1. 引言
熵在统计物理学和信息论中都起着重要作用。在1991年,Rathie和Taneja引进了以下统一(r, s)熵,其中包括(r, s)熵,Renyi有序熵 [1] 。在2004年,Furuichi研究了量子Tsallis相对熵的数学性质 [2] 。在2006年,胡和叶介绍了经典统一(r, s)熵的量子版本 [3] 。在2011年,汪等人定义了相应的统一(r, s)相对熵并研究了它的性质 [4] 。在2016年,罗等人研究了随机密度矩阵特征值联合分布的微分熵 [5] 。在本文中,我们将定义和研究随机密度矩阵特征值联合分布的统一(r, s)相对微分熵。
2. 统一(r, s)相对微分熵的定义
由 [5] 中的定义,我们知道:
1) 在
上的伽马函数为
,
分别代表Gamma 函数和Digamma函数。
,
,其中
,
为欧拉常数。
2) 若Wishart矩阵W的构成矩阵Z是复的均值为0,方差为
的独立同分布的高斯变量,
联合概率密度的相应特征值
的联合概率函数为
,其中
(1)
(2)
3) 在Haar分布的双体纯态上取部分迹所诱导的随机密度矩阵的特征值
的联合概率函数为
,其中
(3)
(4)
4) 在Haar分布的双体纯态上其对角元的联合概率函数为
,其中
(5)
(6)
5)
(7)
(8)
(9)
因此,我们可以得到
(10)
定义2.1:对任意的
和实数s,在Haar分布的双体纯态上取部分迹所诱导的随机密度矩阵的特征值的联合分布相对于其对角元的联合分布的统一(r, s)相对微分熵为
其中
定义2.2:对任意的
和实数s,在Haar分布的双体纯态上其对角元的联合分布相对于取部分迹所诱导的随机密度矩阵的特征值的联合分布的统一(r, s)相对微分熵为
其中
3. 统一(r, s)相对微分熵的计算
定理3.1:当
时,在Haar分布的双体纯态上取部分迹所诱导的随机密度矩阵的特征值的联合分布相对于其对角元的联合分布的统一(r, s)相对微分熵为
证明:
令
对
应用Laplace变换
,则有
令
,
再由式(1)和式(3)联立得到
(11)
(12)
则
由于
(13)
所以
(14)
那么得到
(15)
注1:当
时,
证明:
由式(10)得到
(16)
把式(2)、式(4)、式(6)、式(8)、式(16)代入式(15)得到
定理3.2:当
时,在Haar分布的双体纯态上取部分迹所诱导的随机密度矩阵的特征值的联合分布相对于其对角元的联合分布的统一(r, s)相对微分熵为
证明:
令
对
应用Laplace变换
,则有
把式(7)、式(11)、式(12)代入上式得到
把式(14)代入上式得到
那么
(17)
注2:当
时,
证明:
由式(10),我们得到
(18)
把式(2)、式(4)、式(6)、式(8)、式(18)代入式(17)得到
定理3.3:当
时,在Haar分布的双体纯态上取部分迹所诱导的随机密度矩阵的特征值的联合分布相对于其对角元的联合分布的统一(r, s)相对微分熵为
证明:
令
对
应用Laplace变换
,则有
把式(7)、式(11)、式(12) 代入上式得到
由式(13)得到
(19)
那么
(20)
注3:当
时,
证明:
令
那么对等式两边取以e为底的对数得到
再对r求导得到
(21)
由式(21)得到
(22)
由式(10)得到
(23)
把式(2)、式(4)、式(6)、式(8)、式(22)、式(23)代入式(20)得到
定理3.4:当
时,在Haar分布的双体纯态上其对角元的联合分布相对于取部分迹所诱导的随机密度矩阵的联合分布的统一(r, s)相对微分熵为
证明:
令
对
应用Laplace变换
,则有
把式(7)、式(11)、式(12)代入上式得到
把式(14)代入上式得到
那么
(24)
注4:当
时,
证明:
由式(10),我们得到
(25)
把式(2)、式(4)、式(6)、式(8)、式(25)代入式(24)得到
定理3.5:当
时,在Haar分布的双体纯态上其对角元的联合分布相对于取部分迹所诱导的随机密度矩阵的联合分布的统一(r, s)相对微分熵为
证明:
令
对
应用Laplace变换
,则有
把式(7)、式(11)、式(12) 代入上式得到
把式(14)代入上式得到
那么
注5:当
时,
(26)
证明:
由式(10),我们得到
(27)
把式(2)、式(4)、式(6)、式(9)、式(27)代入式(26)得到
定理3.6:当
时,在Haar分布的双体纯态上取部分迹所诱导的随机密度矩阵的特征值的联合分布相对于其对角元的联合分布的统一(r, s)相对微分熵为
证明:
令
对
应用Laplace变换
,则有
把式(7)、式(11)、式(12)代入上式得到
把式(19)代入上式得到
那么
(28)
注6:当
时,
证明:
由式(21)得到
(29)
由式(10)得到
(30)
把式(2)、式(4)、式(6)、式(9)、式(22)、式(29)、式(30)代入式(28)得到
4. 总结
本文定义了在Haar分布的双体纯态上取部分迹所诱导的随机密度矩阵的特征值的联合分布相对于其对角元的联合分布(其对角元的联合分布相对于取部分迹所诱导的随机密度矩阵的特征值的联合分布)统一(r, s)相对微分熵,计算了三种情形下的统一(r, s)相对微分熵,取极限后的结果表明三种情形下的结果基本相等,推广了随机密度矩阵特征值联合分布的微分熵的范围。
基金项目
国家自然科学基金(11401007);安徽自然科学基金(KJ2017A042)。