基于双指数拟合的核信号堆积脉冲重构方法

Nuclear Pile-Up Pulse Reconstruction Method Based on Double-Exponential Fitting

摘要: 高计数率下核脉冲信号容易发生堆积，将堆积脉冲直接舍弃的方法会导致能谱计数率的下降。本文用硅漂移探测器对X光管激发的铜合金样品进行测量，采用14位20 MHz的ADC采样获取数据，在Matlab上对输出信号进行冲激成形以识别堆积脉冲，应用双指数表达式对堆积脉冲进行重构并进行幅值提取计入能谱中。结果表明，与传统的直接舍弃堆积脉冲相比，该方法提高了能谱计数，提升率约为21.37%。

Abstract: Nuclear pulse tend to pile up at high count rate. The traditional method is to discard the pile-up pulse, which will decrease the energy spectrum count rate. In this paper, silicon drift detector is used to measure the copper alloy excited by X-ray tube, 14-bit 20 MHzADC is used to obtain the data, impulse pulse-shaping is performed on Matlab to identify the pile-up pulse of the output signal, and the pile-up pulse is reconstructed by double-exponential expression and the amplitude is extracted and included in the energy spectrum. The results show that, compared with directly rejecting the pile-up pulse, this method improves the energy spectrum count by 21.37%.

1. 引言

硅漂移探测器(Silicon Drift Detector, SDD)是由高阻硅制成的X射线探测器，相比于Si-PIN等探测器，SDD器件采用侧向耗尽结构设计，电荷输运电场与探测器耗尽电场相对独立，电荷收集极电容与探测器面积无关，使收集极电容非常小，因而具备优异的能量分辨率和计数率性能 [1] 。

由于探测器输出的核脉冲具有一定的宽度与较长的下降沿，一个脉冲信号宽度内可能相继探测到多次核事件，这会导致信号堆积，引起脉冲幅度的畸变，影响到脉冲信号幅度的有效提取，进而影响到核谱仪的能量分辨率 [2] [3] 。堆积脉冲分离常用的方法是将具有长拖尾的双指数信号通过卷积成形为具有一定宽度的信号，减小或者消除前一个脉冲拖尾对后一个脉冲幅值的影响。例如高斯成形、梯形成形(三角成形)、尖顶成形等方法 [4] [5] [6] [7] [8] ，成形之后可对脉冲直接进行幅值提取，其中梯形成形算法具有处理过程简单，成形速度快，成形后梯形脉冲宽度窄，顶部平坦，成形参数可调，线性良好等特点被广泛应用 [9] ，但是对于成形之后仍然堆积的脉冲信号，上述的成形方法无法对其进行分离，因此需要使用其他方法对该种堆积脉冲进行处理。

本文使用Matlab对ADC采集的硅漂移探测器输出信号数据进行处理，采用冲激成形识别堆积脉冲、梯形成形进行幅值提取，应用核信号的双指数模型对堆积脉冲进行分离并重构，以提高能谱的计数率和分辨率。

2. 探测器输出信号

硅漂移探测器(SDD)的输出信号近似为脉冲信号或单时间常数的指数衰减信号 [10] 。随着数字系统的发展，高速ADC的应用降低了半导体探测器系统中的噪声，提高了采样精度。因此核脉冲的上升时间可以被精确地探测和描述，SDD的输出信号应该近似为具有一定上升沿的双指数信号 [11] 。

双指数信号数学表达式：

$V\left(t\right)=\{\begin{array}{l}A\cdot \left({\text{e}}^{-\frac{t}{{\tau }_1}}-{\text{e}}^{-\frac{t}{{\tau }_2}}\right),t\ge 0\\ 0,t<0\end{array}$ (1)

式中， $A$ 为脉冲振幅， ${\tau }_1$ 和 ${\tau }_{\text{2}}$ 分别为信号的慢时间常数和快时间常数。

3. 双指数梯形成形算法

双指数梯形成形算法 [12] 是一种将ADC采集得到的双指数脉冲信号转换成梯形脉冲信号的算法，原理如图1所示。理想的梯形脉冲输出信号表达为：

$V_{tr}\left(t\right)=\left(\frac{A}{t_r}\right)\cdot \left[t\cdot u\left(t\right)-\left(t-t_r\right)\cdot u\left(t-t_r\right)-\left(t-t_t\right)\cdot u\left(t-t_t\right)+\left(t-t_d\right)\cdot u\left(t-t_d\right)\right]$ (2)

