突发事件下地铁配送物资问题的研究

Research on Metro Distribution of Supplies during Emergencies

摘要: 针对突发事件下地铁配送物资问题，提出了一个选址和路径优化模型，旨在提高地铁配送时效和需求满足率。首先，采用改进的熵权TOPSIS方法和最大覆盖模型，解决候选轴点和辐点选址问题；其次，以总配送时间和需求满足率为双目标构建选址和路径优化模型；然后，运用第三代非支配排序遗传算法对模型进行求解；最后，以上海城市中心区域为研究目标，优化了突发事件下上海地铁配送物资时效和满足率问题。通过敏感性分析可知，不同的轴点参数对地铁配送效率的影响。

Abstract: In response to the issue of metro distribution of supplies during emergencies, a location and route optimization model is proposed to enhance distribution efficiency and demand satisfaction rates. First, an improved entropy-weighted TOPSIS method and a maximum coverage model are employed to address the selection of candidate hub and spoke points. Second, a dual-objective optimization model is developed with total distribution time and demand satisfaction rate as the objectives. Third, the model is solved using the third-generation non-dominated sorting genetic algorithm (NSGA-III). Finally, Shanghai’s central urban area is used as the case study, optimizing distribution efficiency and satisfaction rates for emergency supply delivery through the metro system. Sensitivity analysis reveals the impact of different hub point parameters on metro distribution efficiency.

1. 引言

近年来，随着城市化进程的加速和交通需求的持续增长，地铁物流系统逐渐成为现代城市物流体系的重要组成部分。其中，节点位置选择、网络规划、多目标优化等问题受到了广泛关注。例如，如何选择最佳的分布节点以实现高效的地下物流服务，如何基于轴辐式网络模型设计城市内部的地铁物流系统，以及如何在特定场景下进行应急资源分配等，都是当前研究的热点话题。

当前关于地下物流系统问题的研究众多，突发事件下选址和路径优化相结合的地铁物流配送网络是一个新的方向。Zhao等[1]将地铁网络划分为若干子区域，并使用TOPSIS法对每个子区域中地铁站的中心性进行评价，结合中心选址模型确定地铁中转站位置，最后将它应用于上海的案例中，为地铁配送中心的选址提供了理论依据。Dong等[2]针对网络中最优节点位置分配问题，建立了一套混合整数规划模型，并设计了一种结合E-TOPSIS、精确算法和启发式算法的混合算法。最后，以南京地铁为案例，证明了新系统可以显著降低物流成本。Zheng等[3]提出了一种基于地铁系统的地下物流设施选址方法，以最小成本为目标进行建模，并利用Voronoi图算法对地铁站的位置进行优化，最后以南京地铁为例进行分析，证明该方法可以有效降低物流成本，提高配送效率。任睿等[4]针对一类轴辐式地铁–货运系统网络，提出三阶段布局优化方法。考虑设施容量约束，以建设运营成本为目标，构建网络选址–分配–路径组合优化模型，结果验证了模型有效性。Zheng等[5]所提出的双层规划模型可以用于选择合适的地铁站作为配送节点，并在供应和需求双方实现最低成本。聂闻聪等[6]构建了依托地铁网络的城市配送系统选址模型，通过聚类算法和遗传算法对节点选址问题进行优化求解，并以成都市为案例，进行算例分析说明。Zhang等[7]提出一种基于地下物流配送模式的双层节点选址模型，优化后的节点选址方案在降低排放和总配送成本方面有优势。周芳汀等[8]构建带时间窗的地铁配送网络路径优化模型，综合优化地铁分配及末端配送路径设计随机变邻域的迭代搜索算法进行求解，以成都市地铁为例，验证了模型和算法的有效性。Zhao等[9]构造了一个含有时间窗限制的路径规划模型，通过构造遗传算法对模型进行求解，通过案例研究，对不同场景的车辆路径进行优化，验证了模型的有效性。李美晨[10]构建了基于地铁网络的“地铁干线–地面末端”的新型同城快递配送模式，对同城快递取派路径进行规划。郑长江等[11]设计了基于地铁的地上地下配送模式，以总成本最小为目标函数，构建基于地铁的地上地下闭环物流配送路径优化模型。

