臂架驱动双纽线型起重机变幅特性分析的解析方法

Analytical Method of Luffing Character of Lemniscate Type Crane with Boom-Driving

摘要: 国外某公司研制的双纽线型起重机的变幅机构设计巧妙，并已经申请了专利，以其臂架活动范围大、外观和几何形态、整机重心高度低最具特色。本文运用机构学和逆向工程原理来分析该双纽线型变幅机构的变幅特性，经一实例研究验证，表明该双纽线型起重机变幅机构具有优良的变幅运动特性和变幅工作性能。

Abstract: The luffing mechanism of a foreign company’s crane is designed elaborately and patent is accredit-ed. There are great differences in outward appearance, geometric shape, luffing performance of lemniscate type crane. Based on theory of mechanism and inverse engineering, luffing mechanism characters of lemniscate type crane are studied, luffing moment is analyzed. By sample analysis, the luffing mechanism of lemniscate type crane has good kinematic characteristic and luffing operation.

1. 引言

国外某公司(如荷兰的Kenz-Figee B. V.公司)有设计和制造各种起重机百来年的历史，其中双纽线型起重机即为其独创 [1] [2]。该型双纽线型起重机安装在浮船上，能够完成水上的过驳、转载等作业；早期的设计为后摇杆驱动，最近又开发了臂架驱动的型式，并已经申请专利 [2]。

逆向工程或称反求设计 [3] [4] 是指对已有的产品或技术进行分析研究，掌握其功能原理、结构、关键技术等指标，在根据现代设计理论与方法技术，对原产品进行仿制、改进设计或创新设计的过程；而对技术图样、专利文献等的逆向工程分析，则对科技人员的要求更高、分析的困难更大。

针对专利产品，运用机构学和逆向工程原理来分析该双纽线型(臂架驱动)变幅机构的速度瞬心、运动轨迹和变幅力矩。双纽线型(臂架驱动)变幅机构独具特点：臂架活动范围大、外观和几何形态特殊，重心高度低等，改善了后摇杆的受力状况。本文旨在利用解析方法来探究和分析该变幅机构的变幅特性，为设计和开发新型起重机打下基础，进而可推广到其它机械产品的设计(如机器人工作机构选型)。

2. 双纽线型变幅机构运动学分析

该双纽线型变幅机构的最大特点是臂架和后摇杆的活动范围很大，单独设有自重平衡系统，由特殊装置驱动、实现水平平衡变幅作业 [3] - [9]。图1所示为该双纽线型变幅机构正在作业的情形。

Figure 1. Photo of lemniscate luffing mechanism (with boom driving)

图1. 正在作业的双纽线型变幅机构(臂架驱动)

2.1. 速度瞬心P求解

双纽线型变幅机构的速度瞬心位置变化很大，随变幅半径的变化：瞬心有时在水平线的上方、有时又出现在水平线的下方。图2所示为该变幅机构的运动简图。

X₁——臂架(主动件)；X₂——象鼻架后臂；X₃——后摇杆；X₄——象鼻架前臂；X₅——后摇杆下铰点O₃与臂架下铰点O₁之水平距离；X₆——后摇杆下铰点O₃与臂架下铰点O₁之铅垂距离；X₇——象鼻架的下沉量；X₈——回转中心线与臂架下铰点O₁之水平距离；R——幅度；γ——臂架与象鼻架后臂之夹角；θ₁——臂架与水平线之夹角(自变量)；θ₃——后摇杆与水平线之夹角；β——A点速度向量与水平线之夹角；β₀——象鼻架前臂与后臂之夹角；α——象鼻架前臂与水平线之夹角；ω₁——驱动臂架之角速度；Q——起重量。

Figure 2. Schematic diagram of luffing mechanism of lemniscate type crane with boom driving

图2. 双纽线型起重机变幅机构示意图(臂架驱动)

双纽线型变幅机构的象鼻架为长型；在该变幅机构从最大幅度变化到最小幅度过程中，双纽线型的象鼻架呈上翘状或平置形。因此，当起升高度相同时，双纽线型的臂架系统轮廓的高度要低于普通型，且臂架系统的长度也低于普通型组合臂架，这对降低重心、改善起重机稳定性是有利的，提高了起重机的抗风能力。

从图2可知，这种变幅机构的臂架和后摇杆的活动范围很大、且臂架为主动件，另设有自重平衡系统。因此，其速度瞬心P的变化范围也大。为方便讨论，分二种情况：1) ${\theta }_1<{90}^{\circ }$， ${\theta }_1-{\theta }_3>0^{\circ }$，速度瞬心P在水平线的上方；2) ${\theta }_1>{90}^{\circ }$， ${\theta }_1-{\theta }_3<0^{\circ }$，速度瞬心P在水平线的下方。

