基于企业集群对直播销售市场稳定性的研究

Research on the Stability of Live Sales Market Based on Enterprise Cluster

摘要: 本文基于集群企业之间的技术溢出，研究集群企业为同一网络销售平台提供商品对市场的影响。首先建立了一个静态竞争模型，由于动态分析的必要性，我们建立了具有异质预期参与人的非线性动力系统并且进一步分析了均衡点的局部稳定性。通过数值仿真，分析了集群溢出、产品差异对市场的影响，最终得到以下结论：首先，当产品可替代性固定时，企业集群之间的技术溢出越小越能保持市场的稳定；其次，集群企业之间提供的商品彼此之间的可替代性越大，越能保持市场的稳定，同时集群企业之间的技术溢出也能在更大范围内保持市场稳定；最后，由于集群企业为直播销售平台提供商品的策略不同，使用边际利润进行梯度策略调整的企业更需要在第一次给销售平台提供商品时慎重考虑供货数量。

Abstract: Based on the technology spillover between cluster enterprises, this paper studies the impact of cluster enterprises providing goods for the same network sales platform on the market. Firstly, a static game is established. Due to the necessity of dynamic analysis, we establish a nonlinear dynamic system with heterogeneous expected participants and further analyze the local stability of the equilibrium point. Through numerical simulation, the influence of cluster spillover and product difference on the market is analyzed. Finally, the following conclusions are obtained: First, when the product substitutability is fixed, the smaller the technology spillover between enterprise clusters is, the more stable the market is. Secondly, the greater the substitutability between the commodities provided by the cluster enterprises, the more stable the market can be maintained, and meanwhile, the technology spillover between enterprises in a cluster can also maintain market stability in a larger scope; finally, due to the different strategies of cluster enterprises to provide goods for live sales platforms, enterprises that use a gradient adjustment strategy based on marginal profits need to carefully consider the number of supplies when providing goods to the sales platform for the first time.

1. 引言

随着互联网的发展，直播带货作为一种新兴的网络消费形式，根据《中国互联网络发展状况统计报告》，截至2022年6月，我国网络电商直播用户已达4.69亿，占总网民的44.6% [1]。直播带货不仅改变了传统电商的格局，还对经济和社会产生了深远的影响：直播带货通过实时互动和丰富的促销活动吸引消费者，大大提高了购买转化率[2]。直播带货为生产销售企业创造了新的销售渠道，减少了传统零售的依赖。企业通过与有影响力的网络销售平台合作，可以快速推广其产品，特别是在高曝光和购买欲望强烈的直播间内，这种方式比传统广告更有效[3]。

企业集群是指在一定的产业范围内，众多中小企业及其相关机构在地理上集中并依靠，相对稳定的分工协作，共同形成竞争优势的经济主体。集群内人员的流动和交流过程中，不可避免地会发生知识和技术的外溢，在一定程度上导致企业生产成本降低，学者们在寡头博弈模型中考虑了集群溢出对成本的影响[4] [5]。其中基于信息不对称建立了三维博弈动力系统，并且研究了集群溢出对系统稳定性的影响，发现集群溢出使得市场从分岔趋于稳定。

我们假设一个生产企业集群均向同一个网络直播销售平台提供商品进行销售，集群企业提供的商品具有一定的差异化，产品的差异化显著吸引了研究者的注意[6]-[8]，其中发现，更高程度的产品差异化会破坏Cournot双寡头博弈中的纳什均衡。比较了产品差异化下的Cournot和Bertrand双寡头垄断，验证了数量竞争下的纳什均衡不稳定，而Bertrand纳什均衡随着产品差异化程度的增加而变得更加稳定[8]。将产品差异化引入到Cournot-Bertrand寡头博弈中，发现产品差异化程度越高，动态系统的稳定范围越广。由于带货直播间消费者的有限性，以及消费者消费数额的约束，集群企业之间为吸引消费者而存在竞争关系。

