子结式的两个新性质的证明

The Proof of Two New Properties of Subresultants

摘要: 利用已有的结式性质得到了单变元多项式子结式的两个新性质，证明了一种乘积的子结式与两个子结式的乘积的等量关系式，并且给出了两个子结式互素的充要条件。

Abstract: Using the existing properties of resultants, the authors get two new properties of subresultants of univariate polynomials, which show that an equal relationship between the subresultants of product and the product of two subresultants and give a necessary and sufficient condition for the two subresultants to be relatively prime.

1. 引言

子结式是由Burside和Panton在结式的基础上首先提出的概念，求两个单变元多项式的最大公因式是计算代数和几何中的基本问题，在科学和工程中有着广泛的应用。人们对子结式的基础理论和应用进行了广泛的研究，比如在文献 [1] 中作者给出了子结式的一种比经典子结式更简洁的定义，这为子结式的性质证明提供了更好的方法。在文献 [2] 中作者介绍了子结式的一些性质，利用约化多项式余式序列产生的一些结果来提供计算子结式的新算法。Hong和杨静 [3] 将两个多项式的子结式推广到多个多项式的情形，给出了多个多项式子结式的构造方法，为求解多个多项式的最大公因式问题提供了新的理论依据和研究方向。王东明，夏壁灿，李子明 [4] 在第三章介绍了结式和子结式的一些性质，利用综合分析，反证法等方法进行了证明，并通过例题来说明结式的应用。

本文讨论多项式子结式的两个新性质。先给出 [1] 中的一个定理和命题，通过该定理和命题我们得出子结式的两个新性质，并通过例子加以说明，最后对这两个新性质进行详细的证明。

首先，我们给出结式和子结式的定义。

定义1.1设K是一个域， $F\left(x\right),G\left(x\right)\in K\left[x\right]$ ，

$F\left(x\right)=a_0{x}^m+a_1{x}^{m-1}+\cdots +a_{m-1}x+a_m$

$G\left(x\right)=b_0{x}^n+b_1{x}^{n-1}+\cdots +b_{n-1}x+b_n$

其中 $a_0,b_0\ne 0$ ， $m\ge n>0$ ，则称以下矩阵为Sylvester矩阵，记为 $Syl\left(F,G\right)$ ：

$Syl\left(F,G\right)=\left(\begin{array}{ccccccc}{a}_0& a_1& \cdots & a_m& & & \\ & a_0& a_1& \cdots & a_m& & \\ & & \ddots & \ddots & & \ddots & \\ & & & a_0& a_1& \cdots & a_m\\ b_0& b_1& \cdots & b_n& & & \\ & b_0& b_1& \cdots & b_n& & \\ & & \ddots & \ddots & & \ddots & \\ & & & b_0& b_1& \cdots & b_n\end{array}\right)\begin{array}{c}\begin{array}{l}\\ \\ \\ \end{array}\}\\ \begin{array}{l}\\ \\ \\ \end{array}\}\end{array}\begin{array}{c}n\\ \begin{array}{l}\\ \end{array}\\ \\ m\end{array}$

$Syl\left(F,G\right)$ 的行列式称为多项式 $F\left(x\right)$ ， $G\left(x\right)$ 的结式，记为 $res\left(F,G\right)$ 。

对 $Syl\left(F,G\right)$ 进行删除行和列的操作：删除 $Syl\left(F,G\right)$ 中n行F系数中的最后j行和m行G系数中的最后j行，然后删除 $Syl\left(F,G\right)$ 的最后 $2j+1$ 列，但保留第 $m+n-i-j$ 列，这样所得到的子矩阵记为 $S_{ij}$ ，这里 $0\le i\le j<n$ 。

定义1.2对 $0\le j<n$ ，称多项式

$subre{s}_j\left(F,G\right)={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{j}{\sum }}\text{det}\left(S_{ij}\right)x^i}$

为F和G关于x的第j个子结式。

2. 主要结论

先给出文献 [1] 中的一个定理和一个命题。

定理2.1设 $F\left(x\right)$ 和 $G\left(x\right)$ 是 $K\left[x\right]$ 上如定义1.1所示的单变元多项式，且 $m\ge n>0$ ，则F和G关于x的第j个子结式

$subre{s}_j\left(x\right)={\left(-1\right)}^{j\left(m-j+1\right)}\det \left(M_j\left(x\right)\right),0\le j<n$

