微分博弈下的建筑碳减排研究

Research on Building Carbon Emission Reduction under Differential Game

摘要: 随着低碳经济和环境意识的提高，相当多的学者关注并致力于减少建筑供应链内的碳排放。与此同时，消费者在建筑市场上对低碳建筑产品的偏好正在增加，放大了这些产品的潜在效益。本研究采用微分博弈模型研究建筑供应链成员之间的碳减排均衡策略，通过比较和分析集中和分散决策两种策略下的最优反馈平衡策略，可以得到，相对于分散决策，集中决策更有利于建筑碳减排。建筑碳减排的潜在收益越高，就越有利于降低建筑企业的碳排放，对实际碳排放控制有一定指导意义。

Abstract: With the increasing awareness of low-carbon economy and environment, quite a number of scholars are concerned about and committed to reducing carbon emissions within the building supply chain. At the same time, consumer preference for low-carbon building products in the construction market is increasing, amplifying the potential benefits of these products. In this study, the differential game model is used to study the carbon emission reduction equilibrium strategy among members of the building supply chain. By comparing and analyzing the optimal feedback balance strategy under the two strategies of centralized decision-making and decentralized decision-making, it can be concluded that compared with decentralized decision-making, centralized decision-making is more conducive to the carbon emission reduction of buildings. The higher the potential benefits of building carbon emission reduction, the more beneficial it is to reduce the carbon emissions of construction enterprises, so it has some guiding significance for the actual carbon emission control.

1. 引言

政府间气候变化专门委员会(IPCC)在其第五次气候变化评估中强调，自1950年以来，过量的二氧化碳和其他温室气体排放是推动气候变暖的重要因素 [1] 。从1900年开始，过量碳排放已经导致全球平均气温上升了0.74℃，预测显示，下个世纪可能会上升1.6℃。因此，全球变暖已成为一个重要的全球问题。中国作为世界上最大的能源消费国和二氧化碳排放国，迫切需要解决温室气体排放问题。作为最大的发展中国家，中国主动承担着减排的责任，承诺相比较于2015年，2020年降低碳排放40%~50%，2030年降低60%~65%。另一方面，许多国家已经制定立法和建立监管机构来实现碳中和 [2] [3] [4] 。2020年9月，中国国家主席习近平在联合国大会上宣布中国的目标是到2030年实现“碳达峰”和到2060年实现“碳中和”。为实现这些承诺和目标，中国积极推进发展新能源，改变产业结构，促进资源再利用，寻求减排的最佳战略 [5] 。

建筑业作为一个国家经济的重要组成部分，是其经济的命脉，然而，在各国家里它也是能源消耗和环境污染的重要来源 [6] 。作为国家碳减排的关键途径，建筑业拥有减少能源消耗和碳排放巨大的潜力和优势 [7] 。因此，世界各国都非常重视建筑碳减排，这促使专家和学者的注意力都转移到建设碳减排上，他们评估建筑的整个生命周期，对整个建筑的能源消耗和碳排放有了一个全面的了解 [8] 。他们还测量和评估建设阶段的资源和能源消耗。这些研究都突出了建筑业在实现碳减排方面具有实质性的优势和未开发的潜力 [9] [10] [11] 。

随着低碳生活越来越流行，建筑低碳供应链的研究越来越受到学者的青睐，许多学者从不同的角度研究建筑低碳供应链，但这些研究还不全面，重点集中在政府的管理 [12] [13] 、可持续发展管理理念 [14] [15] [16] 、建筑技术 [17] 、建筑碳减排后管理研究 [18] 。还有研究证明分散决策虽然不如集中决策有效，但它在供应链中的应用却仍然很普遍 [19] 。因此，本文采用分散和集中的决策方法对建筑业的碳减排供应链进行了比较分析，建立了一个利用斯坦伯格方法来检验平衡策略的基本模型。