地铁系统在突发事件中的物流潜力逐渐受到学术界和实践界的关注。郭虹宇[12]所建选址模型及资源配备优化模型，为城市轨道交通运营企业应急救援物资前期的配备工作提供理论支持，提升应急救援能力。刘加奇[13]将复杂网络理论与应急救援站选址模型相结合，对于应急救援站的优化选址问题进行深入研究。通过对比验证了优化模型的有效性。何静等[14]考虑在应急物资储备点不确定和需求点救援带有时间窗限制的情形下，以应急物流总成本最小化和救援时间最短化为目标，建立基于相关机会规划理论的地铁应急储备点选址–路径模型，并应用遗传算法求解。贾建涛[15]考虑到应急救援站在实际使用时可能会失去功能，所以选择考虑损毁情景下的城市轨道交通应急救援站选址进行研究。Luo [16]提出近年来突发公共卫生事件频发，给人们的生活带来了极大的危害，因此对应急物流的关注和研究逐渐展开，希望能为今后应急物流的深入研究提供一些帮助。

上述的文献已经对地铁配送模式进行了研究，但大多数研究仅属于点对点连接的物流网络，较少考虑物资在地铁网络中的中转情况以及选址–路径优化整体结合的情况，不适用于现实中的物流配送系统。而且目前地下物流的配送对象多为货物，没有配送应急物资的研究。因此，本研究考虑运用地铁轴辐式网络来配送物资可以很好地发挥规模效应，并构建选址和路径优化模型来提升突发事件下地铁配送物资的效率。

2. 突发事件下基于地铁配送的选址和路径优化模型

本研究提出了一个城市地铁轴辐式配送网络的构建方案。该网络的节点主要分为三类：物资枢纽点、轴点、辐点。物资枢纽点指城市的机场和火车站，这些位置既是接收外城物资的中转站，并且配备地铁站，因而直接融入地铁网络节点。轴点作为城市内物资的中转枢纽，负责物资的中转任务。辐点则是连接轴点和服务需求点的地铁站，其中需求点为街道居民点。

应急物资分发过程包括：从物资枢纽点至轴点、枢纽点至辐点、轴点间的中转、轴点至辐点的配送。具体而言，物资从枢纽点通过地铁运至服务的轴点；物资从枢纽点通过地铁直达辐点；物资在轴点间进行中转；轴点的物资再通过地铁运输至服务的辐点。通过这一分发过程，构建了突发事件下基于地铁轴辐式配送网络的示意图，如图1所示。

Figure 1. Metro distribution map during emergencies

图1. 突发事件下地铁配送图

2.1. 地铁网络站点转运能力评价模型

本研究的重点是优化地铁轴辐式配送网络中的关键节点。这些节点的主要职责是中转应急物资，因此必须具备较高的转运能力。为此，我们设计了一个评价模型，旨在从城市现有的地铁站点中挑选出转运能力较强的站点，作为候选轴点，并将其应用于模型的求解过程中。

在地铁网络构建中，我们将物资枢纽点和地铁站点定义为网络的节点，而相邻两地铁站点之间的线路则构成了网络中的边。网络本身被抽象为一个无向图模型，用$G=\left\{R,I,L,E,A\right\}$ 表示。其中：R表示网络中物资枢纽点的集合，r表示物资枢纽点，$r=1,2,\cdots ,M$ ；I表示网络中地铁站点的集合，i表示地铁站点，$i=1,2,\cdots ,N$ ；L表示网络中地铁线路的集合，$l_i$ 示地铁站点i拥有的地铁线路；E表示网络中边的集合，$e_{ij}$ 表示相邻节站点i和j之间的边，$i\ne j$ ；$A={\left(a_{ij}\right)}_{N\times N}$ 表示网络的邻接矩阵，如果地铁站点i和j相连，则$a_{ij}=1$ ，否则$a_{ij}=0$ 。

