3C型顶点算子代数的(1/2, 1/16)-可实现群

(1/2, 1/16)-Realizable Group of 3C-Vertex Operator Algebra

摘要: 本文章的主要目的是证明对称群S₃是(1/2, 1/16)-可实现群。本文回顾了有关Ising向量和3-转置群的背景知识，并给出了(γ, δ)-可实现群的定义，然后给出了3C型VOA和其Griess代数的一些局部结构，最后给出了S₃是(1/2, 1/16)-可实现群的证明。

Abstract: In this paper, the main purpose is to prove that the group S₃ is a (1/2, 1/16)-realizable group. We review the background knowledge about Ising vectors and 3-transposition groups, then introduce the definition of (γ, δ)-realizable group. By Miyamoto’s Results about 3C-VOA and Its Griess algebra, we finally prove that the group S₃ is a (1/2, 1/16)-realizable group.

1. 引言

顶点算子代数(Vertex Operator Algebra，简称为VOA)是二维共形场论的数学对象，它来源于月光猜想，这一猜想揭示了Monster单群$\mathbb{M}$ 的一些神秘性质[1]。为了解决月光猜想，Frenkel、Lepowsky和Meurman构造了the moonshine VOA $V^{♮}={\oplus }_{i=0}^{\infty }{V}_i{}^{♮}$ ，此VOA的全自同构群恰好就是Monster单群$\mathbb{M}$ [2]。除去一个Virasoro元素后，其权为2的子空间与一个维数为196,884的交换非结合代数(称为Monstrous Griess代数)相一致。该代数由Griess所构造，用于构造Monster单群[3]。一般对monstrous Griess代数的研究都是从群论的观点出发，其中一个重要的结果是：每个2A-对合$\theta$ 定义了唯一一个monstrous Griess代数的幂等元$e_{\theta }$ (称为轴)，使得内积$\langle e_{\theta },e_{\varphi }\rangle$ 是由共轭类${\theta }_{\varphi }$ 唯一决定的，参见[4]。

另一方面，3-转置群的概念首先由Fischer提出并研究[5]，Fischer通过中心自由和reduced的3-转置群的分类发现了Sporadic Fischer Groups。后来又有许多研究者进一步讨论了关于3-转置群分类的问题，这些研究旨在通过推广某些群伦的结论来去掉中心自由性和reduced的假设。3-转置群的研究实际上相当于对其所对应的Fischer空间结构的研究。简单地来说，Fischer空间是由2阶的对偶仿射平面和3阶的仿射平面胶合而成的部分线性空间。当3阶仿射平面不存在时，所对应的3-转置群被称为辛型。

考虑到与中心载荷为1/2的Virasoro代数有关的顶点算子代数的Griess代数$B=V_2$ 的一些一般特征，Miyamoto [6]发现在某些情况下，3-转置群作为VOA的自同构子群出现。在本文中，将会从一个VOA V出发，构造出一个3-转置群，并由此引出$\left(\gamma ,\delta \right)$ -可实现群的定义。而通过3-转置群可以构造出Matsuo代数，进一步可以观察Griess代数的局部结构[7]。

关于VOA，设$V=V_0\oplus V_1\oplus \cdots$ 是一个VOA且满足$\dim V_0=1$ 和$V_1=0$ ，设e是Griess代数B中中心载荷为1/2的共形向量且满足e生成Virasoro VOA $L\left(1/2,0\right)$ (此时称e为Ising向量)。$L\left(1/2,0\right)$ 是有理的且有且只有3个不可约模，分别为$L\left(1/2,0\right)$ ，$L\left(1/2,1/2\right)$ 和$L\left(1/2,1/16\right)$ [8]。此时可以定义一个V的对合自同构${\tau }_e$ ：

${\tau }_e=\{\begin{array}{ll}1,\hfill & \text{on}{V}_e\left(0\right)\oplus V_e\left(1/2\right)\hfill \\ -1,\hfill & \text{on}{V}_e\left(1/16\right)\hfill \end{array}$

其中$V_e\left(h\right)$ 为所有作为e所生成VOA的模与$L\left(1/2,h\right)$ 同构的子模的和。如果在V的分解中$V_e\left(1/16\right)=0$ ，则也可以定义一个对合自同构${\sigma }_e$ ：