与以往的研究相比，本文的研究还有如下创新的地方。首先，建筑碳减排不仅可以带来现实的收益，还会给我们带来潜在的收益，如碳交易，品牌效应，以及促销碳减排的附属产品，所以本文我们考虑了低碳产品所带来的潜在好处，研究它对建筑碳减排的影响。另外本研究引入了它们的成本系数之间的关系系数来表示他们之间成本数量关系，进一步分析他们之间成本的高低是否会对建筑碳减排产生影响。通过这样的设计，我们可以对整个建筑供应链进行更全面的分析，提供更全面的评估，更能考虑到整个供应链的碳减排情况。

在本研究中，我们采用微分博弈模型来分析低碳供应链，并考虑到消费者的低碳偏好和政府补贴。我们的研究重点是直观地分析和描述低碳建筑供应链在两种不同策略下的动态策略演变。此外，我们还对每个策略中的供应链及其成员的碳减排行为、碳减排努力水平和总利润进行了深入的分析。我们利用了MATLAB模拟各种因素对建筑供应链碳减排的影响。每个策略都考虑了碳减排行为、碳减排努力水平、总利润、低碳建筑需求、单位碳减排成本、每单位低碳产品的边际利润和潜在收入等因素。通过对这些因素的研究，我们旨在阐明建筑碳减排行为的途径，促进可持续低碳建筑供应链的发展。

2. 模型构建和解决

2.1. 模型假设和符号描述:

假设1：在本研究中，我们采用了Nerlove和Arrow [20] 提出的经典模型。我们假设开发商，制造商的碳减排努力成本分别为， $C_C$ ； $E_D$ ， $E_C$ 作为它们的碳减排努力水平， $\xi$ 表示制造商的单位碳减排成本，另外建筑企业的努力成本与碳减排行为遵循凸函数的关系。因此，在时刻t，分别确定了开发商和承包商碳减排行努力成本为：

$C_D\left(t\right)=\epsilon \xi E_D^2\left(t\right)/2,C_C\left(t\right)=\xi E_C^2\left(t\right)/2$ (1)

其中： $\epsilon >0$ 表示开发商和制造商之间的碳减排成本关系系数。

假设2：根据文献 [21] 的发现，可以很容易地得到描述建筑CER变化过程的微分方程为：

$\stackrel{\dot{}}{x}\left(t\right)=\delta E_C\left(t\right)-\gamma x\left(t\right)$ (2)

式中， $x\left(t\right)$ 表示时刻t时每单位建筑的碳减排，初始的碳减排为 $x\left(0\right)=x_0\ge 0$ ； $\delta$ 表示承包商的碳减排对每单位建筑碳减排的影响程度； $\gamma$ 表示自然降解率。

假设3：建筑企业的碳减排努力行为对每个单位低碳建筑产品的需求影响如下：

$D\left(t\right)=D_0+\beta E_D\left(t\right)+\lambda x\left(t\right)$ (3)

其中， $D_0\left(D_0\ge 0\right)$ 为该低碳建筑产品的初始需求； $\beta$ 表示承包商的碳减排努力行为对每个单位低碳建筑产品需求的影响率； $\lambda$ 表示每单位建筑的碳减排对每个单位低碳建筑产品需求的影响率。

假设4：单位建筑碳减排对建筑企业的潜在收益分别表示为：

$Q_i=k_{i}x\left(t\right)\begin{array}{cc}& \end{array}i\in \left\{C,D\right\}$ (4)

其中 $k_C=\mu k,k_D=k,\mu >0,k>0$ 。

假设5：在建筑业，为了实现互利和谐的局面，开发商和承包商在国家财政政策的补贴下一直都具有相同的折扣系数，其中 $\rho >0$ [22] 。

综上所述，开发商、承包商和建筑供应链的价值利润函数为：

$P_D\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\text{e}}^{-\rho t}}\left[M_{D}D\left(x\left(t\right),t\right)-\left(1-Z_D\right)\epsilon \xi E_D^2\left(t\right)/2+kx\left(t\right)\right]\text{d}s$ (5)

$P_C\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\text{e}}^{-\rho t}}\left[M_{C}D\left(x\left(t\right),t\right)-\left(1-Z_C\right)\xi E_C^2\left(t\right)/2+\mu kx\left(t\right)\right]\text{d}s$ (6)

