基于卡尔曼滤波与四态集总热模型的锂电池温度估计

Temperature Estimation of Lithium Battery Based on Kalman Filtering and Four-State Lumped Thermal Modeling

摘要: 在保证电池包安全运转的电池热管理系统中，温度估计至关重要，但目前在实车中所用的温度传感器采集温度的方法，不仅采集不到电池的内部温度，而且还带来了成本和安全问题的增加。为此本文提出一种基于卡尔曼滤波算法和四态集总热模型的锂电池温度估计方法估算方壳锂电池的内部和表面温度。通过四态集总热模型反应由电池内部和表面以及环境的热传递引起的温度梯度，再通过卡尔曼滤波算法对模型结果进行优化校正。估计出来的温度再反应给产热模型更新随温度变化的内阻，形成一个闭环估计。结果表明模型的误差可以控制在0.6˚C以内，该模型对热管理系统的设计起到了很好的指导意义。

Abstract: Temperature estimation is crucial in a battery thermal management system that ensures the safe operation of the battery pack. However, the current method of collecting temperature by temperature sensors in real vehicles not only fails to collect the internal temperature of the battery, but also increases the cost and safety problems. To this end, this paper proposes a temperature estimation method for lithium batteries based on Kalman filtering algorithm and four-state lumped thermal model to estimate the internal and surface temperatures of square-shell lithium batteries. The temperature gradient caused by the heat transfer inside and on the surface of the cell as well as the environment is reacted by a four-state lumped thermal model, and then the model results are optimally corrected by a Kalman filtering algorithm. The estimated temperature is then reacted to the heat production model to update the temperature-dependent internal resistance, forming a closed-loop estimate. The results show that the error of the model can be controlled within 0.6˚C, and the model plays a good guiding significance for the design of thermal management system.

1. 引言

近年来，电动汽车成为汽车发展的新方向，而锂电池因为其高能量密度、长循环寿命、低自放电率等优点被广泛应用于电动汽车上 [1] 。作为电动汽车的核心部件之一，其工作性能受温度的影响很大，最合适的温度工作范围为10℃~35℃ [2] ，超过其范围，如温度过高，达到其临界温度会引发电池的热失控，而温度过低，电池内部阻抗增大，可能形成锂枝晶刺穿隔膜，造成电池内短路，引发安全问题。所以让电池工作在合适温度工作范围的热管理系统(BTMS)的设计至关重要 [3] ，而使BTMS做出调控策略的关键输入为电池的温度。

目前实车中主要采用在电池表面贴温度传感器的形式得到电池的温度 [4] ，然而随着能量密度的提升，现在的电池包是由很大数量的电池通过串并联组成，所以传感器数量的增加造成了成本的增加，并且线束增多也会产生安全隐患。所以针对电池包中电池进行热模拟，得到电池的温度估计结果很有必要。针对此问题，目前文献中有很多相关报道，然而大部分文献停留在电池表面温度的估计，忽略了电池的厚度 [5] ，并且研究的多为如18650圆柱电池类似的小容量电池 [6] 。而实际电池内部和表面会产生一个温度梯度，这导致只研究电池的表面温度往往会低估电池的最高温度值。对此，本文针对方壳锂电池，提出了一种卡尔曼滤波器与四态集总热模型相结合使用的方法来估计电池的内部和表面温度，仿真结果表明该方法对BTMS的设计起到了很好的指导意义。

2. 温度估计模型

2.1. 产热模型

锂电池在充放电工作过程中会产生一定的热量致使电池温度升高。本文所建立的集总热模型，故热量均匀的从电池内部产生。根据Bernardi等人提出的产热方程 [7] ，可将电池产生的热量划分为四类：可逆热、不可逆热、混合热和相变热。因为混合热和相变热占总产热的比例非常小，后续普遍使用其简化后的产热方程，即：

$Q=I^{2}R+IT\frac{\text{d}{U}_{OCV}}{\text{d}T}$ (1)

其中，公式右边第一项为不可逆热，I为工作电流，R为直流总内阻，为欧姆内阻和极化内阻的总和；第二项为可逆热，T为电池的平均温度，U_OCV为开路电压，可以看作电池停止工作后弛豫足够久的端电压值 [8] ， $\frac{\text{d}{U}_{OCV}}{\text{d}T}$ 称为熵热系数 [9] 。由于R和U_ocv除了受荷电状态(SOC)影响，受温度影响也较大，因此在本研究中将温度因素也考虑其中。

2.2. 传热模型

电池工作过程中由内到外产生的温度梯度是由电池的传热过程产生的，包括电池由内部传到电池表面，再通过电池表面传递到周围环境，故需要得到精确的温度估计值，电池的传热模型至关重要。在建立传热模型之前我们作了以下假设：(1) 热量由电池内部均匀产生；(2) 电池外壳为铝制外壳，具有高导热系数，故认为电池每个表面温度分布均匀；(3) 忽略电池内部微小间隙带来的局部对流换热。基于以上假设，本文采用四态集总热模型(4STM)，模型示意图如图1所示，热量由内部均匀产生，通过三个方向的导热热阻传递到方壳电池的三个对称表面，再通过外部热阻传递到外界环境。