2.1.1. 地铁网络站点转运能力评价指标

本研究的重点是优化地铁轴辐式配送网络中的关键节点。这些节点的主要职责是中转应急物资，因此必须具备较高的转运能力。为此，我们设计了一个评价模型，旨在从城市现有的地铁站点中挑选出转运能力较强的站点，作为候选轴点，并将其应用于模型的求解过程中。

本文主要选用度中心性、迭代因子以及局部聚集系数三个节点转运能力评价指标。

(1) 度中心性

度中心性$D{C}_i$ 是体现节点重要性的最直观指标，可以定义为地铁节点$v_i$ 的实际度值与其可能存在的最大度值的比值。$D{C}_i$ 越大，意味着地铁节点$v_i$ 对外有连接关系的节点越多，因而就越重要。若以$d_i$ 表示地铁拓扑网络$G=\left\{V,E,A\right\}$ 中节点$v_i$ 的度值，则

$D{C}_i=\frac{d_i}{\left(N-1\right)}$ (1)

(2) 迭代因子

相较于K-shell，用迭代因子对节点进行分层能够使得网络层次更加清晰。通过设置迭代因子的初始值IT = 1，将度数最小的节点从网络中移除，这些被移除的节点属于图结构的第一层，然后在本次迭代中被删除节点的迭代因子IT = 1。随后IT值增加1，再次删除图中度最小节点，将在本次迭代中被删除节点的IT = 2。重复这个过程，直到图中没有剩余节点。在每次迭代中，IT的值都会加1并分配给在此阶段中被删除的节点。

IT值指标对网络中的节点进行了层次划分，IT值越大表明节点越靠近网络中心，节点失效时对网络造成影响程度越大。

(3) 局部聚集系数

一个顶点$v_i$ 的局部集聚系数$C\left(i\right)$ 等于所有与它相连的顶点之间所连的边的数量，除以这些顶点之间可以连出的最大边数。

2.1.2. 地铁网络站点转运能力综合评价

一个顶点$v_i$ 的局部集聚系数$C\left(i\right)$ 等于所有与它相连的顶点之间所连的边的数量，除以这些顶点之间可以连出的最大边数。

本文采用改进的基于熵权TOPSIS方法考虑上面提到的四个评价指标对地铁站的转运能力进行综合评价和排序。TOPSIS模型称为“逼近理想解排序方法”，可根据目标与理想解的接近程度对目标重要性进行评价：若目标最接近正理想解而最远离负理想解，则该目标为最优目标，反之亦然。具体步骤如下：

(1) 构建标准化决策矩阵

假设有N个评价对象和K个评价指标。评价对象集合为$V=\left\{v_1,v_2,\cdots ,v_N\right\}$ ，评价指标集合为$F=\left\{f_1,f_2,\cdots ,f_K\right\}$ ，$v_i\left(f_k\right)$ 表示第i个站点的第k个指标值，构建的决策矩阵可以表示为：

$P=\left[\begin{array}{cccc}{v}_1\left(f_1\right)& v_1\left(f_2\right)& \cdots & v_1\left(f_K\right)\\ v_2\left(f_1\right)& v_2\left(f_2\right)& \cdots & v_2\left(f_K\right)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ v_N\left(f_1\right)& v_N\left(f_2\right)& \cdots & v_N\left(f_K\right)\end{array}\right]$ (2)

对矩阵进行标准化处理：

$Z=\left[\begin{array}{cccc}{z}_{11}& z_{12}& \cdots & z_{1K}\\ z_{21}& z_{22}& \cdots & z_{2K}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ z_{N1}& z_{N2}& \cdots & z_{NK}\end{array}\right]$ (3)

此时，

$z_{ik}=\frac{v_i\left(f_k\right)}{\sqrt{{\displaystyle \sum _{i=1}^N{v}_i{\left(f_k\right)}^2}}}$ (4)

