高中数学教材数学建模问题情境水平比较研究——以人教A版和苏教版函数部分为例

A Comparative Study on the Level of Mathematical Modelling Problem Contexts in High School Mathematics Textbooks—Taking the Function Part of People’s Education Edition A and Jiangsu Education Edition as an Example

摘要: 本文选取人教A版和苏教版高中数学教材函数部分作为研究对象，从情境类型和特征水平两大维度对两版教材函数部分数学建模问题情境水平进行比较分析。研究发现：在情境类型上，两版教材更倾向于培养学生解决实际问题和应用数学的能力，对个人生活的应用场景关注度不够；在数学特征水平上，两版教材均是无运算的占比最高，人教A版数字特征相对更显著；在表征特征水平上，两版教材均以复合型表征为主，综合型表征设置较少；在任务特征水平上，两版教材均侧重于问题解决，问题探究型情境相对较少。最后，本文针对其中存在的问题提出建议，研究结论为高中数学教材中数学建模问题情境水平的改进提供了理论基础。

Abstract: The function part of the high school mathematics textbook of the People’s Education Edition A and the Jiangsu Education Edition was selected as the research object, and the level of the mathematical modeling problem contexts in the function part of the two editions was compared and analyzed from the two major dimensions of context type and feature level. The study found that: in terms of context type, the two editions of the textbook are more inclined to cultivate students’ ability to solve practical problems and apply mathematics, and do not pay enough attention to the application scenarios of personal life; at the level of mathematical features, the two editions of the textbook both have the highest proportion of no operations, and the numerical features of the People’s Education Edition A are relatively more significant; at the level of representational features, the two editions of the textbook are dominated by composite representations and the comprehensive representations are set up less often. At the level of task features, both editions of the textbook focus on problem-solving, and there are relatively few problem-inquiry situations. Finally, recommendations are made for the problems that exist. The findings provide a theoretical basis for the improvement of the level of mathematical modeling problem situations in high school mathematics textbooks.

1. 引言

数学建模并不是一个新的概念，早在公元前300年，欧几里德所著《几何原本》就是数学建模的雏形 [1] 。我国中学数学建模研究起步较晚，进展相对缓慢，相关研究最早始于1993年杨守谦在《数学通报》发表的论文“数学建模与中学数学教学” [2] 。近些年，数学建模逐渐成为数学教育领域关注的热点之一，然而目前关于数学建模还没有一个明确的定义，从广义上看，数学模型包括各种数学概念、公式、理论、方程、图表和算法系统；在狭义上看，数学建模是指描述确定问题或特定系统数学关系结构的数学表示形式 [3] 。

2018年，《普通高中数学课程标准(2017年版)》将数学建模作为六大核心素养之一。将其描述为学生应具备的数学思维品质和关键技能 [4] ，并强调数学建模应以实际情境为基础，通过解决实际问题来积累相关经验，从而培养学生的数学建模素养。2019年开始我国各个版本的高中数学教材相继更新，通过对新版高中数学教材进行分析，可以发现教材中数学建模内容所占版面比重变大，背景知识也变得更加丰富，且各版教材数学建模素材内容均以问题情境作为载体，有的内容甚至以独立的章节或专题进行呈现 [5] 。从这个角度来看，问题情境在数学建模中扮演着至关重要的角色。在不同版本的高中数学教材中，问题情境的设置水平会直接影响到数学建模内容的差异，因此有必要对此展开深入挖掘和比较分析。

2. 研究设计

2.1. 研究对象

研究选取人教A版和苏教版高中数学教材中的函数部分作为研究对象。两版教材分别是人民教育出版社和江苏凤凰教育出版社于2019年出版，均依据《高中课标(2017)》对教材中数学建模的要求编写。布局类似，内容清晰易懂，其中人教A版教材中函数部分涉及的数学建模内容主要分布在必修一和选择性必修二，苏教版主要分布在必修一、必修二和选择性必修一。根据数学建模的概念及其特征，可以对两版教材中的数学建模内容进行分类统计，结果如表1所示：

Table 1. Statistics on the mathematical modelling content of the functional component

表1. 函数部分数学建模内容统计表

2.2. 研究方法

本研究使用文献研究法、定量分析法、比较研究法等研究方法。首先通过中国知网以篇名“数学建模”为检索项进行高级检索，查阅、分析、整理有关数学建模的相关文献资料，并结合国内高中数学教材中数学建模素材分析，收集可靠资料，了解有关高中数学教材中数学建模的研究现状和背景，确定本研究的分析框架。然后使用定量分析法，对人教A版和苏教版高中数学教材中的数学建模内容进行编码，利用比较研究法按照一定标准从不同维度对两版教材进行比较和分析，探讨它们的异同点和特点，研究旨在为高中数学教材中数学建模内容的编写和教育实践提供可行性建议。

