模糊S-拟正规嵌入子群的同态性质研究

Research on the Homomorphism Properties of Fuzzy S-Quasinormally Embedded Subgroups

摘要: 本文在模糊S-拟正规子群的基础上提出了模糊S-拟正规嵌入子群的概念，利用既约集合套理论对模糊S-拟正规嵌入子群进行了研究。首先给出了群的模糊子群是模糊S-拟正规嵌入的当且仅当它的水平子集是通常群论意义上的S-拟正规嵌入，其次讨论了模糊S-拟正规嵌入子群的同态性质，最后将同态性质推广到了模糊S-拟正规子群。

Abstract: In the paper, based on the fuzzy S-quasinormal subgroups, the concept of fuzzy S-quasinormally embedded subgroups is proposed and studied by using irreducible nested sets. Firstly, it is given that a fuzzy subgroup of a group is fuzzy S-quasinormally embedded if and only if its level subset is S-quasinormally embedded in the usual sense of group theory. Secondly, the homomorphic properties of fuzzy S-quasinormally embedded subgroups are discussed. Finally, the homomorphic properties are extended to fuzzy S-quasinormal subgroups.

1. 引言

正规子群的研究是有限群研究中重要的一部分，许多学者对子群的正规性进行推广。1939年O. Ore提出了拟正规子群的概念 [1] ，1962年O. Kegel将拟正规子群的概念进一步弱化得到S-拟正规子群的概念 [2] ，1998年A. Ballester-Bolinches和M. C. Pedraza-Aguilera提出了S-拟正规嵌入子群的概念并证明了G的每个Sylow子群的极大子群在G中是S-拟正规嵌入的，则G是超可解的 [3] 。2001年M. Asaad和A. A. Heliel将这个结果推广到包含所有超可解群类 $\mathfrak{U}$ 的饱和群系 $\mathfrak{F}$ [4] ，之后在G的素数幂阶子群在G中是S-拟正规嵌入的假设下研究了G的结构 [5] [6] ，最近利用子群的S-拟正规嵌入性得到了有限群p-幂零性和超可解性的新刻画，推广了关于S-拟正规嵌入子群的一些已知结果 [7] 。

随着经典代数的迅速发展，形成了一门新的数学分支—模糊代数。1965年L. A. Zadeh给出了模糊子集的定义 [8] ，1971年A. Rosenfeld提出了模糊子群的定义 [9] ，1993年N. Ajmal和K. V. Thomas将拟正规性的概念推广到模糊集，证明了群的模糊子群是模糊拟正规的当且仅当它的所有水平子集是通常群论意义上的拟正规 [10] 。2011年李卫霞等重新定义了模糊Sylow子群的概念，进而定义了模糊S-拟正规子群的概念，讨论了其模糊商群的性质 [11] ，之后利用既约集合套理论引入了模糊S-拟正规子群的概念并研究其同态、同构性质 [12] 。2015年何利芳等利用既约集合套理论研究了模糊弱S-置换子群的概念及同态性质 [13] ，随后余敢华等利用既约集合套理论研究了模糊S-半置换子群的概念及同态性质且在模糊S-拟正规子群上获得了相应结论 [14] ，2017年王朗等利用Zadeh函数和集合套理论研究了模糊弱S-半置换子群两种定义的等价性及其商群的性质 [15] 。

本文在此基础之上，对模糊S-拟正规子群进行推广，提出了模糊S-拟正规嵌入子群的概念并研究了其相关性质。

2. 基础知识

如果G是有限群，令 $S\left(G\right)$ 表示G的全体子群的集合， $\tilde{S}\left(G\right)$ 表示G的全体模糊子群的集合，若 $\mu \in \tilde{S}\left(G\right)$ ，记 $\mu \left(G\right)=\left\{\mu \left(g\right)|g\in G\right\}$ 。

定义1 [8] 如果X是一个非空的集合，则称函数 $A:X\to \left[0,1\right]$ 是X的一个模糊子集。

定义2 [9] 设G是一个有限群，A是G的模糊子集，如果对于 $\forall x,y\in G$ ，恒有1) $A\left(x,y\right)\ge A\left(x\right)\wedge A\left(y\right)$ ；2) $A\left(x^{-1}\right)\ge A\left(x\right)$ 成立，则称A是G的一个模糊子群。

