基于交叉定位法对无人机飞行的纯方位无源定位问题的研究

Research on the Bearings-Only Passive Location Problem of UAV Flight Based on Cross-Location Method

摘要: 针对无人机编队飞行纯方位无源定位的问题，通过不同无人机所发射信号以及接受信号之间的角度，采用交叉定位法来进行定位不同编队类型的每一个无人机所在的位置，并使其调整到正确位置。根据纯方位无源定位模型，先确定整体飞行的形状，再重新编号，然后利用一条边建立新的三角形，让附近的点移动到目标位置即可完成调整，以此类推，所有无人机都可以调整到目标位置。

Abstract: Aiming at the problem of azimuth-only passive positioning of Unmanned Aerial Vehicle (UAV) for-mation flight, the cross-location method is used to locate the position of each UAV of different for-mation types through the angle between the signals transmitted by different UAVs and the received signals, and adjust it to the correct position. According to the azimuth-only passive positioning model, first determine the shape of the overall flight, and then renumber, and then use a side to create a new triangle, and let the nearby points move to the target position to complete the adjust-ment, and so on, all UAVs can be adjusted to the target position.

1. 引言

无人机在集群在遂行编队飞行时，因为要避免发射大量电磁波，所以一般会让大部分的无人机进行无线电静默，让少部分的无人机发射信号，其他无人机接收信号，位置有偏差的无人机需要根据所接收的信号进行调整，将自己的位置调整到正确的地点，使无人机的队形不变，这无论是在民用还是军用领域，都是有一定的意义的。

我们由简单到复杂进行研究，我们先研究两架固定编号无人机与两架未知编号无人机进行定位的问题。对此问题，我们分类画圆，利用每个圆所代表的方程及内部关系联立进行计算。

进行讨论分析，之后，我们研究一架固定编号无人机与至少3架无人机的定位问题，最后我们考虑改变编队队形进行定位。

由于对无人机的定位问题的研究具有很重要的现实意义，所以越来越多的人也运用了各种各样的方法进行对无人机定位问题的研究，如周心雯 [1] 采用了加权最小二乘法；来进行无人机的无源定位，但是模型的计算复杂度较高，计算时间较长。张楠等人 [2] 则采用了双站交叉定位法来进行定位，但模型所考虑的情况只有两种，不够全面。而仵云凡等人 [3] 采用了非线性滤波算法，薛振森等人 [4] 采用了网格搜索算法，并利用了仿真模拟技术进行定位，但是也只讨论了圆形编队这样一种编队形式。国外对无人机无源定位的研究例如WADE H. FOY [5] 所建立的模型，但是该模型的收敛性并没有被证明，Manickam Suresh [6] 所建立的模型为声源定位模型，该种定位方法对声音的要求较高，所以相较于本文模型的结果会有不足，普适性较差。

但是目前国内所常用的方法对无人机无源定位的结果和效率综合来看并不理想。本文由浅入深逐步分析每一种情况的定位方法，然后利用交叉定位法得出不同情况的定位模型，在定位过程中边调整边定位，优化了效率及定位准确性。

2. 无人机无源定位问题研究

2.1. 圆形编队的无源定位问题

在编队由10架无人机组成，形成圆形编队，其中9架无人机(编号FY01~FY09)均匀分布在某一圆周上，另1架无人机(编号FY00)位于圆心。无人机基于自身感知的高度信息，均保持在同一个高度上飞行，如图1所示。

接收信号的无人机所接收到的方向信息约定为：该无人机与任意两架发射信号无人机连线之间的夹角(如图1所示)。例如：编号为FY01、FY02及FY03的无人机发射信号，编号为FY04的无人机接收到的方向信息是 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ ，如图2所示。

Figure 1. Schematic diagram of circular UAV formation

图1. 圆形无人机编队示意图

Figure 2. Schematic diagram of the direction information received by the UAV

图2. 无人机接收到的方向信息示意图

我们先讨论两架编号未知的无人机与FY00，FY01进行对一架有偏差的无人机继续定位，若可以得到确切的定位，则至少利用两架无编号的无人机即可完成定位。

我们先进行分类，如表1所示。

Table 1. 6 groups of UAVs sending and receiving signals

表1. 6次的收发信号的无人机分组

这就相当于假设我们已知三个点的位置，去建立一个外接圆，一共6组，6个外接圆，如图3所示。

Figure 3. 6 sets of circumscribed circles

图3. 6个组的外接圆

我们每个外接圆的方程都可以假设，通过三个点在一个外接圆上，可以写出外接圆的表达式，之后我们通过两个已知点，以及6种分类中6个三角形中的已知角关系，还有FY00、FY01与另两个未知编号无人机的夹角是40˚的倍数，可以写出6种分类的方程，这里我们以图中最小圆为例(以FY00、K、M2为圆上点的外接圆)，它的关系方程如下：

