自动控制原理背后的数学问题

Math Problems in Automatic Control Theory

摘要: 自动控制原理是自动化及相关专业的学科基础课程，具有典型的多学科交叉特点，其先修课程包括高等数学、计算机、电力电子、机械等。其中，数学问题是该课程的核心问题。通过对数学问题的探究，帮助学生清楚地认识工程背景，激发学生的爱国和求知热情，进而运用正确的学习方法较好地掌握自动控制的核心技术，对培养具有创新能力的工程型复合人才具有良好的指导意义。

Abstract: Automatic control theory is a basic subject of Automation and related majors, which has a typical character of multidisciplinary cross. Its pre-requisite courses include mathematics, computer, power electronics, mechanics, etc. Math is the central issue of this subject. Through the investigation of math problems, the students can better understand the engineering background, so that their patriotism and curiosity will be inspired. In this sense, the students can use the right learning method to delicately grasp the key knowledge of automatic control, thereby facilitating cultivation of engineering composite talents with innovation ability.

1. 引言

自动控制科学是研究自动控制共同规律的技术科学，其应用最早可追溯到公元前我国古代工业应用中的计时装置和指南车等。20世纪40年代是系统和控制思想空前活跃的年代，形成了以传递函数为基础的经典控制理论。20世纪五六十年代，人类开始征服太空，催生了现代控制理论。从20世纪70年代开始，随着计算机技术的不断发展，出现了许多以计算机控制为代表的自动化技术，形成了智能控制理论。当今，自动控制已深入到社会的各个领域，如工业、生物、航空航天、经济等，已成为科技和社会经济发展不可或缺的一大重要技术。

自动控制原理是我校自动化和其他电子、电气与信息类本科生专业学生的学科基础课。课程是电类大类的主要专业基础课之一，主要讲授反馈控制系统的经典理论和方法。课程内容包括反馈控制系统数学模型的建立，掌握传递函数表达的线性系统时域分析法、根轨迹法、频域分析法等分析方法，并且运用以上分析方法对系统性能进行正确地校正。课程的教学目的是使学生通过系统的学习，掌握自动控制系统的工作原理、仿真和设计方法。通过本课程的学习，培养学生具有适应社会和科技发展需要，并在自动控制等领域富有工程意识、创新意识和国际视野的能力；培养学生的团队协同和沟通交流能力，能应用现代工具和科技手段分析复杂工程问题，并能评价其对社会和环境可持续发展的影响，习得自主学习和终身学习的意识和能力。该课程源于实际问题，旨在运用理论方法进行推理分析，进而将结论运用到实践中进行指导检验。该课程充分体现了理论与工程实践的紧密结合。该课程作为自动化专业的核心基础课之一，其对毕业要求的支撑十分重要，也对本专业学生进一步深造至关重要[1]。

自动控制原理的前修课程包括高等数学、线性代数、电力电子、计算机、机械原理、拉氏变换等。通过该课程的学习，旨在使学生掌握自动控制系统的工作原理、仿真和设计方法，系统地培养学生综合各部分知识的运用能力。培养学生具有适应社会和科技发展需要，在自动控制等领域富有工程意识、创新意识和国际视野的能力；培养学生的团队协同和沟通交流能力，能应用现代工具和科技手段分析复杂工程问题，并能评价其对社会和环境可持续发展的影响，习得自主学习和终身学习的意识和能力。

数学问题是自动控制原理的核心问题，深入了解从实际工程背景中提炼出的数学问题，掌握其蕴含的逻辑规律，不仅可以锻炼学生的科学思维方法，提高学生的科学素养，还能帮助学生更好地掌握课程内容，加强理论与实践相结合[2] [3]。例如，自动控制萌芽时期的一个典型应用飞球调节器虽然解决了蒸汽机的速度控制问题，但是由于缺少数学理论的支撑，速度震荡比较大。为此，人们探索了大约一个世纪，提出了以微分方程描述的速度控制系统。此外，在教学过程中融入同数学问题相关的实际案例，紧扣教育部《高等学校课程思政建设指导纲要》的指导思想，围绕中国工程教育认证的毕业要求，基于成果产出导向(OBE)的理念，可以帮助培养学生精益求精的大国工匠精神，激发学生科技报国的家国情怀和使命担当[4]。