其中 $M_j\left(x\right)$ 为 $\left(m+n-j\right)\times \left(m+n-j\right)$ 阶矩阵，

$M_j\left(x\right)=\left(\begin{array}{ccccccccc}{a}_0& a_1& a_2& \cdots & \cdots & a_m& & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & & \\ & & a_0& a_1& a_2& \cdots & \cdots & a_m& \\ & & & & & 1& -x& & \\ & & & & & & \ddots & \ddots & \\ & & & & & & & 1& -x\\ b_0& b_1& b_2& \cdots & \cdots & \cdots & b_n& & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & b_0& b_1& b_2& \cdots & \cdots & \cdots & b_n\end{array}\right)\begin{array}{c}\begin{array}{l}\\ \\ \end{array}\}\\ \begin{array}{l}\\ \\ \end{array}\}\\ \begin{array}{l}\\ \\ \end{array}\}\end{array}\begin{array}{c}\\ n-j\\ \\ \\ j\\ \\ \\ m-j\\ \end{array}$ ，其中 $0\le j<n$ 。

命题2.2设K是一个域， $G\left(x\right)=b_0{x}^n+b_1{x}^{n-1}+\cdots +b_{n-1}x+b_n,\left(b_0\ne 0\right)$ 是 $K\left[x\right]$ 上的单变元多项式，则对任意的 $m>n$ ，有

$\det \left(M_n\left(x\right)\right)={\left(-1\right)}^{mn}{b}_0^{m-n-1}G$ .

其中 $M_n\left(x\right)=\left(\begin{array}{ccccccccc}& & & & & 1& -x& & \\ & & & & & & \ddots & \ddots & \\ & & & & & & & 1& -x\\ b_0& b_1& b_2& \cdots & \cdots & \cdots & b_n& & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & b_0& b_1& b_2& \cdots & \cdots & \cdots & b_n\end{array}\right)\begin{array}{c}\begin{array}{l}\\ \\ \end{array}\}\\ \begin{array}{l}\\ \\ \end{array}\}\end{array}\begin{array}{c}\\ n\\ \\ \\ m-n\\ \end{array}$

基于如上的定理2.1和命题2.2，我们得到了以下两个结论。

定理2.3设K是一个域， $F\left(x\right),G\left(x\right),V\left(x\right)$ 是 $K\left[x\right]$ 上首项系数分别为 $a_0,b_0,c_0$ 的单变元多项式， $a_0{b}_0{c}_0\ne 0$ ， $\mathrm{deg}\left(F\left(x\right)\right)=m\ge 1$ ， $\mathrm{deg}\left(G\left(x\right)\right)=n\ge 1$ ， $\mathrm{deg}\left(V\left(x\right)\right)=t\ge 1$ ，且 $m,n,t$ 满足 $m>n+t+1$ ，则

$subre{s}_{n+t}\left(F,VG\right)=b_0^{-t}{c}_0^{-n}subre{s}_n\left(F,G\right)subre{s}_t\left(F,V\right)$

定理2.4设K是一个域， $F\left(x\right)$ 和 $G\left(x\right)$ 是 $K\left[x\right]$ 上如定义1.1所示的单变元多项式，若 $m>n+1$ ，且存在 $0\ne r\in K,s\in {\mathbb{Z}}_{\ge 2}$ ，使得 $H\left(x\right)=G\left(x\right)+r{x}^{s}F\left(x\right)\ne 0$ 。

则 $subre{s}_m\left(H\left(x\right),F\left(x\right)\right)$ 与 $subre{s}_n\left(F\left(x\right),G\left(x\right)\right)$ 互素的充要条件是 $F\left(x\right)$ 与 $G\left(x\right)$ 互素。

下面我们举例来加以说明定理2.3和定理2.4：

例2.5设K是一个域， $F\left(x\right),G\left(x\right),V\left(x\right)$ 是 $K\left[x\right]$ 上首项系数分别为 $a_0,b_0,c_0$ 的单变元多项式， $a_0{b}_0{c}_0\ne 0$ .

