WKB方法在黑洞准正则模式求解中的应用

The Quasi-Normal Modes of Black Holes by the WKB Method

摘要: WKB方法是一种非常重要的数学方法，在解微分方程中有着广泛的应用，它是数学物理中的一种渐近方法。WKB在物理中也同样有很重要的应用，它通常被用来解决量子力学里面的一些物理问题，比如解薛定谔方程、求Bohr-Sommerfeld量子化条件等。近年来人们发现用WKB方法来求解黑洞中准正则模式(QNM)的问题也十分有效。用解出的QNM来近似引力波就可以得到黑洞的一些性质。本文对此展开研究，以一个施瓦西黑洞为例，介绍如何将QNM问题转化为WKB问题，并给出结果。

Abstract: WKB method is a very important mathematical method, which is widely used in solving differential equations. It is a kind of asymptotic method in mathematical physics. WKB also has important applications in physics, where it is often used to solve some physical problems in quantum mechanics, such as solving Schrodinger equation and finding Bohr-Sommerfeld quantization conditions. In recent years, people found that WKB method is also very effective to solve quasi-normal modes (QNM) problems in black holes. Some properties of black holes can be obtained by approximating gravitational waves with the solved QNM. Taking a Schwarzschild black hole as an example, this paper introduces how to transform the QNM problem into the WKB problem and gives the results.

1. 引言

WKB方法是一个不断被发明并完善的方法。1837年乔治·格林和约瑟夫·刘维尔研究了微分方程的近似解法，史称刘维尔–格林方法(Liouvill-Green Method)，接着这个方法由瑞利公爵、理查德·甘斯、哈罗德·杰弗里斯发明完善，然后到1926年文策尔(Wentzel)、克拉末(Kramers)、布里渊(Brillouin)给出了转变点的分析，连接了振荡解和衰减解，于是以他们名字命名为WKB方法。WKB近似是由普朗克常数作为参数展开的近似[1]。它是一种半经典的近似，用来求解定态薛定谔方程的本征函数和本征值，是一种得到一维定态薛定谔方程近似解的技术，它也可运用到许多其他形式的微分方程和三维薛定谔方程的径向部分，它适用于相对于德布罗意波长缓慢变化的势场。许多量子力学里面的问题都是通过WKB方法解决，比如G·Gamow使用WKB方法解释了α衰变的隧穿现象[2]、粒子在势阱中的运动问题、粒子穿透势垒的问题等。

WKB不仅可以用来解量子力学里面的物理问题，它同样可以运用到处理黑洞的物理问题上面。物理学家通过WKB方法求解波动方程来研究黑洞的量子效应和时空的几何性质，具体应用包括霍金辐射、黑洞时空中粒子的轨道动力学以及电磁场的微扰等。我们研究的是通过WKB方法求解黑洞的微扰方程，得到黑洞的准正则模式(QNM)。

18世纪末约翰·米歇尔(John Mitchell)和拉普拉斯(Pierre Smith Laplace)预测了可能存在巨大引力的天体，甚至连光都无法逃脱。1915年爱因斯坦提出相对论，使物理学家有足够大的数学框架来描述这种物体，也就是后面被人们所熟知的黑洞。1965年彭罗斯的论文[3]中推算出在一个相对论支配的宇宙中，黑洞的形成是必然的结果。黑洞作为致密星体，可以吞噬一切物质。2015年LIGO探测出双黑洞在靠近并合后产生的引力波[4]。引力波是由于一个有质量的物体在时空中的运动产生的，空间位置变化的物体会使时空的曲率发生变化，这种变化以波的形式向外传播，速度为光速。双黑洞引力波分为旋近(Inspiral)、合并(Merger)、铃宕(Ringdown)三个阶段。旋近和合并阶段的引力波比较剧烈，只有铃宕阶段可以看成对终态黑洞的微扰，我们主要研究的是铃宕阶段。QNM就可以用来近似地描述ringdown阶段产生的引力波，它是黑洞的特征声音，又被称为黑洞的谱，它包含了黑洞的质量、角动量、电荷等信息。QNM与普通简正模不同的点在于QNM的频谱为复数，也就是说它在振荡的同时也伴随着衰减。理论上对黑洞做微扰[5] [6]，可以给一个微扰场和黑洞作用，最简单的就是做标量场微扰。微扰场对黑洞的作用就会让黑洞“吐出”一些信息，也就是引力波以QNM的形式释放出来的过程。

