_C^~₃型仿射Weyl群中的Φ值

The Value of Φ in the Affine Weyl Group of Type _C^~₃

摘要: 半线性方程组是计算仿射Weyl群Kazhdan-Lusztig系数的重要工具，而Φ值是求解半线性方程组的一个重要变量。对于Φ值的计算，成为研究Kazhdan-Lusztig系数的关键环节。本文综合利用李代数表示理论中的权格、根格，及计算机编程，对于_C^~₃型仿射Weyl群，计算得出了全部的Φ值。这些结果对于进一步计算该群的某些Kazhdan-Lusztig系数奠定了基础。

Abstract: A system of semi-linear equations is an important tool for calculating the Kazhdan-Lusztig coeffi-cients of affine Weyl groups, and the value of Φ is an important variable in solving the system of semi-linear equations. The calculation of values of Φ has become a key link in studying the Kazhdan-Lusztig coefficients. In this article, by comprehensively using the weight lattice, root lattice in the representation theory of Lie algebras, and computer programming, we get all values of Φ for affine Weyl group of type _C^~₃. These results lay the foundation for further calculating certain Kazhdan-Lusztig coefficients of the group.

1. 引言

Kazhdan-Lusztig多项式是Kazhdan-Lusztig理论中一个非常核心的研究对象，备受人们的关注。当我们在考虑Weyl群或者仿射Weyl群时，它们的Kazhdan-Lusztig多项式的系数在表示理论及李理论中有着非常深刻的意义。尽管Kazhdan-Lusztig多项式有一个递归公式，但是其计算过程十分复杂，很难对全体Kazhdan-Lusztig多项式的系数进行计算，群的秩越大计算也更为困难。1996年，Lusztig [1] 在验证W-图的非局部有限性时，用半线性方程组算出了 ${\tilde{B}}_2$ 型仿射Weyl群的一类Kazhdan-Lusztig系数，其中Φ值为半线性方程组里一个重要的变量。2008年，王利萍 [2] 计算了 ${\tilde{B}}_2$ 型仿射Weyl群的Φ值；2015年，郭鹏飞 [3] 计算了 ${\tilde{G}}_2$ 型仿射Weyl群的Φ值；2017年，冯鸽等人 [4] 研究了 ${\tilde{C}}_3$ 型仿射Weyl群的左胞腔图和特异对合元图；2019年罗新等人 [5] [6] 计算出了 ${\tilde{A}}_3$ 型仿射Weyl群的Φ值及部分Kazhdan-Lusztig系数；2021年以来王利萍团队 [7] [8] 对 ${\tilde{A}}_3$ 、 ${\tilde{C}}_3$ 型的李代数进行了张量积分解。

本文主要分为3个部分，第一部分介绍了 ${\tilde{C}}_3$ 型仿射Weyl群的基本结构；第二部分计算出了全部Φ值；第三部分对 ${\tilde{C}}_3$ 型仿射Weyl群Φ值的计算工作进行了总结，并对Kazhdan-Lusztig系数的研究工作进行了展望。

2. ${\tilde{C}}_3$ 型仿射Weyl群的结构

对于 ${\tilde{C}}_3$ 型仿射Weyl群W，其生成元集 $S=\left\{s_0,s_1,s_2,s_3\right\}$ ，Dynkin图如图1所示。

Figure 1. The Dynkin diagram of affine Weyl group of type ${\tilde{C}}_3$

图1. ${\tilde{C}}_3$ 型仿射Weyl群的Dynkin图

任意两生成元的乘积阶数 $o\left(s_i{s}_j\right)$ 有以下关系：

$o\left(s_0{s}_2\right)=o\left(s_0{s}_3\right)=o\left(s_1{s}_3\right)=2,o\left(s_1{s}_2\right)=3,o\left(s_0{s}_1\right)=o\left(s_2{s}_3\right)=4.$