$P_T\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\text{e}}^{-\rho t}}\left[\left(M_C+M_D\right)D\left(x\left(t\right),t\right)-\left(1-Z_C\right)\xi E_C^2\left(t\right)/2-\left(1-Z_D\right)\epsilon \xi E_D^2\left(t\right)/2+\left(1+\mu \right)kx\left(t\right)\right]\text{d}s$ (7)

2.2. 不同策略下的均衡解

2.2.1. 策略1——集中决策

集中决策是一种理想的模型，博弈双方的目标都为了实现整个建筑供应链的总利润，因此该策略下的目标函数为：

$P_T^C\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\text{e}}^{-\rho t}}\left[\left(M_C+M_D\right)D\left(x^c\right)-\left(1-Z_C\right)\xi E_C^2/2-\left(1-Z_D\right)\epsilon \xi E_D^2/2+\left(1+\mu \right)kx\right]\text{d}s$ (8)

结论2.2.1 则在策略1条件下的均衡解为：

1) 开发商和承包商的最优均衡策略为

$E_D^{C*}=\frac{\left(M_C+M_D\right)\beta }{\left(1-Z_D\right)\epsilon \xi },E_C^{C*}=\frac{\left(M_C+M_D\right)\lambda \delta +\left(1+\mu \right)k\delta }{\left(1-Z_C\right)\xi \left(\rho +\gamma \right)}$ (9)

2) 张云松，曾诚低碳建筑的碳减排最优轨迹是

$x^{c*}\left(t\right)=x_{\infty }^c+\left(x_0-x_{\infty }^c\right){\text{e}}^{-\gamma t}$ (10)

其中 $x_{\infty }^c=\frac{\left(M_{\text{C}}+M_D\right)\lambda {\delta }^2+\left(1+\mu \right)k{\delta }^2}{\left(1-Z_C\right)\gamma \xi \left(\rho +\gamma \right)}$ 。

3) 低碳建筑产品市场需求为

$D^C\left(t\right)=\alpha +\frac{\left(M_C+M_D\right){\beta }^2}{\left(1-Z_D\right)\epsilon \xi }+\lambda x^{c*}\left(t\right)$ (11)

4) 碳环境下建筑供应链总利润为

$\begin{array}{c}{P}_T^{C*}\left(t\right)={\text{e}}^{-\rho t}[\frac{\left(M_C+M_D\right)\lambda +\left(1+\mu \right)k}{\rho +\gamma }{x}^{c*}+\frac{{\left(M_C+M_D\right)}^2{\beta }^2}{2\rho \left(1-Z_D\right)\epsilon \xi }+\frac{\left(M_C+M_D\right)\alpha }{\rho }\\ +\frac{{\delta }^2{\left[\left(M_C+M_D\right)\lambda +\left(1+\mu \right)k\right]}^2}{2\rho \xi \left(1-Z_C\right){\left(\rho +\gamma \right)}^2}]\end{array}$ (12)

通过等式(9)可以得到，开发商和制造商的碳减排努力行为 $E_D^{C*},E_C^{C*}$ 与单位碳减排的边际利润 $M_{\text{C}},M_D$ 成正比，与政府的碳减排成本补贴率 $Z_C,Z_D$ 成正比，与单位碳减排成本 $\xi$ 成反比，就需要率先投资碳减排技术开发，淘汰碳排放成本高的机器，改进低成本碳减排的施工工艺来实现。

通过等式(9)我们可以注意到，开发商的碳减排努力行为与潜在利益关系系数 $\mu$ 成反比，这说明当开发商和制造商的碳减排潜在收益越接近，开发商作为领导者的积极性就会越低。当开发商的碳减排潜在收益越大于制造商的碳减排潜在收益，开发商的碳减排努力行为就会越高。而制造商的碳减排努力行为与潜在收益系数k成正比。另一方面，通过等式(12)可以看出整个供应链的总利润 $P_T^{C*}$ 也是和潜在收益系数k成正比。这说明，要想使得碳减排效果越好，政府需要充当一个宣传角色，积极向社会及企业宣传碳减排的巨大好处，让人们对低碳建筑产品有一个更新的认识，提高社会和企业对低碳建筑产品的地毯偏好，进而提高低碳建筑产品的潜在收益。潜在收益的提高，就会促使开发商和制造商为了获得更高的收益，从而积极开展建筑碳减排行为。

