1. 引言

流感，又称季节性流感，是由流感病毒引起的一种呼吸道传染病[1]，每年在全球范围内造成数百万人患病和数十万人死亡[2] [3]，给各国的医疗系统带来了沉重的负担。疫苗接种是预防流感及其并发症的最有效措施[4] [5]。流感疫苗不在我国的国家免疫计划中，通常由个人支付疫苗接种费用[6]。然而，自2007年以来，包括北京在内的许多城市都开始为60岁及以上的人免费接种流感疫苗，但2022年的一项界面调查显示全国的流感疫苗接种率仅为2.5%，免费地区接种率为38.3% [7]。流感疫苗接种率偏低，对公众健康和公共卫生系统构成了挑战，尤其在流感高发季节，会进一步加剧社会经济损失。

传染病模型为理解流行病的动力学提供了一个数学框架。1927年，Kermack与McKendrick为了研究1665~1666年黑死病在伦敦的流行规律以及1906年瘟疫在孟买的流行规律，构建了经典的仓室模型[8]，也称为动力学模型或常微分方程模型(ODE)。此后又进一步建立了关于传染病传播的一般理论，也就是Kermack-MeKendrick理论[9]。仓室模型是常用的传染病模型，包括SI (易感–感染)、SIR (易感–感染–恢复)模型，或更复杂的SVIR (易感–接种–感染–恢复)模型等。在这些模型中，人群中的个体被划分为不同的部分，以描述他们的状态，并由此推导出描述这些系统的动力学方程，以此来预测疾病从开始到结束的过程[10]，其中SVIR模型是一种扩展的传染病模型，用于描述疫苗接种对疾病传播的影响。该模型将人群分为四类：易感者(S)、疫苗接种者(V)、感染者(I)和移除者(R)，常用于分析疫苗接种策略和公共卫生干预对传染病传播的影响[11]。本文基于SVIR模型刻画疫苗接种动态，预测接种率的变化及其对流感疫情控制的效果，为优化季节性流感防治策略提供理论支持。

在自愿接种政策下，个体是否接种疫苗取决于多种因素，如个人感染风险、疫苗接种成本、疫苗安全性等[12] [13]。随着接种率的提高，疾病的传播受到限制，未接种疫苗的人感染风险降低，得到间接保护，许多人倾向于搭群体免疫的便车，规避疫苗接种的副作用和成本，这种行为产生了所谓的“疫苗接种困境”[14] [15]。

“疫苗接种困境”不仅会阻碍群体免疫目标的有效实现，还可能引发疫苗接种率的动态波动，加剧传染病传播的复杂性与不确定性，面对这一困境，仅依靠自愿接种政策难以实现最优的公共卫生目标，政府干预显得尤为必要。实际上，对于流感等传染病，疫苗的预防效果并不完美，因此产生了疫苗接种“有效性”的概念[16]。本文纳入疫苗接种“有效性”的概念，扩展SVIR模型，分析其对接种率变化，流感传播控制以及社会经济的影响，为公共卫生政策的制定提供理论依据。一些学者认为，如果没有激励措施的干预，很难通过自愿接种疫苗来抑制疾病的传播[17]。在鼓励接种方面，补贴政策是一种普遍用来提高疫苗接种率的方法。Gavious和Yamin [18]是最早一批研究疫苗补贴政策的人，他们认为足够大的补贴能够遏制长期流行病。Zhang等人[19]比较了随机和定向补贴政策，发现定向补贴比随机补贴更有效。补贴政策激励疫苗接种实质上是利用奖励机制促进公共产品博弈(PGG)中的合作，奖励可以理解为对合作行为的激励，直接促进人群中的合作行为[20]-[22]。同样，惩罚是对有背叛行为的抵制，间接促进了群体中的合作行为，这也常用于促进PGG中的合作[23] [24]。结合以往研究，补贴政策被广泛视为一种行之有效的激励措施，而政府补贴能够直接激励个体接种行为，并有效缓解因疫苗接种不足导致的公共卫生压力，但补贴政策的设计不仅需要考虑接种成本的分担，还需要关注疫苗接种的外部性效应及政策的经济可持续性。因此，本文基于疫苗接种博弈模型，探讨了政府补贴对疫苗接种率，最终感染规模以及社会总支出的影响，为优化政府补贴政策提供参考。

