一类二阶非线性微分方程解的零点存在性
The Existence of Zero-Points of Solution for a Class of Second Order Nonlinear Differential Equation
DOI: 10.12677/AAM.2019.87146, PDF, HTML, XML, 下载: 1,015  浏览: 1,277  国家自然科学基金支持
作者: 林丽琴, 钟可晴, 刘玉彬*:惠州学院数学与大数据学院,广东 惠州
关键词: 二阶非线性微分方程零点The Second Order Nonlinear Differential Equation Zero-Points Solution
摘要: 本文研究了一类二阶非线性微分方程。通过建立几个微分不等式,建立了方程解的零点存在的若干新条件,并通过实例说明定理的有效性。
Abstract: In the present paper, we investigate a class of second order differential equation. By establishing several inequalities, some new conditions on the existence of zero-points of solution for the equation are obtained. Several examples are given to illustrate the effectiveness of the obtained conditions.
文章引用:林丽琴, 钟可晴, 刘玉彬. 一类二阶非线性微分方程解的零点存在性[J]. 应用数学进展, 2019, 8(7): 1256-1266. https://doi.org/10.12677/AAM.2019.87146

1. 引言

微分方程解的零点分布是研究微分方程解的性态的一个重要课题,也是微分方程振动理论的基础。1836年,Sturm C. F.针对二阶微分方程建立了解的零点比较定理 [1] ,并把相关理论推广到其它类型的微分方程和差分方程。1910年,Mauro Picone通过证明一个恒等式——Picone恒等式,进一步推广了Sturm零点比较定理 [2] 。自此,利用类似思想,通过建立新的Picone型恒等式或不等式,Sturm零点比较定理得以更进一步的推广,用以讨论各类更复杂的二阶微分方程的解或解的导函数的零点分布 [3] - [8] 。如陈丽纯,庄容坤研究了方程

( p ( t ) Ψ ( y ) k ( y ) ) + r ( t ) k ( y ) + q ( t ) f ( y ) = 0 (1.1)

解的零点存在性。郑镇汉,李亚兰研究了方程

( p ( y ) ) + r ( t ) y + q ( t ) y = f ( t , y , y ) (1.2)

解的零点存在性。

受上述研究工作的启发,本文考虑方程

( p ( t ) ϕ ( y ) k ( y ) ) + r ( t ) k ( y ) + q ( t ) y = f ( t , y , y ) (1.3)

其中 p C 1 ( [ 0 , 1 ] ; R + ) r C ( [ 0 , 1 ] ; R ) q C ( [ 0 , 1 ] ; R + ) f C ( [ 0 , 1 ] × R × R ; R ) k , ϕ C 1 ( R ; R ) 。通过建立几个微分不等式,建立非线性方程(1.3)解的零点存在的几个新的充分条件,并通过例子说明所得结果的有效性。

2. 几个不等式

为了证明主要结果,本节先证明几个微分不等式。往下总假设以下条件成立:

(A1) 0 < C 1 ϕ ( y ) C 2 , y R

(A2) k 2 ( y ) C 3 y k ( y ) , y R

引理1 设 y ( t ) 是方程(1.3)的非平凡解, x ( t ) C 1 ( [ 0 , 1 ] ; R ) ,若 y ( t ) 0 , t [ 0 , 1 ] ,则成立下面的微分不等式:

( x 2 p ϕ ( y ) k ( y ) y ) ( p ϕ ( y ) C 3 x k ( y ) y + C 3 p ϕ ( y ) r ( t ) x 2 C 3 p ϕ ( y ) x ) 2 C 3 4 C 2 p [ 2 C 2 p x r ( t ) x ] 2 + 1 4 C 2 C 1 p ( 4 C 2 C 1 p q + C 3 ( C 1 C 2 ) r 2 ) x 2 f ( t , y , y ) x 2 y . (2.1)

证明 直接求导,并结合 ( p ϕ ( y ) k ( y ) ) = f ( t , y , y ) r ( t ) k ( y ) q ( t ) y 及条件(A1)和(A2)得:

证毕。

引理2 设 y ( t ) 是方程(1.3)的非平凡解, x ( t ) C 1 ( [ 0 , 1 ] ; R ) ,若 y ( t ) 0 , t [ 0 , 1 ] ,则成立下面的微分不等式:

( x 2 p ϕ ( y ) k ( y ) y ) q x 2 + p ϕ ( y ) C 3 ( C 3 x x k ( y ) y ) 2 C 2 C 3 p x 2 + r k ( y ) f ( t , y , y ) y x 2 . (2.2)

证明 由引理1的证明及条件(A1)和(A2)得:

( x 2 p ϕ ( y ) k ( y ) y ) q x 2 + r k ( y ) x 2 y 2 x x p ϕ ( y ) k ( y ) y + x 2 p ϕ ( y ) k 2 ( y ) C 3 y 2 f ( t , y , y ) x 2 y = q x 2 + p ϕ ( y ) C 3 ( C 3 x x k ( y ) y ) 2 + r k ( y ) x 2 y C 3 p ϕ ( y ) x 2 f ( t , y , y ) x 2 y q x 2 + p ϕ ( y ) C 3 ( C 3 x x k ( y ) y ) 2 C 2 C 3 p x 2 + r k ( y ) f ( t , y , y ) y x 2 .

证毕。

引理3 设 y ( t ) 是方程(1.3)的非平凡解, x ( t ) C 1 ( [ 0 , 1 ] ; R ) ,若 y ( t ) 0 , t [ 0 , 1 ] ,则成立微分不等式:

( x 2 W ( t ) ) C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) ( W ( t ) C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) x x 1 2 R ¯ ( t ) x ) 2 C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) ( x + 1 2 R ¯ ( t ) x ) 2 + Q ( t ) x 2 f ( t , y , y ) y Φ ( t ) x 2 . (2.3)

其中 Φ ( t ) , R ( t ) C 1 ( ( 0 , + ) ; R ) W ( t ) = Φ ( t ) p ( t ) [ ϕ ( t ) k ( y ) y + R ( t ) ] R ¯ ( t ) = 2 R ( t ) C 2 C 3 + Φ ( t ) Φ ( t ) r ( t ) C 2 p ( t ) Q ( t ) = Φ ( t ) [ q ( t ) C 3 ( C 2 C 1 ) 4 C 1 C 2 r 2 ( t ) p ( t ) r ( t ) C 2 R ( t ) + p ( t ) C 2 C 3 R 2 ( t ) ( p ( t ) R ( t ) ) ]

证明 由 ( p ϕ ( y ) k ( y ) ) = f ( t , y , y ) r ( t ) k ( y ) q ( t ) y 及条件(A1)和(A2)得:

W ( t ) = Φ ( t ) Φ ( t ) W ( t ) + Φ ( t ) [ ( p ( t ) ϕ ( y ) k ( y ) y ) + ( p ( t ) R ( t ) ) ] = Φ ( t ) Φ ( t ) W ( t ) + Φ ( t ) [ f ( t , y , y ) r ( t ) k ( y ) q ( t ) y y p ( t ) ϕ ( y ) k ( y ) y y 2 + ( p ( t ) R ( t ) ) ] Φ ( t ) Φ ( t ) W ( t ) + Φ ( t ) [ f ( t , y , y ) y r ( t ) k ( y ) y q ( t ) p ( t ) ϕ ( y ) k 2 ( y ) C 3 y 2 + ( p ( t ) R ( t ) ) ] = Φ ( t ) Φ ( t ) W ( t ) + Φ ( t ) { q ( t ) + ( p ( t ) R ( t ) ) + f ( t , y , y ) y 1 ϕ ( y ) [ r ( t ) ϕ ( y ) k ( y ) y + p ( t ) C 3 ( ϕ ( y ) k ( y ) y ) 2 ] }

