1. 引言

实现可扩展量子计算机的主要候选系统之一是离子阱系统 [1] [2] ，离子阱是一种通过在电极上施加交变电场实现带电原子囚禁的装置 [3] ，广泛应用于质谱分析 [4] [5] 、精密光谱 [6] 、量子模拟 [7] [8] 和量子计算 [9] [10] 等领域。在量子计算领域，离子阱也是一种非常重要的物理体系，量子比特具有长相干时间 [11] [12] 、高保真度 [13] 、高保真度量子逻辑门 [14] 、比特间全连通 [15] 等多个优点，也在少量子比特数的情况下实现了量子纠错实验 [16] [17] 。当前，制约离子阱系统发展的关键因素是在保持量子态及量子操作高保真度的前提下，如何提高系统内量子比特数目 [18] 的方法，即系统的可扩展性 [19] 。一种可能的方法是通过设计预实现基于QCCD架构的离子阱芯片 [20] ，通过表面电极对离子囚禁与不同功能区域进行定义和划分、结合离子在不同功能区间的输运，最终提高全局高保真度量子 [21] 比特数量。

离子的输运是实现在多个囚禁区域的量子比特扩展方案中必要的操控手段。所谓的多个囚禁区域是指不同区域有着不同的功能，如载入区、操控区、冷却区。载入区载入离子时污染大，则需要运输到洁净的操控区进行操控，操控结束输运到冷却区保证离子在运动的基态。那么离子在不同功能区之间的输运起到一定现实的重要意义。

目前，已有很多实验组成功实现了离子的输运，但是他们对DC电极电压波形的设计过程过于复杂，不易于理解，在这里，整理出了一种相较于前人方法更简单、更易于理解的一种方法，并在设计过程中考虑了电子学的实际约束，让该方法不仅仅是只适用于理论上。

本文的其他安排如下：第2节叙述了离子阱结构，以及相应RF电压下的赝势情况以及管道高度。第3节详细讲解了如何设计DC电极电压波形以及其中的约束条件。第4节展示了用第3节的方法设计出了DC电极电压波形以及相应的结果图。最后对全文进行了总结。

2. 表面电极离子阱结构与RF电极

本文设计了一种DC分段电极的表面电极离子阱，也称位五线阱，其结构如图1所示：

其中红色的电极为RF电极，蓝色的电极为DC电极，在以下叙述的输运过程中，只用到了图1中编好号的十对电极，其余DC电极接地或设置为0 V。在电压施加过程中，电极编号相同的电极应施加相同的直流电压，以达到离子在y方向的位置不变或保持在y = 0处。同理，红色的RF电极也应施加相同的RF电压。理论上，DC电极的宽度越窄越易于离子的控制，但是由于工程实践的可行性，将DC电极宽度设置为70 um，既能在工程中实现，也能较好的控制离子的输运。DC电极的长度理论上是越长越好，但是考虑到离子阱芯片的微型化，将长度设置为500 um，既不影响实验的效果，也考虑到了离子阱芯片的构造。在表面电极离子阱中，离子受到电场束缚被囚禁在势阱中。由于射频电场是时变的，只能观察到某一时刻上的电势分布情况。对于这种时变的电场，赝势近似方法 [22] 是一种行之有效的射频电场分析方法。赝势近似可以将离子的电场和电荷分别用电势和电荷来表示，并在计算中将离子的电荷与表面电场相互作用的“真实”势能替换为一个简化的赝势等效势能。这样可以极大地简化计算，并提高计算效率。赝势的计算公式为

${\Psi }_{PP}\left(x,y,z\right)=\frac{e}{4m{\Omega }_{RF}^2}{\left|\nabla {\phi }_{RF}\left(x,y,z\right)\right|}^2$ (1)

其中，e为离子的电荷量，m为离子的质量，Ω_RF为射频驱动频率，赝势近似将电压值为 $V_{RF}$ 的直流电压产生的空间静电势 ${\phi }_{RF}\left(x,y,z\right)$ 转化为射频电压 $V_{RF}\cos \left({\Omega }_{RF}t\right)$ 产生的等效势。当在图一所示的RF电极施加200 V电压，射频驱动频率为10 Mhz时：选取X = 0处的yz面看赝势情况，如图2所示：