为了方便，对于W中的每个元 $w=s_{i_1}{s}_{i_2}\cdots s_{i_n}$ ，可用下标 $i_1{i}_2\cdots i_n$ 来表示。

对应的 $C_3$ 型Weyl群为 $W_0=\langle s_1,s_2,s_3\rangle$ ，则：

$\begin{array}{l}{W}_0=\{e,1,2,3,12,13,21,23,32,121,123,132,213,232,321,323,1213,1232,1321,1323,2132,2321,2323,3213,\\ 12312,12321,12323,13213,21321,21323,23213,32132,121321,121323,123213,132132,213213,232132,\\ 321323,1231213,1232132,1321323,2132132,2321323,12132132,12321323,21321323,121321323\}.\end{array}$

对应的根系为R，支配权集为 ${\Lambda }^{+}$ ，根格为 ${\Lambda }_r$ ，令 ${\alpha }_i$ 为 $s_i$ 对应的单根( $i=1,2,3$ )，则 ${\Lambda }_r=Z{\alpha }_1+Z{\alpha }_2+Z{\alpha }_3$ ，Z为整数集。

正根集为： $R^{+}=\left\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_2+{\alpha }_3,2{\alpha }_2+{\alpha }_3,{\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3,2{\alpha }_1+2{\alpha }_2+{\alpha }_3,{\alpha }_1+2{\alpha }_2+{\alpha }_3\right\}$ 。

基本支配权为 $x_1,x_2,x_3$ ，则支配权集 ${\Lambda }^{+}=N{x}_1+N{x}_2+N{x}_3$ ，N为自然数集合，且有 [9] ：

$x_1={\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3/2;x_2={\alpha }_1+2{\alpha }_2+{\alpha }_3;x_3={\alpha }_1+2{\alpha }_2+3{\alpha }_3/2.$

3. 关于Φ值的计算

设v是一个变量， $A=Z\left[v,v^{-1}\right]$ 为一个整系数的Laurent多项式环。令 $\stackrel{¯}{}:A\to A$ 为由 $\bar{v}\to v^{-1}$ 定义的对合。 ${\tilde{C}}_3$ 型仿射Weyl群W作为一种特殊的Coxeter群，有Bruhat序“≤”。令 ${\Lambda }_r^{+}={\Lambda }_r\cap {\Lambda }^{+}$ ，Lusztig [1] 指出从 ${\Lambda }_r^{+}$ 到 $W_0-W_0$ 在W中的双陪集集合有一个1-1对应。对于每个 $\lambda \in {\Lambda }_r^{+}$ ，在 $W_0\lambda W_0$ 中都有唯一一个最短元 $m_{\lambda }$ ，同样也有唯一一个最长元 $M_{\lambda }$ 。对于任意的 $\lambda ,{\lambda }^{\prime }\in {\Lambda }_r^{+}$ ，有 $\lambda \le {\lambda }^{\prime }$ 当且仅当 $M_{\lambda }\le M_{{\lambda }^{\prime }}$ ，如果 ${\lambda }^{\prime }-\lambda$ 为 $R^{+}$ 中元素的非负线性组合则 $\lambda \le {\lambda }^{\prime }$ 。

根据文献 [1] 中Lusztig给出的Proposition 7与Corollary 11，即

引理1 [1] 对于任意的 $\lambda \le {\lambda }^{″}\in {\Lambda }_r^{+}$ ，有：

${\displaystyle \underset{\lambda \le {\lambda }^{\prime }\le {\lambda }^{″}}{\sum }{a}_{\lambda ,{\lambda }^{\prime }}{\left(-1\right)}^{l\left(m_{{\lambda }^{\prime }}\right)-l\left(M_{{\lambda }^{\prime }}\right)}{\pi }_{{\lambda }^{\prime }}{\bar{b}}_{{\lambda }^{\prime },{\lambda }^{″}}}={\displaystyle \underset{\lambda \le {\lambda }^{\prime }\le {\lambda }^{″}}{\sum }{\bar{a}}_{\lambda ,{\lambda }^{\prime }}{\left(-1\right)}^{l\left(m_{{\lambda }^{\prime }}\right)-l\left(M_{{\lambda }^{\prime }}\right)}{\pi }_{{\lambda }^{\prime }}{b}_{{\lambda }^{\prime },{\lambda }^{″}}}$ .

