基于神经网络的四旋翼无人机自适应非奇异快速终端滑模容错控制

Adaptive Non-Singular Fast Terminal Sliding Mode Fault-Tolerant Control of Quadrotor UAV Based on Neural Network

摘要: 针对具有外部干扰、系统模型不确定性和执行器故障的四旋翼无人机系统，提出了一种基于RBF神经网络的自适应非奇异快速终端滑模控制算法的有限时间容错控制方案。首先将无人机动力学模型转换为位置子系统和姿态子系统，使用全局快速终端滑模控制方法实现位置子系统容错控制，在姿态子系统中，设计了一种基于RBF神经网络的自适应非奇异快速终端滑模容错控制器，并采用Lyapunov稳定性理论证明了控制器的稳定性。最后通过仿真对比实验验证了所提控制方案的有效性和优越性。

Abstract: A finite-time fault-tolerant control scheme based on an adaptive non-singular fast terminal sliding mode control algorithm with RBF neural network is proposed for a quadrotor UAV system with external disturbances, system model uncertainties and actuator faults. Firstly, the UAV dynamics model is converted into a position subsystem and an attitude subsystem. The global fast terminal sliding mode control method is used to achieve the fault-tolerant control of the position subsystem. An adaptive non-singular fast terminal sliding mode fault-tolerant controller based on the RBF neural network is designed in the attitude subsystem. The stability of the controller is proved using the Lyapunov stability theory. Finally, simulation and comparison experiments verify the proposed control scheme’s effectiveness and superiority.

1. 引言

四旋翼无人机因具有结构简单、成本低、垂直起飞、悬停稳定等优点，已经在民用和军事领域得到广泛应用[1]。然而，四旋翼无人机在实际执行飞行任务过程中，极易受到外部干扰和系统模型不确定性的影响[2]，且长时间的飞行，也难免会由于四个旋翼的老化和损坏而造成执行器故障[3]，导致飞行任务的失败以及造成生命财产安全问题。因此，研究抗外部干扰和系统模型不确定性的容错控制器具有实际意义。

针对以上问题，国内外学者已经进行了大量研究，并取得了一些成果。提出了多种控制方法应用于飞行控制系统中，如PID控制[4]、和反步控制[5]等。但是，这些控制方法对外部干扰和模型不确定性的控制效果较差。而滑模控制(SMC) [6]是解决这些问题的一种有效而可靠的方法。传统SMC方法在有限时间内跟踪误差往往无法收敛到零，文献[7]提出了一种终端滑模控制(TSMC)方法，实现了跟踪误差的有限时间收敛。但是TSMC方法存在奇异值问题。为解决这一问题，文献[8]提出了一种非奇异终端滑模控制(NTSMC)方法，在保证系统跟踪误差有限时间快速收敛的同时避免了奇异性。文献[9]提出了一种四旋翼无人机自适应反步SMC控制方法，通过设计自适应率来在线估计不确定参数和外部干扰的上界。神经网络(Neural networks, NNs) [10]由于其强大的逼近能力是解决模型参数不确定性问题的一种有效手段，并已成功应用于实际控制系统中。文献[11]提出了一种多旋翼无人机自适应鲁棒反步姿态控制算法，利用自适应神经网络逼近系统未知项，并通过仿真实验验证了该控制方案的有效性。执行器故障严重威胁着飞行安全，如果不及时处理，可能会造成一系列致命的后果。因此，开发一种合适的容错控制方案来解决这一问题是至关重要的。迄今为止，许多研究学者针对四旋翼无人机容错控制方面做了大量工作，也取得了很多成果，如文献[12]针对建模不确定性和执行器失效的情况下的四旋翼无人机，提出了一种基于神经网络的自适应容错控制方法。

基于以上文献的分析，目前针对具有外部干扰、系统模型不确定性和执行器故障的四旋翼无人机容错控制的研究还非常有限。因此本文提出了一种基于径向基神经网络(Radial Basis Function NetworkRBF)的自适应非奇异快速终端滑模控制(Adaptive Non-Singular Fast Terminal Sliding Mode Control, ANFTSMC)算法的有限时间容错控制策略，并通过仿真对比实验验证了所提出的控制策略的有效性。

2. 四旋翼无人机故障下的动力学模型建模

如图1所示，为了精确的表述四旋翼无人机模型，建立地理坐标系$O_e\left\{X_e,Y_e,Z_e\right\}$ 和机体坐标系$O_b\left\{X_b,Y_b,Z_b\right\}$ ，其中$\left\{F_1,F_2,F_3,F_4\right\}$ 分别为四旋翼无人机的4个旋翼的升力。另外为了便于系统控制器的设计，在建模过程中忽略了空气阻力，并作出以下假设。

