丢番图方程(75n)^x+ (308n)^y= (317n)^z

On the Diophantine Equation (75n)^x+ (308n)^y= (317n)^z

摘要: 设a,b,c是两两互素的正整数且a²+b²=c²。Jesmanowicz猜想：对于任意给定的正整数n，方程(an)^x+(bn)^y=(cn)^z只有正整数解(x,y,z)=(2,2,2)。本文利用数论中的一些方法证明了：对任意的正整数n，方程(75n)^x+ (308n)^y= (317n)^z只有正整数解(x,y,z)=(2,2,2)，即当(a,b,c)=(75,308,317)时，Jesmanowicz猜想成立。

Abstract: Let a,b,c be a primitive Pythagogrean triples such that a²+b²=c². Jesmanowicz conjectured that, for any positive integer n, the Diophantine equation (an)^x+(bn)^y=(cn)^z has only positive integer solution (x,y,z)=(2,2,2). In this paper, by using some methods of number theory,we prove that, for any positive integer n, the Diophantine equation (75n)^x+ (308n)^y= (317n)^z has only positive integer solution (x,y,z)=(2,2,2), that is the Jesmanowicz conjecture is true, when (a,b,c)=(75,308,317).

1. 引言

不定方程是数论领域中一个重要的分支，古希腊数学家丢番图曾在三世纪初就开始研究这样的方程，所以不定方程又称为丢番图方程，其中指数型不定方程是较为重要的一部分，并且它在群论、组合论和编码理论中也被广泛运用，但是对它的求解往往比较困难，因此对于不定方程的求解过程中更能体现出技巧性和趣味性。

设 $\left(a,b,c\right)$ 是本原商高数组。Jesmanowicz [1] 曾猜想：对于任意正整数n，丢番图方程

${\left(na\right)}^x+{\left(nb\right)}^z={\left(nc\right)}^z$ (1)

只有正整数解 $\left(x,y,z\right)=\left(2,2,2\right)$ 。这一猜想至今只证明了对一些较为简单的商高数组是正确的。对于 $n=1$ ，Terai [2] 证明了方程

${\left(m^2-4\right)}^x+{\left(4m\right)}^y=\left(m^2+4\right),m>1,m\equiv 1\left(\mathrm{mod}2\right)$

只有正整数解 $\left(x,y,z\right)=\left(2,2,2\right)$ ；李双志 [3] 证明了当 $k\equiv 1,2\left(\mathrm{mod}3\right),k\equiv 2\left(\mathrm{mod}4\right)$ 时，方程

${\left(3\left(2k+3\right)\right)}^x+{\left(2k\left(k+3\right)\right)}^y={\left(2k\left(k+3\right)+9\right)}^z$

只有正整数解 $\left(x,y,z\right)=\left(2,2,2\right)$ 。等等。对于n为任意正整数，Miyazaki [4] 证明了当

$\left(a,b,c\right)=\left(2^{2r}-1,2^{r+1},2^{2r}+1\right),r\in N$ 时，Jesmanowicz猜想正确；陈凤娟 [5] 证明了当

$\left(a,b,c\right)=\left(p^{2r}-4,4p^r,p^{2r}+4\right),p>3$ ，p为素数， $p\equiv 3,5,7\left(\mathrm{mod}8\right)$ 时，若 $P\left(n\right)|b$ 或 $P\left(a\right)|n$ ，则Jesmanowicz猜想正确；孙翠芳 [6] 证明了当 $\left(a,b,c\right)=\left(4p^{2r}-1,4p^r,4p^{2r}+1\right),p\equiv 3\left(\mathrm{mod}4\right)$ 且p为素数时，若 $P\left(n\right)|b$ 或 $P\left(a\right)|n$ ，则Jesmanowicz猜想正确。等等。虽然在很多特殊情况下，Jesmanowicz猜想是正确的，但一般情形仍未解决，目前的结果大都集中在 $n=1$ 的情形，而对于 $n>1$ ，只有为数不多的特殊情形被解决。记