此外，已有的模型未充分考虑疫苗接种者的动态变化，且疫苗接种的支付结构和策略更新机制单一，难以刻画接种决策中的复杂行为和政策影响。本文根据季节性流感的特征，构建了一个考虑政府补贴的非公共物品类型的疫苗接种博弈模型。本文在第2部分介绍了基础的传染病模型和博弈模型，第3部分给出了考虑政府补贴的支付结构，期望支付函数以及三种策略更新机制，第4部分的内容为仿真模拟与结果分析，最后在结论部分进行了总结和对未来工作的展望。

2. 基础模型

2.1. 传染病模型

首先，假定人口是理想混合、不考虑出生率和死亡率且疫苗效用有限，我们建立了SVIR模型。具体的数学表达式如下：

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}S}{\text{d}t}=-\beta SI\\ \frac{\text{d}V}{\text{d}t}=-\beta \left(1-e\right)VI\\ \frac{\text{d}I}{\text{d}t}=\beta SI+\beta \left(1-e\right)VI-\gamma I\\ \frac{\text{d}R}{\text{d}t}=\gamma I\end{array}$ (1)

在该模型中，人群被划分为四种类型，分别是：易感群体(S)、接种群体(V)、感染群体(I)和康复群体(R)。其中，$\beta$ 为感染率。$\gamma$ 为康复率，e为疫苗有效性且$e\in \left(0,1\right)$ 。此外，若初始接种率为$x\in \left[0,1\right)$ ，则t时刻各群体的占比可分别用符号$V\left(x,t\right)$ ，$I\left(x,t\right)$ ，$R\left(x,t\right)$ ，$S\left(x,t\right)$ 来进行表示。在初始时刻，即$t=0$ 时，有$V\left(x,0\right)=x$ ，$I\left(x,0\right)\approx 0$ ，$R\left(x,0\right)=0$ 以及$S\left(x,0\right)\approx 1-x$ ，即$S\left(x,t\right)+V\left(x,t\right)+I\left(x,t\right)+R\left(x,t\right)=1$ 。

在不考虑出生率和死亡率的情况下，对于该模型，可以推导出疾病最终会消亡，即$I\left(\infty \right)=0$ ，证明过程如下：

由模型设定可知，$S,V,I,R\ge 0$ ，且$S+V+I+R=1$ ，因此，由(1)式可得$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(S+V+I\right)=-\gamma \ast I$ 。

当$I>0$ 时，$S+V+I$ 单调递减，又因$S+V+I\ge 0$ ，可以得出$S+V+I$ 为有界。又因为I有界($I\in \left[0,1\right]$ )，所以$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(S+V+I\right)$ 也有界。由此可得$\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(S+V+I\right)=0$ ，$I\left(\infty \right)=0$ 。

根据有效性模型[25]，可以得出最终感染规模(记作FES)的表达式：

$\text{FES}=\left(1-e\ast x\right)\left(1-\exp \left(-R_{0}R\left(x,\infty \right)\right)\right)$ (2)

其中，$R_0$ 为基本传染数，是传染病流行病学中的一个关键指标，表示在一个完全易感的人群中，一个感染者在感染期间平均能传染多少个易感个体。它反映了疾病的传播能力[26]。

在每个流行季度末，根据传染病模型、个体的策略以及状态，可以得到季度末各人群的比例，具体可见表1。

Table 1. Fractions of groups at the end of the epidemic season

表1. 流行季度末各人群的比例

2.2. 博弈模型

非合作博弈理论是博弈论的一个分支，研究多个决策者在追求各自利益的情况下，如何通过选择策略来实现个人目标[27]。本文基于非合作博弈理论，构建了描述个体在应对季节性流感时有关疫苗接种决策过程的博弈模型。为简化分析，我们给出了一个2人博弈问题，其中参与者1是人群中的任一个体，参与者2为参与者1之外的其他人，模型如下表示：

$G=\left(S_1,S_2;u_1,u_2\right)$ (3)

其中，$S_1$ 和$S_2$ 分别表示参与者1和参与者2的策略集且$S_1=S_2=\left\{接种,不接种\right\}$ ，$u_1$ 和$u_2$ 为参与者的支付函数，具体的表达式将在3.2节给出。

此外，令${\sigma }_1$ 和${\sigma }_2$ 分别是定义在策略集$S_1$ ，$S_2$ 上的概率分布，本文定义如下：

$\begin{array}{l}{\sigma }_1=\left({\epsilon }_1,1-{\epsilon }_1\right)\\ {\sigma }_2=\left({\epsilon }_2,1-{\epsilon }_2\right)\end{array}$ (4)

