1. 引言
本文讨论的所有图都是有限的,无向且没有环和多重边的图。设G是一个图,
表示图G的顶点集,
表示图G的边集。对于G的子图H和点
,令
,即
。G的顶点v的度(或次)
是指G中与v关联的边的数目。令
。如果没有歧义,
表示
,
表示
。对于图G的顶点集S,
表示由S导出的子图。路(或圈)的长度是路(或圈)中边的数目。对于一个图G,用
表示G的最小度,
。
表示长度为m的圈,m为正整数。其他未加说明的定义可见参考文献 [1] 。
经过G中每个顶点恰好一次的圈(路)被称为哈密尔顿圈(路) (Hamiltonian Cycle (Path))。如果图G包含哈密尔顿圈,则称图G为哈密尔顿的。一个阶数为n的图被称为泛圈的(Pancyclic),如果它包含从3到n的所有长度的圈。一个圈的弦(Chord)是指圈中一对不相邻顶点之间的边。如果一个圈至少有一条弦,我们称这样的圈为弦圈(Chorded Cycle)。一个阶数为n的图G是弦泛圈的(Chorded Pancyclic),如果G包含从4到n的所有长度的弦圈。一个图G是可追踪的(Traceable),如果存在一条包含G中所有顶点的路,即在G中包含一条哈密尔顿路。
令H为图G的子图。给定一个图族
,如果图G没有同构于任何由
的顶点导出的子图,其中
,则我们称图G是F-free的。特别地,如果
,我们简单地说G是H-free的。如果
,我们称
-free为无爪图。我们将F中的图称为禁止子图。对于禁止子图的哈密尔顿性已经被广泛研究,见文献 [2] - [6] 。
1971年,Bondy在 [7] 中提出了一个有趣的猜想(meta-conjecture):几乎任何对图的非平凡条件,若暗示图是哈密尔顿的(Hamiltonian),那么也意味着图是泛圈的(可能存在反例)。近50年来,这一猜想得到扩展,M. Cream,R.J. Gould和K. Hirohata认为几乎任何暗示图为哈密尔顿图的条件也意味着图是弦泛圈图,可能会有一类明确定义的反例图和一些顶点较少的反例图。下面几个定理进一步支持了Bondy经典猜想的扩展。
对于图G和H,令
表示G和H的笛卡尔积。
定理1.1. [8] 设G是阶数为
的图。如果对于G中任意一对不相邻的顶点x和y的度和
,那么G是弦泛圈的,或者
,或者
。
定理1.2. [9] 一个阶数为
的哈密尔顿图G,如果其边数
,则G是弦泛圈的,或者
,或者
。
定理1.3. [10] 设G是阶数为
的2-连通无爪图,如果
,则G是弦泛圈图。
我们研究了
-free图形成弦泛圈图的邻域条件。下面所给的结论启发了我们的研究。该结果给出了
-free图形成泛圈图的邻域条件。
定理1.4. [11] 令G是阶数为
的2-连通无爪图。如果对于G中每一对不相邻的顶点u和v,有
,则G是泛圈的。
根据定理1.4与Bondy猜想的扩展,我们将泛圈性扩展为弦泛圈性,具体结果如下:
定理1.5. 令G是阶数为
的2-连通无爪图。如果对G中每一对不相邻的顶点u和v,有
,则G是弦泛圈的。
在本文中,第一部分介绍了相关的符号定义以及定理,第二部分给出了证明过程所需要的重要引理,第三部分进行主要结果的证明,第四部分进行了本文总结以及后续研究的展望。接下来,我们给出了证明所需的重要引理。
2. 引理
为了证明主要结果,我们介绍以下引理:
定理2.1. [12] 令G是一个阶数为
的图。如果对于某个s,G是s-连通的,并且不包含超过s个顶点的独立集,则G是哈密尔顿圈。
根据定理2.1,我们得到下面的引理:
引理2.2. 设G是一个无爪图。对于任意的
,
要么是可追踪的,要么是两个不相交的团。
证明:假设x是G的任意顶点。由于G是
-free的,根据定理2.1,如果
是连通的,则
是可追踪的。假设
是不连通的,那么由于G是
-free的,
中只有两个分支G1和G2。不失一般性,假设G1中存在一对不相邻的顶点u和v,设z是G2中的一个顶点。那么
在G中导出一个
,这与G是
-free的相矛盾。因此,
是两个不相交的团。该引理的证明完成。
3. 主要结果的证明
接下来我们将证明定理1.5。
证明:对于任意一对不相邻的顶点u和v,由于
,有
。利用反证法,假设G不是弦泛圈的。设m是一个最大的值,满足
,使得G中长度为m的每个圈都没有弦。根据定理1.4,存在一个长度为n的弦圈,因此
。令
,根据定理1.4,G必然是泛圈的。根据m的值将证明分为以下几种情况。
情况1.