${\sigma }_e=\{\begin{array}{ll}1,\hfill & \text{on}{V}_e\left(0\right)\hfill \\ -1,\hfill & \text{on}{V}_e\left(1/2\right)\hfill \end{array}$

此时，对于任意两个满足上述条件的向量e和f，都满足${\sigma }_e{\sigma }_f$ 的阶为1、2或3。

本文章的主要目的是证明对称群$S_3$ 是$\left(1/2,1/16\right)$ -可实现群。首先，本文回顾了有关Ising向量和3-转置群的背景知识，并给出了$\left(\gamma ,\delta \right)$ -可实现群的定义[7]；然后给出了3C型VOA和其Griess代数的一些局部结构[9]；最后结合以上结果给出$S_3$ 是$\left(1/2,1/16\right)$ -可实现群的证明。

2. 预备知识

2.1. 顶点算子代数

设V是顶点算子代数(简称为VOA)，且满足以下性质：

$V={\oplus }_{n=0}^{\infty }{V}_n,V=ℂ1,V_1=0.$

则V上存在唯一的不变双线性型使得$\langle 1,1\rangle =1$ 。考虑V的权为2的子空间$B=V_2$ ，令$x\cdot y=x_{\left(1\right)}y$ ，则B成为一个交换非结合代数；令$\left(x,y\right)1=x_{\left(3\right)}y$ ，则$\left(\cdot ,\cdot \right)$ 是B上唯一的对称不变双线性型。代数B称为V的Griess代数。注意到对任意的，V上双线性型$\langle u,v\rangle$ 与B上双线性型$\left(u,v\right)$ 是一致的。实际上，我们有$\langle u,v\rangle 1=\langle u\left(-1\right)1,v\rangle 1=\langle 1,u_{\left(3\right)}v\rangle 1=u_{\left(3\right)}v$ 。在某些情况下，Griess代数的某些子代数同构于某些3-转置群所对应的Matsuo代数，因此可以从Matsuo代数的角度来考虑Griess代数的局部结构。

设$e\in B$ ，如果e非零且满足$e\cdot e=2e$ ，则称e为Griess代数B的幂等元。现在假设e是一个幂等元，则当$n\ge 4$ 或$n=2$ 时，有$e_{\left(n\right)}e=0$ 。这意味着e是一个共形向量，即$L_n^e=e_{\left(n+1\right)}$ 的作用满足中心载荷为$c_e=2\left(e,e\right)$ 的Virasoro换位关系式：

$\left[L_m^e,L_n^e\right]=\left(m-n\right)L_{m+n}^e+\frac{m^3-m}{12}{\delta }_{m+n,0}{c}_{e}Id.$

定义2.1 设V是一个VOA，$V_{ℝ}\subset V$ 是包含真空向量$1$ 和Virasoro元素$\omega$ 的子空间。若有$V_{ℝ}{\otimes }_{ℝ}ℂ=V$ ，且V上运算限制在$V_{ℝ}$ 上使得$V_{ℝ}$ 成为一个实数域$ℝ$ 上的VOA，则称$V_{ℝ}$ 是V的实形。

设$V_{ℝ}$ 是V的一个实形，$\left(\cdot |\cdot \right)$ 是$V_{ℝ}$ 上一个实不变双线性型，则$\left(\cdot |\cdot \right)$ 可以扩充成一个V上的埃尔米特型$\langle \cdot |\cdot \rangle$ 。对所有的，埃尔米特型$\langle \cdot |\cdot \rangle$ 满足：

$\langle Y\left(u,z\right)v|w\rangle =\langle v|Y\left({\text{e}}^{z{L}_1}{\left(-z^{-2}\right)}^{L_0}u,z^{-1}\right)w\rangle .$