$x_{m_2}=R\cos \left(40m_2-40\right)$

$y_{m_2}=R\sin \left(40m_2-40\right)$

${\left(x_k-x_2\right)}^2+{\left(y_k-y_2\right)}^2-r_2^2=0$

${\left(x_2-x_{m_2}\right)}^2+{\left(y_2-y_{m_2}\right)}^2-r_2^2=0$

$r_2=\frac{r}{2\sin {\alpha }_2}$

我们把所有外接圆的方程关系进行联立，就可以利用已知参数去表示k (位置有偏差的无人机)的位置坐标。所以我们得出结论：至少两架未知编号无人机加上FY00、FY01就可以定位其他无人机位置。

接下来我们研究两架固定编号无人机与两架未知编号无人机进行定位的问题。

Figure 4. FY00, FY01, FY02 the triangle formed

图4. FY00，FY01，FY02所组成的三角形

思路：如图4，我们以FY00、FY01、FY02为例，我们可以利用FY00和FY01发射信号，这样C所代表的角度就可以获得，我们再让FY00和FY02发射信号，这样B的角度就可以获得，根据三角形内角和就可以得出此三角形中所有的角，以此类推，我们可以知道所有无人机与FY00，FY01所组成的三角形的所有夹角，FY09，FY00，FY01的夹角已知为30.72˚，这样我们根据每个三角形的顶角，就可以比较得出哪一个是FY09，这样就可以从其他接收的角度来通过顺序得出其他无人机的编号，就成功化解了无源问题，接下来就是正常的定位问题。

同时我们还拥有一条已知边AB，即FY01与FY00的距离为100 m，这样，我们就可以利用正弦定理

$\frac{\text{AC}}{\sin \angle \text{B}}=\frac{\text{AB}}{\sin \angle \text{C}}$

得出C点的极坐标中的距离ρ，同理，所有的三角形中的ρ均可求，最终可以定位每一架无人机，从而进行调整。

步骤：我们先让FY00和FY01发射信号，FY02~FY09接收信号，各自得到一个方向信息记为a12~a19：

然后FY00和FY02、FY03、FY04发射信号，FY01接收信号，得到三组方向信息记为a22、a23、a24；

接着让FY00和FY05、FY06、FY07发射信号，FY01接受信号，得到三个方向信息记为a25、a26、a27；

然后FY00和FY08、FY09发射信号，FY01接收信号，得到两个方向信息记为a28、a29。

另外我们假设已知FY01与FY00的距离为100 m，FY09，FY00，FY01的夹角已知为30.72˚，这样我们根据每个三角形的顶角，就可以比较得出哪一个是FY09，这样就可以从其他接收的角度来通过顺序得出其他无人机的编号，就成功化解了无源问题，接下来就是正常的定位问题，案例中无人机初始位置见表2。

Table 2. UAV initial position

表2. 无人机初始位置

第一步：先绘制出最初始的位置图，如图5所示。

Figure 5. Initial position chart

图5. 初始位置图

第二步：通过接收信号得到FY02、FY03、FY04极坐标上的角度，再用正弦定理得到FY02、FY03、FY04距FY00的距离。同时移动到正确位置。如图6所示。

Figure 6. The overall position chart after the second move

图6. 第二步移动之后的整体位置图

第三步：通过接收信号得到FY05、FY06、FY07极坐标上的角度，再用正弦定理得到FY05、FY06、FY07距FY00的距离。同时移动到正确位置。如图7所示。