定义3 [16] 设A是G的模糊子集， $\lambda \in \left[0,1\right]$ ，称 $A_{\lambda }=\left\{x\in G|A\left(x\right)\ge \lambda \right\}$ 为G的水平子集。

定理1 [16] 设A是G的模糊子集，则 $A_{\lambda }\text{=}\left\{x\in G|A\left(x\right)\ge \lambda \right\}\left(\lambda \in \left[0,1\right]且\lambda \le A\left(e\right)\right)$ 是G的子群的充要条件为A是G的模糊子群。

定义4 [17] 设X是一个论域¹， $P\left(X\right)$ 是其幂集， $\Gamma \subseteq \left[0,1\right]$ 。若映射 $H:\Gamma \to P\left(X\right)$ ， $\lambda \to H\left(\lambda \right)$ 满足 $\lambda \le \mu \iff H\left(\lambda \right)\ge H\left(\mu \right)$ ，则称H为X上的一个集合套，记为 $H_{\Gamma }=\left\{H\left(\lambda \right)|\lambda \in \Gamma \right\}$ 。

若 $\alpha ,\beta \in \left[0,1\right]$ 时(其中 $\alpha >\beta$ )， $\forall \lambda ,\mu \in \left(\beta ,\alpha \right)$ (或者 $\left[\beta ,\alpha \right)$ 或者 $\left(\beta ,\alpha \right]$ 或者 $\left[\beta ,\alpha \right]$ )，都有 $H\left(\lambda \right)=H\left(\mu \right)$ ，令 $t=\underset{\lambda \in (\beta ,\alpha )}{\sup }\lambda$ ，用 $H\left(\lambda \right)\left(\lambda \in \left(\beta ,\alpha \right)\right)$ 代替 $H\left(t\right)$ ，仍然记为 $H\left(t\right)$ ，同时删去所有的 $H\left(\lambda \right)$ ，于是可以得到一个新的集合套， $H_{{\Gamma }^{\prime }}=\left\{{\Gamma }^{\prime }=\Gamma -\left(\beta ,\alpha \right)\right\}\cup \left\{t\right\}$ 。

定义5 [17] 如上确定的集合套 $H_{{\Gamma }^{\prime }}$ 叫做 $H_{\Gamma }$ 的约简集合套， $H_{\Gamma }$ 叫做 $H_{{\Gamma }^{\prime }}$ 的加细集合套，若 $H_{\Gamma }$ 满足： $\forall \lambda ,\mu \in \Gamma$ ，当 $\lambda \ne \mu$ 时， $H\left(\lambda \right)\ne H\left(\mu \right)$ ，称 $H_{\Gamma }$ 为既约集合套。

下面给出Sylow p-子群与Sylow子群之间的关系如下：

设G是有限群， $\left|G\right|=p^{n}m$ ，p为素数， $\left(p,m\right)=1$ ，则称G中阶为 $p^n$ 的子群为G的Sylow p-子群。Sylow子群是指所有这样子群的集合，因此Sylow p-子群是Sylow子群的一个子集。

定义6 [2] 设H是G的子群，P是G的任意一个Sylow子群，如果恒有 $HP=PH$ 成立，则称H在G中是S-拟正规的。

定义7 [11] 设 $\mu$ 是G的一个模糊子群， ${\mu }_{\Gamma }$ 是 $\mu$ 在G中的一个既约集合套，且有

${\mu }_{\Gamma }:{\mu }^0\le \cdots \le {\mu }_{\lambda }\le {\mu }_u\le {\mu }_{\omega }\le \cdots \left({\mu }^e=\left\{x\in G|\mu \left(x\right)=\mu \left(e\right)\right\}\right)$

若 ${\mu }^e$ 是G的Sylow子群，则称 $\mu$ 是G的模糊Sylow子群。特殊地，如果 ${\mu }^e$ 是G的Sylow p-子群，则称 $\mu$ 是G的模糊Sylow p-子群。

定义8 [11] 设 $\omega$ 是G的一个模糊子群， $\mu$ 是G的任意一个模糊Sylow子群，如果恒有 $\omega \mu =\mu \omega$ 成立，则称 $\omega$ 为G的一个模糊S-拟正规子群。