其中 $l\left(w\right)$ 为w的长度， $a_{\lambda ,{\lambda }^{\prime }}、b_{\lambda ,{\lambda }^{\prime }}$ 的表达式为：

$a_{\lambda ,{\lambda }^{\prime }}=\frac{v^{{\nu }_{{\lambda }^{\prime }}}}{{\pi }_{{\lambda }^{\prime }}}{\displaystyle \underset{w\in W_I}{\sum }{\left(-1\right)}^{l\left(w\right)}\Phi }\left({\lambda }^{\prime }+\rho -w\left(\lambda +\rho \right)\right),$

$b_{\lambda ,{\lambda }^{\prime }}={\left(-1\right)}^{l\left(m_{\lambda }\right)-l\left(m_{{\lambda }^{\prime }}\right)}\frac{1}{{\pi }_{\lambda }}\cdot {\displaystyle \underset{w\in W_I}{\sum }{\left(-1\right)}^{l\left(w\right)}\Phi }\left(w\left({\lambda }^{\prime }-\rho \right)-\left(\lambda -\rho \right)\right).$

Kazhdan-Lusztig 系数 $\mu \left(m_{\lambda },m_{{\lambda }^{\prime }}\right)=Re{s}_{v=0}\left(b_{\lambda ,{\lambda }^{\prime }}\right)$ ，其中 ${\text{Res}}_{v=0}\left(b_{\lambda ,{\lambda }^{\prime }}\right)\in Z$ 为 $v^{-1}$ 在 $$ 中的系数。

子集合 $i\subseteq R^{+}$ ，令 ${\alpha }_i={\displaystyle {\sum }_{\alpha \in i}\alpha }\in {\Lambda }_r$ 。可知 ${\alpha }_{\varphi }=0$ ，令 ${\alpha }_{R^{+}}=2\rho$ ，其中 $\rho \in {\Lambda }_r$ 。对于任意的 $x={\alpha }_i\in {\Lambda }_r$ ，有公式 [1] ：

$\Phi \left(x\right)={\displaystyle \underset{i:i\subseteq R^{+};{\alpha }_i=x}{\sum }{\left(-v^2\right)}^{-\left|i\right|}}$ . (1)

显然 $\Phi \left(x\right)\in Z\left[v^{-1}\right]$ 。

如果对于任意的子集合 $i\subseteq R^{+}$ ，都有 $x\ne {\alpha }_i\in {\Lambda }_r$ ，则 $\Phi \left(x\right)=0$ 。

命题2对于任意的 $x\in {\Lambda }_r$ ，存在子集合 $i\subseteq R^{+}$ 满足 $x={\alpha }_i$ ，有：

$\Phi \left(2\rho -x\right)={\left(-v^2\right)}^{-\left|R^{+}\right|}{\displaystyle \underset{i:i\subset R^{+};{\alpha }_i=x}{\sum }{\left(-v^2\right)}^{\left|i\right|}}$ .

证明：已知 $i$ 为 $R^{+}$ 的子集，设 $R^{+}$ 中 $i$ 的补集为 $k$ ，令 $y={\alpha }_k\in {\Lambda }_r$ ，则 $x+y=2\rho$ 。

假设 $R^{+}$ 中有j个子集满足 $x={\alpha }_i\in {\Lambda }_r$ ，同样也有j个子集满足 $y={\alpha }_k\in {\Lambda }_r$ ， $i_n\left(0<n\le j\right)$ 表示满足条件的某个子集，其补集用 $k_n\left(0<n\le j\right)$ 表示，因此根据式(2)，可得：