我们称由$V_{ℝ}$ 和$\langle \cdot |\cdot \rangle$ 组成的有序对为VOA $V$ 上的不变埃尔米特型。

我们接下来将Griess代数B与实形$V_{ℝ}$ 的交记为：

$B_{ℝ}=B\cap V_{ℝ}.$

2.2. 3-转置群

我们首先回顾3-转置群的定义。

定义2.2 设G是群，I是由G中一些对合元素构成的子集，若下述条件成立，则称$\left(G,I\right)$ 为一个3-转置群：

(i) G由I生成；

(ii) I在共轭作用下封闭，即$\forall a,b\in I$ ，有$a^b=bab\in I$ ；

(iii) 对任意的a和$b\in I$ ，$ab$ 的阶不大于3。

设$\left(G,I\right)$ 是一个3-转置群，$a,b\in I$ 。我们通过以下邻接关系定义I上的图结构：

$a~b$ 当且仅当a和b是非交换的。

如果$a~b$ ，则$ab$ 的阶为3，并且$a^b=b^a\in I$ ，此时我们记$a\circ b:=a^b=b^a$ 。由以上定义容易得到，I是一个连通图当且仅当I是G的一个独立的共轭类。如果I是G的一个共轭类，则我们称$\left(G,I\right)$ 是不可分解的，进一步地，如果此时I不是一个单点集，即G不是循环群，则我们称$\left(G,I\right)$ 是非平凡的。我们约定，在I的定义显然且不会引起歧义的情况下，将$\left(G,I\right)$ 简记为G。

在不假设有限性的情况下[10]，对中心自由的3-转置群进行了分类。由[10]中分类的结果，我们有下面的结论。

定理2.3 [10]每个3-转置群G都是局部有限的，即G的每个有限子集都生成有限子群。

设H是G的一个子群，如果H可由I的子集生成，则称H是G的I-子群。此时，$\left(H,H\cap I\right)$ 也是一个3-转置群。

定义2.4 设$\left(G_1,I_1\right)$ 和$\left(G_2,I_2\right)$ 是3-转置群。我们定义他们的直积为$\left(G,I\right)$ ：

$G=G_1\times G_2,I=\left(I_1\times \left\{1\right\}\right)\cup \left(\left\{1\right\}\times I_2\right)$

易见$\left(G,I\right)$ 还是3-转置群。

如果$\left(G,I\right)$ 是不可分解的，则我们可以得到一个非平凡的分解$I=I_1\bigsqcup I_2$ 使得$G_i=\langle I_i\rangle$ 是G的非平凡的3-转置子群并且$G\simeq G_1\times G_2$ 。于是容易得知，一个3-转置群是不可分解的当且仅当其没有非平凡的直积分解。

2.3. $\left(\gamma ,\delta \right)$ -可实现群

设V是一个VOA，且满足

$V={\oplus }_{n=0}^{\infty }{V}_n,V=ℂ1,V_1=0.$

设e是一个幂等元并且记$B^e=\left\{v\in B|\left(e,v\right)=0\right\}$ 。如果$c_e\ne 0$ ，则$B=B^e\oplus ℂe$ 。对每一个复数h，考虑其所对应的特征子空间：

$B_e\left(h\right)=\left\{v\in B^e|e\cdot v=hv\right\}.$

为了对Griess代数B的结构进一步讨论，我们令

$B_e\left[\overline{0}\right]=B_e\left(0\right)\oplus ℂe,$

$B_e\left[\overline{1}\right]=B_e\left(\delta \right),\delta \in ℂ.$

如果有下述关系成立，

$B_e\left[{\epsilon }_1\right]\cdot B_e\left[{\epsilon }_2\right]\subseteq B_e\left[{\epsilon }_1+{\epsilon }_2\right],{\epsilon }_1,{\epsilon }_2\in \mathbb{Z}/2\mathbb{Z},$

则称e有关于$h=\delta$ 的二元性融合性质。

接下来的过程将构造$AutV$ 的子群$G_V$ 以及其生成子集$D_V$ ，以引出定义2.6。

设$e\in B_{ℝ}$ 是中心载荷为$c=\gamma$ 的实幂等元，e有关于$h=\delta$ 的二元性融合性质且满足$B=B_e\left(0\right)\oplus B_e\left(\delta \right)\oplus ℂe$ 。此时定义线性映射${\tilde{\sigma }}_e$ ：

$\begin{array}{l}B\to B\\ x\mapsto {\tilde{\sigma }}_e\left(x\right)=x-2x_e\left(\delta \right).\end{array}$

其中$x_e\left(\delta \right)$ 表示$x$ 在$B_e\left(\delta \right)$ 上的分量。

实际上，容易验证

${\tilde{\sigma }}_e=\{\begin{array}{ll}1,\hfill & \text{on}{B}_e\left[\overline{0}\right]\hfill \\ -1,\hfill & \text{on}{B}_e\left[\overline{1}\right]\hfill \end{array}$

于是${\tilde{\sigma }}_e$ 显然是一个B上的自同构。

现在我们假设空间V有分解式$V=V_e\left[\overline{0}\right]\oplus V_e\left[\overline{1}\right]$ 使得下面性质成立：

(1) .