定义9 [12] 设H是G的模糊子群， $H_{\Gamma }$ 为H的既约集合套， $H\left(\lambda \right)\in H_{\Gamma }$ ，如果对于 $\forall \lambda \in \Gamma$ ， $H\left(\lambda \right)$ 为G的S-拟正规子群，则称H是G的模糊S-拟正规子群。

3. 模糊S-拟正规嵌入子群的概念及性质

基于模糊S-拟正规子群的定义，给出了模糊S-拟正规嵌入子群的概念，并利用既约集合套理论对其进行研究。

定义10 [3] 设G是有限群，H是G的子群，如果对于整除H的阶的每个素数p，H的Sylow p-子群也是G的某个S-拟正规子群的Sylow p-子群，则称H为G的S-拟正规嵌入子群。

由定义很容易得到每个S-拟正规子群都是S-拟正规嵌入的，但反之不成立。下面给出S-拟正规嵌入子群的性质。

引理1 [3] 设U是G的S-拟正规嵌入子群， $H\le G$ 且K是G的正规子群，则

1) 如果 $U\le H$ ，则U是H的S-拟正规嵌入子群；

2) $UK$ 是G的S-拟正规嵌入子群且 $UK/K$ 是 $G/K$ 的S-拟正规嵌入子群；

3) 如果 $K\le H$ 且 $H/K$ 是 $G/K$ 的S-拟正规嵌入子群，则H是G的S-拟正规嵌入子群。

定义11 设G是有限群，H是G的模糊子群，如果对于整除H的阶的每个素数p，H的模糊Sylow p-子群也是G的某个模糊S-拟正规子群的模糊Sylow p-子群，则称H为G的模糊S-拟正规嵌入子群。

定义12 设G是有限群，H是G的模糊子群， $H_{\Gamma }$ 为H的既约集合套， $H\left(\lambda \right)\in H_{\Gamma }$ ， $\Gamma \subseteq [0,1]$ ， $\forall \lambda \in \Gamma$ ， $H\left(\lambda \right)$ 为G的S-拟正规嵌入子群，则称H为G的模糊S-拟正规嵌入子群。

事实上，定义11与定义12是等价的。一方面，设H是由定义11给出的模糊S-拟正规嵌入子群，则 $\forall \alpha \in \left[0,1\right]$ ， $H_{\alpha }$ 是G的S-拟正规嵌入子群，取 $\Gamma \subseteq \left[0,1\right]$ ，且满足 $H:\Gamma \to H\left(\lambda \right)$ ， $H\left(\lambda \right)=H_{\lambda }$ 。对于 $\forall \lambda \in \Gamma$ ， $H_{\lambda }$ 是G的S-拟正规嵌入子群，则 $H\left(\lambda \right)$ 是G的S-拟正规嵌入子群，又因为 $H=\underset{\lambda \in \Gamma }{\cup }\lambda H\left(\lambda \right)$ ，所以可得H是G的模糊S-拟正规嵌入子群。

另一方面，设H是由定义12给出的模糊S-拟正规嵌入子群，即 $\exists H\in H_{\Gamma }$ ， $H=\underset{\lambda \in \Gamma }{\cup }\lambda H\left(\lambda \right)$ ，对于 $\forall \lambda \in \Gamma$ ， $H\left(\lambda \right)$ 为G的S-拟正规嵌入子群。又因为 $\forall \lambda \in \Gamma$ ， $H_{\lambda }=\underset{\alpha <\lambda }{\cap }H\left(\lambda \right)=\cap \left\{H\left(\alpha \right)|0<\alpha <\lambda \right\}$ ，即 $H_{\lambda }$ 是G的S-拟正规嵌入子群，则可得H是G的模糊S-拟正规嵌入子群。

