具有不连续源项的二阶半线性系统边值问题的奇摄动
Singular Perturbation for Boundary Value Problem of a Second-Order Semi-Linear System with Discontinuous Source Terms
DOI: 10.12677/AAM.2019.88158, PDF, HTML, XML, 下载: 1,021  浏览: 1,273 
作者: 李 静, 谢 峰:东华大学理学院,上海
关键词: 边界函数法缝接法不连续源项奇摄动Boundary Function Method Sewing Method Discontinuous Source Term Singular Perturbation
摘要: 本文讨论了一类带有不连续源项的二阶半线性系统边值问题。首先,用边界函数法和缝接法构造出原问题的形式渐近解;然后运用上下解定理证明形式解的一致有效性。最后给出一个例子验证了结果的有效性。
Abstract: In this paper, a singularly perturbed boundary value problem of second-order semi-linear system with discontinuous source terms is discussed. Firstly, we use the boundary function method and sewing method to construct formal asymptotic solution to the original problem. Then, the uniformly validity of the solution obtained is proved by the lower and upper solutions theorem. Finally, an example is given as an illustration.
文章引用:李静, 谢峰. 具有不连续源项的二阶半线性系统边值问题的奇摄动[J]. 应用数学进展, 2019, 8(8): 1341-1351. https://doi.org/10.12677/AAM.2019.88158

1. 引言

奇异摄动边值问题因来源于物理、力学、生物等领域而受到广泛的关注和研究 [1] [2] [3] [4] ,奇异摄动理论和方法已经成为研究非线性问题的有力工具之一。近几年,在流固耦合 [5] 、对流扩散 [6] 、界面交互 [7] 等问题中出现了大量具有不连续系数和源项的奇摄动边值问题。例如,2012年,丁海云等在文 [8] 中考虑了一类带有不连续项的二阶半线性奇摄动边值问题,运用边界函数法和缝接法获得了一致有效的渐近解。2017年,包立平在文 [9] 中研究了具有不连续源的半线性微分方程组边值问题,用 Aumann 介值定理对解在间断点处进行了光滑地连接,并证明了解的一致有效性。

最近,Rao和Chawla讨论了带有边界层和内部层的奇摄动半线性反应-扩散方程 [10] :

{ E u + a ( x , u ) = f , x Ω 1 Ω 2 , u ( 0 ) = p , u ( 1 ) = q .

其中, E = d i a g ( ε 1 , , ε m ) ,且 0 < ε 1 < < ε m 1 a ( x , u ) = ( a 1 ( x , u ) , , a m ( x , u ) ) T f = ( f 1 , , f m ) T

他们建立了一种基于Shishkin网格的数值计算方法。

受上述工作的启发,本文在更一般的条件下讨论如下具有不连续源项的二阶半线性系统的奇摄动边值问题:

{ ε 2 y 1 + a 1 ( x , y 1 , y 2 ) = f 1 ( x ) , ε 2 y 2 + a 2 ( x , y 1 , y 2 ) = f 2 ( x ) , y 1 ( 0 ) = p 1 , y 2 ( 0 ) = p 2 , y 1 ( 1 ) = q 1 , y 2 ( 1 ) = q 2 . (1.1)

其中 a 1 ( x , y 1 , y 2 ) , a 2 ( x , y 1 , y 2 ) [ 0 , 1 ] × R 2 上的充分光滑的函数, ε 0 < ε 1 的参数, p i , q i ( i = 1 , 2 ) 为给定常数,函数 f 1 ( x ) , f 2 ( x ) x = c 处间断。问题(1.1)可以看作纯量情形 [8] [11] 的自然推广。

ε y = z ,则(1.1)式等价于如下的四维吉洪诺夫系统:

{ ε y 1 = z 1 , ε y 2 = z 2 ε z 1 = a 1 ( x , y 1 , y 2 ) f 1 ( x ) , ε z 2 = a 2 ( x , y 1 , y 2 ) f 2 ( x ) , y 1 ( 0 ) = p 1 , y 2 ( 0 ) = p 2 , y 1 ( 1 ) = q 1 , y 2 ( 1 ) = q 2 . (1.2)

作如下假设。

(H1)函数 f 1 ( x ) , f 2 ( x ) 定义如下:

f i ( x ) = { f i 1 ( x ) , x [ 0 , c ) , f i 2 ( x ) , x ( c , 1 ] ,

其中,函数 f i ( x ) x [ 0 , c ) ( c , 1 ] i = 1 , 2 上充分光滑,且 f i 1 ( c ) f i 2 ( c ) , i = 1 , 2

(H2)方程组 a i ( x , y 1 , y 2 ) = f i 1 ( x ) , x [ 0 , c ) a j ( x , y 1 , y 2 ) = f j 2 ( x ) , x ( c , 1 ] ,分别存在唯一解 φ i ( x ) C 2 [ 0 , c ] , ψ j ( x ) C 2 [ c , 1 ] ( i , j = 1 , 2 )

(H3)存在 σ 1 > 0 σ 2 > 0 使得对任意 ( x , y 1 , y 2 ) [ 0 , 1 ] × R 2 成立

a 1 y 1 ( x , y 1 , y 2 ) σ 1 , a 2 y 2 ( x , y 1 , y 2 ) σ 2 ,

a 1 y 2 ( x , y 1 , y 2 ) σ 1 2 , a 2 y 1 ( x , y 1 , y 2 ) σ 2 2 .