(2) 熵权法确定指标权重

首先计算指标的熵权值。

$E_k=-\frac{1}{{\ln }_n}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{p}_{ik}\ln p_{ik}},k=1,2,\cdots ,K$ (5)

其中，

$p_{ik}=\frac{z_{ik}}{{\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{z}_{ik}}}$ (6)

指标的权重值可以表示为：

$w_k=\frac{1-E_k}{{\displaystyle {\sum }_{j=1}^K\left(1-E_k\right)}}$ (7)

最后定义标准化的加权决策矩阵：

$R=r_{ik}=w_k{z}_{ik}=\left[\begin{array}{cccc}{w}_1{z}_{11}& w_2{z}_{12}& \cdots & w_K{z}_{{}_{1K}}\\ w_1{z}_{21}& w_2{z}_{22}& \cdots & w_K{z}_{2K}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ w_1{z}_{N1}& w_2{z}_{N2}& \cdots & w_K{z}_{NK}\end{array}\right]$ (8)

(3) 根据加权决策矩阵，确定正理想解和负理想解。

$V^{+}=\left(r_1^{+},\cdots ,r_k^{+},\cdots ,r_K^{+}\right)$ (9)

$V^{-}=\left(r_1^{-},\cdots ,r_k^{-},\cdots ,r_K^{-}\right)$ (10)

其中$V^{+}$ 是正理想解集合，$V^{-}$ 是负理想解的集合。$v_k^{+}=\max \left\{r_{ik}|1\le i\le N\right\}$ ，$v_k^{-}=\min \left\{r_{ik}|1\le i\le N\right\}$ 。

(4) 度量站点到正负理想解的距离。

$S_i^{+}=\sqrt{{\displaystyle \sum _{k=1}^K{\left(r_{ik}-r_k^{+}\right)}^2}}$ (11)

$S_i^{-}=\sqrt{{\displaystyle \sum _{k=1}^K{\left(r_{ik}-r_k^{-}\right)}^2}}$ (12)

(5) 根据评价对象到正负理想解的距离，计算评价对象与理想方案的接近程度。

$C_{}^{\ast }=\frac{S_i^{-}}{S_i^{+}+S_i^{-}},i=1,2,\cdots ,n$ (13)

$C_{}^{\ast }$ 的值在0到1之间，其值越接近1，与正理想解的距离越近，说明站点i转运能力越强。

2.2. 辐点最大覆盖模型

针对城市地铁站点的服务半径及承载能力，在进行辐点布局时，需要同时兼顾容量与距离两方面的限制。在建立最大辐点覆盖模型前，为确保该模型的合理性与有效性，我们将对该模型进行如下假定：

(1) 利用街道人口资料，推算需求点的需求，并求出应急物资包数量。

(2) 对于由评估结果所决定的候选轴点以及枢纽点，并未将其视为候选辐点。

(3) 辐点仅为需要点提供服务。

表1总结了最大覆盖模型中所用到的符号及其定义。

Table 1. Explanation of model symbols

表1. 模型符号说明

符号	定义
集合
R	需求点的集合，索引为r
S	候选辐点的集合，索引为s
参数
n	选择的辐点数量
$Q_r$	需求点r的需求量
$d_{sr}$	需求点r到辐点s的距离
D	辐点的最大服务半径
$Q_s^{cap}$	辐点s的处理能力
决策变量
$w_s$	二进制变量，如果地铁站点被选为辐点s，则$w_s=1$ ，否则为0
$v_{sr}$	二进制变量，如果需求点r被辐点s服务，则$v_{sr}=1$ ，否则为0

建立考虑容量约束和距离约束的最大覆盖模型：

$\max {\displaystyle \sum _{s\in S}{\displaystyle \sum _{r\in R}{Q}_r{v}_{sr}}}$ (14)

$s.t.{\displaystyle \sum _{s\in S}{v}_{sr}\le 1,\forall r\in R}$ (15)

${\displaystyle \sum _{s\in S}{w}_s=n}$ (16)

$v_{sr}\le w_s,\forall s\in S,r\in R$ (17)

