马鞍面上的多元Birkhoff插值问题研究

Study on Multivariate Birkhoff Interpolation of Saddle Surfaces

摘要: 以二元Birkhoff插值研究为基础，进一步研究了三维欧氏空间中马鞍面上的Birkhoff插值。首先给出了马鞍面上的多元Birkhoff插值相关定义，对插值条件组的拓扑结构进行了较为深入的研究，然后给出了构造多元函数插值适定泛函组的添加马鞍面法，最后给出具体实例进行验证。

Abstract: Based on the research of two-dimensional Birkhoff interpolation, this study further investigates Birkhoff interpolation on a saddle surface in three-dimensional Euclidean space. First, relevant definitions of multivariate Birkhoff interpolation on saddle surfaces are provided. An in-depth study of the topological structure of the interpolation condition set is conducted. Then, the method of adding saddle surface techniques to construct a suitable functional set for multi-variable function interpolation is introduced. Finally, specific examples are provided for verification.

1. 引言

多元Birkhoff插值是插值理论中的一个复杂而重要的领域，它为处理多元函数插值问题提供了更大的灵活性。Birkhoff在1906年首次提出了Birkhoff插值问题[1]。1966年，Schoenberg在文献[2]中引入了一元Birkhoff插值格式。有关多元函数插值的研究，其中一个基本问题为插值的适定性问题。1979年，梁学章教授首次将插值的适定性与几何问题相结合[3]，并提出了一些直观的方法来选择和判定二元插值的适定结点组，并在此基础上提出了迭加插值法[4]。1987年，Hack在文献[5]中探讨了二元Birkhoff插值的正则性问题。2008年，崔利宏和杨爽提出了一种通过添加平面代数曲线的方法来构造二元Birkhoff插值适定泛函组[6]。2017年，崔凯在[7]中讨论了多元Birkhoff插值的若干问题。本文主要研究三维欧式空间中马鞍面上进行多元Birkhoff插值的适定泛函组问题。

马鞍面作为一种具有特殊几何特征的曲面，在多个科学和工程应用中具有重要意义。例如，在计算机图形学中，马鞍面可用于模拟自然界中的地形特征；而在物理建模中，流体流动和热传导的分析常常涉及马鞍形状的界面。这些应用需要在不规则数据点上进行高效的插值，以生成连续且光滑的表面。因此，研究马鞍面上Birkhoff插值问题有很大意义。

2. 基本定义

定义1 (一个多元Birkhoff插值格式$\left(E,P_S,Z\right)$ 由三部分组成)

(1) 结点集Z，

$Z={\left\{z_i\right\}}_{i=1}^m={\left\{\left(x_{i1},x_{i2},\cdots ,x_{in}\right)\right\}}_{i=1}^m\subset R^n,$

(2) 插值空间$P_s$ ，

$P_s=\left\{p|p\left(x\right)=p\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)={\displaystyle \sum _{i\in S}{a}_i{x}_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n}}\right\},$

其中$S\subset N^n$ 。

(3) 关联矩阵E，

$E=\left(e_{q,\alpha }\right),q=1,\cdots ,m,\alpha \in S,$

其中$e_{q,\alpha }=0$ 或1。

若$\left(q,\alpha \right)$ 满足$e_{q,\alpha }=1$ ，给定数组$c_{q,\alpha }$ ，则与插值格式$\left(E,P_S,Z\right)$ 对应的Birkhoff插值问题为寻找一多项式$p\in P_S$ 满足：

$\frac{{\partial }^{{\alpha }_1+{\alpha }_2+\cdots +{\alpha }_n}}{\partial x_1^{{\alpha }_1}\cdots \partial x_n^{{\alpha }_n}}p\left(z_q\right)=c_{q,\alpha }$

此处$\alpha =\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\right)$ 。

定义2 (全次数型多元Birkhoff插值)

设给定整数$z_q\ge 0$ ，$q=1,\cdots ,m;m\ge 0$ ，$A={\left\{Q_q\right\}}_{q=1}^m$ 是$R^d$ 中m个互异点组成的集合。全次数型多元Birkhoff插值问题是如果对于给定数组$c_{q,\alpha }$ ，$q=1,\cdots ,m;m\ge 0$ ，$\left|\alpha \right|\le z_q$ ，找到一个多项式$p\in P_n^{\left(d\right)}$ ，满足