$\begin{array}{l}F\left(x\right)=a_0{x}^7+a_1{x}^6+a_2{x}^5+a_3{x}^4+a_4{x}^3+a_5{x}^2+a_{6}x+a_7\\ G\left(x\right)=b_0{x}^3+b_1{x}^2+b_{2}x+b_3\\ V\left(x\right)=c_0{x}^2+c_{1}x+c_2\end{array}$

则由定理2.1和命题2.2知

$subre{s}_5\left(F,VG\right)={\left(b_0{c}_0\right)}^{7-5-1}VG=b_0{c}_{0}VG$

$subre{s}_3\left(F,G\right)=b_0^{7-3-1}G=b_0^{3}G$

$subre{s}_2\left(F,V\right)=c_0^{7-2-1}V=c_0^{4}V$

所以 $subre{s}_5\left(F,VG\right)=b_0^{-2}{c}_0^{-3}subre{s}_3\left(F,G\right)subre{s}_2\left(F,V\right)$ 。

取 $r=1,s=2$ ，则 $H\left(x\right)=G\left(x\right)+x^{2}F\left(x\right)\ne 0$ ，且 $\mathrm{deg}\left(H\left(x\right)\right)=9$ 。

所以根据定理2.1和命题2.2知

$subre{s}_7\left(H\left(x\right),F\left(x\right)\right)=a_0^{9-7-1}F\left(x\right)=a_{0}F(\; x\; )$

$subre{s}_3\left(F\left(x\right),G\left(x\right)\right)=b_0^{7-3-1}G\left(x\right)=b_0^{3}G(\; x\; )$

所以 $subre{s}_7\left(H\left(x\right),F\left(x\right)\right)$ 与 $subre{s}_3\left(F\left(x\right),G\left(x\right)\right)$ 互素的充要条件是 $F\left(x\right)$ 与 $G\left(x\right)$ 互素。

定理2.3和定理2.4给出了子结式的两个比较重要的性质，定理2.3将一种乘积的子结式与两个子结式的乘积进行转化，它在一定程度上简化了子结式的计算，比如当我们遇到两个可分解的且次数比较高的多项式时，如果对其直接求子结式，涉及的计算量会很大，但采用定理2.3结论，我们对所求子结式转化成两个低次数的子结式的乘积，这样可以比较容易求出多项式的子结式，减少计算量。定理2.4给出两个子结式互素的充要条件，这使得对求解两个单变元多项式的最大公因式提供了更好的理论支撑和更加系统的算法。

3. 定理和命题的证明

李永彬 [1] 给出了子结式的一种新定义，利用矩阵初等变换以及行列式的性质证明了新定义的子结式与经典子结式定义的等价关系。下面命题2.2主要采用这种方法进行证明。关剑成，刘金旺 [5] 利用分析综合方法证明了交换环上一种乘积的结式等于结式的乘积以及结式为零的一个充分条件，因此对于定理2.3和定理2.4的证明，我们采取类似的方法。

命题2.2的证明。

证明：将 $\det \left(M_n\left(x\right)\right)$ 按第一列展开得

$\det \left(M_n\left(x\right)\right)={\left(-1\right)}^{1+n+1}{b}_0\left|\begin{array}{cccccc}& & 1& -x& & \\ & & & \ddots & \ddots & \\ & & & & 1& -x\\ b_0& b_1& \cdots & b_n& & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & b_0& b_1& \cdots & b_n\end{array}\right|\begin{array}{c}\begin{array}{l}\\ \\ \end{array}\}\\ \begin{array}{l}\\ \\ \end{array}\}\end{array}\begin{array}{c}\\ n\\ \\ \\ m-n-1\\ \end{array}$

由于 $\det \left(M_n\left(x\right)\right)$ 的余子式 $\left|\begin{array}{cccccc}& & 1& -x& & \\ & & & \ddots & \ddots & \\ & & & & 1& -x\\ b_0& b_1& \cdots & b_n& & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & b_0& b_1& \cdots & b_n\end{array}\right|\begin{array}{c}\begin{array}{l}\\ \\ \end{array}\}\\ \begin{array}{l}\\ \\ \end{array}\}\end{array}\begin{array}{c}\\ n\\ \\ \\ m-n-2\\ \end{array}$ 与 $\det \left(M_n\left(x\right)\right)$ 有相似的结构，因此对其余子式再按第一列展开得