= Φ ( t ) Φ ( t ) W ( t ) + Φ ( t ) { q ( t ) + C 3 ( C 2 C 1 ) 4 C 1 C 2 r 2 ( t ) p ( t ) + r ( t ) C 2 R ( t ) p ( t ) C 2 C 3 R 2 ( t ) + ( p ( t ) R ( t ) ) + ( 2 R ( t ) C 2 C 3 Φ ( t ) r ( t ) C 2 Φ ( t ) p ( t ) ) W ( t ) W 2 ( t ) C 2 C 3 Φ 2 ( t ) p ( t ) + f ( t , y , y ) y } = Φ ( t ) Φ ( t ) W ( t ) Φ ( t ) [ q ( t ) C 3 ( C 2 C 1 ) 4 C 1 C 2 r 2 ( t ) p ( t ) r ( t ) C 2 R ( t ) + p ( t ) C 2 C 3 R 2 ( t ) ( p ( t ) R ( t ) ) ] + ( 2 R ( t ) C 2 C 3 r ( t ) C 2 p ( t ) ) W ( t ) W 2 ( t ) C 2 C 3 Φ ( t ) p ( t ) + f ( t , y , y ) y Φ ( t ) = Φ ( t ) [ q ( t ) C 3 ( C 2 C 1 ) 4 C 1 C 2 r 2 ( t ) p ( t ) r ( t ) C 2 R ( t ) + p ( t ) C 2 C 3 R 2 ( t ) ( p ( t ) R ( t ) ) ] + ( 2 R ( t ) C 2 C 3 + Φ ( t ) Φ ( t ) r ( t ) C 2 p ( t ) ) W ( t ) W 2 ( t ) C 2 C 3 Φ ( t ) p ( t ) + f ( t , y , y ) y Φ ( t ) = Q ( t ) + R ¯ ( t ) W ( t ) W 2 ( t ) C 2 C 3 Φ ( t ) p ( t ) + f ( t , y , y ) y Φ ( t ) .

因此,

[ x 2 W ( t ) ] 2 x x W ( t ) x 2 ( Q ( t ) + R ¯ ( t ) W ( t ) W 2 ( t ) C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) + f ( t , y , y ) y Φ ( t ) ) = ( W ( t ) C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) x ) 2 2 W ( t ) x C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) x 2 W ( t ) x C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) 2 R ¯ ( t ) x + ( C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) x ) 2 ( C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) x ) 2 + ( C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) 2 R ¯ ( t ) x ) 2 ( C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) 2 R ¯ ( t ) x ) 2

+ 2 ( C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) x ) ( C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) 2 R ¯ ( t ) x ) 2 ( C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) x ) ( C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) 2 R ¯ ( t ) x ) + Q ( t ) x 2 f ( t , y , y ) y Φ ( t ) x 2 = ( W ( t ) C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) x C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) x C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) 2 R ¯ ( t ) x ) 2 ( C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) x + C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) 2 R ¯ ( t ) x ) 2 + Q ( t ) x 2 f ( t , y , y ) y Φ ( t ) x 2

= C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) ( W ( t ) C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) x x 1 2 R ¯ ( t ) x ) 2 C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) ( x + 1 2 R ¯ ( t ) x ) 2 + Q ( t ) x 2 f ( t , y , y ) y Φ ( t ) x 2 .

证毕。

3. 主要结果

本节利用上节得到的不等式建立几个零点存在定理。

定理1 设 y ( t ) 是方程(1.3)的非平凡解,若存在 x ( t ) C 1 ( [ 0 , 1 ] ; R ) ,使得 x ( 0 ) = x ( 1 ) = 0 f ( t , u , v ) u 0 ( u 0 ) ,且

0 1 { [ 4 C 2 C 1 p ( t ) q ( t ) + C 3 ( C 1 C 2 ) r 2 ( t ) ] x 2 C 3 C 1 [ 2 C 2 p ( t ) x r ( t ) x ] 2 } d t > 0 ,

y ( t ) [ 0 , 1 ] 上至少有一个零点。

证明 假设 y ( t ) [ 0 , 1 ] 上没有零点,即 y ( t ) 0 , t [ 0 , 1 ] ,则不等式(2.1)成立。对(2.1)式的两边从0到1积分得

0 1 [ x 2 p ( t ) ϕ ( y ) k ( y ) y ] d t 0 1 { [ p ( t ) ϕ ( y ) C 3 k ( y ) x y + C 3 p ( t ) ϕ ( y ) r ( t ) x 2 C 3 p ( t ) ϕ ( y ) x ] 2 C 3 4 C 2 p ( t ) [ 2 C 2 p ( t ) x r ( t ) x ] + 1 4 C 2 C 1 p ( t ) [ 4 C 2 C 1 p ( t ) q ( t ) + C 3 ( C 1 C 2 ) r 2 ( t ) ] x 2 f ( t , y , y ) x 2 y } d t .

x ( 0 ) = x ( 1 ) = 0 ,有

0 1 [ x 2 p ( t ) ϕ ( y ) k ( y ) y ] d t = [ x 2 p ( t ) ϕ ( y ) k ( y ) y ] 0 1 = 0.