由于实际需要，我们假设集群企业存在异质预期，为直播销售平台提供商品数量的策略不同，一个企业根据边际利润的梯度规则调整自己提供的商品数量，一个采取自适应期望规则进行调整。再考虑集群企业之间的知识或技术溢出，以及商品的差异化，我们构建了博弈竞争模型，最后研究发现：首先，当产品可替代率固定时，企业集群之间的知识或技术溢出越小越能保持市场的稳定；其次，集群企业之间提供的商品彼此之间的可替代性越大，越能保持市场的稳定，同时集群企业之间的技术溢出也能在更大范围内保持市场稳定；最后，由于集群企业为直播销售平台提供商品的策略不同，使用边际利润进行梯度策略调整的企业更需要在第一次给销售平台提供商品时慎重考虑供货数量。

本文的结构概述如下：第2节描述了基于企业集群的假设下构建的博弈竞争模型。在第三节中，我们讨论了纳什均衡及其稳定性条件，给出了稳定区域。在第4节中，通过数值模拟进一步分析了系统的复杂动力学行为。第5节对本文结论进行总结建议。

2. 模型建立及不动点求解

假设将某一企业集群大致分为两方企业代表i ($i=1,2$ )为直播电商提供产品进行销售，直播平台根据提供的商品数量抽取一定的佣金。假设两方企业代表为第t次网络直播销售时提供给网络直播销售方的商品数量分别为$q_1\left(t\right)$ ，$q_2\left(t\right)$ ，$p_i\left(t\right)$ ($i=1,2$ )表示生产方i在第t次直播销售的商品销售定价。假设两生产方的逆需求函数分别为：

$p_1\left(t\right)=1-q_1\left(t\right)-d{q}_2\left(t\right)$ ， (1)

$p_2\left(t\right)=1-q_2\left(t\right)-d{q}_1\left(t\right)$ ， (2)

其中产品可替代率$d\in \left(0,1\right]$ 表示两方企业代表产品之间的差异程度，d越接近1，两种产品之间的替代性越大，当$d=1$ 时，代表商品是同质的。

我们假定企业代表i在第t次直播销售时的成本函数为：

$C_i\left(q_i\left(t\right)\right)=\left(c_i+{\alpha }_i\right)q_i\left(t\right)-\beta \left[q_1\left(t\right)+q_2\left(t\right)\right]$ ， (3)

其中$\left(c_i+{\alpha }_i\right)q_i\left(t\right)$ 表示在没有集群溢出的情况下企业代表i用于直播销售的产品的成本，$c_i\in \left(0,1\right)$ 是企业i的边际成本，${\alpha }_i$ 为给网络直播销售方的佣金，佣金的存在一定程度上增加了产品的成本。$\beta >0$ 代表溢出系数，集群溢出在一定程度上可以降低产品成本。

于是由(1)、(2)、(3)可以得到企业代表1和2在第t次直播销售利润函数为：

${\pi }_1=\left(1-q_1-d{q}_2\right)q_1-\left(c_1+{\alpha }_1\right)q_1+\beta \left(q_1+q_2\right)$ , (4)

${\pi }_2=\left(1-q_2-d{q}_1\right)q_2-\left(c_2+{\alpha }_2\right)q_2+\beta \left(q_1+q_2\right)$ , (5)

由(4)和(5)，我们得到两个厂商的边际利润：

$\frac{\partial {\pi }_1\left(t\right)}{\partial q_1\left(t\right)}=1-c_1-{\alpha }_1+\beta -2q_1\left(t\right)-d{q}_2$ , (6)

$\frac{\partial {\pi }_2\left(t\right)}{\partial q_2\left(t\right)}=1-c_2-{\alpha }_2+\beta -2q_2\left(t\right)-d{q}_1$ . (7)

在实际市场中，企业对环境的计算和认知能力是有限的，因此参与人具有有限理性，他们逐步调整自己的产量以达到最大利润。假设企业代表1在为第$t+1$ 时网络直播销售提供的商品量采用基于边际利润的梯度调整如下：

$q_1\left(t+1\right)=q_1\left(t\right)+v{q}_1\left(t\right)\frac{\partial {\pi }_1}{\partial q_1}$ . (8)

其中$v>0$ ，表示企业代表1的数量修正参数。公司1下一次用于直播销售的产量是由当前时期提供的商品数量、数量修正参数v、当前时期的边际利润决定的。

假设企业代表2根据自适应期望规则调整自己的产量，$\frac{\partial {\pi }_2\left(t\right)}{\partial q_2\left(t\right)}=0$ ，我们可以得到企业代表2的最佳回应为$\overline{\overline{q_2}}\left(t\right)=\frac{1-c_2-{\alpha }_2+\beta -d{q}_1}{2}$ ，随意企业代表2为下一次网络直播销售提供的商品数量为：