原式 $={\left(-1\right)}^{2\left(n+2\right)}{b}_0^2\left|\begin{array}{cccccc}& & 1& -x& & \\ & & & \ddots & \ddots & \\ & & & & 1& -x\\ b_0& b_1& \cdots & b_n& & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & b_0& b_1& \cdots & b_n\end{array}\right|\begin{array}{c}\begin{array}{l}\\ \\ \end{array}\}\\ \begin{array}{l}\\ \\ \end{array}\}\end{array}\begin{array}{c}\\ n\\ \\ \\ m-n-2\\ \end{array}$

依次对后面产生的余子式按同样的方法展开，我们得到

$\begin{array}{c}\det \left(M_n\left(x\right)\right)={\left(-1\right)}^{\left(m-n-1\right)\left(n+2\right)}{b}_0^{m-n-1}\left|\begin{array}{cccccc}& & 1& -x& & \\ & & & \ddots & \ddots & \\ & & & & 1& -x\\ b_0& b_1& \cdots & \cdots & \cdots & b_n\end{array}\right|\begin{array}{c}\begin{array}{l}\\ \end{array}\}\\ \end{array}\begin{array}{c}\\ n\\ \\ \end{array}\\ ={\left(-1\right)}^{\left(m-n-1\right)\left(n+2\right)}{b}_0^{m-n-1}\left({\left(-1\right)}^{n+2}{b}_0{\left(-x\right)}^n+{\left(-1\right)}^{n+3}{b}_1{\left(-x\right)}^{n-1}+\cdots +{\left(-1\right)}^{2n+2}{b}_n\right)\\ ={\left(-1\right)}^{mn}{b}_0^{m-n-1}\left(b_0{x}^n+b_1{x}^{n-1}+\cdots +b_n\right)\\ ={\left(-1\right)}^{mn}{b}_0^{m-n-1}G\end{array}$

定理2.3的证明。

证明：因为 $m>n+t+1$ ，所以结合定理2.1和命题2.2可以得到

$subre{s}_{n+t}\left(F,VG\right)={\left(b_0{c}_0\right)}^{m-n-t-1}VG$

$subre{s}_n\left(F,G\right)=b_0^{m-n-1}G$

$subre{s}_t\left(F,V\right)=c_0^{m-t-1}V$

所以 $b_0^{-t}subre{s}_n\left(F,G\right)=b_0^{m-n-t-1}G$ ， $c_0^{-n}subre{s}_t\left(F,V\right)=c_0^{m-n-t-1}V$ 。

从而

$\begin{array}{c}subre{s}_{n+t}\left(F,VG\right)={\left(b_0{c}_0\right)}^{m-n-t-1}VG\\ =b_0^{m-n-t-1}{c}_0^{m-n-t-1}VG\\ =b_0^{-t}{c}_0^{-n}subre{s}_n\left(F,G\right)subre{s}_t\left(F,V\right)\end{array}$

利用定理2.3，当 $d_1>{\displaystyle \underset{i=2}{\overset{n}{\sum }}{d}_i}$ 时，我们有

$\begin{array}{c}subre{s}_p\left(F_1,{\displaystyle \underset{i=2}{\overset{n}{\prod }}{F}_i}\right)=subre{s}_{p_1}\left(F_1,{\displaystyle \underset{i=2}{\overset{n-1}{\prod }}{F}_i}\right)subre{s}_{k_n}\left(F_1,F_n\right)\\ =subre{s}_{p_2}\left(F_1,{\displaystyle \underset{i=2}{\overset{n-2}{\prod }}{F}_i}\right)subre{s}_{k_{n-1}}\left(F_1,F_{n-1}\right)subre{s}_{k_n}\left(F_1,F_n\right)\\ =\cdots \\ ={\displaystyle \underset{i=2}{\overset{n}{\prod }}subre{s}_{k_i}\left(F_1,F_i\right)}\end{array}$

其中 $p={\displaystyle \underset{i=2}{\overset{n}{\sum }}{k}_i}$ ， $F_1,F_2,\cdots ,F_n$ 是 $K\left[x\right]$ 上首项系数都为1的单变元多项式， $d_1,d_2,\cdots ,d_n$ 分别为 $F_1,F_2,\cdots ,F_n$ 的次数。

定理2.4的证明。

证明：充分性 由于 $\mathrm{deg}\left(H\left(x\right)\right)=s+m>m+1$ ，所以结合定理2.1和命题2.2得

$subre{s}_m\left(H\left(x\right),F\left(x\right)\right)=subre{s}_m\left(G\left(x\right)+r{x}^{s}F\left(x\right),F\left(x\right)\right)=a_0^{s-1}F(\; x\; )$