下面给出集合A的特征函数的概念如下：

${\chi }_A\left(x\right)=\{\begin{array}{l}1,x\in A\\ 0,x\notin A\end{array}$

则称 ${\chi }_A$ 为集合A的特征函数。

下面的定理讨论了S-拟正规嵌入性与模糊S-拟正规嵌入性之间的转化。

定理2 设A是G的S-拟正规嵌入子群当且仅当A的特征函数 ${\chi }_A$ 是G的模糊S-拟正规嵌入子群。

证明：“ $\Rightarrow$ ”设A的特征函数 ${\chi }_A$ 的既约集合套为 ${\chi }_A\text{=}\underset{\lambda \in \Gamma }{\cup }\lambda {\chi }_A\left(\lambda \right)$ ， $\Gamma$ 为二元集 $\left\{0,1\right\}$ ，其中 ${\chi }_A\left(0\right)=A$ ， ${\chi }_A\left(1\right)=A$ 。因为A是G的S-拟正规嵌入子群，则 ${\chi }_A\left(0\right)$ 和 ${\chi }_A\left(1\right)$ 是G的S-拟正规嵌入子群，则A的特征函数 ${\chi }_A$ 是G的模糊S-拟正规嵌入子群。

“ $\Leftarrow$ ”因为 ${\chi }_A$ 是G的模糊S-拟正规嵌入子群，A的特征函数 ${\chi }_A$ 的既约集合套为 ${\chi }_A\text{=}\underset{\lambda \in \Gamma }{\cup }\lambda {\chi }_A\left(\lambda \right)$ ， $\Gamma =\left\{\text{0,1}\right\}$ ，则 ${\chi }_A\left(0\right)$ 和 ${\chi }_A\left(1\right)$ 是G的S-拟正规嵌入子群，即 $A={\chi }_A\left(0\right)$ ， $A={\chi }_A\left(1\right)$ 是G的S-拟正规嵌入子群。

定理3 设 $\mu$ 是G的模糊子群， ${\mu }_{\lambda }$ 是 $\mu$ 在G中的水平子集 $\left(\lambda \in \left[0,\mu \left(e\right)\right]\right)$ ， $\mu$ 是G的模糊S-拟正规嵌入子群，当且仅当 ${\mu }_{\lambda }$ 是G的S-拟正规嵌入子群。

证明：“ $\Leftarrow$ ”若 ${\mu }_{\lambda }$ 是G的S-拟正规嵌入子群，由 $\mu :\Gamma \to \mu \left(\lambda \right)$ 可得 $\mu \left(\lambda \right)={\mu }_{\lambda }$ ，所以 $\mu \left(\lambda \right)$ 是G的S-拟正规嵌入子群，则 $\mu =\underset{\lambda \in \Gamma }{\cup }\lambda \mu \left(\lambda \right)$ 是G的模糊S-拟正规嵌入子群。

“ $\Rightarrow$ ”由 $\mu =\underset{\lambda \in \Gamma }{\cup }\lambda \mu \left(\lambda \right)$ ，因为 $\mu$ 是G的模糊S-拟正规嵌入子群，所以 $\mu \left(\lambda \right)$ 是G的S-拟正规嵌入子群。 $\forall \lambda \in \Gamma$ ， ${\mu }_{\lambda }=\underset{\alpha <\lambda }{\cap }\mu \left(\lambda \right)=\cap \left\{\mu \left(\alpha \right),0<\alpha <\lambda \right\}$ ，则 ${\mu }_{\lambda }$ 是G的S-拟正规嵌入子群。

下面利用上述结论，基于模糊S-拟正规子群继续研究模糊S-拟正规嵌入子群的性质。

引理2 [11] 设A与B均是G的S-拟正规子群，则 $A\cap B$ 是G的S-拟正规子群。

定理4 设A与B均是G的模糊S-拟正规子群，则 $A\cap B$ 是G的模糊S-拟正规嵌入子群。

证明：因为A与B均是G的模糊S-拟正规子群， $\forall \lambda \in \left[0,1\right]$ ， $A_{\lambda },B_{\lambda }$ 是G的S-拟正规子群， ${\left(A\cap B\right)}_{\lambda }=A_{\lambda }\cap B_{\lambda }$ 是G的S-拟正规子群，也是G的S-拟正规嵌入子群，则 $A\cap B$ 是G的模糊S-拟正规嵌入子群。

引理3 [13] 设A与B均是G的S-拟正规子群，则AB是G的S-拟正规子群。

定理5 设A与B均是G的模糊S-拟正规子群，则AB是G的模糊S-拟正规嵌入子群。

证明：因为A与B均是G的模糊S-拟正规子群， $\forall \lambda \in \left[0,1\right]$ ， $A_{\lambda },B_{\lambda }$ 是G的S-拟正规子群， ${\left(AB\right)}_{\lambda }=A_{\lambda }{B}_{\lambda }$ 是G的S-拟正规子群，也是G的S-拟正规嵌入子群，则AB是G的模糊S-拟正规嵌入子群。