速度瞬心P与臂架下铰点O₁的距离计算。由正弦定理不难求得：

1) ${\theta }_1<{90}^{\circ }$ 时

$\left(\text{I}\right){\theta }_1-{\theta }_3>0,\overline{O_{1}P}=X_{56}\sin \left({\theta }_3+{\theta }_0\right)/\sin \left({\theta }_1-{\theta }_3\right)$ (1)

式中：

$X_{56}=\sqrt{X_5^2+X_6^2};{\theta }_0=\arctan \left(X_6/X_5\right)$.

2) ${\theta }_1>{90}^{\circ }$ 时

$\left(\text{II}\right){\theta }_1-{\theta }_3<0,\overline{O_{1}P}=X_{56}\sin \left({\theta }_3+{\theta }_0\right)/\sin \left({\theta }_3-{\theta }_1\right)$ (2)

式中：

$X_{56}=\sqrt{X_5^2+X_6^2};{\theta }_0=\arctan \left(X_6/X_5\right)$.

很显然，当 ${\theta }_1={\theta }_3$ 时，速度瞬心P在无穷远处。

2.2. ${\theta }_3=f\left({\theta }_1\right)$ 函数关系的求解

参考图2，由于臂架为主动件，所以 ${\theta }_1$ 为输入条件，则后摇杆的摆动角 ${\theta }_3$ 与自变量 ${\theta }_1$ 构成函数关系； ${\theta }_3=f\left({\theta }_1\right)$ 的关系式可以依据封闭矢量方法如下求解。

由图2得，机架 $O_1{O}_3$ 、后摇杆 $O_{3}C$ 和臂架 $O_{1}B$ 、象鼻架后臂 $BC$ 构成封闭四边形。根据封闭矢量方程：

$\stackrel{\to }{O_1{O}_3}+\stackrel{\to }{O_{3}C}=\stackrel{\to }{O_{1}B}+\stackrel{\to }{BC}$ (3)

可以得到方程组：

$\{\begin{array}{l}{X}_3^2+X_{56}^2-2X_{56}{X}_3\cos \left({\theta }_3+{\theta }_0\right)=Y^2\\ X_{56}^2+X_1^2-2X_{56}{X}_1\cos \left(\text{π}-{\theta }_1-{\theta }_0\right)=L^2\end{array}$ (4)

式中：

Y、L——中间量。

进一步可求得 ${\theta }_3$，见式(5)。

${\theta }_3=a\cos \frac{X_3^2+L^2-X_2^2}{2X_{3}L}+a\cos \frac{X_{56}^2+L^2-X_1^2}{2X_{56}L}-{\theta }_0$ (5)

2.3. 象鼻架前端仰角α的求解

据图2可得象鼻架前端的仰角 $\alpha$，见式(6)。

$\alpha =\text{π}-{\beta }_0-a\cos \frac{X_1^2+X_2^2-Y^2}{2X_1{X}_2}+{\theta }_1$ (6)

式中：

${\beta }_0=a\cos \frac{X_2^2+X_4^2-C{A}^2}{X_2{X}_4}$.

2.4. 象鼻架轴心线与水平线夹角α₁的求解

该型变幅机构在整个变幅作业过程中，象鼻架始终为上翘的形式，可以用象鼻架的轴心线与水平线的夹角 ${\alpha }_1$ 来表征。经过推演可得，见式(7)。

${\alpha }_1={\theta }_1+a\sin \frac{X_7}{X_2}-a\cos \frac{X_1^2+X_2^2-Y^2}{2X_1{X}_2}$ (7)

式中：

Y——见式(4)。

3. 水平分速度的求解

3.1. 吊点A的运动轨迹方程

该双纽线型变幅机构的象鼻架为长型，因此，它的变幅运动轨迹非常值得关注。象鼻架上的端点A的轨迹即为该变幅机构的轨迹，可由公式(8)得到。

$\{\begin{array}{l}{X}_A=X_1\cos {\theta }_1+X_4\cos \alpha +X_8\\ Y_A=X_1\sin {\theta }_1+X_4\sin \alpha \end{array}$ (8)

式中：

α——见式(6)。

3.2. 吊点A的水平分速度求解

因该双纽线型变幅机构用于转载、过驳等装卸运输作业，变幅工作频繁，生产效率高，故对变幅工作速度有较高的要求。

在带载变幅工作过程中，人们更关心的是变幅速度的水平分量，也即吊点A的水平分速度V_AX。

因变幅机构的铰接点B为臂架与象鼻架的共有点，故只能有一个速度V_B。由V_B可导出 ${\omega }_P$，从而得到V_A，最后可求得V_AX；见公式(9)和(10)。