2.3. 研究框架

对教材数学建模问题情境水平的研究，可以从情境类型和特征水平两个角度进行比较分析。首先，本研究借鉴李保臻等学者的研究框架 [6] ，结合PISA依据“与学生生活远近程度”标准划分的问题情境类型 [7] ，将情境类型划分如表2所示。

Table 2. Classification of types of problem situations

表2. 问题情境类型分类

其次，借鉴陈志辉 [8] 和Yeping Li [9] 等学者的研究，可以将数学建模问题情境特征水平分为三个维度，如表3所示，其中数学特征主要指问题情境中所涉及的运算本身的特征和属性，如抽象性、逻辑性等，表征特征主要指用来描述问题情境的符号化方法和表述方式，任务特征主要指问题情境所涉及的任务类型、要求及复杂程度等 [10] 。

Table 3. Framework for analysing the level of problematic situations

表3. 问题情境水平分析框架

为控制误差，本研究使用加权平均值的方法，计算每个维度的特征水平分值，公式如下：

$di=\frac{1}{n}{\displaystyle {\sum }_{j}nij}dij\left(i=1,2,3;j=1,2,\cdots \right)$

其中d_i (𝑖 = 1, 2, 3)依次表示“数学特征、表述特征、任务特征”三个维度的分值；d_ij表示第i个维度在第j个水平的赋分总值；n_ij表示第i个维度在第j个水平的情境数量；n表示情境总量。

3. 结果分析

3.1. 情境类型比较分析

根据建构的研究框架，梳理两版教材中函数部分数学建模内容，统计问题情境类型及其数量，结果如表4所示：

Table 4. Statistical table of situation types

表4. 情境类型统计表

Figure 1. Radar map of situation type distribution

图1. 情境类型分布雷达图

由表4及图1可知，在总量上，人教A版的数学问题情境数量更多。对比两版教材不同情境类型上的数量及占比分布，能够发现人教A版和苏教版教材相差不大，相似度较高。其中，两版教材中的科学情境数量最多，比如物理学中的力学问题、生物学中的生态系统建模、经济学中的供需关系分析等。紧随其后的是公共情境，比如交通流量管理、人口增长预测、环境保护规划等。接着是职业情境数量排在其后，比如金融分析师制定投资方案、市场营销人员进行销售预测等。教育情境和个人情境数量较少，这说明目前高中数学教育更倾向于培养学生解决实际问题和应用数学的能力，对个人生活的应用场景关注度不够，因此，建议教材编写团队增加教育情境和个人情境素材数量，帮助学生更好地理解数学知识与实际生活的联系。

3.2. 特征水平比较分析

3.2.1. 整体水平比较

根据建构的研究框架和分析方法，分别从如下三个维度，分别对人教A版和苏教版教材中函数部分数学建模问题情境水平进行统计分析、计算特征水平均值。结果如表5和图2所示：

Table 5. Characteristic level statistics

表5. 特征水平统计表

Figure 2. Statistical table of characteristic levels

图2. 特征水平统计表

由表5可知，两版教材数函数部分数学建模问题情境水平相对一致，相对于数学特征，表征特征和任务特征的均值较高。从数学特征上看，人教A版的特征水平均值更高，可以看出人教A版更强调运算，而苏教版更趋近于无运算式。从表征特征和任务特征两个方面看，人教A版和苏教版的特征水平均值比较接近。由此可见，两版教材对于问题情境的表述方式和任务类型较为接近，主要通过文字 + 图/表的形式展开情境，其中人教A版的数学特征更突出。

3.2.2. 各维度比较

整体比较只能初步了解数学建模问题情境水平的整体情况，接下来需要对每个特征维度进行深入具体的比较分析。

(1) 数学特征水平比较

由图3可知，人教A版和苏教版教材在数学特征水平上存在一定的差异。两版教材的共同点是无运算的占比最高，运算三次及以内占比最低，但相比之下，苏教版的无运算水平的占比高于人教A版，由此可见，人教A版函数部分数学建模问题情境中的数学特征水平更加显著。

Figure 3. Mathematical characteristics level statistics

图3. 数学特征水平统计表

(2) 表征特征水平比较

Figure 4. Statistical table of the level of characterisation features

图4. 表征特征水平统计表

由图4可知，人教A版和苏教版教材在表征特征水平上存在较高的一致性，均是以文字 + 数字/图表水平为主，其次是文字 + 数字 + 图表水平，单一的文字表述方式占比较少。其中，人教A版在文字 + 数字 + 图表表征上占比高于苏教版，说明人教A版的综合表征特征水平更明显。总的来说，两版教材均注重多样化，生动的问题情境表征，这与新课程标准的要求和建议相一致。