由假设(H3)可知,4阶矩阵

( 0 E 2 A ( x ) 0 )

的特征根有2个正实部和2个负实部,式中 E 2 为2 × 2单位矩阵。因此,辅助系统

{ y 1 = z 1 , y 2 = z 2 , z 1 = a 1 ( 0 , φ 1 + z 1 , φ 2 + z 2 ) , z 2 = a 2 ( 0 , φ 1 + z 1 , φ 2 + z 2 ) , (1.3)

{ y 1 = z 1 , y 2 = z 2 , z 1 = a 1 ( 1 , ψ 1 + z 1 , ψ 2 + z 2 ) , z 2 = a 2 ( 1 , ψ 1 + z 1 , ψ 2 + z 2 ) , (1.4)

的平衡点(0,0)皆具有两维的稳定流形和两维的不稳定流形。记系统(1.3)的稳定流形为

W s = { ( y , z ) | y = Φ ( z ) , y G } ;记系统(1.4)的不稳定流形为 W u = { ( y , z ) | y = Ψ ( z ) , y G + }

存在可逆矩阵

B ( x ) = ( B 11 ( x ) B 12 ( x ) B 21 ( x ) B 22 ( x ) ) ,

使得

B 1 ( x ) ( 0 E 2 A 0 ) B ( x ) = ( C ( x ) 0 0 C + ( x ) ) .

其中, B i j ( x ) , C ( x ) , C + ( x ) 均为2阶矩阵,且 C ( x ) 的特征值的实部为负值, C + ( x ) 的特征值的实部为正值。

(H4) det B 11 ( 0 ) 0 , det B 22 ( 1 ) 0 ( p 1 φ 1 ( 0 ) , p 2 φ 2 ( 0 ) ) G , ( q 1 ψ 1 ( 1 ) , q 2 ψ 2 ( 1 ) ) G +

注:若(1.1)为线性系统,即若 a i ( x , y 1 , y 2 ) ( i = 1 , 2 ) y 1 y 2 的线性函数,则条件(H3)自然蕴含(H4)成立。

2. 构造形式渐近解

考虑到源项 f ( x ) x = c 处间断,把问题(1.1)看成如下左、右问题的耦合。

左问题(L)

{ ε 2 y ¯ 1 + a 1 ( x , y ¯ 1 , y ¯ 2 ) = f 11 ( x ) , ε 2 y ¯ 2 + a 2 ( x , y ¯ 1 , y ¯ 2 ) = f 21 ( x ) , x [ 0 , c ) , y ¯ 1 ( 0 ) = p 1 , y ¯ 2 ( 0 ) = p 2 , y ¯ 1 ( c ) = γ 1 ( ε ) , y ¯ 2 ( c ) = γ 2 ( ε ) . (2.1)

右问题(R)

{ ε 2 y ˜ 1 + a 1 ( x , y ˜ 1 , y ˜ 2 ) = f 12 ( x ) , ε 2 y ˜ 2 + a 2 ( x , y ˜ 1 , y ˜ 2 ) = f 22 ( x ) , x ( c , 1 ] , y ˜ 1 ( 1 ) = q 1 , y ˜ 2 ( 1 ) = q 2 , y ˜ 1 ( c ) = γ 1 ( ε ) , y ˜ 2 ( c ) = γ 2 ( ε ) . (2.2)

其中 γ 1 ( ε ) = γ 10 + ε γ 11 + γ 2 ( ε ) = γ 20 + ε γ 21 + 为依赖于 ε 的待定参数。

按照缝接法思想,我们首先构造出左问题(L)和右问题(R)的形式渐近解,然后在间断点 x = c 处对形式解进行光滑地连接,由此确定待定参数 γ 1 ( ε ) γ 2 (ε)

先考虑左问题(L)。由边界函数法 [4] 可设其形式解为:

{ y ¯ 1 = u ¯ 1 ( x ) + v ¯ 1 ( τ ) + w ¯ 1 ( η ) , y ¯ 2 = u ¯ 2 ( x ) + v ¯ 2 ( τ ) + w ¯ 2 ( η ) , (2.3)

式中

u ¯ j ( x ) = u ¯ j 0 ( x ) + ε u ¯ j 1 ( x ) + ε 2 u ¯ j 2 ( x ) + , (2.3a)

v ¯ j ( τ ) = v ¯ j 0 ( τ ) + ε v ¯ j 1 ( τ ) + ε 2 v ¯ j 2 ( τ ) + , (2.3b)

w ¯ j ( η ) = w ¯ j 0 ( η ) + ε w ¯ j 1 ( η ) + ε 2 w ¯ j 2 ( η ) + , (2.3c)