$\Phi \left(x\right)={\left(-v^2\right)}^{-\left|i_1\right|}+{\left(-v^2\right)}^{-\left|i_2\right|}+\cdots +{\left(-v^2\right)}^{-\left|i_j\right|}$ ，

$\Phi \left(y\right)=\Phi \left(2\rho -x\right)={\left(-v^2\right)}^{-\left|k_1\right|}+{\left(-v^2\right)}^{-\left|k_2\right|}+\cdots +{\left(-v^2\right)}^{-\left|k_j\right|}$ 。

因为 $k$ 为 $i$ 在 $R^{+}$ 中的补集，可得： ${\left(-v^2\right)}^{-\left|\text{i}\right|}{\left(-v^2\right)}^{-\left|\text{k}\right|}={\left(-v^2\right)}^{-\left|{\text{R}}^{+}\right|}$ 。所以 $\Phi \left(2\rho -x\right)={\left(-v^2\right)}^{-\left|R^{+}\right|+\left|i_1\right|}+{\left(-v^2\right)}^{-\left|R^{+}\right|+\left|i_2\right|}+\cdots +{\left(-v^2\right)}^{-\left|R^{+}\right|+\left|i_j\right|}={\left(-v^2\right)}^{-\left|R^{+}\right|}{\displaystyle \underset{i;i\subset R^{+};{\alpha }_i=x}{\sum }{\left(-v^2\right)}^{\left|i\right|}}$ 。

该命题即证。

用命题2再结合Mathematica对 ${\tilde{C}}_3$ 型仿射Weyl群不同正根的和进行计算，从而根据Φ值的定义分类得出：

定理3 ${\tilde{C}}_3$ 型仿射Weyl群里的Φ值：

$\Phi \left({\alpha }_1\right)=\Phi \left({\alpha }_2\right)=\Phi \left({\alpha }_3\right)=-v^{-2},$ $\Phi \left({\alpha }_1+{\alpha }_2\right)=\Phi \left({\alpha }_2+{\alpha }_3\right)=\Phi \left(2{\alpha }_2+{\alpha }_3\right)=-v^{-2}+v^{-4},$

$\Phi \left({\alpha }_1+{\alpha }_3\right)=\Phi \left(2{\alpha }_1+{\alpha }_2\right)=\Phi \left({\alpha }_1+2{\alpha }_2\right)=\Phi \left({\alpha }_2+2{\alpha }_3\right)=\Phi \left(3{\alpha }_2+{\alpha }_3\right)=v^{-4},$

$\Phi \left({\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3\right)=-v^{-2}+2v^{-4}-v^{-6},$

$\Phi \left({\alpha }_1+5{\alpha }_2+3{\alpha }_3\right)=\Phi \left(3{\alpha }_1+3{\alpha }_2+3{\alpha }_3\right)=-v^{-6}+2v^{-8}-v^{-10},$ $\Phi \left({\alpha }_1+3{\alpha }_2+3{\alpha }_3\right)=-2v^{-6}+2v^{-8},$

$\begin{array}{c}\Phi \left(2{\alpha }_1+2{\alpha }_2\right)=\Phi \left(2{\alpha }_1+{\alpha }_2+2{\alpha }_3\right)=\Phi \left(4{\alpha }_2+2{\alpha }_3\right)=\Phi \left(3{\alpha }_2+3{\alpha }_3\right)\\ =\Phi \left({\alpha }_1+4{\alpha }_2+{\alpha }_3\right)=\Phi \left({\alpha }_1+2{\alpha }_2+3{\alpha }_3\right)=-v^{-6},\end{array}$

$\Phi \left(4{\alpha }_1+3{\alpha }_2+{\alpha }_3\right)=-v^{-6},$ $\Phi \left({\alpha }_1+2{\alpha }_2+{\alpha }_3\right)=-v^{-2}+3v^{-4}-2v^{-6},$ $\Phi \left(2{\alpha }_1+2{\alpha }_2+{\alpha }_3\right)=-v^{-2}+2v^{-4}-2v^{-6}+v^{-8},$