Figure 7. The overall position chart after the third step of movement

图7. 第三步移动之后的整体位置图

第四步：通过接收信号得到FY08、FY09极坐标上的角度，再用正弦定理得到FY08、FY09距FY00的距离。同时移动到正确位置。如图8所示。

Figure 8. The overall position chart after the fourth step of movement

图8. 第四步移动之后的整体位置图

根据此原理，我们设计出程序可以解出每一个无人机的调整方案，结果如表3所示，表中移动方向为以FY01与FY02为轴的逆时针方向。

Table 3. Circular UAV formation adjustment scheme

表3. 圆形无人机编队调整方案

2.2. 锥形编队的无源定位问题

实际飞行中，无人机集群也可以是其他编队队形，例如锥形编队队形(直线上相邻两架无人机的间距相等)，如图9所示。

Figure 9. Schematic diagram of conical UAV formation

图9. 锥形无人机编队示意图

我们先利用三个顶点发射信号进行确定飞行的整体形状，重新进行编号，然后选择临近的两个无人机作为底边进行创建等边三角形，以新编号的FY02、FY03为例，这样我们就可以得到，与等边三角形上的另外一点接近的无人机的理想位置，再根据原来的三角形的内部几何关系，我们就可以将其坐标解出，这样原始位置与目标位置均已知，我们就可以进行调整，调整之后，以此方法类推，以已知边为等边三角形的一条边进行延申，这样我们就可以把整个编队调整完成。

具体计算过程如下：

我们先让三个顶点的无人机发射信号，这样，其他所有接收信号的无人机都会得到三个角度： ${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$ ，我们可以根据这三个角度，可以画出整个无人机编队的大体位置，如图10所示。

Figure 10. Schematic diagram of the angle after receiving the signals transmitted by the three vertices

图10. 接收到三个顶点发射信号后的角度示意图

之后，我们重新进行编号，让最右面的无人机编号为PY01，按照题中所给图的样式，以此类推，这样每个无人机的编号都重新确定了，之后，我们先看两架相邻的飞机，以FY02，FY03为例，在下图中分别以A、C来表示，我们以AC为等边三角形的一条边向右建立一个等边三角形，这个三角形的另一个顶点，一定在FY01点的附近(如图11中的D点)，这样，我们只需要将D点移动到B点即可。

Figure 11. Geometric relationship diagrams of the original and target positions of FY01, FY02, and FY03 after numbering

图11. 编号后的FY01，FY02，FY03的原来与目标位置几何关系图

我们以AC的中点为原点，向量AC方向为y轴正方向，向量ED (E点为无人机原位置D点向AC垂线的垂足)方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系，这样我们假设AC的边长为a，这样，我们的A、B、C三点坐标均可求。接下来我们让FY02 (图11中的A)、FY03 (图11中的C)发射信号，这样∠ADC就已知了，然后，我们让FY02和FY01 (图11中的D)发射信号，这样∠ACD就已知了，这个三角形中的另一个角∠CAD也就已知了，之后，我们在ΔADC中应用正弦定理

$\frac{\text{AC}}{\sin \angle \text{ADC}}=\frac{\text{AD}}{\sin \angle \text{ACD}}$

这样可以把AD求出来，我们在ΔADE中，因为ΔADE是直角三角形，所以我们直接就可以写出DE与AE的关于a和已知角的表达式，进而求出D点的直角坐标，也就很轻易可以知道如何移动可以使其到达正确位置。

我们为了节约时间，我们一开始是向AC的两侧做等边三角形，但是方法相同，得出的结果如图12所示。

ΔACF也是等边三角形，不过接下来再往左推进的时候，我们也可以找有一条已知的边进行做新的三角形，例如AF，CF，我们利用这两条边同时进行，还是按照ACD三角形的原理，进行计算，就也可以得出调整方案，将两个绿色的原三角形调整为等边三角形，这样已知边一起推进，优化了模型，大大提高调整效率。

我们按照此原理，编写了程序，假设了15个原位置坐标，如表4所示。

Figure 12. Diagram of constructing an equilateral triangle simultaneously from two known sides

图12. 由两条已知边同时做等边三角形的图示

Table 4. Assumed original coordinates 15

表4. 假设的原坐标15个

并利用程序进行调整，得到结果如表5所示，表中移动方向为以FY01与FY05为轴的逆时针方向。

Table 5. Conical formation adjustment scheme

表5. 锥形编队调整方案

从图像上进行调整的过程如图13所示。

Figure 13. The adjusted image

图13. 调整图像

3. 模型评估

3.1. 模型的优缺点

模型的优点：

1) 将问题转化成几何图形进行问题分析与图像绘制，表述直观，便于理解。

2) 深入考虑了圆形队列以及锥形队列的所有的情况，对于其他相同队列问题的研究具有一定的参考意义。

3) 模型的求解采用matlab软件，得到的结果可信度较高。

模型的缺点：

1) 并未考虑天气因素，信号干扰等现实中会发生的实际情况。

2) 只局限于两种队列形式，没有研究更多的队列形式。

3.2. 模型的推广与改进

在问题分析中应该考虑圆形队列和锥形队列以外的常用的队列形式，这样会更适合应用于实际。在模型建立时还可以使用其它建模方法，如动态规划等进行优化，从而提高定位准确性。