1. 引言
图论，作为数学的一个关键分支，专注于探索图的数学结构。图是由顶点和连接这些顶点的边构成的集合。顶点之间的连接关系可以通过边的方向性来区分，从而将图分为有向图和无向图两大类。此外，根据边是否具有权重，图还可以被划分为加权图和非加权图[1] [2]。图论的历史可以追溯到18世纪，当时瑞士数学家莱昂哈德·欧拉解决了著名的柯尼斯堡七桥问题，该问题的核心在于寻找一条恰好经过每座桥一次的路径[3] [4]。时至今日，图论的研究领域已经扩展到图的性质、分类、遍历算法，以及特殊类型的图(例如树、环、欧拉图和哈密顿图)的研究，同时也涵盖了图的广泛应用。深入研究图的判定和性质，不仅能够帮助学生深化对图论基础概念的理解，还能激发他们对数学证明和算法设计的热情。欧拉对七桥问题的解答不仅首次引入了图的概念，而且为图论的发展奠定了坚实的基础[1]-[4]。
图论在化学领域的应用至关重要，通过图形化的方法来解析和呈现化合物的分子结构，使得复杂的化学式变得直观易懂。在生物学和遗传学的研究中，图论不仅帮助科学家们描绘基因序列，还用于揭示基因间的相似性以及对生物体内细胞网络的深入分析，从而推动了这些领域的发展。此外，图论在社会科学中也扮演着重要的角色，通过树状图谱等图形工具来展现家族谱系等层次化信息，并在社会网络分析中发挥关键作用，用于研究谣言在社会中的传播以及评估个体在社会网络中的影响力。
工程科学中图论的应用也是无处不在，它在网络设计、任务调度、逻辑控制以及多阶段决策制定等方面都发挥着重要作用，为解决复杂工程问题提供了强有力的理论支持。深度优先搜索(DFS)和广度优先搜索(BFS)等基础工具在程序分析、游戏开发和网络探索等领域中起着关键的作用。此外，图论还与拓扑学密切相关，两者相互补充，共同为工程科学的发展做出重要贡献。
图论的另一个重要的应用领域是欧拉图路径判定[5]。欧拉图路径问题起源于18世纪的柯尼斯堡七桥问题，由莱昂哈德·欧拉解决。这个问题涉及找到一条恰好通过每座桥一次的路径。欧拉的解答不仅提出了图的概念，还奠定了图论的基础，开启了数学中一个全新的研究领域[6] [7]。在离散数学的教学中，引入欧拉图路径判定案例是非常有意义的，它不仅能够帮助学生理解图论的基本概念，还能够激发他们对数学证明和算法设计的兴趣。
欧拉图路径判定不仅在理论研究中占有一席之地，而且在实际应用中也发挥着重要作用。例如，在网络设计、物流规划、社交网络分析等领域，欧拉路径和欧拉回路的研究有助于优化资源配置和提高效率。在计算机科学中，欧拉路径和回路的算法可以用来解决如网络路由、数据结构设计等问题。此外，欧拉图的概念也被用于解决一些特定的组合优化问题，如旅行商问题(TSP)和车辆路径问题(VRP)。随着科学技术的发展，欧拉图路径判定的应用领域还在不断扩展，其理论和算法的研究也在不断深化[7]-[10]。
本文旨在通过对欧拉图路径判定案例的分析，探讨图论在离散数学教学中的应用。首先，我们将介绍图论的基础知识以及在离散数学教学中的重要性和应用前景。然后，我们将详细分析欧拉图路径判定案例的重要性质，并探讨如何将其运用到离散数学课堂中的教学实践中。其次，本文总结了欧拉图路径判定在图论教学中的重要性，并提出了一些创新的教学方法和策略。最后，本文通过对比分析，评估欧拉图路径判定案例在学生学习效果和能力提升方面的影响。
2. 图论基础知识
图(Graph)是由顶点(Vertex)集合和边(Edge)集合组成的数学结构，通常表示为G = (V, E)，其中V是顶点集合，E是边集合。如图1所示，
为4个顶点，连接两个顶点的线即为边，如图，共有7条边，边可以是无方向的，即为无向图。也可以是有方向的，即为有向图。图1为无向图。
