不变调和函数梯度范数的一个估计

An Estimate of the Gradient Norm of the Invariant Harmonic Function

摘要: 本文讨论不变调和函数的梯度范数估计的最优系数C(x,l)。根据不变Poisson核及Möbius变换，计算出常数 C(x,l)的具体表达式。

Abstract: In this paper, we discuss the optimal coefficient C(x,l) for the estimation of the gradient norm of the invariant harmonic function. According to the invariant Poisson kernel and Möbius transforms, the specific expression of the constant C(x,l) is calculated.

1. 引言

不变调和函数是拉普拉斯–贝尔特拉米方程 $u=0$ 的解，调和函数应用广泛，在数学、物理学以及随机过程理论中起重要作用。从1992年Kresin和Maz’ya对Khavinson猜想的提出开始，Dmitriy Khavinson得到了单位球 $B^3:=\left\{x\in {ℝ}^3:\left|x\right|<1\right\}$ 中的有界调和函数径向导数绝对值的一个最优点估计，并猜想：在 $B^3$ 中有界调和函数的梯度模量的较强的点估计中应该出现相同的系数。Gershon Kresin和Vladimir Maz’ya推测有界调和函数的梯度范数也有同样的估计，并提出有界调和函数的梯度模量的更强的不等式也是存在的，这一问题及其在半空间中的类似情况得到了更为一般的考虑。这类估计可用于与静电学以及理想流体的流体动力学、粘性不可压缩流体的弹性和流体动力学等有关的问题。这对研究在不变调和函数下的情况提供了便利。本文将先研究不变调和函数下的不变Poisson核及其梯度，然后通过不变Poisson核及Möbius变换探究函数为 $C\left(x,l\right)$ 的单位球的积分表达式。为之后探究不变调和函数下的Khavinson猜想做铺垫。

2. 基础知识

设B为欧式空间单位球，且 $\tilde{\Delta }$ 为B上的不变拉普拉斯算子。对于 $x,y\in B,x\ne y$ ， $\tilde{\Delta }$ 对应的格林函数 $G\left(x,y\right)$ 为 [1]

$G\left(x,y\right)=f\left(\left|{\phi }_y\left(x\right)\right|\right)=\frac{1}{n}{\displaystyle {\int }_{\left|{\phi }_y\left(x\right)\right|}^1\frac{{\left(1-s^2\right)}^{n-2}}{s^{n-1}}\text{d}s}.$ (1)

例 当 $n=2$ 时， $\tilde{\Delta }f=\left(1-{\left|x\right|}^2\right)\Delta f=0$ 的一般解为 $f\left(r\right)=\frac{1}{2}\log \frac{1}{r}$ ，即基本解为 $f\left(\left|x\right|\right)=-\frac{1}{2}\log \left|x\right|$ ，易知

$\frac{1}{2}\left(1-\left|x\right|\right)\le f\left(x\right)\le \frac{1-\left|x\right|}{2\left|x\right|}$ (2)

当 $n>2$ 时，估计 $f\left(r\right)=\frac{1}{n}{\displaystyle {\int }_r^1\frac{{\left(1-s^2\right)}^{n-2}}{s^{n-1}}\text{d}s}$ 中的积分，得到与x无关的正常数 $C_1$ 和 $C_2$ 使得对于所有的 $x\in B,x\ne 0$ ，有

$C_1\frac{{\left(1-{\left|x\right|}^2\right)}^{n-1}}{{\left|x\right|}^{n-2}}\le f\left(\left|x\right|\right)\le C_2\frac{{\left(1-{\left|x\right|}^2\right)}^{n-1}}{{\left|x\right|}^{n-2}}$ (3)

定义2.1令 $f\in C^2\left(B\right)$ ， $\tilde{\Delta }$ 可表示如下 [1] ：

$\tilde{\Delta }f\left(x\right)=\left(1-{\left|x\right|}^2\right)\left[\left(1-{\left|x\right|}^2\right)\Delta f\left(x\right)+2\left(n-2\right)Rf\left(x\right)\right]$ , (4)

