非线性薛定谔方程中呼吸子的Splitting解法

Breather in Nonlinear Schrödinger Equation by the Splitting Method

摘要: 呼吸子是非线性薛定谔方程(NLSE)中的一类重要的解，在量子力学、光学和数学物理中具有重要应用。方程的非线性项使得其解析求解非常复杂，因此数值求解方法常用来模拟方程的行为。Splitting方法是一种对非线性薛定谔方程具有很高效率的算法，本文简单介绍splitting方法，然后用其求解了一种常见的呼吸子。通过splitting方法求解呼吸子，可以深入理解其在不同参数条件下的演化行为，为相关实验和应用提供理论支持。

Abstract: The Nonlinear Schrödinger Equation (NLSE) plays a crucial role in quantum mechanics, optics, and mathematical physics. Breather is one type of soliton solutions of NLSE. The nonlinearity of the equation makes it hard to obtain the analytic solution of the breather. Numerical methods are usually adopted to simulate the behavior of the solitons, one of which is the splitting method. In this paper, we use the splitting method to simulate one kind of breather solutions. By this way, we can gain a deeper understanding of their evolutionary behavior under varying parameter conditions, thereby providing theoretical support for related experiments and applications.

1. 引言

非线性薛定谔方程(NLSE)是一类非常重要的数学物理方程，在物理学和数学的许多领域中都有着重要的应用。在量子力学中，NLSE描述波函数的演化，特别是在光子传播和孤立子形成方面具有重要意义。在光学中，NLSE用于建模光脉冲在非线性介质中的传播[1]-[3]，特别是光孤子的稳定性。在流体力学中，它可以描述表面波和涡旋现象[4] [5]。在生物学中，NLSE用于模拟种群动态等非线性现象。此外，NLSE在数学研究中也有重要价值，涉及解的存在性、唯一性及孤立子理论等内容。其数值分析方法为理解复杂系统中的非线性行为提供了有效工具。通过对NLSE的研究，能够更深入地理解和描述自然界的多种现象。

NLSE是一类重要的偏微分方程，与线性薛定谔方程不同，NLSE考虑了系统中非线性效应的影响，能够描述孤立子、波包的演化以及多种非线性现象。求解NLSE的方法多种多样，包括解析解法和数值解法。解析方法如孤立子解法和逆散射变换适用于特定条件下的解的构造，而数值方法如有限差分法、谱方法和有限元法则为处理复杂边界条件和非线性行为提供了有效的工具。深入研究NLSE的求解方法不仅有助于理解其数学性质，也为实际应用提供了重要支持。NLSE的物理背景源于许多自然现象的非线性特征，非线性效应使得波动不仅仅是简单的叠加，而是能够形成孤立子等稳定结构，这对于理解和预测复杂系统的行为至关重要[6]-[8]。

本文采用splitting方法来研究NLSE中的孤子解。在splitting算法中，NLSE中的非线性项、线性项的贡献被分离开来，在离散傅利叶变换下，两部分的贡献转化为了简单的数值乘积，因而这是一种非常高效的方法。本文获得了一类特殊的呼吸子解。

本文分为以下几个部分：在第2部分，我们介绍了三次NLSE及其最显著的解析解：孤子和呼吸子。在第3部分中简要讨论如何用数值方法求解NLSE，回顾了分裂方法，研究了数值实现。第4部分展示了获得的模拟结果。

2. 非线性Schrödinger方程

具有反常色散的三次(1 + 1)非线性薛定谔方程(NLSE)用无量纲形式表示为

$i\frac{\partial \phi }{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^2\phi }{\partial x^2}+{\left|\phi \right|}^2\phi =0$ (1)

其中$\phi \left(x,t\right)$ 是复数场，每项前面的常数可以通过适当缩放$\phi ,x$ 和$t$ 来改变，在本文中，我们采用x表示空间位置，t表示时间的记号约定。