$\frac{{\partial }^{{\alpha }_1+{\alpha }_2+\cdots +{\alpha }_n}}{\partial x_1^{{\alpha }_1}\cdots \partial x_n^{{\alpha }_n}}p\left(Q_q\right)=c_{q,\alpha },q=1,\cdots ,m,\left|\alpha \right|\le z_q$

假设n和$z_q$ 满足：

$\left(\begin{array}{c}n+d\\ d\end{array}\right)={\displaystyle \sum _{q=1}^m\left(\begin{array}{c}{z}_q+d\\ d\end{array}\right)}$

若$z_q\ge 0$ ，$q=1,\cdots ,m$ ，$z_1=z_2=\cdots =z_q$ ，该Birkhoff插值问题为一致Birkhoff插值问题。

代数曲面上的多元Birkhoff插值问题相关符号定义：设$k\in {\mathbb{N}}^{+}$ ，$r\in \mathbb{N}$ ，$P_{n,r}^{\left(3\right)}\left[q\left(k\right)\right]$ 表示定义在k次代数曲面$q\left(x,y,z\right)=0$ 上的全次数不超过n且有r阶方向导数的三元代数多项式空间，定义：

$\begin{array}{c}{d}_{n,\mu }\left(k\right)=\left(\begin{array}{c}n+3\\ 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}n-\left(\mu +1\right)k+3\\ 3\end{array}\right)\\ =\{\begin{array}{l}\frac{1}{6}\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right),n<\left(\mu +1\right)k\\ \frac{1}{6}\left(\mu +1\right)k\left(3n\left(n-\left(\mu +1\right)k\right)+12n+{\left(\mu +1\right)}^2{k}^2-6\left(\mu +1\right)k+11\right),n\ge \left(\mu +1\right)k\end{array}\end{array}$

$e_{n,r}\left(k\right)=\frac{1}{2}\left(n-rk\right)k\left(n-\left(r+1\right)k+4\right)+\left(\begin{array}{c}k-1\\ 3\end{array}\right)+1$

且有$\dim P_{n,r}^{\left(3\right)}\left[q\left(k\right)\right]=d_{n,\mu }\left(k\right)$ (即k次代数曲面$q\left(x,y,z\right)=0$ 上Birkhoff插值适定泛函组中的条件数与插值空间的维数相等)。

定义3 (马鞍面上的多元Birkhoff插值)

设马鞍面方程为$q\left(x,y,z\right)=2z-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0$ ，$B=\left\{Q_i^{\left(r\right)}|r=0,1,\cdots ,\mu ;i=1,\cdots ,e_{n,r}\left(2\right)\right\}$ 为沿$q\left(x,y,z\right)=0$ 的一个n次r阶Birkhoff插值适定泛函组，记$B\in I_{n,r}^{\left(3\right)}\left(q\right)$ ($I_{n,r}^{\left(3\right)}\left(q\right)$ 为全部沿该曲面的一个n次r阶Birkhoff插值泛函组的集合)，若对$\forall \left\{f_i^{\left(r\right)}|r=0,1,\cdots ,\mu ;i=1,\cdots ,e_{n,r}\left(2\right)\right\}$ 都$\exists p\left(x,y,z\right)\in P_n^{\left(3\right)}$ 满足：$\frac{{\partial }^r}{\partial n^r}p\left(Q_i^{\left(r\right)}\right)=f_i^{\left(r\right)}$ ，$r=0,1,\cdots ,\mu ;i=1,\cdots ,e_{n,r}\left(2\right)$ 。

注1：若$\forall \left\{f_i^{\left(r\right)}|r=0,1,\cdots ,\mu ;i=1,\cdots ,e_{n,r}\left(2\right)\right\}$ 方程$\frac{\partial f}{\partial n^r}p\left(Q_i^{\left(r\right)}\right)=f_i^{\left(r\right)},r=0,1,\cdots ,\mu ;i=1,\cdots ,e_{n,r}\left(2\right)$ 总存在唯一解$\iff$ 若$\exists p\left(x,y,z\right)\in P_n^{\left(3\right)}$ ，满足齐次Birkhoff插值条件$\frac{\partial f}{\partial n^r}p\left(Q_i^{\left(r\right)}\right)=0,r=0,1,\cdots ,\mu ;i=1,\cdots ,e_{n,r}\left(2\right)$ 蕴含沿曲面$q\left(x,y,z\right)=0$ ，恒有$p\left(x,y,z\right)=0$ 。