$P\left(n\right)$ 为n的所有素因子的乘积， $\left(\frac{\ast }{\ast }\right)$ 为雅克比符号。

本文考虑方程(1)中 $\left(a,b,c\right)=\left(75,308,317\right)$ 的情形，证明了Jesmanowicz猜想正确。结果如下

定理1 对于任意正整数n时，丢番图方程

${\left(75n\right)}^x+{\left(308n\right)}^y={\left(317n\right)}^z$ (2)

只有正整数解 $\left(x,y,z\right)=\left(2,2,2\right)$ 。

2. 预备知识

定义2.1 [7] 给定一个正整数m，如果用m去除两个整数a和b所得的余数相同，我们就说 $a,b$ 对模m同余，记作 $a\equiv b\left(\mathrm{mod}m\right)$ ，把该式称为模m的同余式，简称同余式。如果余数不同，我们就说 $a,b$ 对m不同余，记作 $a\cancel{\equiv }b\left(\mathrm{mod}m\right)$ 。

定义2.2 [8] 设 $m>1$ ， $x^2\equiv n\left(\mathrm{mod}m\right)$ ， $\left(n,m\right)=1$ ，若该同余式有解，则n称为模n的二次剩余；若该同余式无解，则n称为模m的二次非剩余。

定义2.3 [8] 勒让德(Legendre)符号 $\left(\frac{a}{p}\right)$ (读作a对p的勒让德符号)是一种对于给定的奇素数p定

义在一切整数a上的函数，它的值规定如下：

$\left(\frac{a}{p}\right)=\{\begin{array}{l}1,a是模p的二次剩余,\\ -1,a是模p的二次非剩余,\\ 0,p|a\end{array}$

定义2.4 [8] 雅可比符号 $\left(\frac{a}{m}\right)$ (读作a对m的雅可比符号)是一个对于给定的大于1的单整数m定

义在一切整数a上函数，它在a上的函数值是

$\left(\frac{a}{m}\right)=i={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{r}{\prod }}\left(\frac{a}{p_i}\right)}$

其中 $m=p_1{p}_2\cdots p_r$ ， $p_i\left(i=1,2,\cdots ,r\right)$ 是素数， $\left(\frac{a}{p_i}\right)$ 是a对 $p_i$ 的勒让德符号。

性质2.5 设 $m,n$ 为正奇数

1) 若 $a\equiv a_1\left(\mathrm{mod}m\right)$ 和 $\left(m,n\right)=1$ ，则 $\left(\frac{a}{m}\right)=\left(\frac{a_1}{m}\right)$ ；

2) 若 $\left(a,m\right)=\left(a,n\right)=1$ ，则 $\left(\frac{a}{m}\right)\left(\frac{a}{n}\right)=\left(\frac{a}{mn}\right)$ ；

3) 若 $\left(a,m\right)=\left(b,m\right)=1$ ，则 $\left(\frac{a}{m}\right)\left(\frac{b}{m}\right)=\left(\frac{ab}{m}\right)$ 。

性质2.6 $\left(\frac{-1}{m}\right)={\left(-1\right)}^{\frac{m-1}{2}}$ ； $\left(\frac{2}{m}\right)={\left(-1\right)}^{\frac{m^2-1}{8}}$ 。

性质2.7 若m和n是两个正奇数，且 $\left(m,n\right)=1$ ，则

$\left(\frac{m}{n}\right)={\left(-1\right)}^{\frac{\left(m-1\right)\left(n-1\right)}{4}}\left(\frac{n}{m}\right)$ 。

引理2.1 [9] 当 $k\equiv 3\left(\mathrm{mod}8\right)$ ， $\backslash 3|k$ 时，丢番图方程

${\left(3\left(2k+3\right)\right)}^x+{\left(2k\left(k+3\right)\right)}^y={\left(2k\left(k+3\right)+9\right)}^z$

只有正整数解 $\left(x,y,z\right)=\left(2,2,2\right)$ 。

引理2.2 [10] 设 $a,b,c$ 是两两互素的正整数且 $a^x+b^y=c^z$ 只有正整数解 $\left(x,y,z\right)=\left(2,2,2\right)$ 。如果 $\left(x,y,z\right)\ne \left(2,2,2\right)$ 是方程 ${\left(an\right)}^x+{\left(bn\right)}^y={\left(cn\right)}^z$ 的正整数解，则其满足下列条件之一：