$\Phi \left(2{\alpha }_2+2{\alpha }_3\right)=\Phi \left(2{\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3\right)=\Phi \left({\alpha }_1+{\alpha }_2+2{\alpha }_3\right)=\Phi \left(3{\alpha }_2+2{\alpha }_3\right)=\Phi \left(3{\alpha }_1+2{\alpha }_2+{\alpha }_3\right)=v^{-4}-v^{-6},$

$\Phi \left({\alpha }_1+2{\alpha }_2+2{\alpha }_3\right)=2v^{-4}-3v^{-6}+v^{-8},$ $\Phi \left({\alpha }_1+3{\alpha }_2+2{\alpha }_3\right)=2v^{-4}-4v^{-6}+2v^{-8},$

$\Phi \left(2{\alpha }_1+3{\alpha }_2+{\alpha }_3\right)=2v^{-4}-3v^{-6}+v^{-8},$ $\Phi \left(2{\alpha }_1+3{\alpha }_2+2{\alpha }_3\right)=2v^{-4}-v^{-6}+4v^{-8}-v^{-10},$

$\Phi \left({\alpha }_1+3{\alpha }_2+{\alpha }_3\right)=2v^{-4}-2v^{-6},$ $\Phi \left(2{\alpha }_1+2{\alpha }_2+2{\alpha }_3\right)=\Phi \left({\alpha }_1+4{\alpha }_2+2{\alpha }_3\right)=v^{-4}-3v^{-6}+2v^{-8},$

$\begin{array}{c}\Phi \left(2{\alpha }_1+4{\alpha }_2+{\alpha }_3\right)=\Phi \left(3{\alpha }_1+2{\alpha }_2+2{\alpha }_3\right)=\Phi \left({\alpha }_1+5{\alpha }_2+2{\alpha }_3\right)\\ =\Phi \left(3{\alpha }_1+4{\alpha }_2+{\alpha }_3\right)=\Phi \left(4{\alpha }_1+3{\alpha }_2+2{\alpha }_3\right)=-v^{-6}+v^{-8},\end{array}$

$\Phi \left(3{\alpha }_1+3{\alpha }_2+{\alpha }_3\right)=v^{-4}-2v^{-6}+v^{-8},$ $\Phi \left(2{\alpha }_1+2{\alpha }_2+3{\alpha }_3\right)=\Phi \left(4{\alpha }_2+3{\alpha }_3\right)=\Phi \left({\alpha }_1+4{\alpha }_2+4{\alpha }_3\right)=v^{-8},$

$\begin{array}{c}\Phi \left(4{\alpha }_1+4{\alpha }_2+{\alpha }_3\right)=\Phi \left({\alpha }_1+6{\alpha }_2+3{\alpha }_3\right)=\Phi \left(2{\alpha }_1+6{\alpha }_2+2{\alpha }_3\right)\\ =\Phi \left(5{\alpha }_1+4{\alpha }_2+2{\alpha }_3\right)=\Phi \left(4{\alpha }_1+3{\alpha }_2+3{\alpha }_3\right)=v^{-8},\end{array}$

$\Phi \left(3{\alpha }_1+5{\alpha }_2+4{\alpha }_3\right)=2v^{-8}-4v^{-10}+2v^{-12},$ $\Phi \left(2{\alpha }_1+4{\alpha }_2+2{\alpha }_3\right)=v^{-4}-5v^{-6}+5v^{-8}-v^{-10},$

$\Phi \left({\alpha }_1+4{\alpha }_2+3{\alpha }_3\right)=\Phi \left(2{\alpha }_1+3{\alpha }_2+3{\alpha }_3\right)=\Phi \left(2{\alpha }_1+5{\alpha }_2+2{\alpha }_3\right)=\Phi \left(4{\alpha }_1+4{\alpha }_2+2{\alpha }_3\right)=-2v^{-6}+3v^{-8}-v^{-10},$