$q_2\left(t+1\right)=\eta q_2\left(t\right)+\left(1-\eta \right)\overline{\overline{q_2}}\left(t\right)$ , (9)

其中$\eta \in \left(0,1\right)$ 表示企业代表2的自适应期望参数。

将(6)、(7)代入(8)、(9)得到以下动力系统：

$\{\begin{array}{l}{q}_1\left(t+1\right)=q_1\left(t\right)+v{q}_1\left(t\right)\left(1-c_1-{\alpha }_1+\beta -2q_1\left(t\right)-d{q}_2\right)\\ q_2\left(t+1\right)=\eta q_2\left(t\right)+\left(1-\eta \right)\frac{1-c_2-{\alpha }_2+\beta -d{q}_1}{2}\end{array}$ . (10)

令$q_i\left(t+1\right)=q_i\left(t\right)$ ($i=1,2$ )，得到系统(10)的2个不动点

$E_0\left(0,\frac{1-c_2-{\alpha }_2+\beta }{2}\right)$ , $E^{*}\left(q_1^{*},q_2^{*}\right)$ ,

其中$q_1^{*}=\frac{2\left(1-c_1-{\alpha }_1+\beta \right)-d\left(1-c_2-{\alpha }_2+\beta \right)}{4-d^2}$ ，$q_2^{*}=\frac{2\left(1-c_2-{\alpha }_2+\beta \right)-d\left(1-c_1-{\alpha }_1+\beta \right)}{4-d^2}$ 。

$E_0$ ，是系统(10)的边界平衡点，$E^{*}$ 是它唯一的Nash平衡点，因平衡点具有实际市场意义，系统参数满足以下条件：

$\{\begin{array}{l}1-c_1-{\alpha }_1+\beta >0\\ 1-c_2-{\alpha }_2+\beta >0\\ 2\left(1-c_1-{\alpha }_1+\beta \right)-d\left(1-c_2-{\alpha }_2+\beta \right)>0\\ 2\left(1-c_2-{\alpha }_2+\beta \right)-d\left(1-c_1-{\alpha }_1+\beta \right)>0\end{array}$ .(11)

3. 系统稳定性分析

本节将通过系统(10)的Jacobian矩阵J来分析系统不动点的稳定性。J的一般形式如下：

$J=\left(\begin{array}{cc}{A}_{11}& -vd{q}_1\left(t\right)\\ \frac{-d\left(1-\eta \right)}{2}& \eta \end{array}\right)$ ,

其中$A_{11}=1+v\left(1-c_1-{\alpha }_1+\beta -4q_1(t)-d{q}_2\left(t\right)\right)$ 。

定理1. 边界平衡点E₀不稳定。

证明：系统在E₀处的Jacobian矩阵如下：

$J\left(E_0\right)=\left(\begin{array}{cc}{B}_{11}& 0\\ \frac{-d\left(1-\eta \right)}{2}& \eta \end{array}\right)$ ,

其中$B_{11}=1+v\left(1-c_1-{\alpha }_1+\beta -\frac{d\left(1-c_2-{\alpha }_2+\beta \right)}{2}\right)$ 。$E_0$ 处的Jacobian矩阵的特征值为：${\lambda }_1=\eta$ ，${\lambda }_2=1+v\left(1-c_1-{\alpha }_1+\beta -\frac{d\left(1-c_2-{\alpha }_2+\beta \right)}{2}\right)$ ，因为$\eta \in \left(0,1\right)$ 和(11)，所以$0<{\lambda }_1<1$ ，${\lambda }_2>1$ ，因此边界平衡点$E_0$ 不稳定。

定理2. 当系统参数满足

$\{\begin{array}{l}2\left(1+\eta \right)\left(1-v{q}_1^{*}\left(t\right)\right)+\frac{v{d}^2\left(1-\eta \right)q_1^{*}\left(t\right)}{2}>0\\ \eta \left(1-2v{q}_1^{*}\left(t\right)\right)+\frac{v{d}^2\left(1-\eta \right)q_1^{*}\left(t\right)}{2}-1<0\end{array}$