1) $x>z>y,P\left(n\right)|b$ ；

2) $y>z>x,P\left(n\right)|a$ 。

3. 定理的证明

定理1的证明：因为 $75=3\cdot \left(2\times 11+3\right)$ ， $308=2\times 11\times 14$ ， $317=2\times 11\times 14+9$ ，且 $11\equiv 3\left(\mathrm{mod}8\right)$ ，由引理1知，方程 ${75}^x+{308}^y={317}^z$ 只有正整数解 $\left(x,y,z\right)=\left(2,2,2\right)$ 。下面我们不妨设 $n>1$ 。假设 $\left(x,y,z\right)\ne \left(2,2,2\right)$ 是方程(2)的正整数解，故由引理2可知， $x<z<y,p\left(n\right)|75$ 或 $y<z<x,p\left(n\right)|308$ 。

下面分两种情况进行讨论：

情形1当 $x<z<y,p\left(n\right)|75$ 时，则方程(2)可整理为

${317}^z-{308}^y{n}^{y-z}=\frac{{75}^x}{n^{z-x}}$ (3)

不妨设 $n=3^s\cdot 5^t$ ，其中 $s,t$ 均为非负整数且 $\max \left\{s,t\right\}\ge 1$ 。

情形1.1：如果 $s>0,t>0$ ，则 $s\left(z-x\right)=x,t\left(z-x\right)=2x$ ，于是方程(3)可整理为

${317}^z-{308}^y\cdot 3^{s\left(y-z\right)}\cdot 5^{t\left(y-z\right)}=1$ (4)

对(4)式模5得 $2^z\equiv 1\left(\mathrm{mod}5\right)$ ，故 $4|z$ 。令 $z=4z_1$ ，于是，

$\left({317}^{z_1}-1\right)\left({317}^{z_1}+1\right)={308}^y\cdot 3^{s\left(y-z\right)}\cdot 5^{t\left(y-z\right)}=2^{2y}\cdot 7^y\cdot {11}^y\cdot 3^{s\left(y-z\right)}\cdot 5^{t\left(y-z\right)}$ 。因为 $\gcd \left({317}^{z_1}-1,{317}^{z_1}+1\right)=2$ ，由

雅克比符号 $\left(\frac{-1}{11}\right)=-1,\left(\frac{-1}{7}\right)=-1,\left(\frac{-1}{3}\right)=-1$ 可得

$\{\begin{array}{l}{317}^{z_1}-1=2^{2y-1}\cdot 7^y\cdot {11}^y\cdot 3^{s\left(y-z\right)}\\ {317}^{z_1}+1=2\cdot 5^{t\left(y-z\right)}\end{array}$ 。

即 $2^{2y-1}\cdot 7^y\cdot {11}^y|\left({317}^{2z_1}-1\right)$ 。但是

$2^{2y-1}\cdot 7^y\cdot {11}^y>4^{y-1}\cdot 7^y\cdot {11}^y>{\left(4\cdot 7\cdot 11\right)}^z={308}^z={308}^{4z_1}>{\left(317+1\right)}^{2z_1}>{317}^{2z_1}+1>{317}^{2z_1}-1$ 这不可能。

情形1.2：如果 $s>0,t=0$ ，则 $s\left(z-x\right)=x$ ，方程(3)可整理为

${317}^z-{308}^y\cdot 3^{s\left(y-z\right)}=5^{2x}$ (5)

对(5)式模3得 $2^z\equiv 1\left(\mathrm{mod}3\right)$ ，于是 $2|z$ 。对(5)式模5得 $2^z\equiv 3^{y+s\left(y-z\right)}\left(\mathrm{mod}5\right)$ ，于是 $2|y+s\left(y-z\right)$ 。对(5)式模7得