这里 $\Delta$ 是Laplace算子且 $Rf\left(x\right)={\displaystyle {\sum }_{j=1}^n{x}_j\frac{\partial f}{\partial x_i}\left(x\right)}$ 。

注：(4)也可以改写为

$\tilde{\Delta }f\left(x\right)={\left(1-{\left|x\right|}^2\right)}^2\Delta f\left(x\right)+2\left(n-2\right)\left(1-{\left|x\right|}^2\right)\langle x,\nabla f\left(x\right)\rangle$ (5)

定义2.2令 $f\in C^2\left(B\right)$ 。如果 $\tilde{\Delta }f\left(x\right)=0\left(x\in B\right)$ ，f就被称为B上的M-不变调和函数(简称为不变调和函数或双曲调和函数)。本性有界不变调和函数空间记为 $h^{\infty }$ 。

文献 [2] 给出B上的不变泊松核

$P\left(x,y\right)={\left(\frac{1-{\left|x\right|}^2}{{\left|y-x\right|}^2}\right)}^{n-1}$ (6)

经过基本但繁琐的计算可以证明，固定 $t\in S$ ，函数 $x\mapsto P\left(x,t\right)$ 在B上是M-不变调和的 [2] 。反之，一般拉普拉斯算子 $\Delta$ 在 $B\times S$ 上的Poisson核 $\mathcal{P}$ 由

$\mathcal{P}\left(x,t\right)=\frac{1-{\left|x\right|}^2}{{\left|x-t\right|}^n}\left(x,t\right)\in B\times S$ (7)

给出。

而 $C^n$ 中hermitian双曲球B上的不变拉普拉斯算子 $\tilde{\Delta }$ 的Poisson核 $\tilde{\mathcal{P}}$ 由

$\tilde{\mathcal{P}}\left(z,t\right)=\frac{{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^n}{{\left|1-\langle z,t\rangle \right|}^{2n}}\left(z,t\right)\in B\times S$ (8)

给出。

定义2.3 Möbius变换与反演密切相关。一个形如 $f\left(z\right)=\frac{az+b}{cz+d}$ 的Möbius变换可以分解成四个变换：

1) $f_1\left(z\right)=z+\frac{d}{c}$ (按 $\frac{d}{c}$ 做平移变换)

2) $f_2\left(z\right)=\frac{1}{z}$ (关于单位圆做反演变换，然后关于实数轴做镜面反射)

3) $f_3\left(z\right)=\frac{-\left(ad-bc\right)}{c^2}\cdot z$ (做关于原点的位似变换，然后做旋转)

4) $f_4\left(z\right)=z+\frac{a}{c}$ (按 $\frac{a}{c}$ 做平移变换)

这四个变换的复合就是Möbius变换。

3. C(x, l)的表示公式

令 $n\ge 3$ 。若 $u\in h^{\infty }$ ，我们用 $C\left(x\right)$ 表示在 $x\in B^n$ 处满足

$\left|\nabla u\left(x\right)\right|\le C\left(x\right)\underset{y\in B^n}{\sup }\left|u\left(y\right)\right|$ (9)

的最小常数(不依赖于u)。对于每个 $l\in S^{n-1}$ 及 $x\in B^n$ ，用 $C\left(x,l\right)$ 表示在x处沿l方向满足

$\left|\langle \nabla u\left(x\right),l\rangle \right|\le C\left(x,l\right){\sup }_{y\in B^n}\left|u\left(y\right)\right|$ (10)

的最优常数(不依赖于u)。因为

$\left|\nabla u\left(x\right)\right|=\underset{l\in S^{n-1}}{\sup }\left|\langle \nabla u\left(x\right),l\rangle \right|$ (11)

我们有 $C\left(x\right)=\underset{l\in S^{n-1}}{\sup }C\left(x,l\right)$ 。

我们猜想一个类似于有界调和函数的结果 [3] [4] [5] 。当 $x\in B^n\backslash \left\{0\right\}$ 时，有

$C\left(x,\stackrel{\to }{n_x}\right)=C\left(x\right)$ (12)