其中，${\epsilon }_i$ 和$1-{\epsilon }_i$ 分别表示参与者$i\left(=1,2\right)$ 选择接种策略的概率和选择不接种策略的概率且${\epsilon }_i\in \left[0,1\right]$ 。

根据(3)和(4)式的设定，2人博弈的混合策略纳什均衡可定义为：

存在混合策略组合$\left({\sigma }_1^{*},{\sigma }_2^{*}\right)$ 满足如下的条件：

$v_1\left({\sigma }_1^{*},{\sigma }_2^{*}\right)\ge v_1\left({\sigma }_1,{\sigma }_2^{*}\right);v_2\left({\sigma }_1^{*},{\sigma }_2^{*}\right)\ge v_2\left({\sigma }_1^{*},{\sigma }_2\right)$ (5)

其中，$\begin{array}{c}{v}_i\left({\sigma }_1,{\sigma }_2\right)={\epsilon }_1{\epsilon }_2{u}_i\left(接种,接种\right)+{\epsilon }_1\left(1-{\epsilon }_2\right)u_i\left(接种,不接种\right)\\ +\left(1-{\epsilon }_1\right){\epsilon }_2{u}_i\left(不接种,接种\right)+\left(1-{\epsilon }_1\right)\left(1-{\epsilon }_2\right)u_i\left(不接种,不接种\right)\end{array}$ ，$i=1,2$ 。

3. 疫苗接种博弈模型构建

3.1. 研究框架

流感通常在特定的时期爆发，其传播具有显著的季节性特征。因此，通常在流感季节初进行疫苗接种，以确保在流感高峰期之前，人群已经建立足够的免疫保护。政府提供疫苗接种补贴的目的是通过降低个体接种成本，提高接种率，增强群体免疫，从而减轻公共卫生负担，特别是保护高危人群，并减少因流感引发的医疗开支和劳动力损失，降低社会总支出。本文假设政府在每个季度初对接种人群提供部分补贴，且疫苗供应充足。传播和接种过程见图1。

Figure 1. Vaccination framework diagram

图1. 疫苗接种框架图

在疫苗接种框架图中，$T_{i-1}$ ，$T_i$ ，$T_{i+1}$ 分别表示第$i-1$ 个季度，第i个季度和第$i+1$ 个季度，i为整数且$i\in [2,\infty )$ ，政府在每个流感季度初对接种群体提供部分补贴，同时个体调整接种行为，更新接种策略即产生新的接种率x，不同的x对应不同的最终感染规模(FES)和社会总支付(TSP)，其中FES和TSP的相关内容分别在2.1和3.3节给出。

3.2. 考虑政府补贴的支付结构

假设个体接种疫苗产生的成本为$C_v$ ，政府对接种个体补贴产生的成本为$C_s$ ，个体感染后产生的成本为$C_i$ 。在考虑政府补贴的情况下，个体的接种成本为$C_v-C_s$ ，个体接种后感染产生的成本为$C_v-C_s+C_i$ ，

在不失一般性的情况下，为了简化计算，令$C_i=1$ ，$\frac{C_v-C_s}{C_i}=C_r-C_r^{*}$ ，$\frac{C_v-C_s+C_i}{C_i}=C_r-C_r^{*}+1$ ，其中$C_r$

为相对接种成本，$C_r^{*}$ 表示相对政府补贴成本，$C_r-C_r^{*}$ 为考虑政府补贴后的相对接种成本且$0\le C_r-C_r^{*}\le 1$ 。根据个体的策略(接种/不接种)和健康状态(健康/感染)可以得到某个季度末的支付结构，具体可见表2。

Table 2. Payment structure at end of the epidemic season

表2. 流行季度末的支付结构

3.3. 期望支付函数

根据季度末各人群的比例和支付结构，我们可以得到相应的期望支付函数。在初始接种率为x的情况下，令采取接种策略群体的平均支付为$\langle {\pi }_v\rangle$ ，采取不接种策略群体的平均支付为$\langle {\pi }_{nv}\rangle$ ，社会总支付为TSP，可以得到如下表达式：

$\begin{array}{c}\langle {\pi }_v\rangle =\left(-C_r+C_r^{*}\right)\left(e+\left(1-e\right)\exp \left[-R_{0}R\left(x,\infty \right)\right]\right)\\ -\left(C_r-C_r^{*}+1\right)\left(1-e\right)\left(1-\exp \left[-R_{0}R\left(x,\infty \right)\right]\right)\end{array}$ (6)