其中 x [ 0 , c ) , τ = x ε , η = x c ε , j = 1 , 2

将式(2.3)代入式(2.1)中,再根据不同的尺度分离可得:

{ ε 2 u ¯ 1 + a 1 ( x , u ¯ 1 , u ¯ 2 ) = f 11 ( x ) , ε 2 u ¯ 2 + a 2 ( x , u ¯ 1 , u ¯ 2 ) = f 21 ( x ) , (2.4)

{ v ¯ 1 ( τ ) + a 1 ( x , u ¯ 1 + v ¯ 1 , u ¯ 2 + v ¯ 2 ) a 1 ( x , u ¯ 1 , u ¯ 2 ) = 0 , v ¯ 2 ( τ ) + a 2 ( x , u ¯ 1 + v ¯ 1 , u ¯ 2 + v ¯ 2 ) a 2 ( x , u ¯ 1 , u ¯ 2 ) = 0 , (2.5)

{ w ¯ 1 ( η ) + a 1 ( x , u ¯ 1 + v ¯ 1 + w ¯ 1 , u ¯ 2 + v ¯ 2 + w ¯ 1 ) a 1 ( x , u ¯ 1 + v ¯ 1 , u ¯ 2 + v ¯ 2 ) = 0 , w ¯ 2 ( η ) + a 2 ( x , u ¯ 1 + v ¯ 1 + w ¯ 1 , u ¯ 2 + v ¯ 2 + w ¯ 1 ) a 2 ( x , u ¯ 1 + v ¯ 1 , u ¯ 2 + v ¯ 2 ) = 0. (2.6)

a 1 ( x , y 1 , y 2 ) , a 2 ( x , y 1 , y 2 ) 进行 ε 幂级数展开:

{ a 1 ( x , u ¯ 1 , u ¯ 2 ) = a 1 ( x , φ 1 , φ 2 ) + ε ( a 1 y ¯ 1 ( x , φ 1 , φ 2 ) u ¯ 11 ( x ) + a 1 y ¯ 2 ( x , φ 1 , φ 2 ) u ¯ 21 ( x ) + g ¯ 1 ( x ) ) + , a 2 ( x , u ¯ 1 , u ¯ 2 ) = a 2 ( x , φ 1 , φ 2 ) + ε ( a 2 y ¯ 1 ( x , φ 1 , φ 2 ) u ¯ 11 ( x ) + a 2 y ¯ 2 ( x , φ 1 , φ 2 ) u ¯ 21 ( x ) + h ¯ 1 ( x ) ) + , (2.7)

其中, g ¯ 1 ( x ) , h ¯ 1 ( x ) x , φ 1 ( x ) , φ 2 ( x ) 的函数。

将式(2.3a)和(2.7)代入式(2.4)中,得

ε 0 : { a 1 ( x , φ 1 , φ 2 ) = f 11 ( x ) , a 2 ( x , φ 1 , φ 2 ) = f 21 ( x ) , (2.8)

ε i : { u ¯ 1 i = a 1 y ¯ 1 ( x , φ 1 , φ 2 ) u ¯ 1 ( i + 2 ) ( x ) + a 1 y ¯ 2 ( x , φ 1 , φ 2 ) u ¯ 2 ( i + 2 ) ( x ) + g ¯ i + 2 ( x ) , u ¯ 2 i = a 2 y ¯ 1 ( x , φ 1 , φ 2 ) u ¯ 1 ( i + 2 ) ( x ) + a 2 y ¯ 2 ( x , φ 1 , φ 2 ) u ¯ 2 ( i + 2 ) ( x ) + h ¯ i + 2 ( x ) , (2.9)

其中 g ¯ i + 2 ( x ) , h ¯ i + 2 ( x ) x , φ 1 ( x ) , , u ¯ 1 ( i + 1 ) ( x ) , φ 2 , , u ¯ 2 ( i + 1 ) ( x ) 的函数,由假设(H1)和(H2)可知(2.8)式有唯一解,又由假设(H3)知,从式(2.9)可依次求出 u 1 i ( x ) u 2 i ( x )

将(2.3b)代入(2.5)中,得

ε 0 : { v ¯ 10 = a 1 ( 0 , φ 1 ( 0 ) + v ¯ 10 , φ 2 ( 0 ) + v ¯ 20 ) a 1 ( 0 , φ 1 ( 0 ) , φ 2 ( 0 ) ) , v ¯ 20 = a 2 ( 0 , φ 1 ( 0 ) + v ¯ 10 , φ 2 ( 0 ) + v ¯ 20 ) a 2 ( 0 , φ 1 ( 0 ) , φ 2 ( 0 ) ) , v ¯ 10 ( 0 ) = p 1 φ 1 ( 0 ) , v ¯ 20 ( 0 ) = p 2 φ 2 ( 0 ) , (2.10)