这里 $\stackrel{\to }{n_x}$ 是方向 $\frac{x}{\left|x\right|}$ 。

类似于 [5] ，易证下面引理：

引理3.1任给 $l\in \partial B^n$ 和 $x\in B^n$ ，则有 $C\left(Ax;Al\right)=C\left(x;l\right)$ ，其中A是 $R^n$ 的正交变换。

下面给出 $C\left(x;l\right)$ 的积分表达式。

定理3.2任给 $l\in \partial B^n$ 和 $x\in B^n$ ，有

$C\left(x;l\right)=\frac{2-2n}{1-{\left|x\right|}^2}{\displaystyle {\int }_{\partial B^n}\left|\langle \eta ,l\rangle \right|\text{d}\delta \left(\eta \right)}$ (13)

$\text{d}\delta$ 表示单位球 $\partial B^n$ 的归一化面积测度。

证明：设 $U\left(x\right)$ 为单位球 $B^n$ 上的有界M-不变调和函数，则几乎处处存在径向边界值：

$U^{*}\left(\zeta \right)={\lim }_{r\to 1^{-}}U\left(r\zeta \right),\zeta \in \partial B^n$ (14)

而且可以用 $U^{*}\left(\zeta \right)$ 的泊松公式表示 $U\left(x\right)$ ：

$U\left(x\right)=P\left[U^{*}\right]\left(l\right)={\displaystyle {\int }_{\partial B^n}P\left(l,\zeta \right)U^{*}\left(\zeta \right)\text{d}\delta \left(\zeta \right)}$ . (15)

注意到 $\tilde{\Delta }$ 的泊松核为

$P\left(y,\zeta \right)={\left(\frac{1-{\left|y\right|}^2}{1-2y\zeta +{\left|y\right|}^2}\right)}^{n-1}={\left(\frac{1-{\left|y\right|}^2}{{\left|\zeta -y\right|}^2}\right)}^{n-1}$ (16)

经过Möbius变换计算得

$\nabla P\left(x,\zeta \right)=\frac{-2x\left(n-1\right){\left(1-{\left|x\right|}^2\right)}^{n-2}{\left|x-\zeta \right|}^2-2\left(n-1\right){\left(1-{\left|x\right|}^2\right)}^{n-1}\left(x-\zeta \right)}{{\left|x-\zeta \right|}^{2n}}$ (17)

因此任给 $l\in \partial B^n$ 和 $x\in B^n$ ，我们有

$\langle \nabla U\left(x\right),l\rangle ={\displaystyle {\int }_{\partial B^n}\langle \nabla P\left(x,\zeta \right),l\rangle U^{*}\left(\zeta \right)\text{d}\delta \left(\zeta \right)}={\text{Λ}}_l\left(U^{*}\right)$ , (18)

上面方程左边的 ${\text{Λ}}_l$ 表示 $U^{*}$ 的泛函。考虑 $L^{\infty }\left(B^n\right)$ 和 $L^{\infty }\left(\partial B^n\right)$ 上所有有界调和函数的空间之间通过泊松延拓等距同构， ${\text{Λ}}_l$ 也可以看作 $L^{\infty }\left(B^n\right)$ 上的有界线性泛函，且有

$\Vert {\text{Λ}}_l\Vert =C\left(x;l\right)={\displaystyle {\int }_{\partial B^n}\langle \nabla P\left(x,\zeta \right),l\rangle \text{d}\delta \left(\zeta \right)}$ (19)

设 $T_x\left(y\right)$ 是B上的Möbius变换 [2] ：

$T_x\left(y\right)=\frac{\left(1-{\left|x\right|}^2\right)\left(y-x\right)-{\left|y-x\right|}^{2}x}{{\left[y,x\right]}^2}$ , (20)

其中 $\left[y,x\right]=\left|y\right|\left|y^{*}-x\right|$ ， $y^{*}=\frac{y}{{\left|y\right|}^2}$ 。