于是

0 1 { [ 4 C 2 C 1 p ( t ) q ( t ) + C 3 ( C 1 C 2 ) r 2 ( t ) ] x 2 C 3 C 1 [ 2 C 2 p ( t ) x r ( t ) x ] 2 } d t 0 ,

与条件矛盾,故 y ( t ) [ 0 , 1 ] 上至少有一个零点。

推论1 设 y ( t ) 是方程(1.3)的非平凡解,若存在 x ( t ) C 1 ( [ 0 , 1 ] ; R ) ,使得 x ( 0 ) = x ( 1 ) = 0 f ( t , u , v ) u 0 ( u 0 ) ;又

[ 4 C 2 C 1 p ( t ) q ( t ) + C 3 ( C 1 C 2 ) r 2 ( t ) ] x 2 C 3 C 1 [ 2 C 2 p ( t ) x r ( t ) x ] 2 t [ 0 , 1 ]

且等号在[0,1]的任意闭子区间上不恒成立,则 y ( t ) [ 0 , 1 ] 上至少有一个零点。

定理2 设 y ( t ) 是方程(1.3)的非平凡解,若存在 x ( t ) C 1 ( [ 0 , 1 ] ; R ) ,使得 x ( 0 ) = x ( 1 ) = 0

r ( t ) k ( v ) f ( t , u , v ) u 0 ( u 0 ) ;且

0 1 [ q ( t ) x 2 C 2 C 3 p ( t ) x 2 ] d t > 0.

y ( t ) [ 0 , 1 ] 上至少有一个零点。

证明 假设 y ( t ) [ 0 , 1 ] 上没有零点,即 y ( t ) 0 , t [ 0 , 1 ] ,则不等式(2.2)成立。对(2.2)式的两边从0到1积分得

0 1 ( x 2 p ( t ) ϕ ( y ) k ( y ) y ) d t 0 1 p ( t ) ϕ ( y ) C 3 ( C 3 x k ( y ) y x ) 2 d t + 0 1 [ q ( t ) x 2 C 2 C 3 p ( t ) x 2 ] d t + 0 1 r ( t ) k ( y ) f ( t , y , y ) y x 2 d t .

x ( 0 ) = x ( 1 ) = 0 ,有

0 1 ( x 2 p ( t ) ϕ ( y ) k ( y ) y ) d t = ( x 2 p ( t ) ϕ ( y ) k ( y ) y ) 0 1 = 0.

于是

0 1 [ q ( t ) x 2 C 2 C 3 p ( t ) x 2 ] d t 0 ,

与条件矛盾,故 y ( t ) [ 0 , 1 ] 上至少有一个零点。

推论2 设 y ( t ) 是方程(1.3)的非平凡解,若存在 x ( t ) C 1 ( [ 0 , 1 ] ; R ) ,使得 x ( 0 ) = x ( 1 ) = 0 r ( t ) k ( v ) f ( t , u , v ) u 0 ( u 0 ) ,又 q ( t ) x 2 p ( t ) C 2 C 3 x 2 t [ 0 , 1 ] ,且等号在[0,1]的任意闭子区间上不恒成立,则 y ( t ) [ 0 , 1 ] 上至少有一个零点。

定理3 设 y ( t ) 是方程(1.3)的非平凡解,若存在 x ( t ) C 1 ( [ 0 , 1 ] ; R ) ,使得 x ( 0 ) = x ( 1 ) = 0

f ( t , u , v ) u 0 ( u 0 ) ,且

0 1 [ Q ( t ) x 2 C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) ( x + 1 2 x R ¯ ( t ) ) 2 ] d t > 0 ,

y ( t ) [ 0 , 1 ] 上至少有一个零点。

证明 假设 y ( t ) [ 0 , 1 ] 上没有零点,即 y ( t ) 0 , t [ 0 , 1 ] ,则不等式(2.3)成立。对(2.3)式的两边从0到1积分得

0 1 [ x 2 W ( t ) ] d t 0 1 C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) ( W ( t ) C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) x x 1 2 R ¯ ( t ) x ) 2 d t + 0 1 [ Q ( t ) x 2 C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) ( x + 1 2 R ¯ ( t ) x ) 2 ] d t 0 1 f ( t , y , y ) y Φ ( t ) x 2 d t .

x ( 0 ) = x ( 1 ) = 0 ,有

0 1 [ x 2 W ( t ) ] = [ x 2 W ( t ) ] 0 1 = 0.