$d_{rs}\le D,\forall s\in S,r\in R$ (18)

${\displaystyle \sum _{r\in R}{Q}_r{v}_{sr}\le Q_s^{cap}},\forall s\in S$ (19)

$v_{sr}\in \left\{0,1\right\},\forall s\in S,r\in R$ (20)

$w_s\in \left\{0,1\right\},s\in S$ (21)

目标函数(14)表示最大化辐点能够满足的需求量。约束(15)确保每个需求点只能分配给一个辐点。约束(16)表示计划选择的辐点数量。约束(17)表示需求点只能由被选择的辐点服务。约束(18)表示辐点只能服务其覆盖半径内的需求点。约束(19)表示辐点服务的需求点的需求量不能超过辐点的最大处理能力。约束(20)和约束(21)表示决策变量为0~1变量。

2.3. 考虑最小化配送时间和最大化满足率的选址和路径优化模型

本部分的研究目标是通过合理的轴点选址和路径优化相结合，利用现有的地铁网络资源，构建一个既快速又高效的应急物资配送模型，该模型将充分考虑地铁网络的特性，优化物资配送路径，以最小化总配送时间和辐点物资需求最大化最小满足率为双目标，确保在紧急情况下能够迅速地将应急物资送达到每一个需要的人手中，最终得出城市地铁系统的轴辐式配送网络优化设计方案。

表2总结了双目标模型中所用到的符号及其定义：

Table 2. Explanation of symbols for the dual-objective model

表2. 双目标模型符号说明

符号	定义
集合
P	枢纽点集合，索引为p
A	轴点集合，索引为a
D	辐点集合，索引为d
E	表示地铁网络边的集合，索引为e
L	网络中地铁线路的集合，索引为$l_m$
参数
$T_t$	每吨物资的平均站内中转时间
$T_e$	地铁网络边e的运输时间
$V_d$	辐点d的需求量
$ca{p}_a$	候选轴点a的容量
决策变量
$Y_{ed}$	边e参与辐点d的运输则为1；否则为0
$X_{ad}$	轴点a参与辐点d的运输则为1；否则为0
$Z_{l_{i}a{l}_j}$	通过轴点a的相邻两边为$l_i,l_j\left(l_i,l_j\in L,m=i,j,\cdots \right)$ ,若$l_i\ne l_j$ 则为1；否则为0
$q_{pa}$	枢纽点p运输到轴点a的物资量
$q_{ad}$	轴点a运输到辐点d的物资量

最小化总配送时间：

$\min T={\displaystyle \sum _{d\in D}\left[{\displaystyle \sum _{e\in E}{Y}_{ed}{T}_e+{\displaystyle \sum _{a\in A}{\displaystyle \sum _{i,j\in L}{X}_{ad}{Z}_{l_{i}a{l}_j}\frac{{\displaystyle \sum _{p\in P}{q}_{pa}}}{T_t}}}}\right]}$ (22)

辐点物资需求最大化最小满足率：

$\underset{q_{ad}}{\max }\left\{\underset{d}{\min }\left[\frac{{\displaystyle \sum _{a\in A}{q}_{ad}}}{V_d}\right]\right\},d\in D$ (23)

约束：

${\displaystyle \sum _{p\in P}{q}_{pa}}\le ca{p}_a,p\in P,a\in A$ (24)

${\displaystyle \sum _{a\in A}{q}_{ad}}\le V_d,d\in D,a\in A$ (25)

${\displaystyle \sum _{p\in P}{q}_{pa}={\displaystyle \sum _{d\in D}{q}_{ad}}},a\in A$ (26)

$Y_{ed},X_{ad},Z_{iaj}\in \left\{0,1\right\},\forall a,d,e,i,j$ (27)