定理6 G为有限群，H是G的模糊子群， $H=\underset{\lambda \in \left[0,1\right]}{\cup }\lambda H\left(\lambda \right)$ ，对于 $\forall \lambda \in \left[0,1\right]$ ，如果 $H\left(\lambda \right)$ 是G的S-拟正规子群，则H为G的模糊S-拟正规嵌入子群。

证明：设 $\tilde{K}$ 是G的模糊子群，对于 $\forall \lambda \in \left[0,1\right]$ ，令 $H:\left[0,1\right]\to S\left(G\right)$ ， $H\left(\lambda \right)={\tilde{K}}_{\lambda }$ ，则 $\tilde{K}=\underset{\lambda \in \left[0,1\right]}{\cup }\lambda H\left(\lambda \right)$ 。由 $H\left(\lambda \right)$ 是G的S-拟正规子群，则 ${\tilde{K}}_{\lambda }$ 是G的S-拟正规子群，也是 $G$ 的 $S$ -拟正规嵌入子群，则 $\tilde{K}$ 是 $G$ 的模糊S-拟正规嵌入子群，所以H是G的模糊S-拟正规嵌入子群。

定义13 G为有限群，H，U是G的模糊子群， $H\le U$ 。如果 $\forall \lambda \in [0,1]$ ， $H_{\lambda }$ 是 $U_{\lambda }$ 的S-拟正规嵌入子群，则称H是U的模糊S-拟正规嵌入子群。

定理7 设H是G的模糊S-拟正规嵌入子群，如果 $H\le U\le G$ ，则H是U的模糊S-拟正规嵌入子群。

证明：H是G的模糊S-拟正规嵌入子群， $\forall \lambda \in \left[0,1\right]$ ， $H_{\lambda }$ 是G的S-拟正规嵌入子群。由 $H\le U\le G$ 可得 $H_{\lambda }\le U_{\lambda }\le G$ ，由引理1(1)可得 $H_{\lambda }$ 是 $U_{\lambda }$ 的S-拟正规嵌入子群，由定义13可以得到H是U的模糊S-拟正规嵌入子群。

4. 模糊S-拟正规嵌入子群的同态性质

利用既约集合套理论对模糊S-拟正规嵌入子群的同态性质进行研究，将条件转化为模糊S-拟正规子群结论仍成立。

定义14 [18] 设 $f:G\to G^{\prime }$ 为一个群同态，A和B分别为G和 $G^{\prime }$ 的模糊子群。如果 $f\left(A\right)\le B$ 且f为满同态，则称模糊子群A与B同态，记为 $A\sim B$ ；如果 $f\left(A\right)=B$ 且f为同构映射，则称模糊子群A与B同构，记为 $A\cong B$ 。

定理8 [19] f是群G到群 $G^{\prime }$ 的同态满射，则：

1)如果H是G的一个模糊子群，则 $f\left(H\right)$ 是 $G^{\prime }$ 的模糊子群；

2) 如果N是G的一个模糊正规子群，则 $f\left(N\right)$ 是 $G^{\prime }$ 的模糊正规子群，且 $G/N\sim G^{\prime }/f\left(N\right)$ (满同态)。

定理9 [19] f是群G到群 $G^{\prime }$ 的同态满射，则：

1) 如果 $H^{\prime }$ 是 $G^{\prime }$ 的一个模糊子群，则 $f^{-1}\left(H^{\prime }\right)$ 是G的模糊子群；

2) 如果 $N^{\prime }$ 是 $G^{\prime }$ 的一个模糊正规子群，则 $f^{-1}\left(N^{\prime }\right)$ 是G的模糊正规子群，且 $G/f^{-1}\left(N^{\prime }\right)\sim G^{\prime }/N^{\prime }$ (满同态)。

定义15 [19] 设H是G的一个模糊子群，称 $H_{{\lambda }_e}$ 为H的拟核，简记为 $H_e$ ，其中 ${\lambda }_e=H\left(e\right)$ 。

定理10 [19] 设N是G的一个模糊正规子群，则 $N_e$ 是G的正规子群， $G/N$ 为G关于模糊正规子群N的模糊商群，则 $G/N\cong G/N_e$ 。