$\Phi \left(3{\alpha }_1+3{\alpha }_2+2{\alpha }_3\right)=v^{-4}-3v^{-6}+3v^{-8}-v^{-10},$ $\Phi \left(5{\alpha }_1+6{\alpha }_2+4{\alpha }_3\right)=-2v^{-10}+3v^{-12}-v^{-14},$

$\Phi \left(2{\alpha }_1+4{\alpha }_2+3{\alpha }_3\right)=-2v^{-6}+6v^{-8}-4v^{-10},$ $\Phi \left(3{\alpha }_1+4{\alpha }_2+2{\alpha }_3\right)=v^{-4}-4v^{-6}+5v^{-8}-2v^{-10},$

$\begin{array}{c}\Phi \left({\alpha }_1+5{\alpha }_2+4{\alpha }_3\right)=\Phi \left(2{\alpha }_1+4{\alpha }_2+4{\alpha }_3\right)=\Phi \left(3{\alpha }_1+6{\alpha }_2+2{\alpha }_3\right)\\ =\Phi \left(3{\alpha }_1+4{\alpha }_2+4{\alpha }_3\right)=\Phi \left(5{\alpha }_1+5{\alpha }_2+2{\alpha }_3\right)=v^{-8}-v^{-10},\end{array}$

$\Phi \left(4{\alpha }_1+6{\alpha }_2+2{\alpha }_3\right)=v^{-8}-v^{-10},$ $\Phi \left(2{\alpha }_1+5{\alpha }_2+3{\alpha }_3\right)=-2v^{-6}+5v^{-8}-4v^{-10}+v^{-12},$

$\Phi \left(3{\alpha }_1+7{\alpha }_2+3{\alpha }_3\right)=v^{-8}-2v^{-10}+v^{-12},$

$\Phi \left(4{\alpha }_1+4{\alpha }_2+4{\alpha }_3\right)=\Phi \left(5{\alpha }_1+6{\alpha }_2+2{\alpha }_3\right)=\Phi \left(2{\alpha }_1+6{\alpha }_2+5{\alpha }_3\right)=-v^{-10},$

$\begin{array}{c}\Phi \left(4{\alpha }_1+8{\alpha }_2+3{\alpha }_3\right)=\Phi \left(6{\alpha }_1+6{\alpha }_2+3{\alpha }_3\right)=\Phi \left(2{\alpha }_1+7{\alpha }_2+4{\alpha }_3\right)\\ =\Phi \left({\alpha }_1+6{\alpha }_2+4{\alpha }_3\right)=\Phi \left(5{\alpha }_1+4{\alpha }_2+3{\alpha }_3\right)=-v^{-10},\end{array}$

$\Phi \left(2{\alpha }_1+5{\alpha }_2+4{\alpha }_3\right)=2v^{-8}-3v^{-10}+v^{-12},$

$\Phi \left(4{\alpha }_1+5{\alpha }_2+2{\alpha }_3\right)=-v^{-6}+3v^{-8}-2v^{-10},$ $\Phi \left(3{\alpha }_1+5{\alpha }_2+2{\alpha }_3\right)=-2v^{-6}+4v^{-8}-2v^{-10},$

$\Phi \left(3{\alpha }_1+4{\alpha }_2+3{\alpha }_3\right)=-2v^{-6}+5v^{-8}-4v^{-10}+v^{-12},$ $\Phi \left(3{\alpha }_1+5{\alpha }_2+3{\alpha }_3\right)=-2v^{-6}+6v^{-8}-6v^{-10}+2v^{-12},$