目标函数(22)表示应急物资从枢纽点出发，通过轴点至辐点的最小化总配送时间。该目标反映了对应急响应时间敏感性的考量，意图通过优化物资配送路径，减少物资在传输过程中的时间消耗，包括地铁网络内的配送时间以及站内的中转时间。此目标凸显了快速响应在应急物资配送中的核心价值。目标函数(23)第二目标函数旨在优化辐点的物资需求满足程度，通过最大化最小满足率确保所有辐点在紧急情况下至少获得基本需求量的物资配送。该目标体现了公平性原则，旨在保障资源在各辐点间的合理分配，特别是在资源紧张的应急情况下。约束(24)保证每个轴点通过的物资总量不超过其预设的容量限制，以避免超负荷运营，确保物资配送系统的稳定性和可靠性。约束(25)确保每个辐点接收的物资量至少能满足其最基本的需求，同时不造成辐点对物资需求的溢出，以实现对受影响区域有效支援，确保应急响应的有效性。约束(26)确保每个轴点的物资量进出相等，即从枢纽点运输到该轴点的物资量等于从该轴点运输到辐点的物资量。约束(27)表示决策变量为0~1变量。

2.4. 模型求解

在进行应急物资配送轴点选址和路径优化的研究中，本文利用第三代非支配排序遗传算法(NSGA-III)探索了双目标函数的帕累托最优解集，以达到优化地铁物流配送路径和应急物资分配的目的。本研究不仅优化了地铁物流的配送路径和应急物资的分配问题，而且在选择候选中转轴点方面也取得了显著的成效。NSGA-III的应用不仅证明了其在处理复杂优化问题方面的有效性，同时也为地铁物流系统的优化提供了有力的支持。

3. 实证研究

本文选择中国上海作为案例研究地，深入探讨其地铁网络在应急物资配送中的应用与效率。截至2024年3月，上海地铁已运营20条线路，覆盖508个车站，轨道总长度达到831公里。作为全球里程最长的城市轨道交通网络之一，上海不仅是中国华东地区的重要交通枢纽，拥有上海浦东国际机场、上海虹桥国际机场两个国际机场，以及上海站、上海西站、上海南站三个主要火车站。这五大交通枢纽被视为关键的应急物资枢纽点，赋予本研究更强的实践意义和应用前景。

上海地铁系统的空间布局以“环形 + 放射状”结构为主，其中环形区域内的地铁站密集分布，各线路间换乘相对便捷；而放射状线路则有效连接了市中心与郊区，尽管增强了市中心与周边郊区间的连通性，但线路间的转运效率相对较低。上海市的人口分布与地铁站布局相似，城市中心区域的人口密度远高于郊区。鉴于地理位置和人口分布的特点，本文将研究范围限定在上海市中心城区，以确保研究的准确性与实际应用的针对性。

通过这种研究方式，我们旨在深入分析如何在突发事件中利用上海先进的地铁网络，高效实施应急物资配送，以满足高密度人口区域的紧急需求。此实证研究不仅为上海未来的应急物资配送策略提供了科学依据，也为其他具有类似城市特征的大城市提供了参考与借鉴。

3.1. 上海市地铁配送网络站点转运能力评价

首先，研究区域包括上海292个地铁站。各个地铁站点评价对象的集合为$U=\left\{u_1,u_2,\cdots ,u_{292}\right\}$ 。为了全面衡量这些地铁站的转运能力，本文引入了3项评价指标构成的评价指标集合为$F=\left\{f_1,f_2,f_3\right\}=\left\{DC,IT,C\left(i\right)\right\}$ 。接下来，利用Python计算每个地铁站在各个中心性评价指标上的数值，并采用基于熵权法的TOPSIS方法确定各评价指标的权重值$W=\left[W_{DC\left(i\right)},W_{IT\left(i\right)},W_{C\left(i\right)},\right]=\left[0.231,0.692,0.077\right]$ ，进而依据$C_{}^{\ast }$ 值对地铁站点进行排序。