$V_{tr}\left(t\right)$ 为等腰梯形脉冲； $u\left(t\right)$ 为单位阶跃函数； $t_r$ 为梯形脉冲上升结束点； $t_t$ 为梯形脉冲平顶结束点； $t_d$ 为梯形脉冲下降结束点。

探测器输出信号为双指数信号，其表达式为：

$V_i\left(n\right)=A\cdot \left({\text{e}}^{-\frac{n\cdot T_S}{{\tau }_1}}-{\text{e}}^{-\frac{n\cdot T_S}{{\tau }_2}}\right)$ (3)

式中， $A$ 为脉冲振幅， ${\tau }_1$ 和 ${\tau }_{\text{2}}$ 分别为脉冲的下降部分和上升部分， $T_S$ 为ADC的采样周期， $n$ 为采样点序列。

Figure 1. Ideal double-exponential signal and ideal trapezoid shaping signal

图1. 理想双指数信号与理想梯形成形信号

分别将 $V_i$ ， $V_{tr}$ 离散后进行 $Z$ 变换得到：

$V_i\left(z\right)=n_r\cdot \left(\alpha -\beta \right)\cdot {\left(1-z^{-1}\right)}^2$ (4)

$V_t{}_r\left(z\right)=\left(1-z^{-n_r}-z^{-n_t}+z^{-n_d}\right)\cdot \left(1-\alpha \cdot z^{-1}\right)\cdot \left(1-\beta \cdot z^{-1}\right)$ (5)

式中 $n_r=\frac{t_r}{T_S}$ 决定梯形脉冲上升边长度； $n_t=\frac{t_t}{T_S}$ 决定梯形脉冲平顶宽度； $n_d=\frac{t_d}{T_S}$ 决定梯形脉冲下降长度； $\alpha ={\text{e}}^{-\frac{T_S}{{\tau }_1}}，\beta ={\text{e}}^{-\frac{T_S}{{\tau }_2}}$ 。

将上式相除后再作Z反变换即可得出双指数梯形成形算法时域递推式：

$\begin{array}{c}{V}_o\left(n\right)=2\cdot V_o\left(n-1\right)-V_o\left(n-2\right)+[\left(V_i\left(n\right)-V_i\left(n-n_r\right)-V_i\left(n-n_t\right)+V_i\left(n-n_d\right)\right)\\ -\left(\alpha +\beta \right)\cdot \left(V_i\left(n-1\right)-V_i\left(n-n_r-1\right)-V_i\left(n-n_t-1\right)+V_i\left(n-n_d-1\right)\right)\\ +\alpha \cdot \beta \cdot \left(V_i\left(n-2\right)-V_i\left(n-n_r-2\right)-V_i\left(n-n_t-2\right)+V_i\left(n-n_d-2\right)\right)]/\left[n_r\cdot \left(\alpha -\beta \right)\right]\end{array}$ (6)

式中 $V_i\left(n\right)$ 输入双指数脉冲序列；n为采样序列号； $V$ 为输出梯形成形后的序列。

4. 堆积脉冲识别与重建

本文用AmpTek公司生产的型号为XR-100SDD半导体探测器对铜(Cu)标准样品进行测量，采用型号为KYW2000A-Ag X光管作为激发源，光管电压设为20 kV，光管电流设置为78.4 uA，测量时间为100 s，采用14位20 MHz的ADC对输出信号进行采集，输出核信号最大幅度为16,384，时间分辨率为50 ns，将所得的数据导入到Matlab中进行处理，对多个非堆积脉冲的时间常数进行拟合求平均值，求得双指数信号的快慢衰减时间常数 ${\tau }_1=974.595n{s}_o$ ， ${\tau }_2=121.755ns$ 。采用梯形成形算法对输出信号进行成形并提取幅值，梯形信号的上升时间设置为1.25 us，平顶时间设置为0.5 us，脉冲宽度为3 us，采用冲激成形对脉冲堆积进行判断并记录堆积脉冲位置，最后对堆积脉冲应用双指数信号模型进行重构，将堆积脉冲重新进行幅值提取后计入到能谱中，具体过程如下所示。