(2) $V_e\left[\epsilon \right]\cap V_2=B_e\left[\epsilon \right],\epsilon \in \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ .

于是B上的自同构${\tilde{\sigma }}_e$ 可以扩充成整个V上的自同构${\tilde{\tau }}_e$ ：

${\tilde{\sigma }}_e=\{\begin{array}{ll}1,\hfill & \text{on}{V}_e\left[\overline{0}\right]\hfill \\ -1,\hfill & \text{on}{V}_e\left[\overline{1}\right]\hfill \end{array}$

接下来考虑满足以上所有性质的幂等元构成的集合$E_V$ ，进一步假设有下面性质成立

(3) $g\left(V_e\left[\epsilon \right]\right)=V_{g\left(e\right)}\left[\epsilon \right],g\in AutV,e\in E_V\text{and}\epsilon \in \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 。

记$D_V=\left\{{\tilde{\tau }}_e|e\in E_V\right\}$ ，且记$G_V$ 为$AutV$ 中由$D_V$ 生成的子群。

命题2.5 在上述的假设下，V的自同构${\tilde{\tau }}_e$ 满足：

$\forall g\in AutV$ ，有$g{\tilde{\tau }}_e{g}^{-1}={\tilde{\tau }}_{g\left(e\right)}$ ，

于是$\left(G_V,D_V\right)$ 是一个3-转置群。

定义2.6 设$\left(D,V\right)$ 是一个3-转置群，如果$\left(D,V\right)$ 同构于V由上述过程得到的$\left(G_V,D_V\right)$ ，则称其为由VOA V $\left(\gamma ,\delta \right)$ -可实现的。

接下来引入的引理来源于顶点算子代数的张量积构造。

引理2.7 设$V_1$ 和$V_2$ 是满足下述条件的VOA：

(I) $V={\oplus }_{n=0}^{\infty }{V}_n,V=ℂ1,V_1=0$ ，

(II) V上有一个正定的不变埃尔米特型，

(III) V可由其Griess代数B生成，B由$E_V$ 张成，$\forall e_1\in E_1,e_2\in E_2,\left(e_1,e_2\right)=0$ 。

如果有两个3-转置群分别由$V_1$ 和$V_2$ $\left(\gamma ,\delta \right)$ -可实现，则它们的直积可以由VOA的张量积$V_1\otimes V_2$ $\left(\gamma ,\delta \right)$ -可实现。

相反地，假设对于$E_V$ 有一个非平凡的正交分解，即$E_V=E_1\cup E_2$ 是非空子集$E_1$ 和$E_2$ 的不交并，且$E_1\perp E_2\left(\forall e_1\in E_1,e_2\in E_2,\left(e_1,e_2\right)=0\right)$ 。设$V_1$ 和$V_2$ 分别是$E_1$ 和$E_2$ 生成的子VOA。由于条件(II)，$V_1$ 和$V_2$ 是单VOA，它们的张量积$V_1\otimes V_2$ 也是单VOA。因为$E_1\perp E_2$ ，我们有$\forall u^1\in V_1,u^2\in V_2,n\ge 0,u_{\left(n\right)}^1{u}^2=0$ 。因此，通过VOA张量积的相关性质，可以得到一个VOA的同态$V_1\otimes V_2\to V$ 。由条件(III)可知，该同态是满射，再由VOA的单性，该同态实际上还是一个同构。

3. 关于3C型VOA

本章节的主要目的是证明$S_3$ 是$\left(1/2,1/16\right)$ -可实现群。为实现这一目的，我们需要先回顾3C型VOA的局部结构。3C型VOA是由V的两个Ising向量e和f生成的子代数，其3C型取决于同构类${\tau }_e{\tau }_f$ ，此时有e，f的内积为$\langle e,f\rangle =\frac{1}{2^8}$ 。