时，E₄是局部渐近稳定的。

证明：系统在$E^{*}$ 处的Jacobian矩阵如下：

$J\left(E^{*}\right)=\left(\begin{array}{cc}{C}_{11}& -vd{q}_1^{*}\left(t\right)\\ \frac{-d\left(1-\eta \right)}{2}& \eta \end{array}\right)$ ，

其中$C_{11}=1+v\left(1-c_1-{\alpha }_1+\beta -4q_1^{*}\left(t\right)-d{q}_2^{*}\left(t\right)\right)$ 。由$\frac{\partial {\pi }_i}{\partial q_i}=0$ ($i=1,2$ )，$C_{11}$ 可以被简化为$C_{11}=1-2v{q}_1^{*}\left(t\right)$ 。

令$J\left(E^{*}\right)$ 的特征多项式为：$f\left(\lambda \right)={\lambda }^2-T\lambda +D$ ，其中$T=1+\eta -2v{q}_1^{*}\left(t\right)$ 是$J\left(E^{*}\right)$ 的迹，$D=\eta \left(1-2v{q}_1^{*}\left(t\right)\right)+\frac{v{d}^2\left(1-\eta \right)q_1^{*}\left(t\right)}{2}$ 是$J\left(E^{*}\right)$ 的行列式。由于$\Delta =T^2-4D>0$ ，$J\left(E^{*}\right)$ 有两个不同的实数特征根，记为${\lambda }_i\left(i=1,2\right)$ 。

当$\left|{\lambda }_i\right|<1\left(i=1,2\right)$ 时，$E^{*}$ 是局部渐近稳定的。$\left|{\lambda }_i\right|<1\left(i=1,2\right)$ 的充要条件为以下Jury条件成立[9]：

$\{\begin{array}{l}(\text{i}):1+T+D=2\left(1+\eta \right)\left(1-v{q}_1^{*}\left(t\right)\right)+\frac{v{d}^2\left(1-\eta \right)q_1^{*}\left(t\right)}{2}>0\hfill \\ (\text{ii}):1-T+D=\frac{4+d^2}{2}\left(1-\eta \right)v{q}_1^{*}\left(t\right)>0\hfill \\ (\text{iii}):D-1=\eta \left(1-2v{q}_1^{*}\left(t\right)\right)+\frac{v{d}^2\left(1-\eta \right)q_1^{*}\left(t\right)}{2}-1<0\hfill \end{array}$ ，

(ii)显然成立，因此(i)与(iii)成立时，$E^{*}$ 是局部渐近稳定的。当参数取值$c_1=0.7$ ，${\alpha }_1=0.2$ ，$c_2=0.5$ ，${\alpha }_2=0.1$ ，$d=0.8$ 时，$E^{*}$ 的稳定区域如图1所示，即，图1为假设当企业代表1和2生产的商品具有一定可替代性，企业代表1的商品为高成本商品，网络直播销售方抽取的佣金较高，而企业代表2的商品的成本较低，且网络直播销售方抽取佣金较低时的稳定区域。

Figure 1. Stability region of $E^{*}$ in the plane $\left(v,\beta \right)$

图1. $E^{*}$ 在$\left(v,\beta \right)$ 平面内的稳定区域

4. 数值模拟

在本节中，我们通过数值模拟来分析系统(10)的复杂动力学行为，进而分析商品产量和对市场产生的影响。

首先我们探究集群溢出程度对不同理性行为的企业代表为网络直播销售提供的产量的影响。图2是不同集群溢出参数$\beta$ 下，系统(10)关于产量修正参数v的分岔图，其他参数取值为$c_1=0.7$ ，${\alpha }_1=0.2$ ，$c_2=0.5$ ，${\alpha }_2=0.1$ ，$d=0.8$ ，$\eta =0.7$ 时。从图中我们观察到，当$\beta =0.5$ 时，系统始终呈现出稳定状态，也就是说当企业集群之间的知识或技术溢出较少时，对大家的成本影响也较少，各个企业之间的难以相互影响，进而为网络直播销售提供的商品数量较为稳定；随着$\beta$ 的增大，企业集群之间技术泄露，人员流动程度逐渐增加，各企业之间的关联程度加深，为确保在同一个网络直播销售平台的利益，从而产生恶性竞争导致市场骚动甚至混沌；随着$\beta$ 的增大，市场可以保持稳定的范围却在减小，此结论可以从图1中得到验证。