$\langle {\pi }_{nv}\rangle =-\left(1-\exp \left[-R_{0}R\left(x,\infty \right)\right]\right)$ (7)

$\text{TSP}=-C_r\ast x-\left(1-e\ast x\right)\left(1-\exp \left(-R_{0}R\left(x,\infty \right)\right)\right)$ (8)

根据表达式，可以看出$\langle {\pi }_v\rangle ,\langle {\pi }_{nv}\rangle$ 以及TSP的取值均为非正数，从社会效益角度出发，社会总支出为TSP的绝对值，TSP的值越小即绝对值越大，社会总支出也就越大。

3.4. 策略更新机制

在每个季度末，根据接种策略选择和健康状态，可以将人群分为四组：接种后保持健康群体(HV)，接种后被感染群体(IV)，未接种保持健康群体(HNV)，未接种被感染群体(INV)。在疫苗接种阶段，个体根据上一个季度的结果调整接种行为，更新策略，以提高自身收益。本文首先给出策略更新方法的统一框架，如下所示：

令f和g分别为个体i和j支付(或收益)的函数，则个体i随机选择邻居j，并模仿其策略的概率为：

$P\left(s_i\leftarrow s_j\right)=\frac{1}{1+\exp \left[-\left(g\left({\pi }_j\right)-f\left({\pi }_i\right)\right)/k\right]}$ (9)

其中，${\pi }_i$ 和${\pi }_j$ 分别为i和j的支付，k为噪声参数。此框架的设定参考了费米函数[28]的定义方法，并拓展了其应用范围。对于式9，当$f\left({\pi }_i\right)={\pi }_i$ ，$g\left({\pi }_j\right)={\pi }_j$ 时，则为基于个体的风险评估方法[29] (IB-RA)；当$f\left({\pi }_i\right)={\pi }_i$ ，$g\left({\pi }_j\right)=\langle {\pi }_j\rangle$ 时，则为基于策略的风险评估方法[30] (SB-RA)；当$f\left({\pi }_i\right)=\langle {\pi }_i\rangle$ ，$g\left({\pi }_j\right)=\langle {\pi }_j\rangle$ 时，则为基于策略的风险评估方法[31] (DC)。

之后，本文将采用基于个体的风险评估(IB-RA)，基于策略的风险评估(SB-RA)和直接承诺(DC)三种策略更新方法进行分析。其中，SB-RA和DC更新方法要求对全局信息有更多的了解，需要人群中分享关于疾病的信息。具体介绍如下所示。

IB-RA(基于个体的风险评估)：根据季末各群体的比例(表1)和支付结构(表2)，可以得出相关策略改变的概率如下所示。

$\begin{array}{l}P\left(\text{HV}\leftarrow \text{HNV}\right)=\frac{1}{1+\text{exp}\left[-\left(0-\left(-C_r+C_r^{*}\right)\right)/k\right]}\\ P\left(\text{HV}\leftarrow \text{INV}\right)=\frac{1}{1+\text{exp}\left[-\left(-1-\left(-C_r+C_r^{*}\right)\right)/k\right]}\\ P\left(\text{IV}\leftarrow \text{HNV}\right)=\frac{1}{1+\text{exp}\left[-\left(0-\left(-C_r+C_r^{*}-1\right)\right)/k\right]}\\ P\left(\text{IV}\leftarrow \text{INV}\right)=\frac{1}{1+\text{exp}\left[-\left(-1-\left(-C_r+C_r^{*}-1\right)\right)/k\right]}\\ P\left(\text{HNV}\leftarrow \text{HV}\right)=\frac{1}{1+\text{exp}\left[-\left(-C_r+C_r^{*}-0\right)/k\right]}\\ P\left(\text{HNV}\leftarrow \text{IV}\right)=\frac{1}{1+\text{exp}\left[-\left(-C_r+C_r^{*}-1-0\right)/k\right]}\\ P\left(\text{INV}\leftarrow \text{HV}\right)=\frac{1}{1+\text{exp}\left[-\left(-C_r+C_r^{*}-\left(-1\right)\right)/k\right]}\\ P\left(\text{INV}\leftarrow \text{IV}\right)=\frac{1}{1+\text{exp}\left[-\left(-C_r+C_r^{*}-1-\left(-1\right)\right)/k\right]}\end{array}$ (10)