于是

0 1 [ Q ( t ) x 2 C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) ( x + 1 2 R ¯ ( t ) x ) 2 ] d t 0 ,

与条件矛盾,故 y ( t ) [ 0 , 1 ] 上至少有一个零点。

推论3 设 y ( t ) 是方程(1.3)的非平凡解,若存在 x ( t ) C 1 ( [ 0 , 1 ] ; R ) ,使得 x ( 0 ) = x ( 1 ) = 0 f ( t , u , v ) u 0 ( u 0 ) ;又在 [ 0 , 1 ] 上,

Q 2 ( t ) x 2 C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) ( x + 1 2 x r 2 ( t ) ) 2 ,

但不恒相等,则 y ( t ) [ 0 , 1 ] 上至少有一个零点。

4. 实例

例1 考虑方程:

[ ( 1 + sin 2 π t ) y 1 + α y 2 ] + 4 π sin π t cos π t y 1 + α y 2 + q ( t ) y + t 2 y y 2 = 0 (4.1)

其中 y R t [ 0 , 1 ] α 0 为常数, q C ( [ 0 , 1 ] ; [ 0 , + ) ) ,满足 q ( t ) > 4 π 2 sin 2 π t , t ( 0 , 1 )

p ( t ) = 1 + sin 2 π t ϕ ( y ) = 1 k ( v ) = v 1 + α v 2 r ( t ) = 4 π sin π t cos π t f ( t , u , v ) = t 2 u v 2 ,则 f C ( [ 0 , 1 ] × R × R ; R ) p C 1 ( [ 0 , 1 ] ; R + ) r C ( [ 0 , 1 ] ; R ) k , ϕ C 1 ( R ; R ) ,且

f ( t , u , v ) u = t 2 v 2 0 ( u 0 ) .

C 1 = C 2 = C 3 = 1 ,则条件(A1)、(A2)满足。取 x ( t ) = sin 2 π t ,则 x ( 0 ) = x ( 1 ) = 0

t [ 0 , 1 ] ,有

[ 4 C 2 C 1 p ( t ) q ( t ) + C 3 ( C 1 C 2 ) r 2 ( t ) ] x 2 C 3 C 1 [ 2 C 2 p ( t ) x r ( t ) x ] 2 = 4 q ( t ) ( 1 + sin 2 π t ) sin 4 π t [ 4 π ( 1 + sin 2 π t ) sin π t cos π t 4 π sin π t cos π t sin 2 π t ] 2 = 4 sin 2 π t [ q ( t ) ( 1 + sin 2 π t ) sin 2 π t 4 π 2 cos 2 π t ] 4 sin 2 π t [ q ( t ) sin 2 π t 4 π 2 ] 0 ,

且等号当且仅当 t = 0 , 1 时成立。由推论1知,方程(4.1)的非平凡解 y ( t ) [ 0 , 1 ] 至少有一个零点。

例2 考虑以下方程:

( 2 + cos 2 π t 1 + cos 2 π t 1 + y 2 2 + y 2 y 2 1 + α y 2 ) + t 2 y 2 1 + α y 2 + q ( t ) y + y 3 t 2 y 2 1 + α y 2 = 0 (4.2)

其中 y R t [ 0 , 1 ] α 0 为常数。 q C ( [ 0 , 1 ] ; [ 0 , + ) ) ,满足 q ( t ) > 3 π 2 sin 2 π t , t ( 0 , 1 )

p ( t ) = 2 + cos 2 π t 1 + cos 2 π t ϕ ( y ) = 1 + y 2 2 + y 2 k ( v ) = v 2 1 + α v 2 r ( t ) = t 2 f ( t , u , v ) = u 3 t 2 v 2 1 + a v 2 ,则 f C ( [ 0 , 1 ] × R × R ; R ) p C 1 ( [ 0 , 1 ] ; R + ) r C ( [ 0 , 1 ] ; R ) k , ϕ C 1 ( R ; R ) ,且 1 2 ϕ ( y ) = 1 + y 2 2 + y 2 1 r ( t ) k ( v ) f ( t , u , v ) u = u 2 1 + α v 2 0 ( u 0 )

C 1 = 1 2 , C 2 = C 3 = 1 ,则条件(A1)、(A2)满足。取 x ( t ) = sin π t ,则 x ( 0 ) = x ( 1 ) = 0 ,且

q ( t ) x 2 p ( t ) C 2 C 3 x 2 = q ( t ) sin 2 π t ( 2 + cos 2 π t 1 + cos 2 π t ) π 2 cos 2 π t q ( t ) sin 2 π t 3 π 2 0