因为芯片阱是关于坐标原点对称的，所以在x = 0，y = 0这个位置处看赝势最低点处于的高度，如图2(b)即离子最终被囚禁住的高度。由图2可知，在RF电极电压为200 V，射频驱动频率为10 MHZ时，在芯片阱上方72 um处，y = 0 um处会有一条虚拟的赝势最低点的管道，即后面离子输运时的输运路径。

3. DC电极电压设计方法

本节的主要内容是讲在图1所示的表面电极离子阱，也称五线阱中离子的直线输运设计方法，本文求解电极电压波形的过程中，主要分为以下几个步骤：

1) 获得各个DC电极的“基函数”。

2) 确定空间中期望的电势。

3) 确定求解过程中的约束条件。

4) 反解出DC电压波形。

下面就以上四个步骤进行展开讨论。

3.1. 获得各个DC电极的基函数

所谓“基函数”，是指陷阱阵列中每个DC电极的单位电压对空间中离子的贡献。获取DC电极基函数的具体方法如下：1) 将所有的RF电极接地。2) 设置第j个DC电极电压为1 V，其余DC电压均为0 V。3) 用物理仿真软件(cpo)计算第j个电极在空间中产生的电势φ_j，φ_j则是第j个电极的“基函数”。4) 对所有DC电极遍历第二、三步，保存各个电极的“基函数”，得出的10对电极的“基函数”图如图3所示：

因为要保证离子最终的输运管道处于y = 0处，所以编号相同的电极必须加相同的电压。将编号相同的电极看作一对电极，图3为十对电极的“基函数”。有了DC电极的“基函数”，则可以计算出DC电极在管道上任意一点产生的总电势，即：

${\Phi }_{DC}={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{U}_j{\phi }_j}$ (2)

其中U_j表示DC电极加载的实际电压，φ_j表示该电极在该点处的电势贡献，Φ_DC即为该点处的总电势值。

3.2. 确定空间中期望的电势

在五线阱的模拟中，离子的输运可以假想为谐波电势最小值位置的移动。所以只需要移动谐波势的最小位置即可，在理想情况下，离子总是位于电势最小的位置。期望的电势V_des的具体表达式如下：

$V_{des}\left(x,t\right)=\frac{1}{2}\frac{m{\omega }_x^2\left(t\right)}{q}{\left(x-x_{\min }\left(t\right)\right)}^2$ (3)

其中m和q分别代表离子的质量和电荷量，ω_x代表离子输运轴向的久期频率，V_des表示空间中期望的电势，X_min为电势最低点的位置。

图4为当离子输运到X_min = 0时，期望的DC电极在管道上产生的电势如图所示，可以保证在X_min处的电势依然是附件电势的最小值，当改变X_min的值时，相应电势最小值的位置也会改变，也就意味着离子在输运过程中位置的改变。

3.3. 确定求解过程中的约束条件

通过3.1中提到的“基函数”以及公式(4)，可以计算出加了DC电极电压以后在管道上的实际电势情况，此时的总电势即为实际电势，即：

$V_{gen}\left(t,x\right)={\displaystyle \underset{n}{\sum }{v}_n\left(t\right){\phi }_n\left(x\right)}$ (4)

V_n即为n个DC电极的电压，在本文中，n = 10。同时，也定义了一个D函数来衡量实际产生的电势与理想情况下电势的差距，如公式(5)所示：

$D\left(t,x\right)={\left[V_{gen}\left(t,x\right)-V_{des}\left(t,x\right)\right]}^2$ (5)

下面定义了一个高斯项G，其作用是定义了每一个X_min点处，以X_min为中心，R_X为宽度的感兴趣的区域。因为更在意电势最低点附近的区域，而不是所有空间位置。这样可以确保后面所说的损失函数(8)不受到远离X = X_min点的影响。根据公式(7)，可将其他参数化，使其宽度与选择的最小陷阱深度V_R一致。