$\Phi \left(4{\alpha }_1+6{\alpha }_2+3{\alpha }_3\right)=4v^{-8}-6v^{-10}+2v^{-12},$ $\Phi \left(2{\alpha }_1+6{\alpha }_2+4{\alpha }_3\right)=\Phi \left(4{\alpha }_1+5{\alpha }_2+4{\alpha }_3\right)=v^{-8}-3v^{-10}+2v^{-12},$

$\Phi \left(3{\alpha }_1+6{\alpha }_2+3{\alpha }_3\right)=-v^{-6}+4v^{-8}-5v^{-10}+2v^{-12},$ $\Phi \left(5{\alpha }_1+5{\alpha }_2+3{\alpha }_3\right)=v^{-8}-2v^{-10}+v^{-12},$

$\begin{array}{c}\Phi \left(2{\alpha }_1+7{\alpha }_2+4{\alpha }_3\right)=\Phi \left(5{\alpha }_1+5{\alpha }_2+4{\alpha }_3\right)=\Phi \left(3{\alpha }_1+6{\alpha }_2+5{\alpha }_3\right)\\ =\Phi \left(4{\alpha }_1+6{\alpha }_2+5{\alpha }_3\right)=\Phi \left(3{\alpha }_1+8{\alpha }_2+4{\alpha }_3\right)=-v^{-10}+v^{-12},\end{array}$

$\Phi \left(4{\alpha }_1+5{\alpha }_2+3{\alpha }_3\right)=-v^{-6}+4v^{-8}-5v^{-10}+2v^{-12},$ $\Phi \left(3{\alpha }_1+6{\alpha }_2+4{\alpha }_3\right)=2v^{-8}-5v^{-10}+4v^{-12}-v^{-14},$

$\Phi \left(4{\alpha }_1+6{\alpha }_2+4{\alpha }_3\right)=v^{-8}-5v^{-10}+5v^{-12}-v^{-14},$ $\Phi \left(5{\alpha }_1+6{\alpha }_2+3{\alpha }_3\right)=\Phi \left(4{\alpha }_1+7{\alpha }_2+3{\alpha }_3\right)=v^{-8}-3v^{-10}+2v^{-12},$

$$ $\Phi \left(5{\alpha }_1+7{\alpha }_2+3{\alpha }_3\right)=-2v^{-10}+2v^{-12},$

$\Phi \left(3{\alpha }_1+7{\alpha }_2+5{\alpha }_3\right)=-v^{-10}+2v^{-12}-v^{-14},$ $\Phi \left(4{\alpha }_1+7{\alpha }_2+4{\alpha }_3\right)=v^{-8}-4v^{-10}+5v^{-12}-2v^{-14},$

$\begin{array}{c}\Phi \left(6{\alpha }_1+6{\alpha }_2+4{\alpha }_3\right)=\Phi \left(6{\alpha }_1+7{\alpha }_2+3{\alpha }_3\right)=\Phi \left(5{\alpha }_1+6{\alpha }_2+5{\alpha }_3\right)\\ =\Phi \left(5{\alpha }_1+8{\alpha }_2+3{\alpha }_3\right)=\Phi \left(4{\alpha }_1+9{\alpha }_2+4{\alpha }_3\right)=v^{-12},\end{array}$

$\Phi \left(4{\alpha }_1+8{\alpha }_2+6{\alpha }_3\right)=\Phi \left(2{\alpha }_1+7{\alpha }_2+5{\alpha }_3\right)=v^{-12},$ $\Phi \left(5{\alpha }_1+7{\alpha }_2+4{\alpha }_3\right)=-2v^{-10}+4v^{-12}-2v^{-14},$

$\Phi \left(4{\alpha }_1+7{\alpha }_2+5{\alpha }_3\right)=\Phi \left(5{\alpha }_1+8{\alpha }_2+4{\alpha }_3\right)=-v^{-10}+3v^{-12}-2v^{-14},$ $\Phi \left(5{\alpha }_1+8{\alpha }_2+4{\alpha }_3\right)=-v^{-10}+3v^{-12}-2v^{-14},$