最后，可以通过以下公式计算接种率x的变化：

$\begin{array}{c}\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=\text{HV}\left(x,\infty \right)\text{HNV}\left(x,\infty \right)\left(P\left(\text{HNV}\leftarrow \text{HV}\right)-P\left(\text{HV}\leftarrow \text{HNV}\right)\right)\\ +\text{HV}\left(x,\infty \right)\text{INV}\left(x,\infty \right)\left(P\left(\text{INV}\leftarrow \text{HV}\right)-P\left(\text{HV}\leftarrow \text{INV}\right)\right)\\ +\text{IV}\left(x,\infty \right)\text{HNV}\left(x,\infty \right)\left(P\left(\text{HNV}\leftarrow \text{IV}\right)-P\left(\text{IV}\leftarrow \text{HNV}\right)\right)\\ +\text{IV}\left(x,\infty \right)\text{INV}\left(x,\infty \right)\left(P\left(\text{INV}\leftarrow \text{IV}\right)-P\left(\text{IV}\leftarrow \text{INV}\right)\right)\end{array}$ (11)

SB-RA (基于策略的风险评估)：与IB-RA方法同理，转移概率可以表示为：

$\begin{array}{l}P\left(\text{HV}\leftarrow \text{NV}\right)=\frac{1}{1+\exp \left[-\left(\langle {\pi }_{NV}\rangle -\left(-C_r+C_r^{*}\right)\right)/k\right]}\\ P\left(\text{IV}\leftarrow \text{NV}\right)=\frac{1}{1+\exp \left[-\left(\langle {\pi }_{NV}\rangle -\left(-C_r+C_r^{*}-1\right)\right)/k\right]}\\ P\left(\text{HNV}\leftarrow \text{V}\right)=\frac{1}{1+\exp \left[-\left(\langle {\pi }_V\rangle -0\right)/k\right]}\\ P\left(\text{INV}\leftarrow \text{V}\right)=\frac{1}{1+\exp \left[-\left(\langle {\pi }_V\rangle -\left(-1\right)\right)/k\right]}\end{array}$ (12)

可以通过以下公式计算疫苗接种率x的变化：

$\begin{array}{c}\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=-\left(1-x\right)\text{HV}\left(x,\infty \right)P\left(\text{HV}\leftarrow \text{NV}\right)-\left(1-x\right)\text{IV}\left(x,\infty \right)P\left(\text{IV}\leftarrow \text{NV}\right)\\ +x\text{HNV}\left(x,\infty \right)P\left(\text{HNV}\leftarrow \text{V}\right)+x\text{INV}\left(x,\infty \right)P\left(\text{INV}\leftarrow \text{V}\right)\end{array}$ (3)

DC (直接承诺)：同上，转移概率可以表示为：

$\begin{array}{l}P\left(\text{V}\leftarrow \text{NV}\right)=\frac{1}{1+\exp \left[-\left(\langle {\pi }_{nv}\rangle -\langle {\pi }_v\rangle \right)/k\right]}\\ P\left(\text{NV}\leftarrow \text{V}\right)=\frac{1}{1+\exp \left[-\left(\langle {\pi }_v\rangle -\langle {\pi }_{nv}\rangle \right)/k\right]}\end{array}$ (14)

该规则下，可以通过以下公式计算疫苗接种率x的变化：

$\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=-xP\left(\text{V}\leftarrow \text{NV}\right)+\left(1-x\right)P\left(\text{NV}\leftarrow \text{V}\right)$ (15)

4. 仿真模拟与结果分析

本文使用Python 2023.1.1版本进行仿真分析，部分固定参数设置为$\beta =0.833$ ，$\gamma =1/3$ ，$R_0=\frac{\beta }{\gamma }\approx 2.5$ ，$I\left(0\right)=0.0001$ ，$R\left(0\right)=0$ ，$V\left(0\right)=x$ ，$S\left(0\right)\approx 1-x$ ，$x\left(0\right)=0.3$ ，$k=0.1$ ，流行季度时间$t=200$ ，总季度$T=100$ 。

根据构建的传染病模型，我们首先模拟了在疫苗有效性较高即$e=0.8$ 时，不同接种率(x)下，感染人群比例(I)随时间(t)的变化情况，如图2所示，可以看出在一个流行季度内，提高接种率可以减少感染人数，推迟感染高峰的到来。

之后给出了不同接种率(x)和疫苗有效性(e)下FES的变化，如图3所示，图像颜色从左下方到右上方出现了明显的变化，不难看出太低的接种率或太小的疫苗有效性都无法有效控制感染人数的比例，而在接种率和疫苗有效性较高的情况下，有可能使疾病无法传播，感染人数比例接近0。

