) ‖}_{s, B} + {‖ G (u) ‖}_{s, B} \leq C (s) {‖ u ‖}_{s, B} .$

引理3 [12] 设 $u \in D^{'} (Q, \land^{l})$ ， $d u \in L^{p} (Q, \land^{l + 1})$ ，则 $u - u_{Q} \in L^{n p / (n - p)} (Q, \land^{l})$ ，且

${(\int_{Q} {| u - u_{Q} |}^{n p / (n - p)} d x)}^{(n - p) / n p} \leq C_{p} (n) {(\int_{Q} {| d u |}^{p} d x)}^{1 / n p}$

其中Q为 $R^{n}$ 上一球体， $l = 0, 1, 2, \dots, n - 1$ ， $1 < p < n$ 。

引理4 [14] 设u是 $Ω$ 上满足A-调和方程(4)的一微分形式，则对所有满足 $σ B \subset Ω$ 的球体B，存在一不依赖于u的常数C，使得

${‖ u ‖}_{s, B} \leq C {| B |}^{(t - s) / s t} {‖ u ‖}_{t, σ B},$

其中 $σ > 1$ ， $0 < s, t < \infty$ 。

引理5 [15] 设 $Ω$ 为 $R^{n}$ 上的一有界域， $φ$ 是定义在 $[0, + \infty)$ 上的单调递增凸函数且满足 $φ (0) = 0$ 。若微分形式 $u \in D^{'} (Ω, \land^{l})$ ， $μ ({x \in Ω : | u - u_{Ω} | > 0}) > 0$ ，则 $φ (k | u | + | u_{Ω} |) \in L^{1} (Ω; μ)$ ，且对任一实数 $a > 0$ 有

其中 $k > 0$ 为任一实数， $μ$ 为Radon测度， $d μ = w (x) d x$ ，常数 $C > 0$ 。

在引理5中，若令 $Ω$ 为球体B，， $p > 1$ ， $w (x) = 1$ ，则 $μ ({x \in Ω : | u - u_{Ω} | > 0}) > 0$ 演变为 $| {x \in B : | u - u_{B} | > 0} | > 0$ ，故而从任一满足 $| {x \in B : | u - u_{B} | > 0} | > 0$ 的球体B有

${‖ u ‖}_{p, B} \leq C {‖ u - u_{B} ‖}_{p, B} .$ (7)

3. 本文主要结论

本节将分别在 $1 < q < n$ 和 $q \geq n$ 两种条件下证明有界域上作用于微分形式的复合算子 $T \circ d \circ G$ 的局部高阶可积性。

定理1 设 $u \in C^{\infty} (Ω, \land^{l})$ 是满足A-调和方程的微分形式， $l = 1, 2, \dots, n$ ， $1 < q < n$ ，T为同仑算子，G为Green算子。若 $u \in L_{l o c}^{q} (Ω, \land^{l})$ ，则复合算子 $T \circ d \circ G (u) \in L_{l o c}^{p} (Ω, \land^{l})$ ，且对所有满足 $σ B \subset Ω$ 的球体B，存在一不依赖于u的常数C，有

${(\frac{1}{| B |} \int_{B} {| T \circ d \circ G (u) |}^{p} d x)}^{1 / p} \leq C {| B |}^{1 / n} {(\frac{1}{| B |} \int_{B} {| u |}^{q} d x)}^{1 / q},$

其中 $0 < p < n q / (n - q)$ ， $σ > 1$ 为一特定的常数。

证明：(i) 若 $| {x \in B : | T \circ d \circ G (u) - {(T \circ d \circ G (u))}_{B} | > 0} | = 0$ ，则在球体B上 $T \circ d \circ G (u) = {(T \circ d \circ G (u))}_{B}$ 几乎处处成立，故 $T \circ d \circ G (u)$ 为一闭形式，从而 $T \circ d \circ G (u)$ 为A-调和方程的解，从而由引理4可得

${‖ T \circ d \circ G (u) ‖}_{p, B} \leq C {| B |}^{(q - p) / p q} {‖ T \circ d \circ G (u) ‖}_{q, σ B},$ (8)