由模糊S-拟正规子群和模糊S-拟正规嵌入子群的定义可知，H为G的模糊S-拟正规子群，则H为G的模糊S-拟正规嵌入子群，所以将下列同态性质定理推广到模糊S-拟正规子群结论仍成立。

定理11 设H是G的模糊S-拟正规嵌入子群，N为G的模糊正规子群，则H关于N的模糊商群 $H/N$ 是 $G/N$ 的模糊S-拟正规嵌入子群。

证明：由 $H/N=\underset{\lambda \in \Gamma }{\cup }\lambda \left(H_{\lambda }/N\right)$ ， $H_{\lambda }/N$ 是 $H/N$ 的既约集合套。若H为G的模糊S-拟正规嵌入子群，对于 $\forall \lambda \in \Gamma$ ， $H_{\lambda }$ 是G的S-拟正规嵌入子群。设 $f:G\to G/N$ 是同态满射，令 $f:h\mapsto hN$ ，对于 $\forall \lambda \in \Gamma$ ， $f\left(H_{\lambda }\right)=H_{\lambda }/N$ 是 $G/N$ 的S-拟正规嵌入子群，所以 $H/N$ 是 $G/N$ 的模糊S-拟正规嵌入子群， $H_{\lambda }\to f\left(H_{\lambda }\right)$ 是同态满射，所以 $H\to H/N$ 是同态满射。

推论1 设H是G的模糊S-拟正规子群，N为G的模糊正规子群，则H关于N的模糊商群 $H/N$ 是 $G/N$ 的模糊S-拟正规嵌入子群。

定理12 设H是G的模糊S-拟正规嵌入子群，N为G的模糊正规子群，则有 $HN/N$ 是 $G/N$ 的模糊S-拟正规嵌入子群。

证明：设 $f:G\to G/N$ 是同态满射，令 $f:h\mapsto hN$ 。因为H是G的模糊S-拟正规嵌入子群，N为G的模糊正规子群，对于 $\forall \lambda \in [0,1]$ ， $H_{\lambda }$ 是G的S-拟正规嵌入子群， $N_{\lambda }$ 是G的正规子群，由引理1(2)可得 $H_{\lambda }{N}_{\lambda }$ 是G的S-拟正规嵌入子群，即 ${\left(HN\right)}_{\lambda }=H_{\lambda }{N}_{\lambda }$ 是G的S-拟正规嵌入子群，所以HN是G的模糊S-拟正规嵌入子群。由定理11可知 $f\left(HN\right)=\left(HN\right)/N$ 是 $G/N$ 的模糊S-拟正规嵌入子群。

推论2 设H是G的模糊S-拟正规子群，N为G的模糊正规子群，则 $HN/N$ 是 $G/N$ 的模糊S-拟正规嵌入子群。

定理13 设N为G的模糊正规子群，M为G的模糊子群，且有 $N\le M$ ，如果 $M/N$ 是 $G/N$ 的模糊S-拟正规嵌入子群，则M为G的模糊S-拟正规嵌入子群。

证明：设 $f:G\to G/N$ 是同态满射，令 $f:h\mapsto hN$ ，可得 $f^{-1}\left(M/N\right)=M$ ，由 $M=\underset{\lambda \in \Gamma }{\cup }\lambda M_{\lambda }$ ， $\left\{M_{\lambda }\right\}$ 是M的既约集合套，若 $M/N$ 是 $G/N$ 的模糊S-拟正规嵌入子群，对于 $\forall \lambda \in \Gamma$ ， $M_{\lambda }/N$ 是 $G/N$ 的S-拟正规嵌入子群。因为f是同态满射，所以 $M_{\lambda }$ 是G的S-拟正规嵌入子群，即M是G的模糊S-拟正规嵌入子群。

推论3 设N为G的模糊正规子群，M为G的模糊子群，且 $N\le M$ ，如果 $M/N$ 是 $G/N$ 的模糊S-拟正规子群，则M为G的模糊S-拟正规嵌入子群。

定理14 设H为G的模糊S-拟正规嵌入子群， $f:G\to G^{\prime }$ 为同态满射，则 $f\left(H\right)$ 是 $G^{\prime }$ 的模糊S-拟正规嵌入子群，且 $H\to f\left(H\right)$ 是同态满射。

