1. 问题提出
“鸡兔同笼”问题是人教版四年级数学下册第九单元“数学广角”中的内容，出自中国古代数学名著《孙子算经》。解答“鸡兔同笼”问题的典型算术方法是“假设法”，诸多教学设计直接开门见山“告诉”学生用“假设法”解答而不分析其缘由 [1] ，这显然背离“数学需要理解”的基本学习观。显然，数学学习中，“理解”无疑是第一位的 [2] 。
四年级学生学习“鸡兔同笼”问题之前，已经具备“画图”“看图说话”等直观想象能力和将“图形语言”翻译为“自然语言”等能力。据此“鸡兔同笼”问题的教学理应从学生已有的认知基础出发，加强新旧知识的联系，提供丰富的感性材料 [3] ，自然而然生长出“假设法”，最终使理解学习得以发生。
2. 策略分析
首先通过“直接画图”直观解答“鸡兔同笼”问题，进而过渡到通过借助头脑中的“想象图形”直接列式解答，最后从“直接画图”和“想象画图”自然而然地生长出解答“鸡兔同笼”问题的“假设法”。
3. 目标设计
1) 理解并掌握解“鸡兔同笼”问题的“假设法”，能用“假设法”举一反三解类似问题。
2) 通过“直接画图”和“想象画图”自然而然地生长出解答“鸡兔同笼”问题的“假设法”，体会观察、化归、数形结合等数学思想方法的重要作用。
3) 了解“鸡兔同笼”问题，感受古代数学问题的趣味性和解法的巧妙性，体会“鸡兔同笼”问题在生活中的应用，感受学习数学的乐趣。
重点：掌握并理解“鸡兔同笼”问题的“假设法”，能用“假设法”解答类似问题。
难点：通过“直接画图”和“想象画图”过程，自然而然地生长出解决“鸡兔同笼”问题的“假设法”。
4. 过程设计
4.1. 问题导入
问题1 1只鸡有1个头，2只足，1只兔有1个头，4只足。那么5只鸡和7只兔一共有多少个头，多少只足？
生1：可以直接列式计算，5 + 7 = 12个头，5 × 2 + 7 × 4 = 38只足。
生2：我用“○”表示头，用小棒“｜”表示足(图1)，根据图形算出有5 + 7 = 12个头，5 × 2 + 7 × 4 = 38只足。
师：两位同学的算法各有特点，值得点赞！那么大家能够提出一个新的问题吗？
生3：可把问题反过来，如果已知鸡和兔子共有的头数和足数，反过来求鸡和兔各有几只。例如“鸡兔同笼，一共有10个头，32只足，鸡兔各有几只？”
问题2 “有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”
师：这是大约在1500年前，我国古代数学名著《孙子算经》中记载的一道数学趣题——“鸡兔同笼”问题。即“已知鸡和兔子共有几个头，几只足，求鸡兔各有几只”。除了直接的“鸡兔同笼”问题外，还有其他的类似应用题本质上也可归结为“鸡兔同笼”问题。这节课我们就来学习“鸡兔同笼”及其类似问题的解法。
【设计意图】通过“已知鸡的只数和兔子的只数，求一共有多少个头和足”这个简单问题，自然地引出相反的“鸡兔同笼”问题，同时通过“直接画图”解答此简单问题为后续用“想象画图”列式解答“鸡兔同笼”问题奠定方法基础。因此，在数学教学中，创设有效的教学情境，使枯燥、抽象的知识变得生动、形象，激发学生的探索欲望 [4] 。
4.2. 自主探究，画图尝试
例1 鸡兔同笼，一共有10个头，32只足，鸡兔各有几只？
教师启发：请同学们用画图的方法试着求解例1。
1) 先画有2只足的鸡
生1：一共有10个头，32只足，那么可以先画10个“○”表示头，再添加32只足。
生2：因为鸡有2只足比较简单，所以我们组先全部画有2只足的鸡，即在每个“○”下面添加2个“｜”(图2)。