其中 $σ B \subset Ω$ ， $σ > 1$ 为一特定常数。

综合式(8)式及引理1的(6)式、引理2知

$\begin{matrix} {‖ T \circ d \circ G (u) ‖}_{p, B} \leq C_{1} {| B |}^{(q - p) / p q} {‖ T \circ d \circ G (u) ‖}_{q, σ B} \\ \leq C_{2} {| B |}^{(q - p) / p q} | B | d i a m (B) {‖ d \circ G (u) ‖}_{q, σ B} \\ \leq C_{3} {| B |}^{(q - p) / p q} | B | d i a m (B) {‖ u ‖}_{q, σ B} \\ \leq C_{3} {| B |}^{(q - p) / p q} | Ω | d i a m (B) {‖ u ‖}_{q, σ B} \\ = C_{4} {| B |}^{(q - p) / p q} {| B |}^{1 / n} {‖ u ‖}_{q, σ B} \end{matrix}$ (9)

其中 $C_{4} = C_{3} | Ω |$ 。(9)式等价于

${(\frac{1}{| B |} \int_{B} {| T \circ d \circ G (u) |}^{p} d x)}^{1 / p} \leq C_{4} {| B |}^{1 / n} {(\frac{1}{| B |} \int_{σ B} {| u |}^{q} d x)}^{1 / q}$ (10)

(ii) 若 $| {x \in B : | T \circ d \circ G (u) - {(T \circ d \circ G (u))}_{B} | > 0} | > 0$ ，则(7)式对 $T \circ d \circ G (u)$ 成立，即有

${‖ T \circ d \circ G (u) ‖}_{n q / (n - q), B} \leq C_{5} {‖ T \circ d \circ G (u) - {(T \circ d \circ G (u))}_{B} ‖}_{n q / (n - q), B}$ (11)

利用 $L^{p}$ -空间的单调性及 $0 < p < n q / (n - q)$ ，可得

${(\frac{1}{| B |} \int_{B} {| T \circ d \circ G (u) |}^{p} d x)}^{1 / p} \leq {(\frac{1}{| B |} \int_{B} {| T \circ d \circ G (u) |}^{n q / (n - q)} d x)}^{(n - q) / n q}$ (12)

综合引理3、引理1的(5)式、引理2，可得

$\begin{array}{l} {(\int_{B} {| T \circ d \circ G (u) - {(T \circ d \circ G (u))}_{B} |}^{n q / (n - q)} d x)}^{(n - q) / n q} \\ \leq C_{6} {(\int_{B} {| d \circ T \circ d \circ G (u) |}^{q} d x)}^{1 / q} \\ \leq C_{6} {(\int_{B} {| \nabla \circ T \circ d \circ G (u) |}^{q} d x)}^{1 / q} \\ \leq C_{7} {(\int_{B} {| d \circ G (u) |}^{q} d x)}^{1 / q} \\ \leq C_{8} {(\int_{B} {| u |}^{q} d x)}^{1 / q} \end{array}$ (13)

综合式(11) (12) (13)，便有

$\begin{array}{l} {(\frac{1}{| B |} \int_{B} {| T \circ d \circ G (u) |}^{p} d x)}^{1 / p} \\ \leq {(\frac{1}{| B |} \int_{B} {| T \circ d \circ G (u) |}^{n q / (n - q)} d x)}^{(n - q) / n q} \\ \leq C_{5} {(\frac{1}{| B |} \int_{B} {| T \circ d \circ G (u) - {(T \circ d \circ G (u))}_{B} |}^{n q / (n - q)} d x)}^{(n - q) / n q} \\ = C_{5} {| B |}^{\frac{1}{n} - \frac{1}{q}} {(\int_{B} {| T \circ d \circ G (u) - {(T \circ d \circ G (u))}_{B} |}^{n q / (n - q)} d x)}^{(n - q) / n q} \\ \leq C_{9} {| B |}^{\frac{1}{n} - \frac{1}{q}} {(\int_{B} {| u |}^{q} d x)}^{1 / q} \\ = C_{9} {| B |}^{\frac{1}{n}} {(\frac{1}{| B |} \int_{B} {| u |}^{q} d x)}^{1 / q} \end{array}$ (14)

综合式(10) (14)可得：若是A-调和方程(4)的解，则 $T \circ d \circ G (u) \in L_{l o c}^{p} (Ω, \land^{l})$ ，且

${(\frac{1}{| B |} \int_{B} {| T \circ d \circ G (u) |}^{p} d x)}^{1 / p} \leq C {| B |}^{\frac{1}{n}} {(\frac{1}{| B |} \int_{B} {| u |}^{q} d x)}^{1 / q} .$