当势函数V(r)与标准的势垒很相似时，WKB方法算出的QNM就比较精确，比如施瓦西黑洞的势函数就是类钟形势垒，符合用WKB方法计算的条件。本文研究WKB方法在黑洞中的应用，我们以一个施瓦西黑洞为例，来算其QNM的解。我们在第二部分阐述了WKB的基本原理，并为转折点匹配了渐近解。第三部分提出了施瓦西黑洞的基本模型。然后在第四部分利用三阶WKB公式解出QNM。运用WKB公式解黑洞问题更为便捷，是比较经典的数值方法，也常被用来和新的算法进行比较。

2. WKB近似

WKB方法的核心可以总结为三个步骤：1) 先分三种情况讨论E > V，E < V，E = V。当E > V，波函数是三角函数，当E < V，波函数指数衰减或指数增加。2) 用动量控制振幅波函数的振幅并解出能量大于势能和能量小于势能两种情况的WKB近似解。3) 将转折点(E = V)处的WKB解连接在一起。

2.1. WKB近似的基本思想

1926年薛定谔提出了薛定谔方程，它在一维定态的情况下形式如下：

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\text{d}}^2\psi \left(x\right)}{\text{d}{x}^2}+V\left(x\right)\psi \left(x\right)=E\psi \left(x\right)$ (1)

将式(1)简化成如下形式：

$\frac{{\text{d}}^2\psi \left(x\right)}{\text{d}{x}^2}+k^2\left(x\right)\psi \left(x\right)=0$ (2)

k是波矢由德布罗意关系与动量p联系：

$\hslash k\left(x\right)=p\left(x\right)=\sqrt{2m\left(E-V\left(x\right)\right)}$ (3)

由(2)式得到的波函数的解一般为：

$\{\begin{array}{c}E>V:\psi \left(x\right)=A{\text{e}}^{ikx}+B{\text{e}}^{-ikx}\\ E<V:\psi \left(x\right)=A{\text{e}}^{\left|k\right|x}+B{\text{e}}^{-\left|k\right|x}\end{array}$ (4)

当E > V时，波函数是三角函数，当E < V时，波函数就是指数衰减或增加。

势能实际上是随位置变化的，所以上式的具体形式会非常复杂。但是，如果势能变化缓慢，也就是说势能在德布罗意波长中的变化很小，可以将上述形式进一步简化为下述形式[7]，这正是WKB方法的核心思想。

$\psi \left(x\right)=\frac{C}{\sqrt{k\left(x\right)}}\exp \left(\pm i{\displaystyle {\int }_{x_1}^{x}k\text{d}x}\right),E>V$ (5)

$\psi \left(x\right)=\frac{C}{\sqrt{\left|k\left(x\right)\right|}}\exp \left(\pm {\displaystyle {\int }_{x_1}^x\left|k\right|\text{d}x}\right),E<V$ (6)

2.2. 转折点处的WKB近似解

势能函数与能量函数如图1所示交于点$x_0$ 、$x_3$ 处，此时E = V，根据(3)式可知k等于0时，波函数的解是发散的。WKB要求的缓慢变化的势在这里不适用，需要分别考虑交点$x_0$ 两侧的WKB解，然后使用方程的边界条件找到一个过渡的函数来将$x_0$ 两边的WKB解连接起来。交点两侧的点$x_1$ 、$x_2$ 有$V_1=V\left(x_1\right),V_2=V\left(x_2\right)$ 且满足：

$V_1-E=E-V_2$ (7)

所以由(5)、(6)式可知：

$\left(x_1,x_0\right)$ 区间内：

$\left|k_1\right|=\frac{\sqrt{2m\left(V_1-E\right)}}{\hslash }=k$ , $\psi \left(x\right)=\frac{C_1}{\sqrt{\left|k_1\right|}}\exp \left(\left|k_1\right|x\right)$ (8)

$\left(x_0,x_2\right)$ 区间内：

$k_2=\frac{\sqrt{2m\left(E-V_2\right)}}{\hslash }=k$ , $\psi \left(x\right)=\frac{C_2}{k_2}\sin \left(k_{2}x+\theta \right)$ (9)

由(7)式可知k₁等于k₂，根据连续性条件有：波函数连续：$C_1=C_2\sin \left(\theta \right)$ 导函数连续：$C_1=C_2\cos \left(\theta \right)$

易得$\theta =\frac{\pi }{4}$ 于是得到$\left(x_0,x_3\right)$ 之间的波函数：

$\psi \left(x\right)=\frac{C}{\sqrt{k\left(x\right)}}\sin \left({\displaystyle {\int }_{x_0}^{x}k\left(x\right)\text{d}x}+\frac{\pi }{4}\right)$ (10)

可知要使(x₀, x₃)之间的WKB解自洽需满足：

${\displaystyle {\int }_{x_0}^{x_3}k\left(x\right)\text{d}x}=\left(n+\frac{1}{2}\right)\pi ,n=0,1,2,\cdots$ (11)