${308}^y\cdot 3^{s\left(y-z\right)}=-5^{2x}\left(\mathrm{mod}317\right)$ (6)

又因为 $317\equiv 1\left(\mathrm{mod}4\right)$ ，由雅克比符号的性质得

$\left(\frac{308}{317}\right)=\left(\frac{4}{317}\right)\left(\frac{7}{317}\right)\left(\frac{11}{317}\right)=\left(\frac{2}{7}\right)\left(\frac{9}{11}\right)=1,\left(\frac{3}{317}\right)=\left(\frac{317}{3}\right)=\left(\frac{2}{3}\right)=-1,\left(\frac{-1}{317}\right)=-1$ 。

结合(6)式可得 ${\left(\frac{308}{317}\right)}^y\cdot {\left(\frac{3}{317}\right)}^{s\left(y-z\right)}=\left(\frac{-1}{317}\right)\cdot {\left(\frac{5}{317}\right)}^{2x}$ ，于是 ${\left(-1\right)}^{s\left(y-z\right)}=1$ ，即 $2|s\left(y-z\right)$ 。从而 $2|y$ 。令 $y=2y_1,z=2z_1$ ，则 $\left({317}^{z_1}-{308}^{y_1}\cdot 3^{s\left(y_1-z_1\right)}\right)\left({317}^{z_1}+{308}^{y_1}\cdot 3^{s\left(y_1-z_1\right)}\right)=5^{2x}$ 。

又因为 $\gcd \left({317}^{z_1}-{308}^{y_1}\cdot 3^{s\left(y_1-z_1\right)},{317}^{z_1}+{308}^{y_1}\cdot 3^{s\left(y_1-z_1\right)}\right)=1$ ，故

$\{\begin{array}{l}{317}^{z_1}-{308}^{y_1}\cdot 3^{s\left(y_1-z_1\right)}=1①\\ {317}^{z_1}+{308}^{y_1}\cdot 3^{s\left(y_1-z_1\right)}=5^{2x}②\end{array}$ ，

$②-①$ 得， $5^{2x}-1=2\cdot {308}^{y_1}\cdot 3^{s\left(y_1-z_1\right)}$ ，即 $\left(5^x-1\right)\left(5^x+1\right)=2^{2y_1+1}\cdot 7^{y_1}\cdot {11}^{y_1}\cdot 3^{s\left(y_1-z_1\right)}$ ，假设 $5^x-1=7t$ ，即

$5^x\equiv 1\left(\mathrm{mod}7\right)$ ，因为 ${\left(\frac{5}{7}\right)}^x=\left(\frac{1}{7}\right)=1$ ， $\left(\frac{5}{7}\right)=\left(\frac{7}{5}\right)=\left(\frac{2}{5}\right)=-1$ ，所以 ${\left(-1\right)}^x=1$ ，即 $2|x$ 。此时若 $5^x+1=3t$ ， $5^x\equiv -1\left(\mathrm{mod}3\right)$ ，因为 ${\left(\frac{5}{3}\right)}^x=\left(\frac{-1}{3}\right)=-1$ ， $\left(\frac{5}{3}\right)=\left(\frac{2}{3}\right)=1$ ，所以 $1^x=-1$ ，这不可能。又因为 $5^x-1<5^x+1$ ，

所以 $7|\left(5^x+1\right),3|\left(5^x+1\right)$ ，又因为 $4|\left(5^x-1\right),11|\left(5^x+1\right)\backslash$ ，故

$\{\begin{array}{l}{5}^x-1=2^{2y_1}\cdot {11}^{y_1}\\ 5^x+1=7^{y_1}\cdot 3^{s\left(y_1-z_1\right)}\end{array}$

且 $\backslash 2|x$ ，于是 $\backslash 8|\left(5^x-1\right)$ ，即 $y=2y_1=2$ ，这与 $1\le x<z<y$ 矛盾。

情形1.3：如果 $s=0,t>0$ ，则 $t\left(z-x\right)=2x$ ，于是方程(3)可整理为

${317}^z-{308}^y\cdot 5^{t\left(y-z\right)}=3^x$ (7)