$\begin{array}{c}\Phi \left(3{\alpha }_1+8{\alpha }_2+5{\alpha }_3\right)=\Phi \left(6{\alpha }_1+7{\alpha }_2+4{\alpha }_3\right)=\Phi \left(6{\alpha }_1+8{\alpha }_2+4{\alpha }_3\right)\\ =\Phi \left(4{\alpha }_1+9{\alpha }_2+5{\alpha }_3\right)=\Phi \left(5{\alpha }_1+9{\alpha }_2+4{\alpha }_3\right)=v^{-12}-v^{-14},\end{array}$

$\Phi \left(4{\alpha }_1+8{\alpha }_2+4{\alpha }_3\right)=-2v^{-10}+3v^{-12}-v^{-14},$ $\Phi \left(5{\alpha }_1+7{\alpha }_2+5{\alpha }_3\right)=2v^{-12}-2v^{-14},$

$\Phi \left(4{\alpha }_1+8{\alpha }_2+5{\alpha }_3\right)=-v^{-10}+2v^{-12}-2v^{-14}+v^{-16},$ $\Phi \left(5{\alpha }_1+8{\alpha }_2+5{\alpha }_3\right)=2v^{-12}-3v^{-14}+v^{-16},$

$\begin{array}{c}\Phi \left(6{\alpha }_1+7{\alpha }_2+5{\alpha }_3\right)=\Phi (4{\alpha }_1+9{\alpha }_2+6{\alpha }_3)=\Phi \left(5{\alpha }_1+8{\alpha }_2+6{\alpha }_3\right)\\ =\Phi \left(6{\alpha }_1+9{\alpha }_2+4{\alpha }_3\right)=\Phi \left(5{\alpha }_1+10{\alpha }_2+5{\alpha }_3\right)=-v^{-14},\end{array}$

$\Phi \left(6{\alpha }_1+8{\alpha }_2+5{\alpha }_3\right)=\Phi \left(5{\alpha }_1+9{\alpha }_2+6{\alpha }_3\right)=\Phi \left(6{\alpha }_1+9{\alpha }_2+5{\alpha }_3\right)=-v^{-14}+v^{-16},$

$\Phi \left(5{\alpha }_1+9{\alpha }_2+5{\alpha }_3\right)=v^{-12}-2v^{-14}+v^{-16},$

$\Phi \left(6{\alpha }_1+9{\alpha }_2+6{\alpha }_3\right)=\Phi \left(5{\alpha }_1+10{\alpha }_2+6{\alpha }_3\right)=\Phi \left(6{\alpha }_1+10{\alpha }_2+5{\alpha }_3\right)=v^{-16},$

$\Phi \left(6{\alpha }_1+10{\alpha }_2+6{\alpha }_3\right)=-v^{-18}.$

4. 结论

本文以 ${\tilde{C}}_3$ 型仿射Weyl群为研究对象，计算了半线性方程组里的Φ值，以下为主要结论：

1) 根据Φ的定义，得出了 $\Phi \left(2\rho -x\right)$ 与 $\Phi \left(x\right)$ 之间的关系。这对求得任意类型的Weyl群的Φ值都节省了大量计算精力。

2) 对于任意 $\lambda \in {\Lambda }_r^{+}$ ，计算得出了全部Φ值，并对Φ值进行了分类总结。

接下来将利用得出的Φ值，对半线性方程组中的 $a_{\lambda ,{\lambda }^{\prime }}$ ， $b_{\lambda ,{\lambda }^{″}}$ 进行计算，从而求解出 ${\tilde{C}}_3$ 型仿射Weyl群的部分Kazhdan-Lusztig系数。但是本文在用Mathematica计算Φ值时，并没有编写出直接求得Φ值的程序，只是对不同正根的和进行了求解，再进行分类整理得出Φ值。

基金项目

北京市组织部“高创计划”青年拔尖人才培养计划(21351918007)。

NOTES

^*通讯作者。