映射 $T_x\left(y\right)$ 将单位球变换为它本身，当限制在单位球面上时，有如下形式：

$\begin{array}{c}{T}_x\left(\eta \right)=\frac{\left(1-{\left|x\right|}^2\right)\left(\eta -x\right)-{\left|\eta -x\right|}^{2}x}{{\left[\eta ,x\right]}^2}\\ =\frac{\left(1-{\left|x\right|}^2\right)\left(\eta -x\right)-{\left|\eta -x\right|}^{2}x}{{\left|\eta -x\right|}^2}\\ =\frac{\left(1-{\left|x\right|}^2\right)\left(\eta -x\right)}{{\left|\eta -x\right|}^2}-x\end{array}$

下面做变量替换： $\zeta =-T_x\left(\eta \right)$ 。

首先，将 $x-\zeta =\left(1-{\left|x\right|}^2\right)\frac{\eta -x}{{\left|\eta -x\right|}^2}$ ， $\left|x-\zeta \right|=\frac{1-{\left|x\right|}^2}{\left|\eta -x\right|}$ 代入到 $\nabla P\left(x,\zeta \right)$ 中去，

$\begin{array}{c}\nabla P\left(x,\zeta \right)=\frac{-2x\left(n-1\right){\left(1-{\left|x\right|}^2\right)}^{n-2}{\left|x-\zeta \right|}^2-2\left(n-1\right){\left(1-{\left|x\right|}^2\right)}^{n-1}\left(x-\zeta \right)}{{\left|x-\zeta \right|}^{2n}}\\ =\frac{-2x\left(n-1\right){\left(1-{\left|x\right|}^2\right)}^{n-2}\frac{{\left(1-{\left|x\right|}^2\right)}^2}{{\left|\eta -x\right|}^2}-2\left(n-1\right){\left(1-{\left|x\right|}^2\right)}^{n-1}\frac{\eta -x}{{\left|\eta -x\right|}^2}\left(1-{\left|x\right|}^2\right)}{\frac{{\left(1-{\left|x\right|}^2\right)}^{2n}}{{\left|\eta -x\right|}^{2n}}}\\ =\frac{\left[\left(2-2n\right)x{\left(1-{\left|x\right|}^2\right)}^n+\left(2-2n\right){\left(1-{\left|x\right|}^2\right)}^n\left(\eta -x\right)\right]{\left|\eta -x\right|}^{2n-2}}{{\left(1-{\left|x\right|}^2\right)}^{2n}}\\ =\frac{\left(2-2n\right)\left[x+\eta -x\right]{\left|\eta -x\right|}^{2n-2}}{{\left(1-{\left|x\right|}^2\right)}^n}\\ =\frac{\left(2-2n\right)\cdot \eta \cdot {\left|\eta -x\right|}^{2n-2}}{{\left(1-{\left|x\right|}^2\right)}^n}\end{array}$

由于

$\text{d}\delta \left(\zeta \right)=\frac{{\left(1-{\left|x\right|}^2\right)}^{n-1}}{{\left|\eta -x\right|}^{2n-2}}\text{d}\delta \left(\eta \right)$ (21)

我们有

$\langle \nabla P\left(x,\zeta \right),l\rangle \text{d}\delta \left(\zeta \right)=\left(2-2n\right){\left(1-{\left|x\right|}^2\right)}^{-1}\langle \eta ,l\rangle \text{d}\delta \left(\eta \right)$ (22)

因此，

$\begin{array}{c}C\left(x;l\right)={\displaystyle {\int }_{\partial B^n}\left|\langle \nabla P\left(x,\zeta \right),l\rangle \right|\text{d}\delta \left(\zeta \right)}\\ =\left(2-2n\right){\left(1-{\left|x\right|}^2\right)}^{-1}{\displaystyle {\int }_{\partial B^n}\left|\langle \eta ,l\rangle \right|\text{d}\delta (\; \eta \; )}\end{array}$

定理3.3任给 $l\in \partial B^n$ 和 $x\in B^n$ ，有

$\frac{1-{\rho }^2}{2-2n}C\left(\rho \stackrel{\to }{e_1},\stackrel{\to }{l}\right)=C$ (23)