对(7)式模16得 ${13}^z\equiv 3^x\left(\mathrm{mod}16\right)$ ，于是 $x\equiv z\equiv 2\left(\mathrm{mod}4\right)$ 或 $x\equiv z\equiv 0\left(\mathrm{mod}4\right)$ 。对(7)式模3得 $2^z\equiv 2^{y+t\left(y-z\right)}\left(\mathrm{mod}3\right)$ ，于是 $2|y+t\left(y-z\right)$ 。对(7)式模317得 ${308}^y\cdot 5^{t\left(y-z\right)}=-3^x\left(\mathrm{mod}317\right)$ 。又因为

$\left(\frac{308}{317}\right)=1,\left(\frac{5}{317}\right)=\left(\frac{2}{5}\right)=-1,\left(\frac{-1}{317}\right)=1,\left(\frac{3}{317}\right)=-1$ ，

于是有 ${\left(-1\right)}^{t\left(y-z\right)}={\left(-1\right)}^x$ ，所以 $t\left(y-z\right)$ 与x同奇偶，所以 $2|t\left(y-z\right)$ ，故 $2|y$ 。令 $x=2x_1,y=2y_1,z=2z_1$ ，(7)式整理为

$\left({317}^{z_1}-{308}^{y_1}\cdot 5^{t\left(y_1-z_1\right)}\right)\left({317}^{z_1}+{308}^{y_1}\cdot 5^{t\left(y_1-z_1\right)}\right)=3^{2x_1}$ 。

又因为 $\gcd \left({317}^{z_1}-{308}^{y_1}\cdot 5^{t\left(y_1-z_1\right)},{317}^{z_1}3+{08}^{y_1}\cdot 5^{t\left(y_1-z_1\right)}\right)=1$ ，故

$\{\begin{array}{l}{317}^{z_1}-{308}^{y_1}\cdot 5^{t\left(y_1-z_1\right)}=1\\ {317}^{z_1}+{308}^{y_1}\cdot 5^{t\left(y_1-z_1\right)}=3^{2x_1}\end{array}$

所以 $3^{2x}+1=2\cdot {317}^{z_1}$ 。又 ${317}^{z_1}>3^{4z_1}=3^{2z}>3^{2x}+1$ ，故不可能。

情形2，当 $y<z<x$ 时，方程(2)可整理为

${317}^z-{75}^x{n}^{x-z}=\frac{{308}^y}{n^{z-y}}$ (8)

不妨设 $n=2^s\cdot 7^t\cdot {11}^w$ ，其中 $s,t,w$ 均为非负整数且 $\max \left\{s,t,w\right\}\ge 1$ 。

情形2.1：如果 $s>0,t>0,w>0$ ，则 $s\left(z-y\right)=2y,t\left(z-y\right)=y,w\left(z-y\right)=y$ ，即 $s=2t,w=t$ 。于是方程(8)可整理为

${317}^z-{75}^x\cdot 2^{2t\left(x-z\right)}\cdot 7^{t\left(x-z\right)}\cdot {11}^{t\left(x-z\right)}=1$ (9)

对(9)式模5得 $2^z\equiv 1\left(\mathrm{mod}5\right)$ ，故 $4|z$ 。令 $z=2z_1$ ， $\backslash 2|z_1$ ，(9)式整理为

$\left({317}^{z_1}-1\right)\left({317}^{z_1}+1\right)=3^x\cdot 5^{2x}\cdot 2^{2t\left(x-z\right)}\cdot 7^{t\left(x-z\right)}\cdot {11}^{t\left(x-z\right)}$

因为 $\gcd \left({317}^{z_1}-1,{317}^{z_1}+1\right)=1$ 且 $\left(\frac{-1}{3}\right)=-1,\left(\frac{-1}{7}\right)=-1,\left(\frac{-1}{11}\right)=-1$ ，于是有

$\{\begin{array}{l}{317}^{z_1}-1=2^{2t\left(x-z\right)-1}\cdot 3^x\cdot 7^{t\left(x-z\right)}\cdot {11}^{t\left(x-z\right)}\\ {317}^{z_1}+1=2\cdot 5^{2x}\end{array}$