一般情况下有了(21)式就可以算出不同势下能量的本征值，然后代回波函数得到该势能下的波函数，能量越高的波函数WKB近似解越准确。

应用这种思路可得三阶WKB的一般形式[1]：

$\begin{array}{l}{\Lambda }_2=\frac{i}{8\sqrt{-2V_0^{\left(2\right)}}}\left[\left(\frac{V_0^{\left(4\right)}}{V_0^{\left(2\right)}}\right)\left(\frac{1}{4}+{\alpha }^2\right)-\frac{1}{36}{\left(\frac{V_0^{\left(3\right)}}{V_0^{\left(2\right)}}\right)}^2\left(7+60{\alpha }^2\right)\right]\\ {\Lambda }_3=\frac{n+\frac{1}{2}}{-2V_0^{\left(2\right)}}[-\frac{1}{384}\left(\frac{{\left(V_0^{\left(3\right)}\right)}^2{V}_0^{\left(4\right)}}{{\left(V_0^{\left(2\right)}\right)}^3}\right)\left(51+100{\alpha }^2\right)\\ +\frac{1}{2304}{\left(\frac{V_0^{\left(4\right)}}{V_0^{\left(2\right)}}\right)}^2\left(67+68{\alpha }^2\right)+\frac{5}{6912}{\left(\frac{V_0^{\left(3\right)}}{V_0^{\left(2\right)}}\right)}^4\left(77+188{\alpha }^2\right)\\ +\frac{1}{288}\left(\frac{V_0^{\left(3\right)}{V}_0^{\left(5\right)}}{{\left(V_0^{\left(2\right)}\right)}^2}\right)\left(19+28{\alpha }^2\right)-\frac{1}{288}\left(\frac{V_0^{\left(6\right)}}{V_0^{\left(2\right)}}\right)\left(5+4{\alpha }^2\right)]\end{array}$ (12)

其中$\alpha =n+\frac{1}{2},n=\{\begin{array}{l}0,1,2,\cdots \text{if}{\omega }_R>0\\ -1,-2,\cdots \text{if}{\omega }_R<0\end{array}$ 。

Figure 1. Potential energy function curve

图1. 势能函数曲线

3. 模型

本文选取施瓦西黑洞来算黑洞的准正则模式，流程如图2所示，其度规公式为：

$\text{d}{s}^2=-\left(1-2M/r\right)\text{d}{t}^2+{\left(1-2M/r\right)}^{-1}\text{d}{r}^{\text{2}}+r^2\left(\text{d}{\theta }^2+{\sin }^2\theta \text{d}{\phi }^2\right)$ (13)

其中M为黑洞的质量，本文中M的值选取为$\frac{1}{2}$ ，r为径向距离，$\theta$ 和$\phi$ 分别为极角和方位角。

Figure 2. Flowchart for solving QNM using the WKB Method

图2. WKB求解QNM的流程图

3.1. 动力学方程

考虑最简单的标量场$\varphi$ 和引力耦合，其拉氏量为：

$S={\displaystyle \int {\text{d}}^{4}x\sqrt{-g}\left(\frac{R}{16\pi G}-\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi \right)}$ (14)

对(14)分别做引力和标量场的变分可得到爱因斯坦场方程和能动量张量的形式以及标量场的动力学方程：

$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }R=8\pi G{T}_{\mu \nu }$ (15)

$T_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }{L}_m+{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }_{\nu }\varphi$ (16)

$L_m=-\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi$ (17)

标量场的动力学方程为：

$\frac{1}{\sqrt{-g}}{\partial }_{\mu }\left(\sqrt{-g}{\partial }^{\mu }\varphi \right)=0$ (18)

3.2. 黑洞的微扰

由黑洞的微扰产生的波动就是黑洞的引力波，它可以用QNM来近似。考虑简单的标量场的微扰，根据度规，即(13)式计算$\sqrt{-g}$ 得到：

$\sqrt{-g}=r^2\sin \theta$ (19)

将(19)代入运动方程(18)式后可得其径向扰动方程为：

$\frac{1}{r^2\sin \theta }{\partial }_{\mu }\left(r^2\sin \theta {\partial }^{\nu }\varphi \right)=0$ (20)

将标量场分离变量，得：

$\varphi \left(t,r,\theta ,\phi \right)={\text{e}}^{-i\omega t}{Y}_{lm}\left(\theta ,\phi \right)\frac{\psi \left(r\right)}{r}$ (21)

将(21)式代入(20)式并引入乌龟坐标$\frac{\text{d}{r}_{*}}{\text{d}r}=\frac{1}{1-2M/r}$ ，可得黑洞的径向扰动方程：