图2展示了地铁站点$C_{}^{\ast }$ 值与其前41个排名之间的关系，表明排名越靠前的站点其转运能力越强。从图2中可以观察到，相较于其他站点，被红色框标注的12个站点的值分布更分散，并且这些站点之间的差距大于其他节点之间的差距。由于这12个站点展现出更强的转运能力，因此，这些站点最适合作为中转轴点进行应急物资转运工作。基于此，本研究选定这12个站点作为候选轴点，并在模型求解的后续过程中对其进行进一步分析。表3列出了这些候选轴点及其相应的评价指标值，为后续模型求解提供了基础数据。

Figure 2. Ranking of metro station $C_{}^{\ast }$ values

图2. 地铁站点$C_{}^{\ast }$ 值排名

Table 3. Ranking of candidate hub points by evaluation value

表3. 候选轴点评价值排名

排名		地铁站名		$C_{}^{\ast }$
1		静安寺(地铁站)		0.8149
2		陕西南路(地铁站)		0.7949
3		常熟路(地铁站)		0.7718
4		嘉善路(地铁站)		0.7579
5		肇嘉浜路(地铁站)		0.7469
6		世纪大道(地铁站)		0.7385
7		江苏路(地铁站)		0.7309
8		交通大学(地铁站)		0.7228
9		新天地(地铁站)		0.7169
10		曲阜路(地铁站)		0.7087
11		龙阳路(地铁站)		0.7005
12	龙华(地铁站)		0.6952

3.2. 上海市地铁配送网络辐点最大覆盖布局结果

在本研究中，需求数据的估算基于上海伴城数据科技有限公司提供的居民人口信息。根据上海市统计局2023年发布的数据，上海市外环以内的常住人口为1188.12万。假设一件标准应急物资包能够满足一户三口之家的需求，由此推算，上海市的应急物资包需求总量约为396.04万件。需求点为街道的地理坐标，需求量根据各街道的人口数据计算，可通过地图服务查询到各街道的具体位置，共计107个需求点。

通过上海市数字地图及ArcGIS 10.6软件中的网络分析模块，本文详细计算了地铁站与需求点之间、以及各地铁站点间的实际运输距离，并基于上海地铁的实际线路网络数据进行分析。为了准确估计地铁节点间的配送时间，地铁运行速度设定为80 km/小时。此外，为合理确定辐点的最大覆盖半径，本研究将107个需求点分配至就近的地铁站点，其中需求点至其分配地铁站的最大距离为2.98 km，据此将辐点的最大覆盖半径设定为3 km。为了确保地铁辐点能够均衡服务需求点，并平衡轴点的转运能力，本研究定义了轴点与辐点的最大处理能力。通过需求点的就近分配，共确定了90个地铁站点能够覆盖所有需求点，并计算出各站点所需配送的应急物资包数量，选择其中的最大值作为辐点的最大处理能力标准。轴点的最大处理能力则基于地铁站点的最大度值计算得出。

利用Python软件，本研究求解了辐点最大覆盖模型，并在特定容量与距离约束条件下，比较了不同数量辐点的需求点覆盖率。表4详细记录了在最大覆盖情况下，覆盖需求点的应急物资包数量及覆盖率，为评估上海地铁网络在应急物资配送方面的潜力提供了科学依据。

Table 4. Relationship between number of spoke points and coverage area

表4. 辐点数量与覆盖范围的关系

辐点数量(个)	覆盖需求量(件)	最大覆盖范围
29	3,376,607	85.26%
30	3,476,705	87.78%
31	3,576,736	90.31%
32	3,668,759	92.63%
33	3,760,007	94.94%
34	3,843,968	97.06%
35	3,918,317	98.94%
36	3,960,491	100.00%

根据表4所展示的数据分析结果，选取的辐点数量在29至36个范围内时，覆盖的总物资量随辐点数量的增加而显著提升。当辐点数量调整至36个时，可实现对需求点的全覆盖，覆盖率达到了100%。这一结果表明，选定36个辐点作为地铁网络内的末端运输站点，能够确保所有需求点都能被有效服务，实现了应急物资配送网络的最大化覆盖。本研究最终确定以36个辐点构建上海地铁网络的末端运输站。