即 $5^{2x}-3^x\cdot 2^{2t\left(x-z\right)-2}\cdot 7^{t\left(x-z\right)}\cdot {11}^{t\left(x-z\right)}=1$ 。故 $\left(5^x-1\right)\left(5^x+1\right)=3^x\cdot 2^{2t\left(x-z\right)-2}\cdot 7^{t\left(x-z\right)}\cdot {11}^{t\left(x-z\right)}$ 。

又因为 $\gcd \left(5^x-1,5^x+1\right)=2$ 且 $\left(\frac{5}{11}\right)=1,\left(\frac{5}{3}\right)=\left(\frac{5}{7}\right)=-1,\left(\frac{-1}{11}\right)=\left(\frac{-1}{3}\right)=\left(\frac{-1}{7}\right)=-1$ ，

当 $2|x$ 时，则 $5^x+1=2$ ，这不可能。

于是 $\backslash 2|x$ 且 $\{\begin{array}{l}{5}^x-1=2^{2t\left(x-z\right)-3}\cdot {11}^{t\left(x-z\right)}\\ 5^x+1=2\cdot 3^x\cdot 7^{t\left(x-z\right)}\end{array}$ ，即

$3^x\cdot 7^{t\left(x-z\right)}-2^{2t\left(x-z\right)-4}\cdot {11}^{t\left(x-z\right)}=1$ (10)

对(10)式模7得 $2^{2t\left(x-z\right)-4}\cdot {11}^{t\left(x-z\right)}\equiv -1\left(\mathrm{mod}7\right)$ 。因为 $\left(\frac{11}{7}\right)=\left(\frac{4}{7}\right)=1,\left(\frac{-1}{7}\right)=-1$ 且 $2|2t\left(x-z\right)-4$ ，于是

$1=-1$ ，这不可能。

情形2.2：如果 $s>0,t>0,w=0$ ，则 $s\left(z-y\right)=2y,t\left(z-y\right)=y$ ，即 $s=2t$ 于是方程(8)可整理为

${317}^z-{75}^x\cdot 2^{2t\left(x-z\right)}\cdot 7^{t\left(x-z\right)}={11}^y$ (11)

对(11)模5得 $2^z\equiv 1\left(\mathrm{mod}5\right)$ 。于是 $4|z$ ，对(11)式模11得 $9^z=9^x\cdot 2^{2t\left(x-z\right)}\cdot 7^{t\left(x-z\right)}\left(\mathrm{mod}11\right)$ ，因为 $\left(\frac{9}{11}\right)=1$ ， $\left(\frac{7}{11}\right)=-\left(\frac{11}{7}\right)=-\left(\frac{4}{7}\right)=-1$ ， $2|2t\left(x-z\right)$ ，于是有 ${\left(-1\right)}^{t\left(x-z\right)}=1$ ，即 $2|t\left(x-z\right)$ ，这意味着 $4|2t\left(x-z\right)$ 。对

(11)式模16得 ${13}^z={11}^y\left(\mathrm{mod}16\right)$ 。又因为 $4|z$ ，故 $4|y$ 。令 $z=4z_1,y=4y_1$ ，(11)式整理为

$\left({317}^{z_1}-{11}^{2y_1}\right)\left({317}^{2z_1}+{11}^{2y_1}\right)={75}^x\cdot 2^{2t\left(x-z\right)}\cdot 7^{t\left(x-z\right)}$ 。

因为 $\gcd \left({317}^{2z_1}-{11}^{2y_1},{317}^{z_1}+{11}^{2y_1}\right)=2,\left(\frac{-1}{3}\right)=-1,\left(\frac{-1}{7}\right)=-1$ ，于是

$\{\begin{array}{l}{317}^{2z_1}+{11}^{2y_1}=2\cdot 5^{2x}\\ {317}^{2z_1}-{11}^{2y_1}=2^{2t\left(x-z\right)-1}\cdot 3^x\cdot 7^{t\left(x-z\right)}\end{array}$ ，