2.2.2. 策略2——无成本分担合同的分散决策

根据 [21] [22] ，假设建筑供应链成员根据协议做出分散决策。则分散决策下的开发商和承包商(用上标D表示)以优化自身利润为决策的目标函数分别为

$P_D^D\left(t\right)=\underset{E_D\ge 0}{\max }{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\text{e}}^{-\rho t}}\left[M_{D}D\left(x\left(t\right),t\right)-\left(1-Z_D\right)\epsilon \xi E_D^2\left(t\right)/2+kx\left(t\right)\right]\text{d}t$ (13)

$P_C^D\left(t\right)=\underset{E_C\ge 0}{\max }{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\text{e}}^{-\rho t}}\left[M_{C}D\left(x\left(t\right),t\right)-\left(1-Z_C\right)\xi E_C^2\left(t\right)/2+\mu kx\left(t\right)\right]\text{d}t$ (14)

结论2.2.2

1) 在策略2条件下的均衡解为：

$E_D^{D*}=\frac{M_D\beta }{\left(1-Z_D\right)\epsilon \xi },E_C^{D*}=\frac{\left(M_C\lambda +k\right)\delta }{\left(1-Z_C\right)\xi \left(\rho +\gamma \right)}$ (15)

2) 建筑碳减排的最优轨迹

$x^{d*}\left(t\right)=x_{\infty }^d+\left(x_0-x_{\infty }^d\right){\text{e}}^{-\rho t}$ (16)

其中 $x_{\infty }^d=\frac{\left(M_C\lambda +k\right){\delta }^2}{\left(1-Z_C\right)\gamma \xi \left(\rho +\gamma \right)}$ 。

3) 市场对低碳建筑产品的需求是

$D^D\left(t\right)=\alpha +\frac{M_D{\beta }^2}{\left(1-Z_D\right)\epsilon \xi }+\lambda x^{d*}\left(t\right)$ (17)

4) 开发商、承包商和整个供应链链的最优目标函数为

$P_D^{D*}\left(x^d,t\right)={\text{e}}^{-\rho t}\left[\frac{M_D\lambda +\mu k}{\rho +\gamma }x+\frac{M_D\alpha }{\rho }+\frac{M_D^2{\beta }^2}{2\rho \left(1-Z_D\right)\epsilon \xi }+\frac{{\delta }^2\left(M_D\lambda +\mu k\right)\left(M_C\lambda +k\right)}{\rho \xi \left(1-Z_C\right){\left(\rho +\gamma \right)}^2}\right]$ (18)

$P_C^{D*}\left(x^d,t\right)={\text{e}}^{-\rho t}\left[\frac{M_C\lambda +k}{\rho +\gamma }x+\frac{M_C\alpha }{\rho }+\frac{M_C{M}_D{\beta }^2}{\rho \left(1-Z_D\right)\epsilon \xi }+\frac{{\delta }^2{\left(M_C\lambda +k\right)}^2}{2\rho \xi \left(1-Z_C\right){\left(\rho +\gamma \right)}^2}\right]$ (19)

$\begin{array}{c}{P}_T^{D*}\left(x^d,t\right)={\text{e}}^{-\rho t}\left[\frac{\left(M_D+M_C\right)\lambda +\left(1+\mu \right)k}{\rho +\gamma }x+\frac{{\delta }^2\left[\left(M_D\lambda +\mu k\right)\left(M_C\lambda +k\right)+{\left(M_C\lambda +k\right)}^2\right]}{2\rho \xi \left(1-Z_C\right){\left(\rho +\gamma \right)}^2}\right]\\ +\frac{\left(M_D+M_C\right)\alpha }{\rho }+\frac{\left(M_D^2+2M_C{M}_D\right){\beta }^2}{2\rho \left(1-Z_D\right)\epsilon \xi }\end{array}$ (20)