生3：全部画有2只足的鸡，总共添加了10 × 2 = 20个“｜”，还剩余32 − 20 = 12个“｜”需要继续添加。注意到1只鸡比1只兔少2只足，从而在其中12 ÷ 2 = 6只鸡的基础上，再添加2个“｜”画成兔即可(图3)。看图说话，显然有6只兔，4只鸡。
Figure 3. Six rabbits and four chickens
图3. 6只兔与4只鸡
2) 先画有4只足的兔
生4：我们组喜欢兔子，所以先全部画有4只足的兔，即在每“○”下面添加4个“｜”(图4)。
生5：全部画有4只足的兔，总共添加了10 × 4 = 40个“｜”，多画了40 − 32 = 8个“｜”。注意到1只兔比1只鸡多2只足，从而只需把其中8 ÷ 2 = 4只兔擦掉2个“｜”即可(图5)。看图说话，同样有4只鸡，6只兔。
Figure 5. Four chickens and six rabbits
图5. 4只鸡与6只兔
3) 既画2只足的鸡，又画4只足的兔
生6：我们组喜欢鸡也喜欢兔，所以既画了2只足的鸡，又画了4只足的兔。例如先在5个“○”下面添加2个“｜”，然后在另外5个“○”下面添加4个“｜”，也就是先画了5只鸡和5只兔(图6)。
生7：这样总共添了5 × 2 + 5 × 4 = 30个“｜”，还剩余32 − 30 = 2个“｜”。同样，因为1只鸡比1只兔少2只足，所以这2个“｜”就是少画的兔的足“｜”，从而把其中的1只鸡再添加2个“｜”变成兔(图7)。看图说话，有5 − 1 = 4只鸡，5 + 1 = 6只兔。
Figure 6. First draw the 5 chickens and 5 rabbits
图6. 先画5只鸡与5只兔
Figure 7. Four chickens and six rabbits
图7. 4只鸡与6只兔
4) 画3个“｜”的“三脚怪”—既不是鸡也不是兔
生8：我们组的想法比较有创意，既没有画兔也没有画鸡，而是画了3只足“｜”的“三脚怪”—既不是鸡也不是兔，也就是先在每个“○”下面添加3个“｜”(图8)。
生9：全部画3个“｜”的“三脚怪”，总共添加了10 × 3 = 30个“｜”，进而把剩余的2个“｜”添加给其中两只“三脚怪”，这样就得到8只“三脚怪”和2只兔(图9)。
生10：调整8只“三脚怪”。擦掉“三脚怪”的1个“｜”使其变成鸡，并将擦掉的1个“｜”添加到对应的“三脚怪”上，使其变成兔(图10)。看图说话，发现8只“三脚怪”最终恰好调整为4只兔和4只鸡，从而有4只鸡和4 + 2 = 6只兔(图11)。
【设计意图】通过用喜闻乐见的四种画图方式(先全部画成鸡、先全部画成兔子、既画鸡也画兔、画3个“｜”的“三脚怪”)直观解答“鸡兔同笼”问题，可以激发学生探究新知的动机，培养其数形结合意识，更为重要的意图在于为后续通过“想象画图”列式解答，进而发现“假设法”奠定心理和思维基础。同时通过有创意的“三脚怪”，达到培养学生想象力和创造力的目的。
Figure 8. First draw the 10 “The three-legged monsters”
图8. 先画10只“三脚怪”
Figure 9. 8 “The three-legged monsters” and four rabbits
图9. 8只“三脚怪”与2只兔
Figure 10. 8 “The three-legged monsters” turn into 4 rabbits and 4 chickens