$\begin{array}{l}{V}_{\text{B}}={\omega }_1\cdot \overline{O_{1}B}={\omega }_P\cdot \overline{PB}\\ {\omega }_P={\omega }_1\cdot \overline{O_{1}B}/\overline{PB}\end{array}$ (9)

$\begin{array}{l}{X}_1=\overline{O_{1}B},\cos \beta =\overline{PD}/\overline{PA}\\ V_A={\omega }_P\cdot \overline{PA}\\ V_{AX}=V_A\cdot \cos \beta ={\omega }_1\cdot X_1\cdot \overline{PD}/\overline{PB}\end{array}$ (10)

4. 变幅力矩的求解

变幅力矩是衡量变幅机构的重要性能指标之一，直接关系到变幅驱动功率的选取 [10] - [15]。

起重荷载经过象鼻架、臂架和后摇杆最终传递到整个起重机的基础上。变幅力矩是起重机结构设计的重要依据之一。变幅力矩M_Q (对臂架的下铰接点O₁)可由公式(11)求得。变幅力矩M_Q的符号规定：使幅角 ${\theta }_1$ 变小为正，反之为负。

$M_Q=Q\cdot \overline{DA}\cdot \overline{O_{1}B}/\overline{PB}=Q\cdot X_1\cdot \overline{DA}/\overline{PB}$ (11)

5. 分析计算实例

由于没有双纽线型起重机(驱动臂架)的相关数据，但后摇杆驱动双纽线型起重机的数据可从文献 [16] 得到。因两者外形的相似性，故借用后摇杆驱动双纽线型变幅机构的已有数据，但此时自变量为角 ${\theta }_1$。

文献 [16] 的数据信息有：X₁ = 19.3 m，X₂ = 6.5 m，X₃ = 14.7 m，X₄ = 16 m，AC = 22.3 m，X₅ = 6.4 m，X₆ = 5.3 m，最大外伸距(从回转中心线算) 30 m时 ${\theta }_3={49}^{\circ }$，最小外伸距10.5 m时 ${\theta }_3={132}^{\circ }$。起重量是16 t (160 kN)。

从文献 [16] 的数据信息可以推导出角 ${\theta }_1$ 的活动范围是 ${\theta }_1={60}^{\circ }\sim {120}^{\circ }$，才能满足最大外伸距30 m和最小外伸距10.5 m的要求。根据前述的理论分析，结合MATLAB软件包编程分析计算可求得该双纽线型变幅机构的变幅特性结论：表1为分析计算结论、图3为速度瞬心P轨迹、图4为 ${\theta }_3=f\left({\theta }_1\right)$ 函数关系曲线、图5为象鼻架轴心线与水平线夹角 ${\alpha }_1$ 变化曲线、图6为变幅运动轨迹、图7为水平分速度V_AX、图8为变幅力矩M_Q变化曲线图。

Table 1. Results of analysis and calculation

表1. 分析计算结论

Figure 3. Locus of velocity instantaneous center P

图3. 速度瞬心P的轨迹

Figure 4. Relationship curve of ${\theta }_3=f(\; \theta \; 1\; )$

图4. ${\theta }_3=f\left({\theta }_1\right)$ 函数关系曲线

Figure 5. Curve of α₁ between flying jib axis and horizontal line

图5. 象鼻架轴心线与水平线夹角α₁变化曲线

Figure 6. Curve of luffing movement

图6. 变幅运动轨迹

Figure 7. Curve of horizontal velocity of point A (supposed ω₁ = 1)

图7. 吊点A的水平分速度(假设ω₁ = 1)

Figure 8. Diagram of luffing moment M_Q

图8. 变幅力矩M_Q

6. 结论

对双纽线型起重机(驱动臂架)变幅机构的解析分析，实例分析计算表明：

1) 该型变幅机构的变幅运动轨迹近似为水平线，落差仅仅0.4098 m；其相对水平度为

$\frac{0.4098}{30-10.5}\times 100\%=2.10\%$ ；

2) 与后摇杆驱动双纽线型起重机 [7] 比较，其变幅过程的水平分速度约增大30%，对装卸转载作业有利；

3) 与后摇杆驱动双纽线型起重机 [7] 比较，其变幅力矩约增大10%~30%；

4) 该变幅机构可以推广应用于机器人的工作机构。