定理2.2.1表明，在分散决策下，开发商碳减排行为 $E_D^{D*}$ 的最优决策与 $M_C$ 不相关。同样，承包商的碳减排行为也与 $M_D$ 无关。通过将结论2.2.1与结论2.2.2进行比较，我们可以得到：

结论2.2.3

$E_C^{C*}>E_C^{D*},E_D^{C*}>E_D^{D*},X_{\infty }^{C*}>X_{\infty }^{D*},D^{C*}>D^{D*},P_T^{C*}>P_T^{D*}$

推论表明，相比较于分散决策，在建筑碳减排的各个方面，如最优碳减排努力，低碳建筑碳减排的轨迹，低碳建筑的市场需求，以及供应链的最优利润，集中决策都优于分散情景，这一发现强调了集中决策的显著好处，因为它不仅提高了建设供应链的整体效率，而且提高了碳减排水平，同时提高了环境保护和对低碳建筑产品的市场需求。

3. 数值仿真分析

为了深入检验上述四种场景下的决策结果，为确保模型的有效性，本研究采用MATLAB软件进行相关模拟。建筑碳减排相关参数的设定如下：

$\begin{array}{l}\rho =0.5,M_D=8,M_C=15,\lambda =2,k=3,\gamma =0.2,\beta =4,\xi =6,\alpha =5,\sigma =2,Z_D=0.1,\\ x_0=10,Z_C=0.2,t=2,\epsilon =0.5,\mu =\mathrm{0.5.}\end{array}$

本节被分为四个小节。在第一小节中，我们探讨了时间t对两种决策的建筑供应链的影响。转到第二部分，我们的重点转移到调查单位建筑碳减排成本关系系数ε的影响。在接下来的两部分中，我们深入研究模拟来分析各种重要因素对碳减排的综合影响。

Figure 1. The impact of t on the total profit of the construction supply chain

图1. t对建筑供应链总利润的影响

Figure 2. The impact of t on the trajectory of building’s CER

图2. t对建筑碳减排轨迹的影响

Figure 3. The impact of t on the demand for low-carbon building

图3. t对低碳建筑市场需求的影响

如图1~3所示，这三张图描述了建设供应链总利润，建设供应链的最优轨迹和低碳建筑产品需求随时间t的变化。正如如图1~3显示的一样，无论时间t的变化，都会有 $P_T^{c*}>P_T^{d*}$ ， $x_D^{c*}>x_D^{d*}$ ， $D_D^{c*}>D_D^{d*}$ 。而碳减排的最优轨迹 $x\left(t\right)$ ，低碳建筑产品需求 $D\left(t\right)$ 随着时间t的推移而趋于稳定，这说明当低碳建筑市场和碳减排技术趋于成熟时，碳减排水平也会达到并且长期保持一个峰值。

Figure 4. The impact of ε on the efforts of developers’ CER

图4. ε对开发商碳减排努力的影响

Figure 5. The impact of ε on the total profit of the construction supply chain

图5. ε对建筑供应链总利润的影响

如图4提供了关于ε对整个供应链的总利润和开发商碳减排行为的影响关系图。随着ε从0变为1，开发人员对碳的热情逐渐降低，且当 $\epsilon \to 1$ 时，开放供应商的碳减排成本越接近于制造商的碳减排成本，导致开放商的碳减排努力水平达到历史最低水平。这一结果表面若开发商的技术能力不能将碳减排成本降低到制造商以下，那么开发人员就会更愿意扮演追随者的角色。ε的增加导致开发商参与碳减排工作的减少，进而影响整个供应链的碳减排工作，最后整个供应链的总利润逐渐减少，正如图5所示的一样。

Figure 6. The impact of ξ on the efforts of developers’ CER

图6. ξ对开发商碳减排努力的影响

Figure 7. The impact of ξ on the efforts of contractors’ CER

图7. ξ对承包商碳减排努力的影响

如图6、图7所示的一样，碳减排成本在建设碳减排工作中起着关键作用。正如预期的那样，更高的碳减排成本会导致供应链中建筑企业双方参与碳减排活动的热情降低。当碳减排成本增加到一个临界阈值时，整个碳减排合作可能会结束，最终的结果也会导致双方的碳减排努力都将减少为零。图6、图7清楚地描述了这些重要的观察结果。