且等号当且仅当 t = 0 , 1 时成立,由推论2知,方程(4.2)的非平凡解 y ( t ) [ 0 , 1 ] 至少有一个零点。

例3 考虑方程:

[ ( 1 + sin 2 π t ) y 1 + α y 2 ] sin π t cos π t y 1 + α y 2 + q ( t ) y + t 2 y y 2 = 0 , (4.3)

其中 y R t [ 0 , 1 ] α 0 为常数, q C ( [ 0 , 1 ] ; [ 0 , + ) ) ,满足

q ( t ) π 2 ( 4 + cot 2 π t ) , t ( 0 , 1 ) .

p ( t ) = 1 + sin 2 π t ϕ ( y ) = 1 k ( v ) = v 1 + α v 2 r ( t ) = 2 π sin π t cos π t f ( t , u , v ) = t 2 u v ,则 f C ( [ 0 , 1 ] × R × R ; R ) p C 1 ( [ 0 , 1 ] ; R + ) r C ( [ 0 , 1 ] ; R ) k , ϕ C 1 ( R ; R ) ,且

f ( t , u , v ) u = t 2 v 2 0 , u 0.

C 1 = C 2 = C 3 = 1 ,则条件(A1)、(A2)成立。取 x ( t ) = sin π t ,则 x ( 0 ) = x ( 1 ) = 0

R ( t ) = 1 t , Φ ( t ) = t 2 ,则

Q ( t ) = Φ ( t ) [ q ( t ) C 3 ( C 2 C 1 ) 4 C 1 C 2 r 2 ( t ) p ( t ) r ( t ) C 2 R ( t ) + p ( t ) C 2 C 3 R 2 ( t ) ( p ( t ) R ( t ) ) ] t 2 [ π 2 ( 4 + cot 2 π t ) sin π t cos π t t + 1 + sin 2 π t t 2 ( 1 + sin 2 π t t ) ] = t 2 π 2 ( 4 + cot 2 π t )

R ¯ ( t ) = 2 R ( t ) C 2 C 3 + Φ ( t ) Φ ( t ) r ( t ) C 2 p ( t ) = 2 t + 2 t t 2 2 π sin π t cos π t 1 + sin 2 π t = 2 π sin π t cos π t 1 + sin 2 π t

从而对 t ( 0 , 1 )

Q ( t ) x 2 C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) [ x + 1 2 x R ¯ ( t ) ] 2 t 2 π 2 ( 4 + cot 2 π t ) sin 2 π t ( 1 + sin 2 π t ) t 2 ( π cos π t + sin π t 2 2 π sin π t cos π t 1 + sin 2 π t ) 2 = t 2 π 2 ( 4 + cot 2 π t ) sin 2 π t ( 1 + sin 2 π t ) t 2 [ π 2 cos 2 π t + 2 π 2 sin 2 π t cos 2 π t 1 + sin 2 π t + π 2 sin 4 π t cos 2 π t ( 1 + sin 2 π t ) 2 ] = t 2 π 2 sin 2 π t { ( 4 + cot 2 π t ) ( 1 + sin 2 π t ) [ cot 2 π t + 2 cos 2 π t 1 + sin 2 π t + sin 2 π t cos 2 π t ( 1 + sin 2 π t ) 2 ] } 2 t 2 π 2 sin 2 π t { 3 + cot 2 π t [ cot 2 π t + 3 ] } = 0

而当 t = 0 , 1 时不等式仍成立,且等号在 [ 0 , 1 ] 的任意子区间上不恒成立。由推论3知,方程(4.3)的非平凡解 y ( t ) [ 0 , 1 ] 至少有一个零点。

致谢

感谢庄容坤教授对本文研究工作的建议和帮助!

基金项目

本文受如下基金项目资助:国家自然科学基金(No. 11601180),广东省自然科学基金 (No. 2016A030310100),国家级大学生创新训练项目(No. 20181057005)。

NOTES

*通讯作者。

参考文献

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[2] Picone, M. (1910) Sui valori eccezionali di un parametro da cui dipende un’equazione differenziale ordinaria del secondo ordine. Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, 11, 1-141.
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[4] 陈丽纯, 庄容坤. 一类二阶非线性微分方程解的零点比较定理[J]. 高校应用数学学报A辑, 2017, 32(2): 149-155.
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