Figure 1. Schematic diagram of 4STM model

图1. 4STM模型示意图

利用热域和电域之间的对应关系 [10] ，即温度对应于电压，产热率对应电流、热阻对应电阻、热容对应于电容，我们可以做出4STM的等效电路图如图2所示。

根据等效电路图，我们可以列出4STM的模型公式如式(2)所示。

Figure 2. Equivalent circuit diagram of 4STM model

图2. 4STM模型的等效电路图

$\{\begin{array}{l}{C}_c\frac{\text{d}{T}_i}{\text{d}t}=Q-2\frac{T_i-T_l}{R_{iz}}-2\frac{T_i-T_f}{R_{iy}}-2\frac{T_i-T_t}{R_{ix}}\\ C_x\frac{\text{d}{T}_t}{\text{d}t}=\frac{T_i-T_t}{R_{ix}}-\frac{T_t-T_{abt}}{R_{ex}}\\ C_y\frac{\text{d}{T}_f}{\text{d}t}=\frac{T_i-T_f}{R_{iy}}-\frac{T_f-T_{abt}}{R_{ey}}\\ C_z\frac{\text{d}{T}_l}{\text{d}t}=\frac{T_i-T_l}{R_{iz}}-\frac{T_l-T_{abt}}{R_{ez}}\end{array}$ (2)

其中T_i、T_l、T_f、T_t表示电池内部和三个对称表面的四个特征温度，T_abt表示环境温度。R_ix、R_iy、R_iz表示三个方向外部热阻，R_ex、R_ey、R_ez代表三个方向的外部热阻、其与导热系数和换热系数有着密切的关系，具体关系可由经验公式(3)表示：

$R_{ix,y,z}=\frac{d}{\lambda A}$

$R_{ex,y,z}=\frac{1}{hA}$ (3)

其中d为传热长度、 $\lambda$ 为各向导热系数、h为对流换热系数，A为散热面积。

再对上述模型微分方程进行离散化处理，就可以得到计算电池每个时刻四个特征温度的公式如下，其中A_t、B_t为系数矩阵：

$\left[\begin{array}{c}{T}_{i,k+1}\\ T_{t,k+1}\\ T_{f,k+1}\\ T_{l,k+1}\end{array}\right]=A_t\left[\begin{array}{c}{T}_{i,k}\\ T_{t,k}\\ T_{f,k}\\ T_{l,k}\end{array}\right]+B_t{T}_{abt}+\left[\begin{array}{c}\frac{Q}{C_c}\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$ (4)

2.3. 基于卡尔曼滤波算法的温度估计

卡尔曼滤波器(KF)是一种结合了数据融合的思想的递归的最优化算法，可以对状态空间方程中的状态变量进行优化。结合实车场景，温度传感器只能布置在电池的表面，在本文中考虑通过电池左大面的实测温度值作为观测值，在整个温度估计的过程中通过KF去不断地优化电池其它三个位置的温度估计值。本模型离散化的状态空间方程如下：

$x_k=A{x}_{k-1}+B{u}_{k-1}+w_{k-1}$

$y_k=C{x}_k+v_k$

$x_k={\left[T_i{T}_l\right]}^{\text{T}}$

$y_k=T_l$ (5)

其中x_k表示状态变量，y_k为观测量，w_k和v_k分别表示建模噪声和观测噪声，A、B、C、u通过式(3)可以得到状态空间的系数矩阵及输入矩阵如下：

$A=\left[\begin{array}{cc}1-2\frac{1}{R_{iz}{C}_c}-2\frac{1}{R_{iy}{C}_c}-2\frac{1}{R_{ix}{C}_c}& 2\frac{1}{R_{iz}{C}_c}\\ \frac{1}{R_{iz}{C}_z}& -\frac{1}{R_{iz}{C}_z}-\frac{1}{R_{ez}{C}_z}\end{array}\right]$ (6)

$B=\left[\begin{array}{cccc}2\frac{1}{R_{iy}{C}_c}& 2\frac{1}{R_{ix}{C}_c}& \frac{1}{C_c}& 0\\ 0& 0& 0& \frac{1}{R_{ez}{C}_z}\end{array}\right]$ (7)

$u=\left[\begin{array}{c}{T}_f\\ T_t\\ Q\\ T_{abt}\end{array}\right]$ (8)

$C=\left[\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right]$ (9)