$subre{s}_n\left(F\left(x\right),G\left(x\right)\right)=b_0^{m-n-1}G(\; x\; )$

因为 $F\left(x\right)$ 与 $G\left(x\right)$ 互素，所以存在 $u_1\left(x\right),v_1\left(x\right)\in K\left[x\right]$ ，使得

$u_1\left(x\right)F\left(x\right)+v_1\left(x\right)G\left(x\right)=1$

所以 $a_0^{s-1}{b}_0^{m-n-1}{u}_1\left(x\right)F\left(x\right)+a_0^{s-1}{b}_0^{m-n-1}{v}_1\left(x\right)G\left(x\right)=a_0^{s-1}{b}_0^{m-n-1}$ 。

把 $subre{s}_m\left(H\left(x\right),F\left(x\right)\right)=a_0^{s-1}F\left(x\right)$ ， $subre{s}_n\left(F\left(x\right),G\left(x\right)\right)=b_0^{m-n-1}G\left(x\right)$ 代入上式得

$b_0^{m-n-1}{u}_1\left(x\right)subre{s}_m\left(H\left(x\right),F\left(x\right)\right)+a_0^{s-1}{v}_1\left(x\right)subre{s}_n\left(F\left(x\right),G\left(x\right)\right)=a_0^{s-1}{b}_0^{m-n-1}$

从而 $\frac{u_1\left(x\right)}{a_0^{s-1}}subre{s}_m\left(H\left(x\right),F\left(x\right)\right)+\frac{v_1\left(x\right)}{b_0^{m-n-1}}subre{s}_n\left(F\left(x\right),G\left(x\right)\right)=1$ 。

所以 $subre{s}_m\left(H\left(x\right),F\left(x\right)\right)$ 与 $subre{s}_n\left(F\left(x\right),G\left(x\right)\right)$ 互素。

必要性 因为 $subre{s}_m\left(H\left(x\right),F\left(x\right)\right)$ 与 $subre{s}_n\left(F\left(x\right),G\left(x\right)\right)$ 互素，所以

存在 $u\left(x\right),v\left(x\right)\in K\left[x\right]$ ，使得

$u\left(x\right)\cdot subre{s}_m\left(H\left(x\right),F\left(x\right)\right)+v\left(x\right)\cdot subre{s}_n\left(F\left(x\right),G\left(x\right)\right)=1$

由于 $\mathrm{deg}\left(H\left(x\right)\right)=s+m>m+1$ ，所以结合定理2.1和命题2.2得

$subre{s}_m\left(H\left(x\right),F\left(x\right)\right)=subre{s}_m\left(G\left(x\right)+r{x}^{s}F\left(x\right),F\left(x\right)\right)=a_0^{s-1}F(\; x\; )$

$subre{s}_n\left(F\left(x\right),G\left(x\right)\right)=b_0^{m-n-1}G(\; x\; )$

从而 $a_0^{s-1}u\left(x\right)\cdot F\left(x\right)+b_0^{m-n-1}v\left(x\right)\cdot G\left(x\right)=1$ 。

所以 $F\left(x\right)$ 与 $G\left(x\right)$ 互素。

4. 总结与展望

对于子结式的性质目前还有大量的问题需要解决。当两个单变元多项式的次数满足合适的大小关系时，我们可以利用已有的结式的性质进一步得到子结式的新性质。文中证明了一种乘积的子结式与两个子结式的乘积的等量关系式以及两个子结式互素的充要条件。然而，定理2.3给出的等量关系式具有一定的局限性，比如把域改为环，我们不能保证在该环中某些元素是否存在逆元，这会导致结论不一定成立。定理2.4给出两个子结式的充要条件，由于子结式也是多项式，所以我们可以利用两个单变元多项式互素的充要条件 [6] 进一步得出结论。但是定理2.4的结论只是对于由多项式次数决定的子结式才成立，比如对于该定理中多项式 $H\left(x\right)$ ， $F\left(x\right)$ 的子结式必须是第m个子结式，m就是 $F\left(x\right)$ 的次数，换成其它的子结式结论可能会不成立。对于两个多项式下的任意子结式，目前还没有好的方法讨论它们的互素条件。

基金项目

天津市教委科研计划项目(2020KJ115)。

NOTES

^*通讯作者。