Figure 2. Bifurcation diagram of system (10) with respect to v

图2. 系统(10)关于v的分岔图

图3取与图2取一样的参数值，得到当$\beta =3$ 时系统的奇怪吸引子图。奇怪吸引子运动轨迹的不规则性和不可预测性表明系统经过倍周期分岔陷入混沌状态。

Figure 3. Strange attractor diagram $\left(\gamma =0.8,\epsilon =0.2\right)$

图3. 奇怪吸引子图$\left(\gamma =0.8,\epsilon =0.2\right)$

Figure 4. Bifurcation diagram of system (10) with respect to $\beta$

图4. 系统(10)关于$\beta$ 的分岔图

图4是系统(11)关于产品相关参数$\beta$ 的分岔图，分别取$d=0.2$ ，$d=0.4$ ，$d=0.6$ 和$d=0.8$ 。我们假设两企业代表生产的商品具有相同的边际成本，但是给与网络直播销售平台的佣金却不同，则设置其他参数取值为$c_1=0.5$ ，${\alpha }_1=0.2$ ，$c_2=0.5$ ，${\alpha }_2=0.1$ ，$v=0.6$ ，$\eta =0.7$ ，在图4中，两企业代表的商品可替代率较低时($d=0.2$ )，企业之间存在较小的集群溢出也不会破坏市场的稳定，但是观察图4我们可以明确，随着集群企业之间生产的产品可替代率增加，集群企业之间溢出系数增加也不会破坏市场稳定。

混沌系统的一个特征是对初始值敏感，即使给初始值增加的扰动极其微小，但经过一段时间的演化，产量演化曲线也会出现明显的偏离。图5是在初始值分别为$\left(q_1,q_2\right)=\left(0.1,0.1\right)$ 与$\left(q_1,q_2\right)=\left(0.101,0.1\right)$ 时企业代表1为网络直播销售平台提供商品数量的演化曲线。其他参数取值为：$c_1=0.5$ ，${\alpha }_1=0.2$ ，$c_2=0.5$ ，${\alpha }_2=0.1$ ，$v=0.6$ ，$\eta =0.1$ ，$d=0.2$ ，$\beta =3$ ，图5表明当$t<20$ 时，即使企业代表第一次为网络销售平台提供的商品数量略有不同，也不会导致在前20次直播销售过程中企业代表1提供的商品数量有过大的差别，但是随着网络直播销售的次数增加，会导致后续提供的商品数量出现差别。

图6展现了在初值$\left(q_1,q_2\right)=\left(0.1,0.1\right)$ 和$\left(q_1,q_2\right)=\left(0.1,0.101\right)$ 时企业代表2为网络直播销售平台提供商品数量的演化曲线，，当$t<40$ 时，即使企业代表2第一次为网络销售平台提供的商品数量略有不同，也不会导致在前40次直播销售过程中企业提供的商品数量存在差距，但是网络直播销售的次数增加，会导致后续提供的商品数量出现差别。但在后续的直播销售中，也会出现重合的情况。

通过比较图5和图6我们可以知道企业代表1为直播销售平台提供商品数量的策略对初始值更为敏感，也就是说企业代表1在第一次为直播销售平台提供商品时需要更慎重。

5. 结论与建议

本文基于集群企业之间的相互作用，研究集群企业为同一网络销售平台提供商品对市场的影响。首先建立了一个静态博弈，由于动态分析的必要性，我们建立了具有异质预期参与人的非线性动力系统并且进一步分析了均衡点的局部稳定性。通过数值仿真，分析了集群溢出、产品差异对市场的影响，最终

Figure 5. Sensitivity dependence on the initial conditions $q_1$

图5. 初值敏感性$q_1$

Figure 6. Sensitivity dependence on the initial conditions $q_2$

图6. 初值敏感性$q_2$

得到以下结论：首先，当产品可替代性固定时，企业集群之间的技术溢出越小越能保持市场的稳定；其次，集群企业之间提供的商品彼此之间的可替代性越大，越能保持市场的稳定，同时集群企业之间的技术溢出也能在更大范围内保持市场稳定；最后，由于集群企业为直播销售平台提供商品的策略不同，企业代表1根据边际利润进行梯度调整的策略更需要在第一次给销售平台提供商品时慎重考虑。