$\phi ,x$ 和t的物理意义取决于所研究的问题。在光纤中，$\phi$ 可以表示光场的复振幅，x表示传播方向，

t表示时间。常数前的系数与光纤的色散特性和非线性折射率有关。色散项$\frac{1}{2}\frac{{\partial }^2\phi }{\partial x^2}$ 描述了光脉冲在传播过

程中的宽度变化，而非线性项${\left|\phi \right|}^2\phi$ 则与自聚焦效应有关。在此背景下，参数的选择影响脉冲的稳定性和传播特性。等离子体中，$\phi$ 可以表示电场的复振幅，x为空间位置，t为时间。此时，常数与等离子体的密度、温度和电场的非线性响应有关。色散项描述了电场波动的传播特性，而非线性项则与等离子体中的粒子相互作用有关，影响波的稳定性和传播速度。

NLSE及其扩展可以通过多种方法求解，包括逆散射变换[9]、Hirota双线性方法[10]和达布变换[11]-[16]。尽管NLSE具有多种重要解，我们将重点讨论两种：孤子和呼吸子。

2.1. 孤子与呼吸子

孤子和呼吸子是非线性物理和数学中重要的概念，尤其在研究非线性波动现象时。孤子是一种特殊的波动解，它在传播过程中形状保持不变，并且能够在相互作用时不发生变化。孤子的出现通常与非线性方程有关，例如Korteweg-de Vries (KdV)方程和非线性薛定谔方程。比如，NLSE存在一阶孤子解

$\phi \left(x,t\right)=\frac{2\nu e^{2i{\nu }^{2}t}}{\cosh \left(2\nu x\right)}$ (2)

其中$\nu$ 是给出解的峰高的参数。一阶孤子解是指具有特定形式的孤立波解，通常是单一的、局部化的波包。它在传播过程中保持其形状和速度不变，且不受非线性效应的影响[8]。

呼吸子是一种时间上周期性变化的孤子解，与孤子不同，呼吸子在传播过程中其幅度和形状会随时间变化。这个解可以写成如下形式

$\phi \left(x,t\right)=\left[\frac{\left(1-4a\right)\cosh \left(\delta x\right)+\sqrt{2a}\cos \left(\Omega t\right)+i\delta \sin \left(\delta x\right)}{\sqrt{2a}\cos \left(\Omega t\right)-\cosh \left(\delta x\right)}\right]e^{ix}$ (3)

$\delta$ 是一个与空间位置x相关的参数，它反映了呼吸子在空间上的变化速率。$\Omega$ 是一个与时间t相关的参数，表示呼吸子的振荡频率，它控制着呼吸子幅度随时间的周期性变化速率。$\delta$ 和$\Omega$ 是描述呼吸子的关键参数，分别影响其在空间和时间上的特性。

3. 数值求解NLSE

3.1. Splitting方法

Splitting方法是一类用于求解偏微分方程(PDEs)和常微分方程(ODEs)的数值方法，常用于求解时间演化方程，如薛定谔方程或流体方程。该方法特别适用于具有复杂非线性项或多项耦合的方程，在处理具有非线性项时，它可以将非线性部分与线性部分分开，从而简化计算。比如，公式(1)可以写成

$-i\frac{\partial \phi }{\partial t}=\left(\widehat{D}+\widehat{N}\right)\phi$ (4)

其中，$\widehat{D}=\frac{1}{2}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}$ 是色散算符也是动能算符，$\widehat{N}={\left|\phi \right|}^2$ 是非线性算符。

接下来，对于时间演化方向，将量子态$\phi$ 向前推进一个小步长$\Delta t$ ，我们将其写为

$\phi \left(x,t+\Delta t\right)=\exp \left(\epsilon \left(\widehat{D}+\widehat{N}\right)\right)\phi \left(x,t\right)\equiv {\widehat{T}}_1\left(\epsilon \right)\phi \left(x,t\right)$ (5)

其中$\epsilon =i\Delta t$ 是一个小步长，运算符${\widehat{T}}_1\left(\epsilon \right)$ 是$t$ 步的演化运算符，这里的时间演化是采用常规的ODE积分器，比如Runge-Kutta方法。