在有容量约束和距离约束的情况下，通过最大覆盖模型求得的36个辐点位置与107个需求点的分配关系如图3所示。

Figure 3. Spoke allocation diagram

图3. 辐点分配图

3.3. 上海市地铁配送网络的轴点选址和路径优化结果

在进行应急物资配送轴点选址和路径优化的研究中，本文利用第三代非支配排序遗传算法(NSGA-III)探索了双目标函数的帕累托最优解集，帕累托最优解集如图4所示。

Figure 4. Pareto optimal solution set

图4. 帕累托最优解集

3.4. 敏感性分析

在双目标函数求解的过程中，通过改变参数轴点中转能力和轴点容量的值，分析这两个方面在地铁轴辐式应急配送网络中对双目标函数变化的敏感性。

(1) 调整参数轴点中转能力：本研究的中转能力为每小时中转40万件物资，对中转能力另取九个值进行对比分析，分别为每小时中转20万件、25万件、30万件、35万件、45万件、50万件、55万件、60万件、65万件物资。

Figure 5. The impact of different hub transfer capacities

图5. 不同轴点中转能力的变化关系

从图5可知，随着转运能力的增强，配送时间普遍显示出下降的趋势，这一规律在各个满足率阶段均表现明显，凸显了提高转运能力在缩短配送时间方面的关键作用。尤其在低至中等满足率区间，配送时间随着转运能力的提升而降低的现象更为一致和显著。然而，在满足率最高达到81%的情形下，尽管配送时间随转运能力提高而减少的总体趋势保持不变，与低满足率相比，其下降速率呈现出轻微的变化。这一差异暗示在面临高需求时，配送时间可能受到其他因素如路线优化和配送方式选择的更为显著影响。进一步观察发现，在转运能力从500,000提升至650,000的区间，配送时间的减少幅度呈现出减缓趋势，这一现象揭示了边际效益递减的规律。这表明，尽管提升转运能力能有效缩短配送时间，但当转运能力提高至某一阶段后，其带来的额外收益将会逐步降低。

(2) 调整参数轴点容量：本研究的轴点容量为40万件物资，对轴点容量另取四个值进行对比分析，分别为20万件、25万件、30万件、35万件物资。

Figure 6. The impact of different hub capacities

图6. 不同轴点容量的变化关系

从图6可知，在较低的满足率67%、71%、77%阶段，配送时间随轴点容量的增加无变化，说明在这些特定的满足率水平下，提升轴点容量对于缩短总体配送时间的贡献有限。然而，在满足率达到最高值81%的情形下，随着轴点容量的扩增，配送时间呈现出下降趋势。这一现象揭示，在较高需求水平下，增加轴点容量能显著地减少配送时间。这种差异可能源于在高满足率条件下，轴点容量的增加直接影响配送效率，成为制约因素之一；而在较低满足率条件下，轴点容量的影响则较为有限。

4. 结论

针对突发事件下地铁配送物资问题，本研究提出了一个以总配送时间和需求满足率为双目标的选址和路径优化模型，并对上海城市中心区域进行了实证研究。主要研究结论如下：(1) 运用第三代非支配排序遗传算法对模型进行求解，得到9个帕累托最优解，验证了模型的有效性。(2) 通过敏感性分析得出，提高轴点转运能力在减少地铁配送时间方面起着关键作用，且轴点的容量是提升地铁配送效率的重要因素。

基于以上研究结论和所做工作提出以下合理建议：(1) 本研究通过街道人口数据估算需求量，但在实际应用中，获取实时的受灾人口数据存在一定困难，因此，未来的研究可以深入探讨如何获得更精准的实时受灾人口需求数据。(2) 本文研究集中于突发事件下地铁配送物资，未考虑地面配送的“最后一公里”问题，建议未来研究可以结合地铁与地面配送模式，进一步提升地铁配送物资的效率。(3) 研究结论不仅可以应用于突发事件下上海地铁配送物资的场景，还为其他大城市提供了有价值的参考，助力构建类似的地铁配送选址和路径优化模型。