Figure 1. The basic structure of a graph
图1. 图的基本结构
特殊类型的图包括完全图，其中每对顶点间都存在唯一边。二分图，顶点可划分为两个集合，边仅连接不同集合的顶点。树，一种无环连通图，代表一种层级关系。环图，至少包含一个环，环是起点和终点相同的闭合路径。平面图，可以在平面上绘制而不使边相交(除顶点外)。以及有向无环图(DAG)，一种特殊有向图，不存在环，常用于表示有序流程。这些特殊类型的图在不同领域有着广泛的应用，如网络设计、算法开发、复杂系统建模等。
图的遍历是指系统地访问图中的所有顶点和边，确保每个顶点和边都被访问一次。主要包含深度优先搜索和广度优先搜索两种遍历算法。
3. 欧拉图
该节主要介绍了欧拉图的概念、性质和判定欧拉图存在性的经典定理——欧拉定理。
3.1. 基本概念
欧拉图是一类特殊的图，其特点是存在一条路径(称为欧拉路径)或回路(称为欧拉回路)，这条路径或回路可以恰好经过图中每一条边一次。
3.2. 主要性质
λ 连通性：欧拉图一定具有连通性，在无向图中，这意味着任意两个顶点之间都存在路径相连；在有向图中，则要求每个顶点的入度等于出度，且忽略边的方向时，图是连通的。
λ 欧拉回路：欧拉图包含一条欧拉回路，这是一条通过图中每条边恰好一次并返回到起点的闭合路径。
λ 偶数度数：在无向欧拉图中，所有顶点的度数(即与顶点相连的边数)都是偶数。这是欧拉图存在欧拉回路的基础条件。
3.3. 欧拉图定理
欧拉图定理主要分为有向图和无向图两类，下面我们将分别阐述两个定理的内容。
3.3.1. 有向图欧拉定理
一个连通的有向图是欧拉图当且仅当每个顶点的入度等于出度。
证明：
必要性：假设存在一个欧拉回路，即一条通过每条边恰好一次并返回起点的闭合路径。考虑路径中的任意顶点v，每当路径进入v时，它必须离开v，除非v是路径的起点和终点。因此，对于图中的每个顶点v，进入的次数(度数的一半)必须等于离开的次数。这意味着每个顶点的度数是偶数。
充分性：假设图G是连通的，且所有顶点的度数都是偶数。我们需要证明图G包含一个欧拉回路。
1) 构造一个辅助图：从图G开始，每次移除一条边e，如果移除后图仍然连通，则继续这个过程，直到无法移除更多边为止。这样得到的图G′仍然是连通的，并且每条边都是环路的一部分，或者连接两个环路。
2) 分析辅助图：由于G中所有顶点的度数都是偶数，所以在G′中，每个顶点的度数也是偶数。这意味着每个顶点都包含在某个或某些环路中。
3) 寻找欧拉回路：从G′中的任意一个环路开始，沿着环路走，每次遇到一个顶点，就将该顶点所在的另一个环路加入到当前路径中，直到所有环路都被访问过。由于每个顶点都出现在偶数次，所以这个过程可以持续进行，直到回到初始环路。
4) 闭合回路：由于G是连通的，所以从任意顶点出发，都可以沿着上述过程中构建的路径回到起点。这样，我们就得到了一个闭合的路径，它恰好经过每条边一次，即欧拉回路。
3.3.2. 无向图欧拉定理
一个连通的无向图是欧拉图当且仅当所有顶点的度数都是偶数。
证明：
必要性：假设无向图G是一个欧拉图，那么根据定义，G包含一个欧拉回路。欧拉回路是一条通过图中每条边恰好一次并返回起点的闭合路径。
1) 考虑欧拉回路中的任意顶点v。在欧拉回路中，每经过顶点v一次，必然对应着两条边：一条进入v，一条离开v。这意味着对于欧拉回路中的任意顶点v，其度数(即与v相连的边数)必须是偶数。
2) 因此，如果G是欧拉图，那么在欧拉回路中，所有顶点的度数都是偶数。
充分性：现在，假设无向图G是连通的，并且所有顶点的度数都是偶数。我们需要证明G是欧拉图，即存在一个欧拉回路。