然后应用下述Baker-Campbell-Hausdorff (BCH)公式(其中$\left[X,Y\right]$ 是算符$X$ 和$Y$ 的对易子)

$e^X{e}^Y=\exp \left(X+Y+\frac{1}{2}\left[X,Y\right]+\frac{1}{12}\left[X,[X,Y\right]+\frac{1}{12}\left[Y,[Y,X\right]+\cdots \right)$ (6)

可以近似表示演化算符$e^{\epsilon \left(\widehat{D}+\widehat{N}\right)}$ 为：

$e^{\epsilon \left(\widehat{D}+\widehat{N}\right)}\approx e^{\frac{\epsilon }{2}\widehat{N}}{e}^{\epsilon \widehat{D}}{e}^{\frac{\epsilon }{2}\widehat{N}}$ (7)

这种形式使我们能够首先对非线性算符进行半步演化，然后对动能算符进行演化，最后再进行一次非线性算符的半步演化，从而实现更高效的时间推进，其中，通过在动能和势能之间交替应用演化算符，减少了数值误差[17] [18]。该方法的实施过程如下图1所示：

Figure 1. Flowchart of splitting method processing

图1. Splitting方法处理流程图

Splitting方法的优点在于：通过将非线性项分开，可以提高数值计算的稳定性，可以使用快速傅里叶变换(FFT)等技术来快速计算线性部分。为求解非线性薛定谔方程提供了一种高效、稳定的数值方案。通过将复杂的非线性方程分解为更简单的线性和非线性部分，然后逐步求解，显著提高计算效率和准确性。

3.2. 数值实现

以$\widehat{T}$ 算法为例，为了计算这个积分器，我们需要计算${\phi }_{{\rm I}}$

${\phi }_I\equiv {{\displaystyle e}}^{\frac{\epsilon }{2}\widehat{N}}\phi \left(x,t\right)={{\displaystyle e}}^{i\frac{\Delta t}{2}{\left|\phi \left(x,t\right)\right|}^2}\phi \left(x,t\right)$ (8)

然后需要用色散算子$\widehat{D}$ 的指数作用于${\phi }_{{\rm I}}$

$\phi \left(x,t+\Delta t\right)={{\displaystyle e}}^{\epsilon \stackrel{\wedge }{D}}{\phi }_{{\rm I}}={{\displaystyle e}}^{i\Delta t\frac{1}{2}{\partial }_x^2}{\phi }_{{\rm I}}$ (9)

计算色散时存在偏微分项，在时域中不方便计算，但可利用傅里叶变换，把偏微分方程变换为代数方程进行运算，根据傅里叶变换的微分性质，算符$\widehat{D}$ 中的${\partial }^2/\partial x^2$ 用${\left(i\omega \right)}^2$ 代替[19]，利用傅里叶变换$F$ 和逆变换$F^{-1}$ ，表达式变为

$\phi \left(x,t+\Delta t\right)={{\displaystyle e}}^{\frac{\epsilon }{2}\widehat{N}}{F}^{-1}\left\{e^{-i\frac{\Delta t}{2}{\omega }^2}F\left\{{\phi }_{{\rm I}}\right\}\right\}$ (10)

$\phi \left(x,t+\Delta t\right)=e^{\frac{i}{2}△t{\left|\phi \left(x,t\right)\right|}^2}{F}^{-1}\left\{e^{-i\frac{\Delta t}{2}{\omega }^2}F\left\{e^{i\frac{\Delta t}{2}{\left|\phi \left(x,t\right)\right|}^2}\phi \left(x,t\right)\right\}\right\}$ (11)

高阶算法也可以类似地实现，傅里叶变换使用FFT算法执行。

4. 模拟结果

我们使用了一个特定形式的波函数来模拟其演化

${\phi }_0=A\sin \left(k\cdot x\right)e^{-\alpha x^2}$ (12)