4.1. 堆积脉冲识别

对双指数输出信号进行冲激成形来识别核脉冲信号的起点，冲激成形算法 [13] [14] 是一种将双指数信号转换成冲激信号的算法，其原理如图2所示。理想的冲激信号表达式为：

$V_o\left(t\right)=A\cdot \delta \left(t\right),t\ge 0$ (7)

对式(1)与式(7)进行 $Z$ 变换后，两式相除，再进行 $Z$ 逆变换可得冲激成形的递推表达式：

$V_o\left(n-1\right)=\frac{V_i\left(n\right)-\left(\alpha -\beta \right)\cdot V_i\left(n-1\right)+\alpha \cdot \beta \cdot V_i\left(n-2\right)}{(\alpha +\beta )}$ (8)

其中 $V_i$ 为双指数信号输入， $V_o$ 为冲激成形输出， $\alpha ={\text{e}}^{-\frac{T_S}{{\tau }_1}}，\beta ={\text{e}}^{-\frac{T_S}{{\tau }_2}}$ 。

Figure 2. Ideal double-exponential signal and ideal impulse shaping signal

图2. 理想双指数信号与理想冲激成形信号

Figure 3. Measured double-exponential signal and impulse shaping signal

图3. 实测双指数信号与冲激成形信号

实测信号的冲激成形如图3所示。在信号非堆积的情况下，梯形脉冲峰值宽度内，只能检测到一个冲激成形的信号；若在梯形峰值宽度内检测到多个冲激信号，则表明发生了脉冲堆积事件，冲激成形的位置即为脉冲发生堆积的位置，如图4所示。

Figure 4. Pile-up pulse discrimination

图4. 堆积脉冲判断

4.2. 堆积脉冲重构

以两个脉冲堆积的情况为例，堆积脉冲的重构过程如下：

1) 冲激成形识别到堆积脉冲后，判断两个脉冲之间的间隔，若堆积发生在上升沿，则舍弃该脉冲；若堆积发生在下降沿，则对脉冲进行重构；

2) 应用式(1)对第一个脉冲进行拟合得到一个完整的脉冲数据；

3) 用堆积的脉冲数据减去拟合的第一个脉冲数据，得到第二个脉冲数据，从而重构堆积脉冲。

Figure 5. Pile-up pulse reconstruction

图5. 堆积脉冲重构

脉冲重构结果如图5所示，图中红色为实测的堆积脉冲信号，蓝色为第一个原始脉冲重构之后的信号，黑色为堆积脉冲数据减去重构脉冲数据的信号。从图中可以看出，该方法可以较好地还原第一个原始脉冲的形状和幅值，并且也还原了第二个脉冲信号的幅值。对脉冲进行处理之后，进行幅值提取，再进行成谱。图6分别为堆积脉冲丢弃与重构之后的能谱图。非重构情况下一旦脉冲被识别为堆积脉冲，该脉冲将被直接丢弃。在本文中，对被丢弃的脉冲使用双指数模型进行重构并将重构后的幅值进行记录，计入到能谱计数中。相比于直接丢弃堆积脉冲，重构堆积脉冲后的整体能谱计数将有所提高，提升率约为21.37%。

Figure 6. Energy spectrum before and after pile-up pulse reconstruction

图6. 堆积脉冲重构前后能谱图

5. 总结

本文根据SDD半导体探测器的双指数输出信号模型，在Matlab上对ADC采集到的数据进行处理，对信号进行梯形成形幅值提取、冲激成形识别堆积脉冲，应用双指数信号模型对被丢弃的堆积脉冲进行重构。结果显示，冲激成形能够准确识别堆积脉冲的位置，重构之后的脉冲信号能够较好的还原前一个脉冲的形状与幅值，并且对第二个脉冲信号的幅值也能较好地还原；与传统的直接舍弃堆积脉冲相比，该方法提高了脉冲计数率。当脉冲未发生堆积时，无需对脉冲进行重构；当脉冲发生前沿堆积时，舍弃该脉冲；当脉冲发尾堆积时，对脉冲进行重构。经过计算，该方法使得能谱计数率提高了21.37%，可以用于堆积脉冲的处理。

基金项目

国家自然科学基金(12075038)。