1) 从任意顶点v开始，我们可以沿着图中的边行走，每次选择一条尚未走过的边，并且沿着这条边移动到下一个顶点。
2) 由于所有顶点的度数都是偶数，这意味着每进入一个顶点，我们总能找到一个边离开这个顶点，因此我们可以继续沿着路径行走，而不会被困在任何顶点。
3) 由于图G是连通的，因此该路径可以覆盖图中的所有边，并且最终回到起始顶点v。
4) 最后，我们构造了一条通过每条边恰好一次并返回起点的闭合路径，即欧拉回路。得证。
4. 实际案例分析
4.1. 阿里城市大脑项目
阿里城市大脑项目是阿里云推出的一个以云计算、大数据、人工智能、物联网等技术为基础，旨在构建未来智慧城市的核心引擎。城市大脑通过整合城市各类信息资源，实现对城市运行状态的全面感知、动态监测、智能分析和精准调控，从而提高城市治理水平和居民生活质量。假设我们有一个交通网络，包括4个路口和4条道路，如图2所示：
路口1与路口2通过道路A连接，路口2与路口3通过道路B连接，路口3与路口4通过道路C连接，路口4与路口1通过道路D连接，我们希望优化路口的交通信号控制策略，以最大化整个交通网络的通行能力。
Figure 2. Simulated traffic network
图2. 模拟的交通网络
基于这个交通网络，我们可以建立欧拉图：
路口1、路口2、路口3和路口4作为欧拉图的节点；
道路A、道路B、道路C和道路D作为欧拉图的边。
接下来，我们采集不同路段的交通流量和速度数据，并根据这些数据建立交通流模型，如LWR模型。假设在特定时间段内，道路A的流量为100辆车，车速为60 km/h，道路B的流量为120辆车，车速为40 km/h，道路C的流量为90辆车，车速为50 km/h，道路D的流量为80辆车，车速为55 km/h。
根据这些数据，我们可以建立LWR (Lighthill-Whitham-Richards)模型来描述交通流动态，如：
道路A：假设流量和速度之间的关系可以表示为：Q_A = V_A * rho_A，其中Q_A为道路A的流量，V_A为道路A的速度，rho_A为道路A的密度。
道路B、道路C、道路D的关系类似。
接下来，我们确定优化目标为最大化整个交通网络的通行能力，即
(1)
通过运用优化算法(如遗传算法或禁忌搜索)，我们可以在交通流模型的基础上，通过调整路口的信号灯定时和配时来求解最优的交通信号控制策略。策略的目标是使得交通流动更加顺畅，最大化整个交通网络的通行能力。最后，通过仿真模拟或实地测试，我们可以评估得到的最优策略的性能，并进行必要的调整和优化。
这个案例展示了如何使用欧拉图在交通信号优化中建立交通流的数学模型，通过优化算法求解最优的交通信号控制策略。它帮助改善交通流动，减少拥堵和延误，提高交通效率和出行体验。
4.2. 旅游路线规划
如图3所示，假设一个旅游城市有5个景点，分别是A、B、C、D和E。这些景点之间有一些路径将它们连接起来。我们希望游客能够在一天内游览到尽可能多的景点。
Figure 3. Simulated tourist route graph
图3. 旅游路径图
根据景点之间的路径，我们可以构建一个欧拉图：景点A与景点B之间有一条路径连接，景点B与景点C之间有一条路径连接，景点C与景点D之间有一条路径连接，景点D与景点E之间有一条路径连接，景点E与景点A之间有一条路径连接，现在，我们需要找到一条欧拉路径，该路径可以顺序经过每个景点一次，同时尽量短，以便游客在一天内能够游览尽可能多的景点。