其中，$A$ 表示振幅，决定了波函数的强度，$k$ 是波数，$\alpha$ 是衰减因子，控制波函数在空间中的衰减速率。

该波函数是一个正弦波与高斯函数的乘积，正弦波部分$\sin \left(kx\right)$ 代表了波动的周期性特征，而高斯部分$e^{-\alpha x^2}$ 则代表了波动的空间衰减特性。整体上，这个波函数在空间中呈现出波动的形态，并且在远离原点时迅速衰减。

运行这样的模拟，我们要选择必要参数$\lambda$ ，选择$x$ 的纵向范围，指定横向节点数$N_t$ 和纵向网格间距$dx$ ，$N_t$ 是用于计算傅里叶变换的网格点的数目，以及创建空间和时间网格。下一步是生成一个模拟盒，定义初始条件。因为我们研究的是周期解，所以盒子的横向尺寸应该是呼吸周期的倍数，对于一个周期$T$ ，$t\in \left[-T/2,T/2\right)$ 。

Figure 2. The initial wave function combines a sine wave and a Gaussian function, representing a wave packet with periodic oscillatory characteristics

图2. 初始波函数结合了正弦波和高斯函数，表示一个具有周期性波动特征的波包

该图表示了波函数$\left|\phi \right|$ 随时间$t$ 和空间位置$x$ 的演化，随着时间$t$ 从$0$ 开始增加，波峰在空间中向右移动，显示出波动的传播特性。这种传播体现了波的动态行为，波包在介质中传递能量和信息。在波峰之间，波函数的幅度逐渐减小，显示了波动的衰减特性。这与初始条件中的高斯衰减部分一致，表明波动在远离中心位置$x=0$ 时逐渐减弱。图2(a)和图2(b)中，A增大时，系统的响应变得更加剧烈，波形的振幅和尖锐度增加。图2(c)和图2(d)中，$\alpha$ 增大时，波形的复杂性增加，出现更多的波峰，整体结构变得更加多样化。

对于给定的波函数

${\phi }_0=e^{2i\pi \frac{x}{\max \left(x\right)}}$ (13)

这表示一个正弦波形式的初始条件，其中$x$ 是空间坐标，$\max \left(x\right)$ 是空间范围的最大值，用于标准化波函数的幅度。

Figure 3. The three-dimensional surface plot of the wave function $\phi \left(x,t\right)$ highlights the dynamics and potential localization of the wave packet

图3. 波函数$\phi \left(x,t\right)$ 的三维表面图，突显了波包的动态变化和潜在的局部化特征

在图3中，孤子的存在表现出明显的动态演化特征。初始阶段t = 0，系统内的波动较为平坦，未明显形成孤子，随着时间的推移，在接近t = 10时孤子逐渐显现，形成局部的波包，其幅度在空间上集中并且保持稳定。这一过程表明，非线性效应促使能量在特定区域内的聚集，导致孤子的形成。随着时间的进一步演进和传播距离的增加，孤子开始进行复杂的演化，但总体上具有一定的周期性，这正是呼吸子的特征，体现了非线性波动系统中孤子动态特征的复杂性和多样性。

通过数值模拟，可以观察波函数在不同参数下的演化行为。这有助于理解非线性效应如何影响波的传播、相互作用和稳定性，对于理解量子系统、非线性光学和其他相关领域具有重要价值。

5. 结论

在本研究中，我们探讨了非线性薛定谔方程(NLSE)的数值解析方法，NLSE其非线性特性使得解析解难以获得，因此需要高效的数值方法。Splitting方法因其高效性、可扩展性和良好的稳定性，成为解决NLSE的热门选择，能够有效将非线性问题分解为简单的线性和非线性部分，提供了灵活的实现和性能优化，能够在处理大规模计算时保持较高的效率。然而，时间步长的选择和非线性项处理的复杂性仍然是影响数值解准确性的关键因素。因此，研究者在应用这些方法时需谨慎选择参数，以确保结果的稳定性和精确性。未来的研究可以进一步改进算法和优化性能，以应对更复杂的非线性系统。

基金项目

国家自然科学基金项目(批准号：12105121)。