Figure 8. The impact of $M_C,M_D$ on the trajectory of building’s CER

图8. $M_C,M_D$ 对碳减排轨迹的影响

Figure 9. The impact of $M_C,M_D$ on demand for low-carbon building

图9. $M_C,M_D$ 对低碳建筑市场需求的需求

如图8和9所示，我们探讨开发商和承包商的边际利润 $Z_D$ 和 $Z_C$ 分别对建筑碳减排的最优轨迹 $x\left(t\right)$ ，低碳建筑的需求 $D\left(t\right)$ ，值得注意的是，图8显示， $x\left(t\right)$ 随着 $M_C$ 和 $M_D$ 的增长而稳步增加。这一趋势进一步反映在图9，即 $D\left(t\right)$ 随着 $M_C$ 和 $M_D$ 的增加都遵循相同的变化模式。

4. 结论

本文提出了一种微分博弈模型，来研究两级约束供应链的建筑碳减排最优策略和协调机制。我们研究并比较了两种不同策略下的长期碳减排水平以及最优轨迹、低碳建筑市场需求水平、供应链利润水平。最后，我们进行了数值实验来说明理论结果，并对某些基本参数进行了灵敏度分析。通过本研究，我们可以得出以下结论。

1) 开发商和承包商的碳减排努力水平均与时间无关。随着时间的推移，碳减排水平稳定下来。这一发现表明，当市场相对成熟时，约束供应链成员的运行模式趋于稳定，这些策略在实践中是可行的。

2) 在原来的单边成本分担合同分散决策的基础上 [23] ，我们引入双边成本分但合同的分散决策，讨论了在集中决策，无成本分担合同的分散决策，单边成本分担合同的分散决策，双边成本分担合同的分散决策下建筑供应链成员的最优碳减排行为，最后发现，双边成本分担合同能够更好的契合建筑供应链的建筑碳减排。而在集中决策情景下，相比较于分散决策，低碳建筑的碳减排水平和环境友好性是最优的，约束供应链的经济效益和环境效益也达到最大，这说明理想型的决策模型才是我们需要追逐的策略，我们所有的设计都是以集中决策为目标，不断接近或实现它的结果。

3) 以往研究的研究中 [23] ，用两个相互独立的参数表示供应链双方的碳减排成本系数，缺乏直接联系，本章中我们引入碳减排成本关系系数来说明开发商和制造商的碳减排成本关系系数ε，直接去分析碳减排成本关系系数对碳减排的影响。我们分析得到，当引入参数ε后，特别是当 $\epsilon \to 1$ ，即开发人员的减碳成本与制造商越来越接近时，开发人员的减排努力，各方利润也逐渐减少并最终达到最小。这意味着，当开发商的减碳成本与制造商的成本越来越相同时，开发商作为领导者的热情逐渐减少，并慢慢转为成为追随者，可能会出现搭便车现象。因此，为了确保建设供应链合作的健康和稳定发展，开发商有必要提高科技水平来降低低碳减排成本，主动扮演领导者，积极分享合作伙伴的减排成本。同时，政府还可以制定政策和利益来指导和促进领导者的积极性。

4) 与以往研究的研究 [23] 相比，除了考虑供应链中碳减排的直接收益，如低碳产品偏好、产品利润等，我们还增加一个潜在收益系数k来表示碳减排的潜在利益。通过对参数k探索，我们可以发现，潜在效益越高，建设供应链中的碳减排合作就越紧密，供应链双方对减少碳排放的热情也就越高。在低碳经济和对低碳产品偏好上升的背景下，低碳建筑产品市场将越来越受欢迎，低碳建筑产品的潜在效益也将上升，说明低碳建筑的前景清晰，具有较高的勘探价值，也意味着本文的研究具有现实意义。

