一个关于极大子群的迹的定理

One Theorem on Traces of Maximal Subgroups

摘要: 众所周知，极大子群的性质与群结构有着紧密的联系。围绕一个迹的一个未解决问题，考虑了极大子群的迹的超可解性质对可解群的影响，得到了关于可解群的一个充分必要条件，为推进上述问题的解决做了积极的尝试。

Abstract: The properties of maximal subgroups are closely related to the structure of groups. Focusing on an unsolved problem of a trace, the influence of the supersolvable property of the trace of a maximal subgroup on the solvable group is considered, and a necessity and sufficiency for the solvable group is obtained, which makes a positive attempt to promote the solution of the above problem.

1. 引言

本文只考虑有限群，相关术语和符号参考文献 [1] [2] 。特别地，群的阶记为 $\left|G\right|$ ， $\left|G\right|$ 的全体素因子的集合记为 $\pi \left(G\right)$ 。M是G的一个极大子群记为 $M<\cdot G$ ， $\mathcal{F}=\left\{M<\cdot G|M\ge P\right\}$ ，这里P是G的一个Sylow p-子群。称 $\mathcal{F}$ 的每个极大子群满足性质(*)，若 $M\ge P$ ，则M的G-迹是p-幂零的。

Sylow子群、极大子群与群结构的相关课题受到国内外群论学者的广泛关注。例如，1937年，Hall [3] 证明了：G是可解群当且仅当每个Sylow子群可补。1954年，Huppert [4] 证明了：G是超可解群当且仅当每个极大子群具有素数指数。1982年，Arad和Ward [5] 证明了：G是可解群当且仅当每个Sylow2-子群和Sylow3-子群可补。1996年，王燕鸣 [6] 揭示了子群的c-正规性质与群结构的联系。2019年，高百俊等 [7] 揭示了Sylow5-子群和Sylow7-子群的弱M-可补性质对群的非交换主因子的影响。2020年，鲍宏伟等 [8] 考虑了准素子群的弱M-可补性质对群的非交换主因子的影响。2021年，何金旅等 [9] 利用了c-极大子群的幂零迹刻画了可解群。2014年，郭文彬等 [10] 得到了G是可解的当且仅当每个极大子群有幂零的迹(或次正规的迹)。同时，他们提出如下问题：

( [10] ，问题3.6) 若G的每个极大子群有超可解的迹，则G是可解的？

继续以上的研究，将考虑每个极大子群的迹的超可解性以及 $\mathcal{F}$ 中的每个极大子群满足性质(*)，得到了关于可解群的一个充分必要条件。

2. 基本概念

定义1 [10] 设 $A<G$ ， $A_G$ 是A在G中的柱心， $H/A_G$ 是G的任意主因子。称它是A的G-边界因子(或简称边界因子)，也称子群 $A\cap H/A_G$ 为A的一个G-迹(或简称迹)。

引理1 [11] 若G的每个极大子群是超可解的，则G是可解的。

引理2 [12] 设P是群G的一个Sylow p-子群， $p\ge \text{5}$ 。如果 $N_G\left(P\right)/C_G\left(P\right)$ 是一个p-群，那么 ${\text{O}}^p\left(G\right)<G$ 。

3. 主要定理

定理1 G是可解的充要条件G的每个极大子群有一个超可解的迹且 $\mathcal{F}$ 的每个元素满足性质(*)。

证明：必要性。因为可解群的每个主因子都是交换的，所以G的每个极大子群具有交换的迹。因此，每个极大子群满足：有一个超可解的迹且 $\mathcal{F}$ 的每个元素满足性质(*)。

充分性。假设定理不真且G是极小阶反例。

1) G是非单群。

假设G是一个单群。进而，每个极大子群M有唯一的G-边界因子 $G/1=G/M_G$ 。根据定理的假设条件， $M\cap G/M_G\cong M\cap G=M$ 是超可解的。因此，G的每个极大子群是超可解的。根据引理1，G是可解的，

这与G是极小阶反例矛盾。

2) $G/L$ 是可解的，L是非可解的，G的极小正规子群L唯一。

由(1)，可考虑商群 $G/L$ ，对于G的任意一个极小正规子群L。若 $M/L$ 是 $G/L$ 的一个极大子群，则M也是G的极大子群。令 $H/M_G$ ， $H\cap M/M_G$ 分别是M的一个G-边界因子和迹。因为 $$ 和 $\left(H\cap M\right)/L/{\left(M/L\right)}_{G/L}\cong H\cap M/M_G$ ，所以 $H/L/{\left(M/L\right)}_{G/L}$ 是 $M/L$ 一个 $G/L$ -边界因子， $\left(H\cap M\right)/L/{\left(M/L\right)}_{G/L}$ 是 $M/L$ 的一个迹。根据假设条件， $\left(H\cap M\right)/L/{\left(M/L\right)}_{G/L}$ 是超可解的。

设 $P/L$ 是 $G/L$ 的一个Sylow p-子群。若 $T/L\ge P/L$ ，则 $T\ge P$ ，P是G的一个Sylow p-子群。根据假设条件， $T/L$ 有p-幂零的迹 $\left(H\cap T\right)/L/{\left(T/L\right)}_{G/L}$ 。因此， $G/L$ 满足定理的条件。由G的选择知 $G/L$ 是可解的。根据扩张闭的性质， $L\cancel{\le }\Phi \left(G\right)$ ，L非可解，L是G的唯一极小正规子群。

3) 最后矛盾。

由(2)， $\left|\pi \left(L\right)\right|\ge 3$ 。令q是 $\pi \left(L\right)$ 的最大者， $L_q$ 是L的一个Sylow q-子群，Q是G的一个Sylow q-子群，M是G的一个极大子群满足 $Q\le N_G\left(L_q\right)\le M$ 。根据Frattini论断， $G=L{N}_G\left(L_q\right)=LM$ 。显然， $M_G=1$ ， $L\cap M<M$ ， $L\cap M\underset{\_}{⊲}M$ 。由假设条件，M的迹 $L\cap M$ 满足性质(*)，即它是q-幂零的。由引理2， ${\text{O}}^q\left(L\right)<L$ ，矛盾。

综上所述，定理1得证。

4. 定理推论

推论1 G是可解的充要条件G的每个极大子群有一个超可解的迹且 $\mathcal{F}$ 的每个元素有一个幂零的迹。

推论2 G是可解的充要条件G的每个极大子群有一个超可解的迹且 $\mathcal{F}$ 的每个元素有一个交换的迹。

推论3 G是可解的充要条件G的每个极大子群有一个幂零的迹。

推论4 G是可解的充要条件G的每个c-极大子群有一个幂零的迹。

5. 结束语

本文主要考虑了每个极大子群有一个超可解的迹且 $\mathcal{F}$ 的每个元素满足性质(*)对可解群的影响，得到了一个充分必要条件，也为推进文献 [10] 中问题3.6的解决做了积极的尝试。