卡尔曼滤波的计算过程可以归结为三个部分：预测(得到模型估计值)、校正(通过计算得到的卡尔曼增益K_k，利用观测值去优化模型估计值)、更新。具体计算过程如下：

${\hat{x}}_k^{-}=A{\hat{x}}_{k-1}^{-}+B{u}_{k-1}$

$P_k^{-}=A{P}_{k-1}{A}^{\text{T}}+Q$

$K_k=\frac{P_k^{-}{C}^{\text{T}}}{C{P}_k^{-}{C}^{\text{T}}+R}$

${\hat{x}}_k={\hat{x}}_k^{-}+K_k\left(y_k-C{\hat{x}}_k^{-}\right)$

$P_k=\left(I-K_{k}H\right)P_k^{-}$ (10)

其中 ${\hat{x}}_k^{-}$ 表示先验估计值、 $P_k^{-}$ 表示先验误差协方差、K_k表示卡尔曼增益、 ${\hat{x}}_k$ 表示后验估计值， $P_k$ 表示后验误差协方差，Q和R分别表示建模噪声和观测噪声的协方差矩阵，本研究中我们认为通过温度传感器得到的观测值的误差小于模型估计值，所以由计算卡尔曼增益的公式可知R越小，K_k越趋近于 $\frac{1}{C}$ ，再由后验估计值的公式可知，在KF迭代计算过程中会更相信观测值，近而达到优化状态变量即内部温度T_i的效果，再将优化后的内部温度由4STM传递到电池的其它温度特征点，最后达到整体优化的效果。

3. 实验

3.1 实验对象

本研究的实验对象是额定容量为37 Ah的商用三元方壳锂离子电池，具体参数如表1所示。

Table 1. Basic parameters

表1. 基本参数

3.2. 参数标定实验

3.2.1. HPPC实验

混合功率脉冲特性实验(Hybrid Pulse Power Characterization)，简称HPPC实验，可利用该实验的电流电压数据通过欧姆定律计算出不同荷电状态(SOC)下的直流内阻值(R)。并且也可根据调整SOC后的静置电压数据得到不同SOC下的开路电压(U_OCV)值。具体步骤如下：将电池恒流恒压充满后，从100% SOC开始每放电调整5% SOC后搁置3个小时，进行一次30 s的脉冲充电和30 s的脉冲放电，直至SOC为0，由于R不仅受SOC的影响，也受温度的影响，所以我们分别做了15℃、25℃、35℃、45℃四组HPPC测试。具体参数辨识结果如图3所示。

Figure 3. Internal resistance identification results: (a) charging (b) discharge

图3. 内阻辨识结果：(a)充电(b)放电

3.2.2. 熵热系数试验

本文中采用电位法测试该款电池的熵热系数，具体步骤如下：将电池放入温箱中，首先恒流恒压充满，每放电调整10% SOC搁置一次，分别调整温箱温度，具体为55℃、25℃、0℃、−20℃，并记录电池的开路电压值，利用最小二乘拟合出不同SOC下的熵热系数。具体辨识结果如图4所示。

Figure 4. Identification results of entropy heat coefficient

图4. 熵热系数辨识结果

3.2.3. 内置热电偶实验

为了验证本模型所估计的电池内部温度的精度，我们做了电池内置热电偶实验，在干燥的环境中利用打孔法将直径为0.5 mm的K型热电偶内置于电池的内部卷芯中，再利用无机胶均匀涂在孔洞以及孔洞附近表面完成密封工作。

4. 仿真结果

为了验证本研究中所提出的温度估计模型的精度，我们做了1C、1.5C、2C三个倍率的恒流放电工况，并引入两种误差分别为均方根误差(RMSE)和平均绝对误差(MAE)用来计算误差的具体数值、最后将实验结果与仿真结果进行了对比分析，对比结果如图5所示。

由对比结果可知，本文中所建立的温度估计模型具有较高的精度。其误差随着倍率的增加而增加，最高的RMSE为0.58℃，MAE为0.39℃，出现在2C恒流放电工况下的电池前表面的温度特征点T_f，这是因为，随着温升的增加，电池的热物性参数可能不再为定值，发生微小的变化。其中每个倍率下，电池大面的温度特征点T_l的误差都是最小的，这是因为KF的作用，我们将该点作为观测点，用其校正其它点的温度，故其误差会显著降低。并且还可以看出电池的温升随着倍率增加而升高，这是因为随着倍率增加电流增大，由产热公式可知，产热增加，导致温升会增加。

5. 结论

本文提出了一种卡尔曼滤波器和四态集总热模型相结合的一种锂电池温度估计的方法，其主要结论可以概括如下：

(1) 该方法考虑了电池内部和几个对称表面的温度差异，并利用四态集总热模型描述出锂电池的传热特性。

(2) 加入了卡尔曼滤波优化算法，进一步的提高了模型的精度，考虑了内阻随温度的变化，模型仿真时间快。

Figure 5. Measured and simulated comparison results: (a) 1C comparison results; (b) 1.5C comparison results; (c) 2C comparison results

图5. 实测与仿真对比结果：(a) 1C对比结果；(b) 1.5C对比结果；(c) 2C对比结果

(3) 该模型误差能控制在0.6℃之内，具有较高的精度，为BTMS的设计和优化起到了很好的借鉴和指导作用。