图10. 8只“三脚怪”转为4只兔和4只鸡
4.3. 想象“画图”，直接列式
例2 鸡兔同笼，一共有35个头，94只脚，鸡兔各有几只？
教师启发：当鸡和兔子的头与足数比较多时，“直接画图”非常繁琐。同学们可以尝试先在头脑中“想象画图”，然后根据头脑中的“想象图形”列式求解例2。
1) 想象全都先画成2只足的鸡
生11：我在头脑中想象35只全都先画成鸡，总共有35 × 2 = 70只足，比94只足少了94 − 70 = 24只足。因为每只鸡比每只兔少4 − 2 = 2只脚，所以把24 ÷ 2 = 12只鸡变成兔，得到兔有12只，鸡有35 − 12 = 23只。
2) 想象全都先画成4只足的兔
生12：我在头脑中想象35只全都先画成兔，总共有35 × 4 = 140只足，比94只足多出了140 − 94 = 46只足。注意到每只兔比每只鸡多4 − 2 = 2只足，从而只需把46 ÷ 2 = 23只兔变成鸡。同样有23只鸡，32 − 23 = 12只兔。
3) 想象既画2只足的鸡，又画4只足的兔
生13：我在头脑中想象35只先分别画成20只鸡和15只兔，总共有20 × 2 + 15 × 4 = 100只脚，比94知足多了100 − 94 = 6只足。同样每只兔比每只鸡多4 − 2 = 2只足，只需把6 ÷ 2 = 3只兔变成鸡，就得到15 − 3 = 12只兔，鸡则为20 + 3 = 23只。
4) 想象全都先画成3个“｜”的“三脚怪”——既不是鸡也不是兔
生14：我在头脑中想象35只全都先画成3个“｜”的“三脚怪”，总共有35 × 3 = 105只足，比94只足多了105 − 94 = 11只足。因为每只“三脚怪”比每只鸡多3 − 2 = 1只足，所以把11 ÷ 1 = 11只“三脚怪”变成鸡，就得到35 − 11 = 24只“三脚怪”和11只鸡。
生15：调整24只“三脚怪”。去掉“三脚怪”的1个“｜”使其变成鸡，并将去掉的1个“｜”添加到对应的“三脚怪”上，使其变成兔。24只“三脚怪”最终恰好调整为12只兔和12只鸡，从而有12只兔和12 + 11 = 23只鸡。
【设计意图】从比较繁琐的“直接画图”到依据头脑中的“想象图形”列式解答“鸡兔同笼”问题，培养学生“以形助数”的数学思想方法，实现形象思维向半抽象思维的过渡，并为后续用“假设法”求解“鸡兔同笼”问题奠定思维基础。因此，数学教学的本质是推动数学思维的发展，在数学课堂中“让学生学会数学地思考” [5] 。
4.4. 解答“鸡兔同笼”问题的“假设法”
1) 假设全都是鸡或者全部都是兔
教师启发：我们前面用“直接画图”法解答“鸡兔同笼”问题时，先在每个“○”下面添加2个“｜”，或者想象全都先画成2只足的鸡，实际隐含着“所有的头都是鸡的头”，也就是在心里已经假设笼子里装的都是2个“｜”的鸡。
这样，我们就可以把“直接画图”或“想象画图”过程中隐含的“假设”思想直接显性化，直接用“假设法”解答“鸡兔同笼”问题。
假设35只全为鸡，则共有足35 × 2 = 70只，而已知足94只，少了94 − 70 = 24只，因为每只鸡比每只兔少2只足，于是兔有24 ÷ 2 = 12只，鸡有35 − 12 = 23只。根据运算过程可列出：兔数 = (总足数 − 鸡足数 × 总头数) ÷ (兔足数 − 鸡足数)。
对先在每个“○”下面添加4个“｜”的情形，实际就是假设35只全为兔，请大家课后完成具体解答过程。
2) 假设既有鸡也有兔