ε i : { v ¯ 1 i = a 1 y ¯ 1 ( 0 , φ 1 ( 0 ) + v ¯ 10 , φ 2 ( 0 ) + v ¯ 20 ) v ¯ 1 i ( τ ) + a 1 y ¯ 2 ( 0 , φ 1 ( 0 ) + v ¯ 10 , φ 2 ( 0 ) + v ¯ 20 ) v ¯ 2 i ( τ ) + F ¯ i ( τ ) , v ¯ 2 i = a 2 y ¯ 1 ( 0 , φ 1 ( 0 ) + v ¯ 10 , φ 2 ( 0 ) + v ¯ 20 ) v ¯ 1 i ( τ ) + a 2 y ¯ 2 ( 0 , φ 1 ( 0 ) + v ¯ 10 , φ 2 ( 0 ) + v ¯ 20 ) v ¯ 2 i ( τ ) + G ¯ i ( τ ) , (2.11)

其中, F ¯ i ( τ ) , G ¯ i ( τ ) τ , v ¯ 10 ( τ ) , , v ¯ 1 ( i 1 ) ( τ ) , v ¯ 20 ( τ ) , , v ¯ 2 ( i 1 ) ( τ ) 的函数。

由边界层函数的性质可知: lim τ + v ¯ 10 ( τ ) = lim τ + v ¯ 10 ( τ ) = lim τ + v ¯ 20 ( τ ) = lim τ + v ¯ 20 ( τ ) = 0

利用文 [4] 中引理3.5.6,由假设(H3)和(H4)可知,存在 δ 1 , δ 2 > 0 使得

v ¯ 10 ( τ ) = O ( e δ 1 τ ) , v ¯ 20 ( τ ) = O ( e δ 2 τ ) .

同理,由式(2.11)知:存在 k ¯ 1 i , k ¯ 2 i > 0 ,且 δ 1 > k ¯ 1 i , δ 2 > k ¯ 2 i ,使得

v ¯ 1 i ( τ ) = O ( e ( δ 1 k ¯ 1 i ) τ ) , v ¯ 2 i ( τ ) = O ( e ( δ 2 k ¯ 2 i ) τ ) .

将(2.3c)代入(2.6)中,可得

ε 0 : { w ¯ 10 = a 1 ( c , φ 1 ( c ) + w ¯ 10 , φ 2 ( c ) + w ¯ 20 ) a 1 ( c , φ 1 ( c ) , φ 2 ( c ) ) , w ¯ 20 = a 2 ( c , φ 1 ( c ) + w ¯ 10 , φ 2 ( c ) + w ¯ 20 ) a 2 ( c , φ 1 ( c ) , φ 2 ( c ) ) , w ¯ 10 ( 0 ) = γ 10 φ 1 ( c ) , w ¯ 20 ( 0 ) = γ 20 φ 2 ( c ) , (2.12)

ε i : { w ¯ 1 i = a 1 y ¯ 1 ( c , φ 1 ( c ) + w ¯ 10 , φ 2 ( c ) + w ¯ 20 ) w ¯ 1 i ( η ) + a 1 y ¯ 2 ( c , φ 1 ( c ) + w ¯ 10 , φ 2 ( c ) + w ¯ 20 ) w ¯ 2 i ( η ) + H ¯ i ( η ) , w ¯ 2 i = a 2 y ¯ 1 ( c , φ 1 ( c ) + w ¯ 10 , φ 2 ( c ) + w ¯ 20 ) w ¯ 1 i ( η ) + a 2 y ¯ 2 ( c , φ 1 ( c ) + w ¯ 10 , φ 2 ( c ) + w ¯ 20 ) w ¯ 2 i ( η ) + W ¯ i ( η ) ,

其中, H ¯ i ( η ) , W ¯ i ( η ) η , w ¯ 10 ( η ) , , w ¯ 1 ( i 1 ) ( η ) , w ¯ 20 ( η ) , , w ¯ 2 ( i 1 ) ( η ) 的函数。

由边界层的性质可知: lim η w ¯ 10 ( η ) = lim η w ¯ 10 ( η ) = lim η w ¯ 20 ( η ) = lim η w ¯ 20 ( η ) = 0

利用文 [4] 中引理3.5.6,由假设(H3)和(H4)可知:

w ¯ 10 ( η ) = O ( e δ 1 η ) , w ¯ 20 ( η ) = O ( e δ 2 η ) ,

w ¯ 1 i ( η ) = O ( e ( δ 1 l ¯ 1 i ) η ) , w ¯ 2 i ( η ) = O ( e ( δ 2 l ¯ 2 i ) η ) ,

其中 0 < l ¯ 1 i < δ 1 , 0 < l ¯ 2 i < δ 2

类似地,可求出右问题的形式渐近解

{ y ˜ 1 = u ˜ 1 ( x ) + v ˜ 1 ( η ) + w ˜ 1 ( ξ ) , y ˜ 2 = u ˜ 2 ( x ) + v ˜ 2 ( η ) + w ˜ 2 ( ξ ) , (2.13)