$\frac{{\text{d}}^2\psi }{\text{d}{r}_{*}{}^2}+\left[{\omega }^2-\left(1-\frac{2M}{r}\right)\left(\frac{l\left(l+1\right)}{r^2}+\frac{2M}{r^3}\right)\right]\psi =0$ (22)

其中：

$V_S^{Sch}\left(r\right)=\left(1-\frac{2M}{r}\right)\left(\frac{l\left(l+1\right)}{r^2}+\frac{2M}{r^3}\right)$ (22)

它表示施瓦西黑洞标量场的有效势能。通过变换l的取值，来得到不同的有效势能，从而得到不同的QNM的解。

4. QNM的解

由(22)式可以使黑洞的微扰方程简化为类薛定谔主方程[8]：

$\frac{{\text{d}}^2\psi }{\text{d}{x}^2}+Q\left(x\right)\psi \left(x\right)=0$ (23)

在研究黑洞的时候$\psi \left(x\right)$ 代表微扰的径向部分。$-Q\left(x\right)$ 在无穷远处是常数，在黑洞视界处达到最大值。它取决于扰动场的性质以及黑洞的质量、角动量等。在量子力学中$-Q\left(x\right)=\left(2m/{\hslash }^2\right)\left[V\left(x\right)-E\right]$ ，在这里$Q\left(x\right)=Q\left(r\right)={\omega }^2-V_S^{Sch}\left(r\right)$ ，${\omega }^2$ 充当能量的角色。黑洞的准则模式就是满足一定边界条件[9]-[11]薛定谔主方程的解。

准正则模式需要满足的条件是[1] [7]：

$\frac{i{Q}_0}{\sqrt{2Q_0{}^{\prime \text{}\prime }}}-{\Lambda }_2-{\Lambda }_3=n+\frac{1}{2}$ (24)

它类似于Bohr-Sommerfeld量子化条件[12]-[14]：

${\omega }^2=V_0-i\sqrt{-2V_0^{\left(2\right)}}\left[\left(n+\frac{1}{2}\right)+{\Lambda }_2+{\Lambda }_3\right]$ (25)

其中${\Lambda }_2$ 和${\Lambda }_3$ 的形式我们在(12)式给出，势能的(J)阶导数$V_0^{\left(J\right)}$ 的形式[15]如下：

$V_0^{\left(J\right)}={\frac{{\text{d}}^{J}V}{\text{d}{r}_{*}^J}|}_{r_{*}=r_{\max }}$ (26)

表1中结果表明，对黑洞进行标量场微扰时，若黑洞质量不变，黑洞的QNM仅与l和n有关。l代表角动量，n代表主量子数，在黑洞中与标量场的性质有关。也就是说对于施瓦西黑洞来说QNM仅与黑洞的角动量和标量场的性质有关。通过三阶WKB公式算出来的QNM其误差完全由微扰的阶数决定，每一阶的结果都是确实的解析公式，这区别于传统直接数值解微分方程[1]。

Table 1. Schwarzschild QNM for scalar perturbations

表1. 标量场微扰下施瓦西黑洞的QNM

l, n	三阶WKB
l = 0, n = 0	0.2093~0.2304i
l = 1, n = 0	0.5822~0.1960i
l = 1, n = 1	0.5244~0.6149i
l = 2, n = 0	0.9664~0.1936i
l = 2, n = 1	0.9264~0.5916i
l = 2, n = 2	0.8633~1.0069i

5. 结论

本文回顾了WKB的基本原理，说明了在转折点处的WKB解是如何连接的。现实世界的势能是千变万化的。WKB方法使我们找到了应对势能变化情况的一种解决办法，它可以解决薛定谔方程中势能相对于德布罗意波长缓慢变化的情况，是一种半经典的近似。WKB方法也具有一定的局限性，要使WKB方法在解黑洞QNM问题中适用，须满足方程中势V(r)的形状与标准的势垒的形状很接近，否则这种近似方法将会很不精确。

同时我们也写明了引力波与黑洞微扰以及QNM与引力波的关系，从而说明了用WKB方法解决QNM问题的动机。并用施瓦西黑洞举例，简单说明了黑洞微扰方程与其有效势的由来，并写明了如何由黑洞的微扰方程变成一个类似薛定谔方程的方程，表明WKB方法也可用在解黑洞微扰的问题上。

最后演示了WKB方法应用在黑洞准正则模式(QNM)的过程，用三阶WKB公式来求解黑洞的QNM，得出QNM与角动量和标量场性质有关的结论，为WKB在黑洞准正则模式中的应用提供了一些参考依据。

基金项目

国家自然科学基金项目(批准号：12105121)。