为证明后续所得结论，下面给出关于理想的定义。

定义4 (理想)

一个子集$I\subset K\left[x_1,\cdots ,x_s\right]$ 被称为一个理想，若满足条件：

(1) $0\in I$ ；

(2) 若$f,g\in I$ ，则$f+g\in I$ ；

(3) 若$f\in I$ 且$h\in K\left[x_1,\cdots ,x_s\right]$ 则$f\cdot h\in I$ 。

定义5 (根理想)

令$I\subset K\left[x_1,\cdots ,x_s\right]$ 是一个理想，若有集合$\left\{f|f^m\in I�某些整�m\ge 1\right\}$ ，则有I的根理想$\sqrt{I}$ 。

命题1：令I是一个理想，且$V_1,V_2$ 是两个仿射簇，则$V_1\subset V_2\Rightarrow I\left(V_1\right)\supset I\left(V_2\right)$ 。

命题2：若$f\subset K\left[x_1,\cdots ,x_s\right]$ 是一个理想，有$I=\langle f\rangle$ 是由f生成的素理想，且有$f=f_1^{{\alpha }_1}\cdots f_s^{{\alpha }_s}$ ，其中$f_1^{{\alpha }_1}\cdots f_s^{{\alpha }_s}$ 为不可约多项式，则$\sqrt{I}=\sqrt{\langle f\rangle }=\langle f_1,f_2,\cdots ,f_s\rangle$ 。

特别地，若$f_i^{{\alpha }_i}\ne f_j^{{\alpha }_j}\left(i,j=1,\cdots ,s;i\ne j\right)$ ，则$\sqrt{I}=I$ 。

3. 主要成果

本文主要成果如下：

定理1 (构造$P_n^{\left(3\right)}$ 上的Birkhoff插值适定泛函组的添加马鞍面法)

设$\Phi =\left\{D_{\vartheta }\left(Q_i\right)|\vartheta \in A_i,i=0,1,\cdots ,t\right\}$ 为$P_n^{\left(3\right)}$ 的一个插值适定泛函组，且马鞍面$q\left(x,y,z\right)=0$ 不经过$\Phi$ 中任何点，则对马鞍面上的一个$n+2\left(\mu +1\right)$ 次r阶Birkhoff插值适定泛函组 $B=\left\{Q_i^{\left(r\right)}|r=0,1,\cdots ,\mu ;i=1,\cdots ,e_{n+2\left(\mu +1\right),r}\left(2\right)\right\}$ ，$B\cup \Phi$ 一定构成关于$P_{n+2\left(\mu +1\right)}^{\left(3\right)}$ 的Birkhoff插值适定泛函组。

为证明此定理，下面先给出引理加以证明。

引理1

马鞍面$q\left(x,y,z\right)=0$ 上的结点组$B=\left\{Q_i^{\left(r\right)}|r=0,1,\cdots ,\mu ;i=1,\cdots ,e_{n,r}\left(2\right)\right\}$ 为该曲面上的一个n次r阶Birkhoff插值适定泛函组$\iff$ 若$\exists p\left(x,y,z\right)\in P_n^{\left(3\right)}$ 满足插值条件

$\frac{{\partial }^r}{\partial n^r}p\left(Q_i^{\left(r\right)}\right)=0,r=0,1,\cdots ,\mu ;i=1,\cdots ,e_{n,r}\left(2\right)$

则$\exists h\left(x,y,z\right)\in P_{n-2\left(\mu +1\right)}^{\left(3\right)}$ 使得$P\left(x,y,z\right)={\left(2z-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\right)}^{\mu +1}\cdot h\left(x,y,z\right)$ 。

若$n<2\left(\mu +1\right)$ ，$h\left(x,y,z\right)\equiv 0$ 。

引理1的证明：

充分性由注记1可得，下证必要性：

设$B=\left\{Q_i^{\left(r\right)}|r=0,1,\cdots ,\mu ;i=1,\cdots ,e_{n,r}\left(2\right)\right\}$ 是$q\left(x,y,z\right)=0$ 上的一个n次r阶Birkhoff插值适定泛函组，且$\exists p\left(x,y,z\right)\in P_n^{\left(3\right)}$ 满足$\frac{{\partial }^r}{\partial n^r}p\left(Q_i^{\left(r\right)}\right)=0,r=0,1,\cdots ,\mu ;i=1,\cdots ,e_{n,r}\left(2\right)$ 。