其中 x ( c , 1 ] v ˜ j ( η ) , w ˜ j ( ξ ) , ξ = x 1 ε , j = 1 , 2 分别是左、右边界层校正项,且满足

v ˜ 10 ( η ) = O ( e δ 1 η ) , v ˜ 20 ( η ) = O ( e δ 2 η ) ,

w ˜ 10 ( ξ ) = O ( e δ 1 ξ ) , w ˜ 20 ( ξ ) = O ( e δ 2 ξ ) ,

v ˜ 1 i ( η ) = O ( e ( δ 1 k ˜ 1 i ) η ) , v ˜ 2 i ( η ) = O ( e ( δ 2 k ˜ 2 i ) η ) ,

w ˜ 1 i ( ξ ) = O ( e ( δ 1 l ˜ 1 i ) ξ ) , w ˜ 2 i ( ξ ) = O ( e ( δ 2 l ˜ 2 i ) ξ ) ,

其中, 0 < k ˜ 1 i < δ 1 , 0 < k ˜ 2 i < δ 2 , 0 < l ˜ 1 i < δ 1 , 0 < l ˜ 2 i < δ 2

为左、右问题的解在 x = c 处光滑连接,须有

{ y ¯ 1 ( c ) = y ˜ 1 ( c ) , y ¯ 2 ( c ) = y ˜ 2 ( c ) . (2.14)

将式(2.3),(2.13)代入(2.14),考虑到 v ¯ 1 ( τ ) , w ˜ 1 ( η ) , v ¯ 2 ( τ ) , w ˜ 2 ( η ) x = c 处的指数衰减性,从而有

{ d w ¯ 10 d η | η = 0 = d v ˜ 10 d η | η = 0 , d w ¯ 20 d η | η = 0 = d v ˜ 20 d η | η = 0 . (2.15)

d w ¯ 10 d η = V ,对(2.12)变形为:

2 V d V d η = 2 [ a 1 ( ) f 11 ( c ) ] V .

两边对 η ( , 0 ) 上积分得:

0 2 V d V d η d η = 0 2 a 1 ( ) d w ¯ 10 d η d η 0 2 f 11 ( c ) d w ¯ 10 d η d η ,

V 2 ( 0 ) = 2 a 1 ( ) w ¯ 10 ( 0 ) 2 f 11 ( c ) w ¯ 10 ( 0 ) 2 0 [ a 1 y ¯ 1 ( ) d w ¯ 10 ( η ) d η + a 1 y ¯ 2 ( ) d w ¯ 20 ( η ) d η ] w ¯ 10 ( η ) d η .

( d w ¯ 10 ( η ) d η ) 2 | η = 0 = 2 a 1 ( ) w ¯ 10 ( 0 ) 2 f 11 ( c ) w ¯ 10 ( 0 ) 2 0 [ a 1 y ¯ 1 ( ) d w ¯ 10 ( η ) d η + a 1 y ¯ 2 ( ) d w ¯ 20 ( η ) d η ] w ¯ 10 ( η ) d η .

类似地,有

( d v ˜ 10 d η ) 2 | η = 0 = 2 a 1 ( ) v ˜ 10 ( 0 ) 2 f 12 ( c ) v ˜ 10 ( 0 ) + 2 0 + [ a 1 y ˜ 1 ( ) d v ˜ 10 ( η ) d η + a 1 y ˜ 2 ( ) d v ˜ 20 ( η ) d η ] v ˜ 10 ( η ) d η .

由连接条件(2.15)知,

2 a 1 ( ) w ¯ 10 ( 0 ) 2 f 11 ( c ) w ¯ 10 ( 0 ) 2 0 [ a 1 y ¯ 1 ( ) d w ¯ 10 ( η ) d η + a 1 y ¯ 2 ( ) d w ¯ 20 ( η ) d η ] w ¯ 10 ( η ) d η = 2 a 1 ( ) v ˜ 10 ( 0 ) 2 f 12 ( c ) v ˜ 10 ( 0 ) + 2 0 + [ a 1 y ˜ 1 ( ) d v ˜ 10 ( η ) d η + a 1 y ˜ 2 ( ) d v ˜ 20 ( η ) d η ] v ˜ 10 ( η ) d η .

a 1 ( c , γ 10 , γ 20 ) ( γ 10 φ 1 ( c ) ) f 11 ( c ) ( γ 10 φ 1 ( c ) ) + a 1 ( c , γ 10 , γ 20 ) ( ψ 1 ( c ) γ 10 ) + f 12 ( c ) ( ψ 1 ( c ) γ 10 ) = 0 + [ a 1 y ˜ 1 ( ) d v ˜ 10 ( η ) d η + a 1 y ˜ 2 ( ) d v ˜ 20 ( η ) d η ] v ˜ 10 ( η ) d η + 0 [ a 1 y ¯ 1 ( ) d w ¯ 10 ( η ) d η + a 1 y ¯ 2 ( ) d w ¯ 20 ( η ) d η ] w ¯ 10 ( η ) d η = P 1 ( γ 10 , γ 20 ) .