案例分析：按照Fleury算法，我们可以从任意一个节点开始，依次选择相邻的边，并删除这条边，直到无法再选择相邻的边。假设我们从节点A开始，根据连接情况，我们可以选择路径A-B，然后删除这条路径。接下来，我们从节点B继续搜索，可以选择路径B-C，然后删除这条路径。然后我们从节点C继续搜索，有两个选择：路径C-E和路径C-D。我们可以选择其中一个路径，假设我们选择路径C-E，然后删除这条路径。最后，我们从节点E继续搜索，只有一条选择：路径E-A。我们选择这条路径，并删除这条路径。
经过上述步骤，我们得到了一条欧拉路径：A-B-C-E-A。这条路径可以让游客在一天内游览到全部5个景点，并且路径长度最短。
通过以上两个案例分析，我们可以认识到欧拉图路径判定作为一个重要的内容，涉及图的连通性和欧拉路径的概念，为学生理解和掌握图的基本性质和算法奠定了坚实的基础。在进行欧拉图路径判定分析时，需要注意确保图的连通性，然后通过检查顶点的度数来区分欧拉回路和欧拉路径，要避免错误计算顶点度数以及在回溯过程中出错。
5. 教学实践与探索
为了激发学生的学习兴趣和提高数学素养，以下是几种创新的教学方法和策略：
1) 拼图游戏：设计一个欧拉图拼图游戏，将图中的节点和边打印成拼图形式，并将其混合在一起。学生需要拼接这些拼图，以还原原始的欧拉图结构。这个活动结合了学习和娱乐，可以帮助学生直观地理解欧拉图路径的构成。
2) 角色扮演：将学生分成小组，每个小组扮演一个旅行者团队，他们必须合作规划一次完整的旅行，经过所有节点且仅一次。学生可以扮演导航员、研究员等角色，通过讨论和合作，设计出满足条件的路径。这个活动旨在培养学生的团队合作和沟通能力。
3) 讨论和辩论：引导学生参与欧拉图路径判定的讨论和辩论。给学生不同的问题，让他们就欧拉图路径的存在与否、路径的唯一性等问题进行辩论。这样旨在激发学生的思维和争论，积极参与到课堂活动中，促进他们对欧拉图的深入思考。
4) 实际案例分析：学生可通过分析并求解上述两个实际案例，将理论与实践相结合。
5) 技术工具辅助学习：学生对技术工具的使用非常感兴趣，通过图形化软件和在线模拟工具，他们能够更直观地理解欧拉图路径判定。
我们在离散数学的实际教学任务中应用了以上的教学方法和策略，并取得了良好的教学效果。学生在解决实际问题的过程中展现出积极的思维和解决问题的能力。他们通过讨论和合作，深入理解了欧拉图路径判定的概念，并能够将其应用到实际问题中。学生们反馈说通过案例设计，他们更好地理解和掌握了欧拉图路径判定的内容。同时，他们对使用可视化工具进行欧拉图路径判定的实践也表现出极大的兴趣，这让他们能够直观地观察到图形的变化和路径的形成过程。学生们表示这些工具帮助他们更好地理解和应用欧拉图路径判定的原理和方法，提高了他们的学习效果。
我们的班级也有了显著的变化。从最初只有16个常到学生且不愿意坐在前排，到如今所有学生都到齐听课，并且前排座位都被占满。这显示了学生们对教学内容的兴趣和参与度的明显提高。同时，我们还挖掘了一些在科研方面有潜力的学生，成立了科研小组，并成功申请了一项国家发明专利，发表了一篇会议论文。
6. 结论
本文总结了欧拉图路径判定在图论教学中的重要性，并提出了一些创新的教学方法和策略，以激发学生的学习兴趣和提高他们的数学素养。通过对欧拉图路径存在性判定的教学实践，本文为离散数学的教学提供了新的视角和方法。与此同时，欧拉图路径判定在网络优化和交通流的应用方面也有巨大研究潜力。在网络优化中，欧拉图路径判定可以用于优化网络结构和路线规划，帮助优化网络资源的利用与分配。在交通流领域，欧拉图路径判定可以用于优化交通流量、减少拥堵，并提高交通系统的效率和可持续性。
基金项目
本文受到上海市白玉兰浦江计划(23PJ1409900)和国家自然科学青年基金(62403317)的资助。
NOTES
*通讯作者。