证明： $\forall \stackrel{\to }{l}\in \partial B^n$ ，存在一个正交变换A，使得

$A\stackrel{\to }{l}=\stackrel{\to }{e_1},A\stackrel{\to }{e_1}=\stackrel{\to }{e_1}\cos \alpha +\stackrel{\to }{e_2}\sin \alpha ,\alpha \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ (24)

则有：

$\begin{array}{c}\frac{1-{\rho }^2}{2-2n}C\left(\rho \stackrel{\to }{e_1},\stackrel{\to }{l}\right)={\displaystyle {\int }_{\partial B^n}\left|\langle A^{-1}\eta ,\stackrel{\to }{l}\rangle \right|\text{d}\delta \left(\eta \right)}\\ ={\displaystyle {\int }_{\partial B^n}\left|\langle \xi ,\stackrel{\to }{e_1}\rangle \right|\text{d}\delta \left(\xi \right)}\\ ={\displaystyle {\int }_{\partial B^n}\left|{\xi }_1\right|\text{d}\delta (\; \xi \; )}\end{array}$

利用球坐标：

$\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \sin \phi \\ y=r\sin \theta \sin \phi \\ z=r\cos \phi \end{array},\phi \in \left[0,\pi \right],\theta \in \left[0,2\pi \right]$ (25)

得到，

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{\partial B^n}\left|{\xi }_1\right|\text{d}\delta \left(\xi \right)}={\displaystyle {\int }_0^{\text{π}}\text{d}\phi }{\displaystyle {\int }_0^{2\text{π}}\left|r\cos \theta \sin \phi \right|\text{d}\theta }\\ =r{\displaystyle {\int }_0^{\text{π}}\sin \phi \text{d}\phi }{\displaystyle {\int }_0^{2\text{π}}\left|\cos \theta \right|\text{d}\theta }\\ =0\end{array}$

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{\partial B^n}\left|{\xi }_2\right|\text{d}\delta \left(\xi \right)}={\displaystyle {\int }_0^{\text{π}}\text{d}\phi }{\displaystyle {\int }_0^{2\text{π}}\left|r\sin \theta \sin \phi \right|\text{d}\theta }\\ =r{\displaystyle {\int }_0^{\text{π}}\sin \phi \text{d}\phi }{\displaystyle {\int }_0^{2\text{π}}\left|\sin \theta \right|\text{d}\theta }\\ =8r\end{array}$

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{\partial B^n}\left|{\xi }_3\right|\text{d}\delta \left(\xi \right)}={\displaystyle {\int }_0^{\text{π}}\text{d}\phi }{\displaystyle {\int }_0^{2\text{π}}\left|r\cos \phi \right|\text{d}\theta }\\ =r{\displaystyle {\int }_0^{\text{π}}\left|\cos \phi \right|\text{d}\phi }{\displaystyle {\int }_0^{2\text{π}}\text{d}\theta }\\ =4\pi r\end{array}$

则

$\frac{1-{\rho }^2}{2-2n}C\left(\rho \stackrel{\to }{e_1},\stackrel{\to }{l}\right)={\displaystyle {\int }_{\partial B^n}\left|\langle A^{-1}\eta ,\stackrel{\to }{l}\rangle \right|\text{d}\delta \left(\eta \right)}=C$ (26)

4. 结论

根据以上探究，总结得到：

$C\left(x;l\right)=\frac{2-2n}{1+\left|x\right|}{\displaystyle {\int }_{\partial B^n}\left|\langle \eta ,l\rangle \right|\text{d}\delta (\; \eta \; )}$

且

$\frac{1-{\rho }^2}{2-2n}C\left(\rho \stackrel{\to }{e_1},\stackrel{\to }{l}\right)={\displaystyle {\int }_{\partial B^n}\left|\langle A^{-1}\eta ,\stackrel{\to }{l}\rangle \right|\text{d}\delta \left(\eta \right)}=C$

即不变调和函数的Khavinson猜想的最优值为常数。为之后研究Khavinson猜想的结论、性质做铺垫。