故定理1证毕。

在定理1中，当 $q \to n^{-}$ 时， $\frac{n q}{n - q} \to + \infty$ ，此时p可以充分大，故p可大于q，此时称定理1为复合算子在 $1 < q < n$ 条件下的高阶可积性，下面证明在条件下定理仍然成立。

定理2 设是满足A-调和方程(4)的微分形式， $l = 1, 2, \dots, n$ ， $q \geq n$ ，T为同仑算子，G为Green算子。若 $u \in L_{l o c}^{q} (Ω, \land^{l})$ ，则复合算子 $T \circ d \circ G (u) \in L_{l o c}^{p} (Ω, \land^{l})$ ，且对所有满足 $σ B \subset Ω$ 的球体B，存在一不依赖于u的常数C，有

${(\frac{1}{| B |} \int_{B} {| T \circ d \circ G (u) |}^{p} d x)}^{1 / p} \leq C {| B |}^{1 / n} {(\frac{1}{| B |} \int_{B} {| u |}^{q} d x)}^{1 / q},$

其中 $p > 0$ ， $σ > 1$ 为一特定的常数。

证明：(i) 若 $| {x \in B : | T \circ d \circ G (u) - {(T \circ d \circ G (u))}_{B} | > 0} | = 0$ ，则使用定理1证明(i)中同样的方法可证定理仍然成立。

(ii) 若 $| {x \in B : | T \circ d \circ G (u) - {(T \circ d \circ G (u))}_{B} | > 0} | > 0$ ，取 $s = \max {1, p / q}$ ， $t = s n q / (n + s q)$ ，由于 $n - q \leq 0$ ，则 $t - q = \frac{q (s (n - q) - n)}{n + s q} < 0$ ，故有 $t < q$ 且 $1 < t < n$ 。

先后利用引理3、引理1的(5)式、引理2，得

$\begin{array}{l} {(\int_{B} {| T \circ d \circ G (u) - {(T \circ d \circ G (u))}_{B} |}^{n t / (n - t)} d x)}^{(n - t) / n t} \\ \leq C_{1} {(\int_{B} {| d \circ T \circ d \circ G (u) |}^{t} d x)}^{1 / t} \\ \leq C_{1} {(\int_{B} {| \nabla \circ T \circ d \circ G (u) |}^{t} d x)}^{1 / t} \end{array}$

$\begin{array}{l} \leq C_{2} | B | {(\int_{B} {| d \circ G (u) |}^{t} d x)}^{1 / t} \\ \leq C_{3} | B | {(\int_{B} {| u |}^{t} d x)}^{1 / t} \\ \leq C_{3} | Ω | {(\int_{B} {| u |}^{t} d x)}^{1 / t} \\ = C_{4} {(\int_{B} {| u |}^{t} d x)}^{1 / t} \end{array}$ (15)

其中 $C_{4} = C_{3} | Ω |$ 。利用 $L^{p}$ -空间的单调性及 $t < q$ ，可得

${(\frac{1}{| B |} \int_{B} {| u |}^{t} d x)}^{1 / t} \leq {(\frac{1}{| B |} \int_{B} {| u |}^{q} d x)}^{1 / q}$ (16)

式(16)等价于

(17)

综合式(15) (17)，有

${(\int_{B} {| T \circ d \circ G (u) - {(T \circ d \circ G (u))}_{B} |}^{n t / (n - t)} d x)}^{(n - t) / n t} \leq C_{4} {| B |}^{1 / t - 1 / q} {(\int_{B} {| u |}^{q} d x)}^{1 / q} .$ (18)

由于 $| {x \in B : | T \circ d \circ G (u) - {(T \circ d \circ G (u))}_{B} | > 0} | > 0$ ，故(7)式对 $T \circ d \circ G (u)$ 成立，于是应用(7)式可得

${(\int_{B} {| T \circ d \circ G (u) |}^{n t / (n - t)} d x)}^{(n - t) / n t} \leq C {(\int_{B} {| T \circ d \circ G (u) - {(T \circ d \circ G (u))}_{B} |}^{n t / (n - t)} d x)}^{(n - t) / n t} .$ (19)