Figure 2. Change in the proportion of infected people under different vaccination rates

图2. 不同接种率下感染人数比例的变化

Figure 3. Changes in FES under different vaccination rates and vaccine effectiveness

图3. 不同接种率和疫苗有效性下FES的变化

在不考虑政府补贴的情况下，我们模拟了接种率(x)随相对接种成本($C_r$ )的变化，并在图像上方标注了疫苗有效性e的数值，如图4所示，可以看出不同更新方法下的接种率变化存在差异但都有随着相对成本增加而减少的趋势，此外，在相对接种成本一定的情况下，疫苗有效性越大，接种率越高；相比之下，DC更新方法下的疫苗接种率对相对接种成本变化更敏感，接种率变化范围较大，在相对接种成本较小的情况下，接种率较高，而在相对接种成本较大的情况下，接种率较低甚至可能减少到0。

在疫苗有效性较小($e=0.4$ )，而相对接种成本较大($C_r=0.8$ )时，仿真结果显示不同更新方法下的接种率可能不会骤减，但会随着传染病季度的变化而减少，无法维持在较高的水平，如图5所示。

Figure 4. Changes of vaccination rates with relative vaccination costs

图4. 接种率随相对接种成本的变化

Figure 5. Changes in vaccination rates with infectious diseases by quarter

图5. 接种率随传染病季度的变化

最后，在相对接种成本较大($C_r=0.8$ )的情况下，我们研究了x，FES和TSP随相对政府补贴($C_r^{*}$ )的变化。

Figure 6. Changes in vaccination rates with relative government subsidies

图6. 接种率随相对政府补贴的变化

对于x随相对政府补贴($C_r^{*}$ )的变化，如图6所示，可以看出相对政府补贴越大，疫苗有效性越高，接种率越高。在相对政府补贴较小的情况下，SB-RA更新方法和DC更新方法下的接种率较低，在相对政府补贴较大的情况下，SB-RA更新方法和DC更新方法下的接种率较高。

对于FES随相对政府补贴($C_r^{*}$ )的变化，如图7所示，可以看出短期内政府补贴($C_r^{*}$ )力度越大，FES可能越小，而在疫苗有效性不高的情况下，即使政府补贴力度较大，FES仍可能处于较高的水平，但在疫苗有效性较高的情况下，DC更新方法下的FES可能减少到0。

Figure 7. The final scale of infection varies with relative government subsidies

图7. 最终感染规模随相对政府补贴的变化

对于TSP随相对政府补贴($C_r^{*}$ )的变化，如图8所示，在疫苗有效性较小($e=0.4$ )的情况下，三种更新方法下TSP的绝对值都随相对政府补贴($C_r^{*}$ )的增加而变大，即社会总支出变大，结合图5和图6，我们发现此时政府补贴虽然可以提高接种率，但不能有效减少感染规模，反而会导致社会总支出的增加，给社会带来负担，而在疫苗有效性较高($e=0.8$ )的情况下，随着相对政府补贴变大，IB-RA更新方法和SB-RA更新方法下的TSP绝对值变小，DC更新策略下的TSP绝对值先变小后变大，可以认为此时适度的政府补贴可以使社会总支出减少，减轻社会负担。

Figure 8. Changes in total social costs relative to government subsidies

图8. 社会总成本随相对政府补贴的变化

5. 结论

本文首先基于SVIR模型和博弈理论，构建了考虑政府补贴的接种博弈模型，随后建立了策略更新机制的统一框架，该框架下包含IB-RA、SB-RA和DC三种策略更新方法，最后基于三种策略更新方法对接种博弈进行了仿真分析。研究发现提高接种率可以减少感染人数的比例，推迟感染高峰的到来，但太低的接种率或太小的疫苗有效性都无法有效控制感染人数的比例。此外，研究结果显示，政府补贴可以显著提高接种率，无论是否有政府补贴，不同策略更新方法下的接种率虽然对相对接种成本敏感度不同，但都随相对接种成本的增加而减少，从社会效益角度看，政府补贴并不是越多越好，在疫苗有效性不高时，政府补贴带来的高接种率，反而会导致社会总支出的增加，而在疫苗有效性较高且人群采用全局更新方法时，政府只需适度补贴，就可以达到降低感染人数和减少社会总支出的目标。未来的工作可以构建和改进传染病学模型，考虑复杂网络中的疫苗接种行为和信息传播。

参考文献