设V是域$ℝ$ 上的单VOA，对任意的$v\in V$ ，用$Y\left(v,z\right)={\displaystyle \sum _{n\in \mathbb{Z}}v}\left(n\right)z^{-n-1}$ 来表示v对应的顶点算子。

我们还假设以下条件成立：

(I’) $V={\oplus }_{n=0}^{\infty }{V}_n,V=ℝ1,V_1=0$ 。

一个VOA如果满足上述条件(I’)，则称其为OZ-型。因为$\dim V_0=1$ 且$V_1=0$ ，V上存在唯一一个不变双线性型$\langle \cdot ,\cdot \rangle$ 使得$\langle 1,1\rangle =1$ 。

(II’) 对任意的$n\in \mathbb{Z}$ ，$\langle \cdot ,\cdot \rangle$ 在$V_n$ 上是正定的。

我们注意到Griess代数的双线性型$\left(\cdot ,\cdot \right)$ 和V的双线性型$\langle \cdot ,\cdot \rangle$ 限制在B上是一致的。

定义3.1 如果一个共形向量e生成有理VOA $L\left(1/2,0\right)$ ，则称之为Ising向量。

注：对于$V=V^{♮}$ 的情况，此时monstrous Griess代数的每个轴实际上就是$V^{♮}$ 的Ising向量的一半。

利用Ising向量，可以对V的Griess代数进行特征子空间的分解，并且可以借助$L\left(1/2,0\right)$ 的对V进行分解，并构造出对合自同构。具体如下：

引理3.2 [6]设e是一个Ising向量，则$V_2$ 有如下分解：

$V_2=ℝe\oplus E_e\left(0\right)\oplus E_e\left(1/2\right)\oplus E_e\left(1/16\right),$

其中$E_e\left(h\right)$ 表示$e_{\left(1\right)}$ 关于特征值h的特征子空间。

对于一个Ising向量e，V有如下分解：

$V=V_e\left(0\right)\oplus V_e\left(1/2\right)\oplus V_e\left(1/16\right),$

其中$V_e\left(h\right)$ 表示所有同构于$L\left(1/2,h\right)$ 的不可约$\langle e\rangle$ -子模的和，$\langle e\rangle$ 是由e生成的子VOA。

此时我们定义一个V的对合自同构${\tau }_e$ ：

${\tau }_e=\{\begin{array}{ll}1,\hfill & \text{on}{V}_e\left(0\right)\oplus V_e\left(1/2\right)\hfill \\ -1,\hfill & \text{on}{V}_e\left(1/16\right)\hfill \end{array}$

现在设$e,f$ 是两个互不相同的Ising向量，且有${\tau }_e\left(f\right)={\tau }_f\left(e\right),\langle e,f\rangle =1/2^8$ 。

利用分解式$V_2=ℝe\oplus E_e\left(0\right)\oplus E_e\left(1/2\right)\oplus E_e\left(1/16\right)$ ，可以得到

$f=\lambda e+a+b+c$

其中$\lambda \in ℝ,a\in E_e\left(0\right),b\in E_e\left(1/2\right),c\in E_e\left(1/16\right)$ 。注意到

$\langle e,f\rangle =\langle e,\lambda e+a+b+c\rangle =\lambda \langle e,e\rangle$

可以得到$\lambda =4\langle e,f\rangle =1/2^6$ 。借助Miyamoto的结果[9]，$VA\left(e,f\right)$ 是V的子VOA，$e+{\omega }_1$ 是其Virasoro元素，这里${\omega }_1=\frac{16}{9-48\lambda }a$ 。

从现在开始，我们记$V_{ℝ}=VA\left(e,f\right)$ ，$V=ℂ\otimes V_{ℝ}$ ，$B_{ℝ}={\left(VA\left(e,f\right)\right)}_2$ ，$B={\left(ℂ\otimes V_{ℝ}\right)}_2$ 。

由Miyamoto在[9]中相关讨论，我们有

$B=ℂe\oplus ℂa\oplus ℂc=ℂe\oplus B_e\left(0\right)\oplus B_e\left(1/16\right).$

在这一章节的最后，我们将给出以下命题及其证明。

命题3.3 3-转置群$S_3$ 是$\left(1/2,1/16\right)$ -可实现群。

证明 首先，我们约定使用上文给出的假设和记号。由[11]可知，V有且只有3个Ising向量$e,f,{\tau }_e\left(f\right)={\tau }_f\left(e\right)$ 。