$G\left(t,x\right)=\exp \frac{-{\left[x-x_{\min }\left(t\right)\right]}^2}{R_x^2\left(t\right)}$ (6)

$R_x^2=2V_{R}q/m{\omega }_x^2$ (7)

$C={\displaystyle {\int }_{t_0}^{t_f}\left[{\displaystyle {\int }_{x_l}^{x_r}{\displaystyle \underset{m=1}{\overset{M}{\sum }}G\left(t^{\prime },x^{\prime }\right)D}}\left(t^{\prime },x^{\prime }\right)\text{d}{x}^{\prime }+{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{N}{\sum }}\left\{r_0{\left[v_n\left(t^{\prime }\right)-v_{def}\right]}^2+r_1{\left[\frac{\text{d}{v}_n\left(t^{\prime }\right)}{\text{d}{t}^{\prime }}\right]}^2+r_2{\left[\frac{{\text{d}}^2{v}_n\left(t^{\prime }\right)}{\text{d}{t}^{\prime }}\right]}^2\right\}}\right]\text{d}{t}^{\prime }}$ (8)

最后，给出了总的损失函数公式(8)，其中t₀和t_f分别代表输运开始的时间点和结束的时间点，X_l和X_R表示输运的起始位置和结束位置，m表示输运中一共考虑的点数，n表示电极数，r₀，r₁，r₂分别表示权重系数，在模拟实验中，需要根据自己的需要调整权重系数，V_def表示设置的默认DC电极电压，r₀中这一项即表示实际输出的电压与设置的默认电压的差距，r₁中的项和r₂中的项是波形的一阶和二阶导数，这用于减少其在高频下的光谱含量，并限制波形的转换速率。其作用是满足在硬件条件下实验的要求，使电压的变化率尽量小。

3.4. 求解DC电极电压波形

在求解电极电压波形的实验中，需要用到一种二次规划的数值算法对成本函数(8)进行最小化，该算法在几种方法中被发现是对解决传输问题最有用的 [23] [24] ，如今，通常是用Python里的MOSEK求解器来求解。在实际求解电极电压时，需要在把输运管道分为间隔为1 um的点的离散网格上进行。

4. 实验结果与分析

本文模拟了Yb⁺离子从−40 um到40 um的输运情况，轴向囚禁频率设置为500 KHz，其中权重系数r₀，r₁，r₂分别设置为5*10⁻¹⁰，5*10⁻⁵，2*10⁻⁶，权重系数不固定，可根据自己的需要进行调整，默认电压V_def设置为5 V，V_R设置为5。

图5中只展示出了从输运开始到结束以10 um为间隔的期望电势结果图。

图6举例出了输运过程中的一个点(x = 0)时的权重函数(7)，可以看到，当离子输运到x = 0处时，最感兴趣的是x = 0点，其权重系数为1，而附件点的权重依次降低，其目的是保证成本函数(8)受到远离X_min附件的点的影响更小。

图7为输运过程中10对DC电极的电压变化，右上角的标号分别对应图1中的电极编号，可以看到，电极电压变化非常平滑，并且最大值均保持在±10 V以内，完全满足实验过程中的实验要求。在图7所示的电压下，对实际产生的空间电势V_gen与想要空间电势的V_des的部分点进行了采样并比较，如图8所示：

通过以上图8实际电势与理想电势的对比可知，理想电势与实际电势基本重合，尤其在电势等于0的点附近，这足以说明离子会按照设计的管道路径进行输运。模拟实验证明，这种方法产生的电极电压波形对离子的输运是可靠的。

5. 结束语

离子输运是构造可扩展的量子计算机和量子模拟器的必要元素。因此本文设计了一套完整的波形产生方法，与前人的设计方法相比 [25] [26] ，此套设计方法更为简单，最后在本文设计的离子阱芯片上成功模拟实现了离子的输运，足以说明该套方法产生的电极电压波形是可靠的。

NOTES

^*通讯作者。

参考文献