证明：由 $f\left(H\right)=\underset{\lambda \in \Gamma }{\cup }\lambda f\left(H_{\lambda }\right)$ ，则 $f\left(H_{\lambda }\right)$ 是 $f\left(H\right)$ 的既约集合套。如果H为G的模糊S-拟正规嵌入子群，对于 $\forall \lambda \in \Gamma$ ， $H_{\lambda }$ 是G的S-拟正规嵌入子群。因为 $f:G\to G^{\prime }$ 是同态满射，所以有 $f\left(H_{\lambda }\right)$ 是 $G^{\prime }$ 的S-拟正规嵌入子群，即 $f\left(H\right)$ 是 $G^{\prime }$ 的模糊S-拟正规嵌入子群。对于 $\forall \lambda \in \Gamma$ ， $H_{\lambda }\to f\left(H_{\lambda }\right)$ 是同态满射，所以 $H\to f\left(H\right)$ 是同态满射。

推论4 设H为G的模糊S-拟正规子群， $f:G\to G^{\prime }$ 为同态满射，则 $f\left(H\right)$ 是 $G^{\prime }$ 的模糊S-拟正规嵌入子群，且 $H\to f\left(H\right)$ 是同态满射。

定理15 设 $f:G\to G^{\prime }$ 是同态满射，若H是 $G^{\prime }$ 的模糊S-拟正规嵌入子群，则 $f^{-1}\left(H\right)$ 是G的模糊S-拟正规嵌入子群，且 $f^{-1}\left(H\right)$ 到H是同态满射。

证明：由 $f^{-1}\left(H\right)=\underset{\lambda \in \Gamma }{\cup }\lambda f^{-1}\left(H_{\lambda }\right)$ ， $\left\{f^{-1}\left(H_{\lambda }\right),\lambda \in \Gamma \right\}$ 是 $f^{-1}\left(H\right)$ 的既约集合套，若H为 $G^{\prime }$ 的模糊S-拟正规嵌入子群，对于 $\forall \lambda \in \Gamma$ ， $H_{\lambda }$ 为 $G^{\prime }$ 的S-拟正规嵌入子群， $f:G\to G^{\prime }$ 是同态满射，所以 $f^{-1}\left(H_{\lambda }\right)$ 是G的S-拟正规嵌入子群， $f^{-1}\left(H\right)$ 是G的模糊S-拟正规嵌入子群。对于 $\forall \lambda \in \Gamma$ ， $f^{-1}\left(H_{\lambda }\right)\to H_{\lambda }$ 是同态满射，即 $f^{-1}\left(H\right)\to H$ 是同态满射。

推论5 设 $f:G\to G^{\prime }$ 是同态满射，若H是 $G^{\prime }$ 的模糊S-拟正规子群，则 $f^{-1}\left(H\right)$ 是G的模糊S-拟正规嵌入子群，且 $f^{-1}\left(H\right)$ 到H是同态满射。

定义16 [19] 设A为G的模糊子群，I为G的模糊正规子群，则称 $A/I$ 为模糊子群A关于模糊正规子群I的模糊商群， $A/I$ 由下列模糊商群套唯一确定：

$A/I:\cdots \le A_{\lambda }/I\le A_{\mu }/I\le \cdots \le A_{\omega }/I\le \cdots \left(\cdots \ge \lambda \ge \mu \ge \cdots \ge \omega \ge \cdots \right)$

定理16设A为G的模糊S-拟正规嵌入子群，K与N为G的模糊正规子群， $K\subseteq N\subseteq A$ ，有 $A/N\cong \left(A/K\right)/\left(N/K\right)$ 。

证明：因为 $K\subseteq N\subseteq A$ ，所以 $N/K$ 是 $A/K$ 的模糊正规子群，由既约模糊商群套可得：

$\cdots \le {\left(A/K\right)}_{\lambda }/\left(N/K\right)\le {\left(A/K\right)}_{\mu }/\left(N/K\right)\le \cdots \le {\left(A/K\right)}_{\omega }/\left(N/K\right)\le \cdots$