若$r=0$ ，则沿马鞍面$q\left(x,y,z\right)=0$ 上恒有$p\left(x,y,z\right)=0$ ，记$I_1=\langle q\rangle$ ，$I_2=\langle p\rangle$ ，则$V\left(I_1\right)\subset V\left(I_2\right)$ ，即$I\left(V\left(I_1\right)\right)\supset I\left(V\left(I_2\right)\right)$ 。因为马鞍面$q\left(x,y,z\right)=0$ 是一个二次无重复分量的代数曲面，所以 $I\left(V\left(I_1\right)\right)=\sqrt{I_1}=I_1$ ，$I\left(V\left(I_2\right)\right)=\sqrt{I_2}\supset I_2$ 那么$I_2\subset I_1$ 。

由理想的定义可知，$\exists h\left(x,y,z\right)\in P_{n-2}^{\left(3\right)}$ 使$P\left(x,y,z\right)=\left(2z-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\right)\cdot h\left(x,y,z\right)$ 。

假设结论对$r=m,r\in Z$ 且$r>0$ 成立，则有$B=\left\{Q_i^{\left(r\right)}|r=0,1,\cdots ,\mu ;i=1,\cdots ,e_{n,r}\left(2\right)\right\}$ 为定义在马鞍面$q\left(x,y,z\right)=2z-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0$ 上的n次m阶Birkhoff插值适定条件组，且满足

$\frac{{\partial }^m}{\partial n^m}p\left(Q_i^{\left(r\right)}\right)=0,\forall Q_i^{\left(m\right)}\in B$ (1)

有

$P\left(x,y,z\right)={\left(2z-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\right)}^{m+1}\cdot h\left(x,y,z\right)$ (2)

若$r=m+1$ ，对公式(1)两端进行求导直到$m+1$ 阶，并使用Leibniz公式有

$r\left(Q_i^{\left(r\right)}\right)=0,\forall Q_i^{\left(r\right)}\in B$ (3)

因为$h\left(x,y,z\right)\in P_{n-2}^{\left(3\right)}$ 同时经过唯一且确定的$q\left(x,y,z\right)=2z-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0$ 的所有条件点，所以总有$h\left(x,y,z\right)\equiv 0$ 。由$r=0$ 同理得

$h\left(x,y,z\right)=\left(2z-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\right)\cdot h^{\prime }\left(x,y,z\right)$ (4)

将(4)带入(2)得$P\left(x,y,z\right)={\left(2z-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\right)}^{m+2}\cdot h^{\prime }\left(x,y,z\right)$

由数学归纳法引理得证。

定理1的证明：

只需证仅存在零多项式满足所给的齐次Birkhoff插值条件。

首先，定理中所给的全部条件数为：

$\begin{array}{l}\left(\begin{array}{c}n+3\\ 3\end{array}\right)+{\displaystyle \sum _{r=0}^{\mu }{e}_{n+2\left(\mu +1\right),r}\left(2\right)}\\ =\left(\begin{array}{c}n+3\\ 3\end{array}\right)+{\displaystyle \sum _{r=0}^{\mu }\left(2\cdot \frac{1}{2}\left(n+2\left(\mu +1\right)-2r\right)\left(n+2\left(\mu +1\right)-2\left(r+1\right)+4\right)+\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right)+1\right)}\\ =\left(\begin{array}{c}n+3\\ 3\end{array}\right)+2\cdot \frac{1}{6}\left(\mu +1\right)\left(3\cdot 2n\left(n+\left(\mu +1\right)\right)+12n+4{\left(\mu +1\right)}^2-12\left(\mu +1\right)+11\right)\\ =\left(\begin{array}{c}n+3\\ 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n+2\left(\mu +1\right)+3\\ 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}n+3\\ 3\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{c}n+2\left(\mu +1\right)+3\\ 3\end{array}\right)\\ =\dim P_{n+2\left(\mu +1\right)}^{\left(3\right)}\end{array}$

假设$\exists P\left(x,y,z\right)\in P_{n+2\left(\mu +1\right)}^{\left(3\right)}$ 满足齐次Birkhoff插值条件，则：

$\begin{array}{l}{D}_{\vartheta }P\left(Q_i\right)=0,\forall Q_i\in N\\ \frac{{\partial }^r}{\partial n^r}P\left(Q_i^{\left(r\right)}\right)=0,\forall Q_i^{(r)}\in B\end{array}$