基金项目

国家自然科学基金资助项目(61763004, 62163008)；贵州省科技项目(No.[2020]1Z054)。

附录

建筑供应链时刻t的最优利润值函数：

$P_T^{C*}\left(x^c,t\right)=\underset{E_D^C\ge 0,E_C^C\ge 0}{\max }{\displaystyle {\int }_t^{\infty }{\text{e}}^{-\rho s}}\left[\left(M_C+M_D\right)D\left(x\right)-\left(1-Z_C\right)\xi E_C^2/2-\left(1-Z_D\right)\epsilon \xi E_D^2/2+\left(1+\mu \right)kx\right]\text{d}s$ (A1)

因此

$P_T^{C*}\left(x^c,t\right)={\text{e}}^{-\rho t}\underset{E_D^C\ge 0,E_C^C\ge 0}{\max }{\displaystyle {\int }_t^{\infty }{\text{e}}^{-\rho (s-t)}}\left[\left(M_C+M_D\right)D\left(x\right)-\left(1-Z_C\right)\xi E_C^2/2-\left(1-Z_D\right)\epsilon \xi E_D^2/2+\left(1+\mu \right)kx\right]\text{d}s$ (A2)

则我们可以得到

$V_T^{C^{*}}\left(x\right)=\underset{E_D^C\ge 0,E_C^C\ge 0}{\max }{\displaystyle {\int }_t^{\infty }{\text{e}}^{-\rho (s-t)}}\left[\left(M_C+M_D\right)D\left(x\right)-\left(1-Z_C\right)\xi E_C^2/2-\left(1-Z_D\right)\epsilon \xi E_D^2/2+\left(1+\mu \right)kx\right]\text{d}s$ (A3)

因此，在时刻t时，将建筑供应链的最优值函数转化为

$P_T^{C*}\left(x^c,t\right)={\text{e}}^{-\rho t}{V}_T^{C*}\left(x\right)$ (A4)

此时，建筑供应链的最优控制问题满足以下HJB方程

$\rho V_T^{C*}\left(x\right)=\underset{E_D^C\ge 0,E_C^C\ge 0}{\max }\left[\left(M_C+M_D\right)D\left(x\right)-\left(1-Z_C\right)\xi E_C^2/2-\left(1-Z_D\right)\epsilon \xi E_D^2/2\text{+}\left(1+\mu \right)kx+V_T^{C^{\prime }}\left(x\right)\stackrel{\dot{}}{x}\right]$ (A5)

上述方程的黑塞矩阵很容易得到为

$H=[\begin{array}{l}\frac{{\partial }^2\left(\rho V_T^C\right)}{\partial E_D^2}\\ \frac{{\partial }^2\left(\rho V_T^C\right)}{\partial E_C\partial E_D}\end{array}\begin{array}{l}\frac{{\partial }^2\left(\rho V_T^C\right)}{\partial E_D\partial E_C}\\ \frac{{\partial }^2\left(\rho V_T^C\right)}{\partial E_C^2}\end{array}]=[\begin{array}{l}-\left(1-Z_D\right)\epsilon \xi \\ \begin{array}{cc}& \end{array}0\end{array}\begin{array}{l}\begin{array}{cc}& \end{array}0\\ -\left(1-Z_C\right)\xi \end{array}]$ (A6)

我们可以看到从 $\left|H\right|=\left(1-Z_D\right)\left(1-Z_C\right)\epsilon {\xi }^2>0$ 和 $-\left(1-Z_D\right)\epsilon \xi <0$ ，黑塞矩阵是半正定的，所以目标函数是凹的，所以方程(A5)可以达到最大值，对于方程(A5)，我们对其变量 $E_C$ 和 $E_C$ 求偏导数：

$\{\begin{array}{l}\frac{\partial \left(\rho V_T^C\right)}{\partial E_C}=V_T^{C^{\prime }}\left(x\right)\delta -\left(1-Z_C\right)\xi E_C\\ \frac{\partial \left(\rho V_T^C\right)}{\partial E_D}=\left(M_{\text{C}}+M_D\right)\beta -\left(1-Z_D\right)\epsilon \xi E_D\end{array}$ (A7)