考虑第二个分量,类似可得

a 2 ( c , γ 10 , γ 20 ) ( γ 20 φ 2 ( c ) ) f 21 ( c ) ( γ 20 φ 2 ( c ) ) + a 2 ( c , γ 10 , γ 20 ) ( ψ 2 ( c ) γ 20 ) + f 22 ( c ) ( ψ 2 ( c ) γ 20 ) = 0 + [ a 2 y ˜ 1 ( ) d v ˜ 10 ( η ) d η + a 2 y ˜ 2 ( ) d v ˜ 20 ( η ) d η ] v ˜ 20 ( η ) d η + 0 [ a 2 y ¯ 1 ( ) d w ¯ 10 ( η ) d η + a 2 y ¯ 2 ( ) d w ¯ 20 ( η ) d η ] w ¯ 20 ( η ) d η = P 2 ( γ 10 , γ 20 ) .

其中,以上诸式中 ( ) = ( c , φ 1 ( c ) + w ¯ 10 ( 0 ) , φ 2 ( c ) + w ¯ 20 ( 0 ) ) ( ) = ( c , ψ 1 ( c ) + v ˜ 10 ( 0 ) , ψ 2 ( c ) + v ˜ 20 (0))

(H5)假设方程关于 γ 10 , γ 20 的方程组

{ ( a 1 ( c , γ 10 , γ 20 ) f 11 ( c ) ) ( γ 10 φ 1 ( c ) ) + ( a 1 ( c , γ 10 , γ 20 ) + f 12 ( c ) ) ( ψ 1 ( c ) γ 10 ) = P 1 ( γ 10 , γ 20 ) ( a 2 ( c , γ 10 , γ 20 ) f 21 ( c ) ) ( γ 20 φ 2 ( c ) ) + ( a 2 ( c , γ 10 , γ 20 ) + f 22 ( c ) ) ( ψ 1 ( c ) γ 20 ) = P 2 ( γ 10 , γ 20 )

有唯一解 γ 10 , γ 20

至此,我们构造出原问题(1.1)的形式渐近解

y ^ i ( x ) = { y ¯ i ( x ) , x [ 0 , c ) , γ 10 , x = c , y ˜ i ( x ) , x ( c , 1 ] , i = 1 , 2. (2.16)

3. 主要结论及证明

定理1 假设(H1)-(H5)成立,对于充分小的 ε > 0 ,问题(1.1)存在解 ( y 1 ( x ) , y 2 ( x ) ) ,满足

y i ( x ) C [ 0 , 1 ] C 2 ( [ 0 , c ) ( c , 1 ] ) , y i ( x ) = y ^ i ( x ) + O ( ε m + 1 ) , i = 1 , 2 , (3.1)

其中 y ^ 1 ( x ) , y ^ 2 ( x ) 为式(2.16)所定义。

证明:构造辅助函数

α i ( x ) = { z ¯ i ( x ) γ ε m + 1 , x [ 0 , c ) , γ i γ ε m + 1 , x = c , i = 1 , 2 , z ˜ i ( x ) γ ε m + 1 , x ( c , 1 ] ,

β i ( x ) = { z ¯ i ( x ) + γ ε m + 1 , x [ 0 , c ) , γ i + γ ε m + 1 , x = c , i = 1 , 2 , z ˜ i ( x ) + γ ε m + 1 , x ( c , 1 ] ,

其中,

{ z ¯ i = j = 0 m ( u ¯ i j ( x ) + v ¯ i j ( τ ) + w ¯ i j ( η ) ) ε j , z ˜ i = j = 0 m ( u ˜ i j ( x ) + v ˜ i j ( η ) + w ˜ i j ( ξ ) ) ε j , i = 1 , 2.

显然,有 α 1 ( x ) β 1 ( x ) , α 2 ( x ) β 2 ( x ) 。由边界条件易得,

{ α 1 ( 0 ) p 1 β 1 ( 0 ) , α 2 ( 0 ) p 2 β 2 ( 0 ) , α 1 ( 1 ) q 1 β 1 ( 1 ) , α 2 ( 1 ) q 2 β 2 ( 1 ) .

x [ 0 , c ) ,由条件(H3)及中值定理得

a 1 ( x , α 1 ( x ) , y ¯ 2 ) a 1 ( x , z ¯ 1 ( x ) , z ¯ 2 ) = a 1 y 1 ( α 1 z ¯ 1 ) + a 1 y 2 ( y ¯ 2 z ¯ 2 ) σ 1 γ ε m + 1 + σ 1 2 γ ε m + 1 = σ 1 2 γ ε m + 1 .

由形式解的构造过程知

| ε 2 d 2 z ¯ 1 d x 2 ( a 1 ( x , z ¯ 1 , z ¯ 2 ) f 11 ( x ) ) | = O ( ε m + 1 ) .