但是 $5^{2x}>5^{2z}=5^{2\cdot 4z_1}={\left({25}^2\right)}^{2z_1}>{\left(317+11\right)}^{2z_1}>{317}^{2z_1}+{11}^{2y_1}$ 。这不可能。

情形2.3：如果 $s>0,t=0,w>0$ ，则 $s\left(z-y\right)=2y,w\left(z-y\right)=y$ ，即 $s=2w$ 。于是方程(8)可整理为

${317}^z-{75}^x\cdot 2^{2w\left(x-z\right)}\cdot {11}^{w\left(x-z\right)}=7^y$ (12)

对(12)式模3得 $2^z\equiv 1\left(\mathrm{mod}3\right)$ ，于是 $2|z$ 。对(12)式模4得 $1\equiv 3^y\left(\mathrm{mod}4\right)$ ，于是 $2|y$ 。

令 $z=2z_1,y=2y_1$ ，故 $\left({317}^{z_1}-7^{y_1}\right)\left({317}^{z_1}+7^{y_1}\right)={75}^x\cdot 2^{2w\left(x-z\right)}\cdot {11}^{w\left(x-z\right)}$ 。

因为 $\gcd \left({317}^{z_1}-7^{y_1},{317}^{z_1}+7^{y_1}\right)=2$ 且 $75=3\times 5^2$ ，所以有 ${25}^x|\left({317}^{z_1}-7^{y_1}\right)$ 或 ${25}^x|\left({317}^{z_1}+7^{y_1}\right)$ 。但是 ${25}^x>{25}^z={\left({25}^2\right)}^{z_1}>{\left(317+7\right)}^{z_1}>{317}^{z_1}+7^{y_1}>{317}^{z_1}-7^{y_1}$ ，这不可能，与事实矛盾。

情形2.4：如果 $s=0,t>0,w>0$ ，则 $w\left(z-y\right)=y,t\left(z-y\right)=y$ ，即 $w=t$ 。于是方程(8)可整理为

${317}^z-{75}^x\cdot 7^{t\left(x-z\right)}\cdot {11}^{t\left(x-z\right)}=2^{2y}$ (13)

对(13)式模3得 $2^z\equiv 1\left(\mathrm{mod}3\right)$ ，于是 $2|z$ 。令 $z=2z_1$ ，(13)式整理为 $\left({317}^{z_1}-2^y\right)\left({317}^{z_1}+2^y\right)={75}^x\cdot 7^{t\left(x-z\right)}\cdot {11}^{t\left(x-z\right)}$ ，因为 $\gcd \left({317}^{z_1}-2^y,{317}^{z_1}+2^y\right)=1$ ，故 ${25}^x|\left({317}^{z_1}-2^y\right)$ 或 ${25}^x|\left({317}^{z_1}+2^y\right)$ 。

这与 ${25}^x>{25}^z={\left({25}^2\right)}^{z_1}>{\left(317+4\right)}^{z_1}>{317}^{z_1}+4^{z_1}>{317}^{z_1}+2^y>{317}^{z_1}-2^y$ 矛盾。

情形2.5： $s>0,t=0,w=0$ ，则 $s\left(z-y\right)=2y$ ，方程(8)可整理为

${317}^z-{75}^x\cdot 2^{s\left(x-z\right)}=7^y\cdot {11}^y$ (14)

对(14)式模5得 $2^z\equiv 2^y\left(\mathrm{mod}5\right)$ ，即 $4|\left(z-y\right)$ 。又因为 $s\left(z-y\right)=2y$ ，所以 $2|y$ ，从而 $2|z$ 。令 $z=2z_1,y=2y_1$ ，(13)式整理为

$\left({317}^{z_1}-{77}^{y_1}\right)\left({317}^{z_1}+{77}^{y_1}\right)={75}^x\cdot 2^{s\left(x-z\right)}$ 。