生18：如果先在每个“○”下面既添加2个“｜”又添加4个“｜”，或者想象既画2只足的鸡又画4只足的兔，实际隐含着“所有的头既有鸡的头又有兔子的头”，也就是假设笼子里装的既有鸡也有兔。因此我们就可以把“直接画图”或“想象画图”过程中隐含的“假设”思想直接显性化，直接用“假设法”解答“鸡兔同笼”问题。
生19：我把35只分别假设为20只鸡和15只兔，总共有20 × 2 + 15 × 4 = 100只足，而已知足94只，多了100 − 94 = 6只足。同样每只兔比每只鸡多2只足，则有6 ÷ 2 = 3只兔各多了2只足，那么鸡有20 + 3 = 23只，兔则为15 − 3 = 12只。
3) 假设全都是3个“｜”的“三脚怪”——既不是鸡也不是兔
生20：如果先在每个“○”下面添加3个“｜”，或者想象全都先画成3只足的“三脚怪”，实际隐含着“所有的头都是‘三脚怪’的头”，也就是假设笼子里装的都是3个“｜”的“三脚怪”。因此我们就可以把“直接画图”或“想象画图”过程中隐含的“假设”思想直接显性化，直接用“假设法”解答“鸡兔同笼”问题。
生21：假设35只全都是3个“｜”的“三脚怪”，则共有足35 × 3 = 105只足，而已知足94只，多了105 − 94 = 11只足。因为每只“三脚怪”比每只鸡多1只足，则11 ÷ 1 = 11只“三脚怪”各多了1只足，去除这11只足使其变成鸡，从而鸡有11只。
生22：调整剩余35 − 11 = 24只“三脚怪”。去掉“三脚怪”的1个“｜”使其变成鸡，并将去掉的1个“｜”添加到对应的“三脚怪”上，使其变成兔。24只“三脚怪”调整为24 ÷ 2 = 12只兔和12只鸡，从而有12只兔和12 + 11 = 23只鸡。
【设计意图】“直接画图”和“想象画图”的过程实际隐含的就是“假设”思想，从而把隐含的“假设”思想直接显性化，生长出解答“鸡兔同笼”问题的“假设法”，从而使理解学习真正得以发生。
4.5. 学以致用、拓展延伸
教师启发：实际上，“假设法”不仅可以求解直接呈现的“鸡兔同笼”问题，其他类似的应用题也可以用“假设法”解答。
例3 小明和妈妈去市场从而买菜，已知白菜5元1斤，萝卜8元1斤，总共买了10斤白菜和萝卜，花了62元，那么白菜和萝卜各买了多少斤？
生1：假设全部买的是白菜，则总价为：5 × 10 = 50 (元)。
实际支出了62元，从而62 − 50 = 12 (元)是把萝卜视为白菜少支出的钱。
已知白菜每斤比萝卜便宜8 − 5 = 3 (元)，所以购买萝卜的斤数为：12 ÷ 3 = 4 (斤)，从而白菜的斤数为：10 − 4 = 6 (斤)。
生2：假设全部买的是萝卜，则总价为：8 × 10 = 80 (元)。
实际支出了62元，从而80 − 62 = 18 (元)是购买白菜多支出的钱。
已知萝卜每斤比白菜贵8 − 5 = 3 (元)，所以购买白菜的斤数为：18 ÷ 3 = 6 (斤)，从而萝卜的斤数为：10 − 6 = 4 (斤)。
例4 一堆2分和5分的硬币共39枚，总共价值1.5元。请问2分和5分的各有多少枚？
【设计意图】通过用“假设法”解答其他类似的应用题，有助于学生理解“鸡兔同笼”问题的本质特征，并培养学生举一反三、触类旁通的迁移能力。
5. 结束语
本文引导学生用“直接画图”和“想象画图”的方式解答“鸡兔同笼”问题，发现“直接画图”和“想象画图”过程其实隐含的就是“假设”思想，从而把隐含的“假设”思想直接显性化，最终得到解答“鸡兔同笼”问题和其他类似问题的“假设法”。从而表明任何奇思妙想的解题方法都不应像变魔术般从天而降，其理应从学生已有的认知基础自然而然生长出来。