。
设
是G中长度为m的圈。由于
没有弦,那么
是一个独立集。
假设
,令
。假设对于
,有
,令
。由于G是
-free的,并且G没有长度为m的弦圈,因此
或
。如果
,则
;如果
,则
。在这两种情况下,C都是长度为m且有弦
和
的圈,这与假设矛盾。因此,
。由于G没有长度为m的弦圈,
,这与
相矛盾。因此,
。同理,
。
情况1.1.
。
根据
,可得
。由于G中长度为m的每个圈都没有弦,所以
,因此可以得到以下不等式:
得矛盾。
情况1.2.
。
假设
。令
是
中的不同顶点。由于G是
-free图,不妨假设
。由于
,那么至少有三个顶点
满足
或者
。
由此在G中构造一个长度为m弦圈。令
,由于G是
-free图,我们可以假设
。由于
没有弦,且G是
-free图,所以y1和y3要么与v7相邻,要么与v9相邻。假设v7和v9中有一个点不与y1或y3相邻。那么由于G是
-free 图,
。如果
且v9与y1和y3不相邻,从而
导出一个
,则
,则存在
;如果
且v7与y1和y3不相邻,同理,
,则存在
。在这两种情况中,C是长度为m的弦圈,与假设矛盾。因此v7和v9都与y1或y3相邻。如果
,
,则
;如果
,
,则
。在这两种情况下,
是长度为m的弦圈,与假设矛盾。
同理,假设
,则可得到一个长度为m的弦圈。因此,
。因此存在以下不等式:
得矛盾,情况1得证。
情况2.
。
如果G是一个完全图,那么我们证明就完成了。如果存在两个不相邻的顶点
,那么
或
,因为
。不失一般性,我们假设
。根据引理2.2,
是可追踪的或两个不相交的团。如果
是可追踪的,那么必定存在一个长度为
的弦圈。如果
是两个不相交的团G1和G2,那么
或
,并且必定存在一个长度为
的弦圈,情况2得证。
综上所述,令G是阶数为
的2-连通无爪图。如果对G中每一对不相邻的顶点
,有
,则G是弦泛圈的。
4. 总结与展望
在本文中,我们利用反证法证明了2-连通无爪图形成弦泛圈图的领域条件,即令G是阶数为
的2-连通无爪图。如果对G中每一对不相邻的顶点u和v,有
,则是弦泛圈图,这是对Bondy猜想拓展的一个验证。在这个结论下,我们可以进行进一步的研究,证明其双弦泛圈性,以及计算弦的个数,具体猜想与问题如下。
如果一个圈至少有两条弦,则称该圈为双弦圈(doubly Chorded Cycle)。如果一个阶数为n的图G包含每个长度从4到n的双弦圈,则称该图为双弦泛圈的(doubly Chorded Pancyclic)。根据所得的结果,我们有进一步的猜想:
猜想4.1. 令G是阶数为
的2-连通无爪图,如果对于G中任意一对不相邻的顶点
,有
,则G是双弦泛圈的。
问题4.2. 令G是阶数为
的2-连通无爪图,如果对G中任意一对不相邻的顶点
,有
,则G含有多少条弦?怎样计算每个弦圈中含有弦的个数?
基金项目
四川国家应用数学中心–成都信息工程大学智能系统应用数学研究所项目基金(2023ZX003)和科学研究项目基金(KYTZ2022146)。