因为 $\gcd \left({317}^{z_1}-{77}^{y_1},{317}^{z_1}+{77}^{y_1}\right)=2$ ，所以有 ${25}^x|\left({317}^{z_1}-{77}^{y_1}\right)$ 或 ${25}^x|\left({317}^{z_1}+{77}^{y_1}\right)$ 。但是 ${25}^x>{25}^{2z_1}>{\left(317+77\right)}^{z_1}>{317}^{z_1}+{77}^{y_1}>{317}^{z_1}-{77}^{y_1}$ ，这不可能。

情形2.6：如果 $s=0,t>0,w=0$ ，则 $t\left(z-y\right)=y$ ，(8)式可整理为

${317}^z-{75}^x\cdot 7^{t\left(z-y\right)}={44}^y$ (15)

对(15)式模5得 $2^z\equiv 4^y\left(\mathrm{mod}5\right)$ ，于是 $2|z$ 。对(15)式模3得 $2^z\equiv 2^y\left(\mathrm{mod}3\right)$ ，于是 $2|y$ 。令 $z=2z_1,y=2y_1$ ，(15)式整理为 $\left({317}^{z_1}-{44}^{y_1}\right)\left({317}^{z_1}+{44}^{y_1}\right)={75}^x\cdot 7^{t\left(z-y\right)}$ ，

又因为 $\gcd \left({317}^{z_1}-{44}^{y_1},{317}^{z_1}+{44}^{y_1}\right)=1$ ，故 ${25}^x|\left({317}^{z_1}-{44}^{y_1}\right)$ 或 ${25}^x|\left({317}^{z_1}+{44}^{y_1}\right)$ 。

这与 ${25}^x>{25}^{2z_1}>{\left(317+44\right)}^{z_1}>{317}^{z_1}+{44}^{y_1}>{317}^{z_1}-{44}^{y_1}$ 矛盾。

情形2.7：如果 $s=0,t=0,w>0$ ，则 $w\left(z-y\right)=y$ ，(8)式可整理为

${317}^z-{75}^x\cdot {11}^{w\left(z-y\right)}={28}^y$ (16)

对(16)式模3得 $2^z\equiv 1\left(\mathrm{mod}3\right)$ ，于是 $2|z$ 。对(15)式模5得 $2^z\equiv 3^y\left(\mathrm{mod}5\right)$ ，于是 $2|y$ 。

令 $z=2z_1,y=2y_1$ ，(16)式整理为 $\left({317}^{z_1}-{28}^{y_1}\right)\left({317}^{z_1}+{28}^{y_1}\right)={75}^x\cdot {11}^{e\left(z-y\right)}$ ，又因为 $\gcd \left({317}^{z_1}-{26}^{y_1},{317}^{z_1}+{28}^{y_1}\right)=1$ ，故 ${25}^x|\left({317}^{z_1}-{28}^{y_1}\right)$ 或 ${25}^x|\left({317}^{z_1}+{28}^{y_1}\right)$ 。这与 ${25}^x>{25}^{2z_1}>{\left(317+28\right)}^{z_1}>{317}^{z_1}+{28}^{y_1}>{317}^{z_1}-{28}^{y_1}$ 矛盾。

4. 结语

邢静静证明了当 $k\equiv 3\left(\mathrm{mod}8\right)$ ， $\backslash 3|k$ 时，丢番图方程 ${\left(3\left(2k+3\right)\right)}^x+{\left(2k\left(k+3\right)\right)}^y={\left(2k\left(k+3\right)+9\right)}^z$ 只有正整数解 $\left(x,y,z\right)=\left(2,2,2\right)$ [9] 。由此可知令 $k=11$ 时，方程 ${75}^x+{308}^y={317}^z$ 只有正整数解 $\left(x,y,z\right)=\left(2,2,2\right)$ 。本文证明了更一般的情况，即当n为任意正整数时，丢番图方程 ${\left(75n\right)}^x+{\left(308n\right)}^y={\left(317n\right)}^z$ 只有正整数解 $\left(x,y,z\right)=\left(2,2,2\right)$ 。但是对于k为其他值时的情况还有待进一步研究。另外，要彻底解决Jesmanowicz猜想，还需要寻求一些新的方法，这就需要研究者有较深的数论基础，为数学进步贡献自己的力量。