令方程(A7)的两个一阶偏导数等于0，则

$\{\begin{array}{l}{E}_D=\frac{\left(M_C+M_D\right)\beta }{\left(1-Z_D\right)\epsilon \xi }\\ E_C=\frac{V_T^{C^{\prime }}\delta }{\left(1-Z_C\right)\xi }\end{array}$ (A8)

替代等式(A8)代入(A5)可得

$\rho V_T^{C^{*}}\left(x\right)=\left[\left(M_C+M_D\right)\lambda -V_T^{C^{\prime }}\left(x\right)\gamma \right]x+\frac{{\left(M_C+M_D\right)}^2{\beta }^2}{2\left(1-Z_D\right)\epsilon \xi }+\left(M_C+M_D\right)\alpha +\frac{{\left(V_T^{C^{\prime }}\left(x\right)\delta \right)}^2}{\left(1-Z_C\right)\xi }\left(1+\mu \right)kx.$ (A9)

根据微分方程(A9)的特点，假设HJB方程相对于x的解是线性最优的，因此，我们可以令函数 $V_T^C\left(x\right)$ 为：

$V_T^C\left(x\right)=a_1^{c}x+b_1^c$ (A10)

其中 $a_1^c$ 和 $b_1^c$ 是常数，将(A10)方程代入(A9)方程得

$\rho \left(a_1^{c}x+b_1^c\right)=\left[\left(M_C+M_D\right)\lambda -a_1^c\gamma +\left(1+\mu \right)k\right]x+\frac{{\left(M_C+M_D\right)}^2{\beta }^2}{2\left(1-Z_D\right)\epsilon \xi }+\left(M_C+M_D\right)\alpha +\frac{{\left(a_1^c\delta \right)}^2}{\left(1-Z_C\right)\xi }$ (A11)

对方程(A11)进行重正，并比较方程两端相似项的系数，可以得到关于 $a_1^c$ 和 $b_1^c$ 的约束方程组

$\{\begin{array}{l}\rho a_1^c=\left(M_C+M_D\right)\lambda -a_1^c\gamma +\left(1+\mu \right)k\\ \rho b_1^c=\frac{{\left(M_C+M_D\right)}^2{\beta }^2}{2(1-Z_D)\epsilon \xi }+\left(M_C+M_D\right)\alpha +\frac{{\left(a_1^c\delta \right)}^2}{\left(1-Z_C\right)\xi }\end{array}$ (A12)

在求解方程组时，可以得到(A11)的解为

$\{\begin{array}{l}{a}_1^c=\frac{\left(M_C+M_D\right)\lambda +\left(1+\mu \right)k}{\rho +\gamma }\\ b_1^c=\frac{{\left(M_C+M_D\right)}^2{\beta }^2}{2\rho \left(1-Z_D\right)\epsilon \xi }+\frac{\left(M_C+M_D\right)\alpha }{\rho }+\frac{{\delta }^2{\left[\left(M_C+M_D\right)\lambda +\left(1+\mu \right)k\right]}^2}{2\rho \zeta \left(1-Z_C\right){\left(\rho +\gamma \right)}^2}\end{array}$ (A13)

将方程(A13)及其一阶导数代入方程(A7)，得到供应链的平衡解为

$\{\begin{array}{l}{E}_D=\frac{\left(M_C+M_D\right)\beta }{\left(1-Z_D\right)\epsilon \xi }\\ E_C=\frac{\left(M_C+M_D\right)\lambda \delta +\left(1+\mu \right)k\delta }{\left(1-Z_C\right)\xi \left(\rho +\gamma \right)}\end{array}$ (A14)

将式(A14)代入状态式(2)，根据状态式 $x\left(0\right)=x_0\ge 0$ 的边界条件，得到承包商单位建设碳减排的最优轨迹为式(10)，将式(A14)代入式(3)，得到建设供应链碳减排系统的利润最优值函数策略二相关结果的求解过程和方法和策略一的求解方法和过程类似，所以就不再赘述。