因此,存在 ε 1 , μ 1 > 0 ,当 0 x < c , 0 < ε < ε 1 时,有

| ε 2 d 2 z ¯ 1 d x 2 ( a 1 ( x , z ¯ 1 , z ¯ 2 ) f 11 ( x ) ) | μ 1 ε m + 1 .

那么,取 γ 2 μ 1 σ 1 时,有

ε 2 α 1 a 1 ( x , α 1 , y ¯ 2 ) + f 11 ( x ) = ε 2 d z ¯ 1 2 d x 2 a 1 ( x , z ¯ 1 , z ¯ 2 ) + f 11 ( x ) + a 1 ( x , z ¯ 1 , z ¯ 2 ) a 1 ( x , α 1 , y ¯ 2 ) σ 1 2 γ ε m + 1 μ 1 ε m + 1 = ( σ 1 2 γ μ 1 ) ε m + 1 0.

x [ 0 , c ) ,存在 ε 2 , μ 2 > 0 γ 2 μ 1 σ 1 ,当 0 < ε < ε 2 时,

ε 2 β 1 a 1 ( x , β 1 , y ¯ 2 ) + f 11 ( x ) = ε 2 d z ¯ 1 2 d x 2 a 1 ( x , z ¯ 1 , z ¯ 2 ) + f 11 ( x ) + a 1 ( x , z ¯ 1 , z ¯ 2 ) a 1 ( x , β 1 , y ¯ 2 ) σ 1 2 γ ε m + 1 + μ 2 ε m + 1 0.

同理可证,在 x ( c , 1 ] 上有

ε 2 α 1 a 1 ( x , α 1 , y ˜ 2 ) + f 12 ( x ) 0 ,

ε 2 β 1 a 1 ( x , β 1 , y ˜ 2 ) + f 12 ( x ) 0.

类似可证,在 x [ 0 , c ) ( c , 1 ] 上有

ε 2 α 2 a 2 ( x , y ¯ 1 , α 2 ) + f 21 ( x ) 0 , ε 2 α 2 a 2 ( x , y ¯ 1 , β 2 ) + f 22 ( x ) 0

ε 2 β 2 a 2 ( x , y ¯ 1 , β 2 ) + f 21 ( x ) 0 , ε 2 β 2 a 2 ( x , y ¯ 1 , β 2 ) + f 22 ( x ) 0.

因此, ( α 1 , α 2 ) ( β 1 , β 2 ) 分别是问题(1.1)的一个下解和上解。由微分不等式定理知 [2] ,问题(1.1)存在解 ( y 1 ( x ) , y 2 ( x ) ) 且满足(3.1)。证毕。

4. 例子

考虑如下的边值问题:

{ ε 2 y 1 + 5 y 1 2 y 2 = f 1 ( x ) , x [ 0 , 1 2 ) ( 1 2 , 1 ] , ε 2 y 2 2 y 1 + 8 y 2 = f 2 ( x ) , x [ 0 , 1 2 ) ( 1 2 , 1 ] , y 1 ( 0 ) = 1 , y 2 ( 0 ) = 2 , y 1 ( 1 ) = 0 , y 2 ( 1 ) = 1 , (4.1)

其中,

f 1 ( x ) = { x + 2 , x [ 0 , 1 2 ) , 4 , x ( 1 2 , 1 ] , f 2 ( x ) = { x 2 , x [ 0 , 1 2 ) , 2 , x ( 1 2 , 1 ] .

显然,由 f 11 ( x ) = x + 2 , f 21 ( x ) = x 2 可知, φ 1 ( x ) = 5 x + 6 18 , φ 2 ( x ) = 7 x 6 36 ,且由 f 12 = 4 , f 22 = 2 ψ 1 ( x ) = 1 , ψ 2 ( x ) = 1 2

可将问题(4.1)看成如下左、右问题的耦合。

左问题(L):

{ ε 2 y 1 + 5 y 1 2 y 2 = x + 2 , x [ 0 , 1 2 ) , ε 2 y 2 2 y 1 + 8 y 2 = x 2 , x [ 0 , 1 2 ) , y 1 ( 0 ) = 1 , y 2 ( 0 ) = 2 , y 1 ( 1 2 ) = γ 1 ( ε ) , y 2 ( 1 2 ) = γ 2 ( ε ) . (4.2)

右问题(R):

{ ε 2 y 1 + 5 y 1 2 y 2 = 4 , x ( 1 2 , 1 ] , ε 2 y 2 2 y 1 + 8 y 2 = 2 , x ( 1 2 , 1 ] , y 1 ( 1 ) = 0 , y 2 ( 1 ) = 1 , y 1 ( 1 2 ) = γ 1 ( ε ) , y 2 ( 1 2 ) = γ 2 ( ε ) . (4.3)

其中 γ 1 ( ε ) = γ 10 + ε γ 11 + γ 2 ( ε ) = γ 20 + ε γ 21 + ε 有关的待定常数。

由渐近解的构造方法可求出左、右问题的零阶近似:

左问题(4.2)的边界层函数 V ¯ 10 ( τ ) , V ¯ 20 ( τ ) , W ¯ 10 ( η ) , W ¯ 20 ( η )

V ¯ 10 ( τ ) = 11 15 e 3 τ + 7 5 e 2 τ , V ¯ 20 ( τ ) = 22 15 e 3 τ + 7 10 e 2 τ ,

W ¯ 10 ( η ) = ( 2 γ 10 7 20 ) e 2 η + ( γ 20 11 90 ) e 3 η ,

W ¯ 20 ( η ) = ( γ 10 7 40 ) e 2 η ( 2 γ 20 22 90 ) e 3 η .

右问题(4.3)的边界层函数 V ˜ 10 ( η ) , V ˜ 20 ( η ) , W ˜ 10 ( ξ ) , W ˜ 20 ( ξ )

V ˜ 10 ( η ) = ( 2 γ 10 1 ) e 2 η + γ 20 e 3 η ,

V ˜ 20 ( η ) = 2 γ 20 e 3 η + ( γ 10 1 2 ) e 2 η ,

W ˜ 10 ( ξ ) = 3 5 e 2 ξ 2 5 e 3 ξ , W ˜ 20 ( ξ ) = 3 10 e 2 ξ + 4 5 e 3 ξ .

其中, τ = x ε 1 , η = ( x 1 2 ) ε 1 , ξ = ( x 1 ) ε 1

由式子(2.24),可得 γ 10 = 27 80 , γ 20 = 11 180 ,因此边值问题(4.1)的零阶近似解为:

y ^ 1 ( x ) = { 5 x + 6 18 11 15 e 3 x ε + 7 5 e 2 x ε + 11 720 e 6 x 3 2 ε + 13 40 e 2 x 1 ε , x [ 0 , 1 2 ) , 27 80 , x = 1 2 , 1 13 40 e 1 2 x ε 3 5 e 2 x 2 ε + 11 180 e 3 6 x 2 ε 2 5 e 3 x 3 ε , x ( 1 2 , 1 ] .

y ^ 2 ( x ) = { 7 x 6 36 + 22 15 e 3 x ε + 7 10 e 2 x ε 11 360 e 6 x 3 2 ε + 13 180 e 2 x 1 ε , x [ 0 , 1 2 ) , 11 180 , x = 1 2 , 1 2 13 180 e 1 2 x ε 3 10 e 2 x 2 ε 11 90 e 3 6 x 2 ε + 4 5 e 3 x 3 ε , x ( 1 2 , 1 ] .

参考文献

[1] 刘树德, 鲁世平, 姚静荪, 陈怀军. 奇异摄动边界层和内部理论[M]. 北京: 科学出版社, 2012.
[2] 周明儒, 杜增吉, 王广瓦. 奇异摄动中的微分不等式理论[M]. 北京: 科学出版社, 2012.
[3] 倪明康, 林武忠. 奇异摄动问题中的渐近理论[M]. 北京: 高等教育出版社, 2009.
[4] 张伟江, 周明儒, 林武忠, 倪明康, 刘树德, 谢峰, 仇璘. 奇异摄动导论[M]. 北京: 科学出版社, 2014.
[5] Aguilar, G. and Lisbona, F. (1997) Singular Perturbation on a Subdomain. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 210, 292-307.
https://doi.org/10.1006/jmaa.1997.5404
[6] De Falco, C. and O’Riordan, E. (2010) Interior Layers in a Reac-tion-Diffusion Equation with a Discontinuous Diffusion Coefficient. International Journal of Numerical Analysis and Modeling, 7, 444-461.
[7] Chern, I. and Shu, Y. (2007) A Coupling Interface Method for Elliptic Interface Problems. Journal of Computational Physics, 225, 2138-2174.
https://doi.org/10.1016/j.jcp.2007.03.012
[8] Ding, H., Ni, M., Lin, W. and Cao, Y. (2012) Singularly Perturbed Semi-Linear Boundary Value Problem with Discontinuous Func-tion. Acta Mathematica Scientia, 32, 793-799.
https://doi.org/10.1016/S0252-9602(12)60013-7
[9] 包立平. 一类具有不连续源的奇摄动半线性微分方程组边值问题[J]. 高校应用数学学报, 2017, 32(4): 413-422.
[10] Rao, S.C.S. and Chawla, S. (2019) Parameter-Uniform Convergence of a Numerical Method for a Coupled System of Sin-gularly Perturbed Semilinear Reaction-Diffusion Equations with Boundary and Interior Layers. Journal of Computational and Applied Mathematics, 352, 223-239.
https://doi.org/10.1016/j.cam.2018.11.021
[11] 林红绪, 杨李凡, 胡雨欣. 一类带不连续源项的二阶半线性奇摄动Robin边值问题[J]. 应用数学, 2015, 28(1): 47-56.