(3) 任务特征水平比较

Figure 5. Statistical table of levels of task characteristics

图5. 任务特征水平统计表

由图5可知，人教A版和苏教版教材在任务特征不同水平上占比略有差异。共同点是两版教材数学建模问题情境任务特征均侧重于问题解决。其中，苏教版在问题解决任务特征水平上的占比高于人教A版，人教A版在问题探究上的占比相较于苏教版更高。然而，两版教材数学建模问题情境在概念性理解方面占比较低，远低于其他两类任务特征水平。由此可见，2019年后出版的这两版教材的数学建模问题情境的任务要求和难度较高，这符合新课标对于高中生数学核心素养的培养要求，在一定程度上可以促进学生数学学科核心素养和问题解决能力的提高。

4. 结论与建议

4.1. 结论

第一，在数学建模问题情境总量和类型上，人教A版的数学问题情境数量更多。两版教材在不同问题情境类型上的占比分布相似度较高。两版教材中的科学情境数量最多，紧随其后的是公共情境，职业情境数量次之，教育情境和个人情境数量较少，两版教材更倾向于培养学生解决实际问题和应用数学的能力，对个人生活的应用场景关注度不够。

第二，在数学特征水平上，人教A版和苏教版教材存在一定的差异。两版教材均是无运算的占比最高，运算三次及以内水平的占比最低，但相比之下，苏教版的无运算水平的占比高于人教A版，人教A版函数部分数学建模问题情境中的数字特征水平更加显著。

第三，在表征特征水平上，人教A版和苏教版教材存在较高的一致性，均是以文字 + 数字/图表水平为主，其次是文字 + 数字 + 图表水平，单一的文字表述方式占比较少。人教A版在文字 + 数字 + 图表表征上占比高于苏教版，人教A版表征特征水平更明显。两版教材均注重多样化，生动的问题情境表征，这与新课程标准的要求和建议相一致。

第四，在任务特征水平上，人教A版和苏教版教材略有差异。共同点是两版教材数学建模问题情境任务特征均侧重于问题解决。苏教版在问题解决任务特征水平上的占比高于人教A版，人教A版在问题探究上的占比相较于苏教版更高。两版教材数学建模问题情境在概念性理解方面占比较低，远低于其他两类任务特征水平。

4.2. 建议

4.2.1. 合理配置情境内容分布，引入生活素材激发兴趣

不同类型的问题情境具有不同的教育功能和意义。确保各种情境类型都能得到适当呈现和平衡，避免某一类型情境过多或过少。在本研究中，两版教材函数部分的数学建模问题情境以科学和公共情境为主，个人情境和教育情境较少。因此，在编写数学建模问题情境内容时，应考虑各知识领域的特点，以及学生的认知结构，确保内容能够贴近实际应用，帮助学生理解和应用数学建模的原理和方法。合理配置数学建模问题情境内容分布，避免内容上的重复，引入新领域如舞蹈、厨艺、法制等，培养学生社会责任感；同时应考虑丰富个人情境和教育情境素材内容，加入实际生活或学科问题，激发学生兴趣和体验感，提升学生的学习效果和能力发展。

4.2.2. 丰富问题情境表征方式，促进问题情境系统精准

就问题情境的表征特征而言，研究涉及的三种表征方式呈现逐步递进的趋势。但在两版教材中，数学建模问题情境的表征特征处理缺乏梯度，缺少综合型表征设置，如文字、数字和图表结合的方式。不同形式的表征对学生获取信息和学习效果有不同影响。图形和表格有助于学生更系统地理解数学概念，提高信息处理能力。因此，在教材编写时，应多样化地丰富表征方式，结合文字、图示和表格，多以图文并茂的形式呈现数学建模内容，帮助学生更好地理解数学问题。通过逐步引入不同形式的表征方式，教材可以更好地满足学生的学习需求，促进他们对数学建模问题的深入理解和应用能力的提升。这样的教材设计能够激发学生的学习兴趣，提高他们的学习动力，从而更好地掌握数学建模的核心概念和方法。

4.2.3. 平衡情境任务难度，提升情境任务深度

数学建模问题情境的任务难度和深度的设定对学生的数学学习至关重要。适当提高任务难度可以激发学生的学习动力和挑战欲望，加大任务深度可以引导学生深入探究问题本质。在本研究中，两版教材在问题情境的任务特征上以问题解决水平的任务为主，尤其是苏教版更为突出，而苏教版在问题探究水平的任务设置较少，人教A版在这方面优于苏教版。因此，在设计教材中的数学建模问题情境时，需要考虑大多数学生的认知水平，平衡情境任务难度，同时也要考虑适应能力较强的学生，适度提升情境任务深度，让学生在解决问题过程中能够深入思考和探究，促进学生的学习和思维能力的全面提升。