$\forall \lambda \in \left[0,1\right]$ ， ${\left(A/K\right)}_{\lambda }=A_{\lambda }/K$ ，由定理10可以得到 $A_{\lambda }/K\cong A_{\lambda }/K_e$ ，对于 $\forall \lambda \in \left[0,1\right]$ ，有 ${\left(A/K\right)}_{\lambda }/\left(N/K\right)\cong \left(A_{\lambda }/K_e\right)/\left(N/K\right)\cong \left(A_{\lambda }/K_e\right)/{\left(N/K\right)}_e\cong \left(A_{\lambda }/K_e\right)/\left(N_e/K\right)\cong \left(A_{\lambda }/K_e\right)/\left(N_e/K_e\right)\cong A_{\lambda }/N_e$ 成立。所以可以得到 ${\left(A/K\right)}_{\lambda }/\left(N/K\right)\cong A_{\lambda }/N_e$ ，又因为 ${\left(A/K\right)}_{\lambda }/\left(N/K\right)={\left(\left(A/K\right)/\left(N/K\right)\right)}_{\lambda }$ 且有 $A_{\lambda }/N_e\cong A_{\lambda }/N={\left(A/N\right)}_{\lambda }$ ，所以有 ${\left(\left(A/K\right)/\left(N/K\right)\right)}_{\lambda }\cong {\left(A/N\right)}_{\lambda }$ ，即可得 $A/N\cong \left(A/K\right)/\left(N/K\right)$ 。

定理17设A为G的模糊S-拟正规嵌入子群，I为G的模糊正规子群，f为 $G\to G^{\prime }$ 的同态满射，如果I在核 $Kerf$ 上不变，则 $A/I\cong f\left(A\right)/f\left(I\right)$ 。

证明：由既约模糊商群套可得：

$A/I:\cdots \le A_{\lambda }/I\le A_{\mu }/I\le \cdots \le A_{\omega }/I\le \cdots$

$f\left(A\right)/f\left(I\right):\cdots \le f{\left(A\right)}_{\lambda }/f\left(I\right)\le f{\left(A\right)}_{\mu }/f\left(I\right)\le \cdots \le f{\left(A\right)}_{\omega }/f\left(I\right)\le \cdots$

由于 $\forall \lambda \in \left[0,1\right]$ ， ${\left(A/I\right)}_{\lambda }\cong A_{\lambda }/I$ ，且f为 $G\to G^{\prime }$ 的同态满射，即 $A_{\lambda }/I\cong f\left(A_{\lambda }\right)/f\left(I\right)=f{\left(A\right)}_{\lambda }/f\left(I\right)$ ，所以 $A/I\cong f\left(A\right)/f\left(I\right)$ 。

定理18 设 $A^{\prime }$ 为 $G^{\prime }$ 的模糊S-拟正规嵌入子群， $I^{\prime }$ 为 $G^{\prime }$ 的模糊正规子群，f为 $G\to G^{\prime }$ 的同态满射，则 $f^{-1}\left(A^{\prime }\right)/f^{-1}\left(I^{\prime }\right)\cong A^{\prime }/I^{\prime }$ 。

证明：因为f为 $G\to G^{\prime }$ 的同态满射，所以 $f^{-1}\left(I^{\prime }\right)$ 在核 $\ker f$ 上不变，有 $f\left(f^{-1}\left(A^{\prime }\right)\right)=A^{\prime }$ ， $f\left(f^{-1}\left(I^{\prime }\right)\right)=I^{\prime }$ ，由定理17可得 $f^{-1}\left(A^{\prime }\right)/f^{-1}\left(I^{\prime }\right)\cong A^{\prime }/I^{\prime }$ 。

5. 结论

有限群的S-拟正规嵌入性对于研究有限群的结构具有重要意义。本文给出了模糊S-拟正规嵌入子群的概念，同时研究了模糊S-拟正规嵌入子群的同态性质，使得模糊代数的相关理论更加丰富。模糊S-拟正规嵌入性的研究对有限群的结构也应具有重要影响，所以模糊群论中还有许多内容值得我们深入研究。

基金项目

国家自然科学基金面上项目“结构数学在现代数学中的渗透与应用”(项目编号：12171137)。

NOTES

^*通讯作者。

¹在一个逻辑系统中，所有的个体组成的集合，称为个体域，亦称论域。其中个体指独立存在于客观世界的事物，个体可以是具体的，也可以是抽象的，它们可以用专有名词来指称。