因为$\frac{{\partial }^r}{\partial n^r}P\left(Q_i^{\left(r\right)}\right)=0,\forall Q_i^{\left(r\right)}\in B$ 同时有$B\in I_{n+2\left(\mu +1\right),r}^{\left(3\right)}\left(F\right)$ ，$P\left(x,y,z\right)\in P_{n+2\left(\mu +1\right)}^{\left(3\right)}$ 。

由引理1得$\exists h\left(x,y,z\right)\in P_n^{\left(3\right)}$ 使得$P\left(x,y,z\right)={\left(2z-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\right)}^{\mu +1}\cdot h^{\prime }\left(x,y,z\right)$ 。

将其求导至$\mu +1$ 阶得$D_{\vartheta }P\left(Q_i\right)=D_{\vartheta }\left\{{\left(2z-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\right)}^{\mu +1}\cdot h^{\prime }\left(x,y,z\right)\right\}\left(Q_i\right)=0,\forall Q_i\in N$ 。

因为$\forall Q_i\in N$ ，$q\left(Q_i\right)\ne 0$ ，由Leibniz公式得$\forall Q_i\in N$ ，$D_{\vartheta }r\left(Q_i\right)=0$ ，又 $\Phi =\left\{D_{\vartheta }\left(Q_i\right)|\vartheta \in A_i,i=0,1,\cdots ,t\right\}$ 是关于$P_n^{\left(3\right)}$ 的Birkhoff插值适定泛函组，有$h\left(x,y,z\right)\equiv 0$ ，即$p\left(x,y,z\right)\equiv 0$ ，证毕。

4. 具体实例

设马鞍面方程为$2z=x^2-y^2$ ，取一被插值函数$f\left(x,y,z\right)=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ ，在马鞍面外取一点$Q_0^{\left(0\right)}\left(1,0,1\right)$ ，该点是$P_0^{\left(3\right)}$ 的一个适定结点组，在马鞍面上取点$Q_1^{\left(0\right)}\left(2,0,2\right)$ ，在该点处一阶法向量导数

$Q_1^{\left(1\right)}\left(\frac{\sqrt{2}}{2},0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ ，见图1。由定理2得$\left(Q_0^{\left(0\right)},Q_1^{\left(0\right)},Q_1^{\left(1\right)}\right)$ 构成$P_1^{\left(3\right)}$ 的适定泛函组。

Figure 1. Saddle surface take point plot

图1. 马鞍面上取点图

设插值多项式为$P\left(x,y,z\right)=a_0+a_{1}x+a_{2}y+a_{3}z$ 则

$\{\begin{array}{l}P\left(Q_0^{\left(0\right)}\right)=f_0^{\left(0\right)}\\ P\left(Q_1^{\left(0\right)}\right)=f_1^{\left(0\right)}\\ \frac{{\partial }^1}{\partial n^1}P\left(Q_1^{\left(1\right)}\right)=f_1^{\left(1\right)}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{a}_0+a_1+a_3=\sqrt{2}\underset{}{}\\ a_0+2a_1+2a_3=2\sqrt{2}\\ a_1=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ a_2=0\\ a_3=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{a}_0=0\\ a_1=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ a_2=0\\ a_3=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}$

$P\left(x,y,z\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}z$

计算$\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{4}\right)$ 处$f\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{4}\right)=\frac{\sqrt{5}}{4}$ ，$P\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{4}\right)=\frac{3\sqrt{2}}{8}$ ，误差为$\left|\frac{\sqrt{5}}{4}-\frac{3\sqrt{2}}{8}\right|\approx 0.0287$ 。

5. 结论

本文首先给出多元Birkhoff插值相关定义，随后介绍了马鞍面上多元Birkhoff插值适定泛函组的相关概念，然后得到相应定理并给出了证明，最后给出实例进行验证。本文创新点即为给出了构造三维欧氏空间Birkhoff插值适定泛函组的添加马鞍面法，虽然此方法在实际生活中应用较广，但也要考虑其局限性，构造三维空间中的马鞍面相对复杂，并且马鞍面所需的参数(如曲率、位置等)通常依赖于具体问题，选择不当可能导致插值结果不理想。今后也将通过不断优化参数选择以及结合其他的插值方法，来改善这些局限性，从而推动该方法在更广泛领域的应用。

NOTES

^*通讯作者。