对于e，我们令$B_e\left[\overline{0}\right]=ℂe\oplus B_e\left(0\right),B_e\left[\overline{1}\right]=B_e\left(1/16\right)$ 。利用$L\left(1/2,0\right)$ -模的融合律，我们有

$B_e\left[{\epsilon }_1\right]\cdot B_e\left[{\epsilon }_2\right]\subseteq B_e\left[{\epsilon }_1+{\epsilon }_2\right],{\epsilon }_1,{\epsilon }_2\in \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.$

因此e有关于$\frac{1}{16}$ 的二元性融合性质。记$V_e\left[\overline{0}\right]=V_e\left(0\right)\oplus V_e\left(1/2\right),V_e\left[\overline{1}\right]=V_e\left(1/16\right)$。由[12]以及$L\left(1/2,0\right)$ -模的融合律，可以得到下述性质：

$V_e{\left[{\epsilon }_1\right]}_{\left(n\right)}{V}_e\left[{\epsilon }_2\right]\subseteq V_e\left[{\epsilon }_1+{\epsilon }_2\right],{\epsilon }_1,{\epsilon }_2\in \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.$

因此$e\in E_V$ [7]。

实际上，由上述性质，我们还可以得出${\tau }_e$ 与${\tilde{\tau }}_e$ 在V上是一致的。

$\begin{array}{l}\forall \alpha \in V_e\left[\epsilon \right],\phi \in AutV,{\tau }_{\phi \left(e\right)}\left(\phi \left(\alpha \right)\right)=\phi {\tau }_e{\phi }^{-1}\left(\phi \left(\alpha \right)\right)=\phi {\tau }_e\left(\alpha \right)=\{\begin{array}{ll}\phi \left(\alpha \right),\hfill & \epsilon =\overline{0}\hfill \\ -\phi \left(\alpha \right),\hfill & \epsilon =\overline{1}\hfill \end{array}\\ \therefore \phi \left(V_e\left[\epsilon \right]\right)\subset V_{\phi \left(e\right)}\left[\epsilon \right].\end{array}$

$\begin{array}{l}\forall \beta \in V_{\phi \left(e\right)}\left[\epsilon \right],\phi {\tau }_e{\phi }^{-1}\left(\beta \right)={\tau }_{\phi \left(e\right)}\left(\beta \right)=\{\begin{array}{ll}\beta ,\hfill & \epsilon =\overline{0}\hfill \\ -\beta ,\hfill & \epsilon =\overline{1}\hfill \end{array}\Rightarrow {\tau }_e{\phi }^{-1}\left(\beta \right)=\{\begin{array}{ll}{\phi }^{-1}\left(\beta \right),\hfill & \epsilon =\overline{0}\hfill \\ -{\phi }^{-1}\left(\beta \right),\hfill & \epsilon =\overline{1}\hfill \end{array}\\ \therefore V_{\phi \left(e\right)}\left[\epsilon \right]\subset \phi \left(V_e\left[\epsilon \right]\right).\end{array}$

注意到${\tau }_{{\tau }_f\left(e\right)}\left(e\right)={\tau }_f{\tau }_e{\tau }_f\left(e\right)=f={\tau }_e{\tau }_f\left(e\right)$ ，$e,f,{\tau }_f\left(e\right)$ 地位相同，所以我们可以对$f,{\tau }_f\left(e\right)$ 作与e相同的讨论。于是有$f,{\tau }_f\left(e\right)\in E_V$ 且$\left\{e,f,{\tau }_f\left(e\right)\right\}$ 满足2.3节中的假设(3)。

显然，$E_V$ 中的元素是Ising向量。因此$E_V=\left\{e,f,{\tau }_f\left(e\right)\right\}$ 。

另一方面，考虑到$S_3=\langle \left\{\left(12\right),\left(13\right),\left(23\right)\right\}\rangle$ ，易知V所对应的3-转置群$G_V\simeq S_3$ 。

最后由于3C型VOA的存在唯一性[13]，命题得证。