2. 经典控制中的数学问题

自动控制原理包含经典控制和现代控制两个部分，本科教学主要完成以线性系统为代表的经典控制部分[5]。该部分的一大数学难点是清楚掌握不同域上数学模型的优缺点、相互关系以及控制性能表征。根据本校自动控制原理课程大纲规定，一共包含六个章节内容，分别是自动控制的一般概念、控制系统的数学模型、线性系统的时域分析法、线性系统的根轨迹法、线性系统的频域分析法和线性系统的校正方法。每个章节的学习需要掌握不同的数学知识，为了对其清晰地认识，我们给出相应的框图进行说明，如图1所示。

第一章的教学重点包括自动控制和反馈的基本概念和自动控制性的一般组成方框图。自动控制系统的分类需要掌握线性、非线性、连续时间、离散时间、导数、微分等数学定义。第二章的教学重点包括传递函数的定义和性质；利用微分方程对传递函数的求取方法；结构图的等效变换法则求取传递函数的方法；梅森增益公式的正确使用；利用MATLAB对系统建模的方法。该章节需要的数学知识包括常微分方程、积分变换、复变函数等。第三章的教学重点包括二阶系统的时域分析；高阶系统的时域分析；稳定性和稳态误差的计算；利用仿真软件分析动态和稳态性能。该章节需要的数学知识包括常微分方程、拉氏变换和反变换、留数定理、无穷级数、韦达定理。第四章的教学重点包括常规根轨迹的绘制法则和参数根轨迹。该章节需要的数学知识包括求根公式、留数定理、极限、三角函数。第五章的教学重点包括频率特性的定义；开环系统频率特性曲线和对数频率特性曲线的绘制；根据对数幅频曲线求取系统开环传递函数的方法；奈奎斯特判据判断稳定性的方法；频域稳定裕度的计算公式。该章节需要的数学知识包括三角函数、对数函数、复变函数等。第六章的教学重点包括校正装置的特性；串联校正的基本原理和校正装置的设计方法。该章节需要的数学知识包括复变函数、三角函数、对数函数等。

Figure 1. Course chapter content and relevant mathematical knowledge required

图1. 课程章节内容及所需相关的数学知识

3. 控制系统的典型数学模型

控制系统的典型数学模型主要包括建立在时间域上的微分方程模型、建立在复数域上的传递函数模型和建立在复频域上的频率特性模型。接下来，我们将对上述三种模型分别进行分析，研究其不同的数学特点、适用条件、优缺点，最后给出三者之间的相互关系和转换条件。

3.1. 控制系统的微分方程模型

微分方程可描述控制系统变量各阶导数之间关系，是一种时域动态数学模型。如果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程求解，就可以得到系统输出量的表达式，进而可对系统进行性能分析。运用分析法建立微分方程模型的常用步骤如下：1) 分析系统运动的因果关系，确定系统的输入量、输出量及内部中间变量，搞清各变量之间的关系；2) 忽略一些次要因素，合理简化；3) 分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律，列出各部分的原始方程式；4) 列写中间变量的辅助方程；5) 联立上述方程，消去中间变量，得到只包含输入输出的方程式；6) 将方程式转化成标准形。

Figure 2. R-L-C series circuit diagram

图2. R-L-C串联电路示意图

为了对微分方程建模进一步认识，考虑如图2所示的电阻–电感–电容串联系统，试列出$u_r\left(t\right)$ 为输入量，$u_c\left(t\right)$ 为输出量的网络微分方程式。

解：确定$u_r\left(t\right)$ 为输入量，$u_c\left(t\right)$ 为输出量，$i\left(t\right)$ 为中间变量。网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。由基尔霍夫定律列写原始方程：

$L\frac{\text{d}i}{\text{d}t}+Ri+u_c=u_r$ (1)

列写中间变量$i$ 与输出变量$u_c\left(t\right)$ 的关系式：

$i=C\frac{\text{d}{u}_c}{\text{d}t}$ (2)

将上式代入原始方程，消去中间变量得

$LC\frac{{\text{d}}^2{u}_c}{\text{d}{t}^2}+RC\frac{\text{d}{u}_c}{\text{d}t}+u_c=u_r$ (3)