经计算可得 $\frac{n t}{n - t} = s q \geq p$ ， $\frac{1}{t} - \frac{n - t}{n t} = \frac{1}{n}$ ，综合利用 $L^{p}$ -空间的单调性及式(18) (19)，可得

(20)

式(20)等价于

${(\frac{1}{| B |} \int_{B} {| T \circ d \circ G (u) |}^{p} d x)}^{1 / p} \leq C_{8} {| B |}^{1 / n} {(\frac{1}{| B |} \int_{B} {| u |}^{q} d x)}^{1 / q} .$ (21)

式(21)表明：当 $| {x \in B : | T \circ d \circ G (u) - {(T \circ d \circ G (u))}_{B} | > 0} | > 0$ 时，定理2成立。

综合(i) (ii)可得定理2成立，故定理证毕。

4. 总结

本文证明了 $1 < q < n$ 和 $q \geq n$ 两种条件下有界域上作用于微分形式的复合算子 $T \circ d \circ G$ 的局部高阶可积性。今后，我们可在基础上进一步研究有界域上相关算子的全局高阶可积性。

基金项目

2021年度江西省教育厅科学技术研究项目“关于调和方程解的高阶可积性理论研究”(编号：GJJ213509)。

参考文献

参考文献

[1]	Ding, S.S. and Liu, B. (2009) Global Estimates for Singular Integrals of the Composite Operator. Illinois Journal of Mathematics, 53, 1173-1185. https://doi.org/10.1215/ijm/1290435345
[2]	Li, X.X., Wang, Y. and Xing, Y.M. (2014) Norm Comparison Estimates for the Composite Operator. Journal of Function Spaces, 2014, Article ID: 943986. https://doi.org/10.1155/2014/943986
[3]	李群芳, 李华灿. 关于迭代算子的局部与全局的 -加权积分不等式[J]. 井冈山大学学报(自然科学版), 2020, 41(6): 1-5.
[4]	Ding, S.S., Shi, G.N. and Sylvester, D. (2022) Higher Order Embeddings for the Composition of the Harmonic Projection and Homotopy Operators. High-Dimensional Optimization and Probability, 191, 165-183. https://doi.org/10.1007/978-3-031-00832-0_4
[5]	李华灿, 李群芳. 关于Radon测度的积分不等式[J]. 数学杂志, 2019,39(6): 899-906.
[6]	李群芳, 李华灿. 有界域上局部与全局的Radon测度的积分不等式[J]. 数学的实践与认识, 2021, 51(5): 196-202.
[7]	Xing, Y.M. (2003) Weighted Integral Inequalities for Solutions of the A-Harmonic Equation. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 279, 350-363. https://doi.org/10.1016/S0022-247X(03)00036-2
[8]	Li, X.X., Wang, J.W. and Pan, N. (2023) Inequalities for Integral Operators in Hölder-Morrey Spaces on Differential Forms. Journal of Inequalities and Applications, 2023, Arti-cle No. 71. https://doi.org/10.1186/s13660-023-02977-3
[9]	Li, H.C. and Li Q.F. (2020) Some Higher Norm In-equalities for Composition of Power Operators. Journal of Inequalities and Applications, 2020, Article No. 106. https://doi.org/10.1186/s13660-020-02372-2
[10]	蔡士瑛. 拟微分算子在Besov空间上的有界性[J]. 应用数学进展, 2023, 12(3): 837-846.
[11]	Agarwal, R.P., Ding, S.S. and Nolder, C.A. (2009) Inequalities for Differential Forms. Springer, New York. https://doi.org/10.1007/978-0-387-68417-8
[12]	Iwaniec, T. and Lutoborski, A. (1993) Integral Estimates for Null Lagrangians. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 125, 25-79. https://doi.org/10.1007/BF00411477
[13]	Scott, C. (1995) Theory of Differential Forms on Manifolds. Transactions of the American Mathematical Society, 347, 2075-2096. https://doi.org/10.2307/2154923
[14]	Nolder, C.A. (1999) Hardy-Littlewood Theorems for A-Harmonic Tensors. Illinois Journal of Mathematics, 43, 613-632. https://doi.org/10.1215/ijm/1256060682
[15]	Xing, Y.M. and Ding, S.S. (2009) Norm Comparison Inequalities for the Composite Operator. Journal of Inequalities and Applications, 2009, Article ID: 212915. https://doi.org/10.1155/2009/212915

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