整理成标准形，令$T_1=L/R,T_2=RC$ ，则方程化为

$T_1{T}_2\frac{{\text{d}}^2{u}_c}{\text{d}{t}^2}+T_2\frac{\text{d}{u}_c}{\text{d}t}+u_c=u_r$ (4)

3.2. 控制系统的传递函数模型

传递函数是采用拉氏变换求解微分方程时引申出来的复频域中的数学模型，它不仅可以表征系统的动态性能，而且可以用来研究系统的结构和参数变化时对系统性能的影响，是经典控制理论中最重要的模型。传递函数是线性定常系统，当初始条件为零时，系统输出拉氏变换和输入拉氏变换的比。传递函数具有以下性质：是系统本身的一种属性，与输入量的大小和性质无关；它只适用于线性定常系统，描述的是一对确定变量之间的传递关系；不能反映非零初始条件系统的运动情况；通常为复变量的有理分式；与脉冲响应一一对应。

一般情况，线性定常系统的微分方程可定义为：

$a_0\frac{{\text{d}}^{n}c}{\text{d}{t}^n}+a_1\frac{{\text{d}}^{n-1}c}{\text{d}{t}^{n-1}}+\cdots +a_{n-1}\frac{\text{d}c}{\text{d}t}+a_{n}c=b_0\frac{{\text{d}}^{m}r}{\text{d}{t}^m}+b\frac{{\text{d}}^{m-1}r}{\text{d}{t}^{m-1}}+\cdots +b_{m-1}\frac{\text{d}r}{\text{d}t}+b_{m}r$ (5)

式中$r\left(t\right)$ 是输入量，$c\left(t\right)$ 是输出量。

在零初始条件下，对式(5)进行拉氏变换可得传递函数为：

$G\left(s\right)=\frac{C\left(s\right)}{R\left(s\right)}=\frac{b_0{s}^m+b_1{s}^{m-1}+\cdots +b_{m-1}s+b_m}{a_0{s}^n+a_1{s}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}s+a_n}$ (6)

3.3. 控制系统的频率特性模型

频率特性是线性定常系统在零初始条件下，当输入信号的频率$\omega$ 在$0\to \infty$ 的范围内连续变化时，系统稳态输出与输入信号的幅值比与相位差随输入频率变化而呈现的变化规律。频率特性可以反映出系统不同频率的输入信号的跟踪能力，能在频域内全面描述系统的性能。它只与系统的结构、参数有关，是线性定常系统的固有特性。系统的频率特性包含幅频特性与相频特性两方面。在实际应用中，为直观地看出幅值比与相位差随频率变化的情况，是将幅频特性与相频特性在相应的坐标系中绘成曲线，并从这些曲线的某些特点来判断系统的稳定性、快速性和其它品质以便对系统进行分析与综合。

频率特性分析法又称为频域分析法，是一种图解的分析方法，它不必直接求解系统输出的时域表达式，不需要求解系统的闭环特征根，可以避开繁复的计算，简单、直观地分析出系统结构、参数对系统性能的影响。具体地，频率特性法使用简洁的曲线、图表及经验公式，简化控制系统的分析与设计，能根据系统的开环频率特性能揭示闭环系统的动态性能和稳态性能，得到定性和定量的结论，可以简单迅速地判断某些环节或者参数对系统闭环性能的影响，并提出改进系统的方法。

3.4. 三种模型之间的相互关系

微分方程模型、传递函数模型和频率特性模型是经典控制中重要的三种数学模型，如图3所示，他们分别建立在不同的域上，具有不同的优缺点，三者之间可以相互转换。

Figure 3. The conversion relationship between the mathematical models of the control system

图3. 控制系统数学模型之间的转换关系

以上三种数学模型以不同的数学形式表达系统的运动本质，并从不同的角度揭示出系统的内在规律，是经典控制理论中最常用的数学模型。

4. 结语

本文以经典控制中具有代表性的三种数学模型为例，讲述了数学问题在自动控制原理课程中的重要作用。由分析可见，充分理解自动控制背后的数学问题，运用科学的思维方式分析问题，可以加强学生的科学素养，帮助学生将实践与理论相统一，更好地掌握需要学习的课程知识，培养学生精益求精的大国工匠精神。

基金项目

本论文由“上海理工大学课程思政示范课程建设项目”专项资助。