假设1：四旋翼无人机机体是质量均匀分布且中心对称的刚体，机体重心和机体几何中心完全重合。

Figure 1. Structure diagram of quadrotor UAV

图1. 四旋翼无人机结构示意图

由图1可知，四旋翼无人机采用四电机螺旋桨控制系统，由于受到桨叶损坏、电机电压发生偏差的影响，这使得执行器将无法正常运行，进而影响无人机的飞行性能，这一类故障可统称为执行器故障。执行器故障模型可表示为

$U_i={\rho }_i{u}_i+f_i\left(i=1,2,3,4\right)$ (1)

式中，$U_i$ 表示实际控制输入；$u_i$ 表示期望控制输入；${\rho }_i$ 表示执行器有效因子，${\rho }_i\in \left(0,1\right]$ ；$f_i$ 表示未知偏置故障。根据牛顿–欧拉方程，可得出四旋翼无人机执行器故障及存在外部干扰时的动力学模型为：

$\{\begin{array}{l}\ddot{x}=\left\{\left(\cos \varphi \sin \theta \cos \psi +\sin \varphi \sin \psi \right)U_1-K_x\dot{x}\right\}\frac{1}{m}\\ \ddot{y}=\left\{\left(\cos \varphi \sin \theta \sin \psi -\sin \varphi \cos \psi \right)U_1-K_y\dot{y}\right\}\frac{1}{m}\\ \ddot{z}=\left\{\left(\cos \varphi \cos \theta \right)U_1-K_z\dot{z}\right\}\frac{1}{m}-g+d_1\\ \ddot{\varphi }=\frac{I_y-I_z}{I_x}\dot{\theta }\dot{\psi }+\frac{J_r}{I_x}\dot{\theta }\Upsilon -\frac{K_{\varphi }}{I_x}\dot{\varphi }+\frac{l{U}_2}{I_x}+d_2\\ \ddot{\theta }=\frac{I_z-I_x}{I_y}\dot{\varphi }\dot{\psi }+\frac{J_r}{I_y}\dot{\varphi }\Upsilon -\frac{K_{\theta }}{I_y}\dot{\theta }+\frac{l{U}_3}{I_y}+d_3\\ \ddot{\psi }=\frac{I_x-I_y}{I_z}\dot{\theta }\dot{\varphi }-\frac{K_{\psi }}{I_z}\dot{\psi }+\frac{l{U}_4}{I_z}+d_4\end{array}$(2)

式中：${\left[x,y,z\right]}^{\text{T}}$ 表示位置向量，${\left[\varphi ,\theta ,\psi \right]}^{\text{T}}$ 表示姿态向量，$\varphi$ ，$\theta$ 和$\psi$ 分别表示四旋翼无人机姿态角中的横滚角，俯仰角和偏航角；$\left\{I_x,I_y,I_z\right\}$ 分别表示四旋翼无人机绕x，y，z轴的转动惯量；m表示四旋翼无人机的总质量；$J_r$ 表示螺旋桨惯性矩；$\Upsilon$ 表示螺旋桨转速裕度；g为重力加速度；l表示四旋翼无人机旋翼中心到无人机质心的距离；$K_x$ ，$K_y$ 和$K_z$ 为空气阻力系数；$K_{\varphi }$ ，$K_{\theta }$ 和$K_{\psi }$ 为陀螺效应因子；$d_i\left(i=1,2,3,4\right)$ 表示外部环境干扰。

为了便于控制器的设计，并考虑到系统模型的不确定性，外部环境干扰和执行器故障，可以由系统(2)得到姿态子系统(3)和位置子系统(4)为

$\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_1=x_2\\ {\dot{x}}_2=f_{\varphi }\left(x\right)+\left({\rho }_2{u}_2+f_2\right)b_{\varphi }+\Delta f_{\varphi }\left(x\right)+d_2\\ {\dot{x}}_3=x_4\\ {\dot{x}}_4=f_{\theta }\left(x\right)+\left({\rho }_3{u}_3+f_3\right)b_{\theta }+\Delta f_{\theta }\left(x\right)+d_3\\ {\dot{x}}_5=x_6\\ {\dot{x}}_6=f_{\psi }\left(x\right)+\left({\rho }_4{u}_4+f_3\right)b_{\psi }+\Delta f_{\psi }\left(x\right)+d_4\end{array}$ (3)

$\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_7=x_8\\ {\dot{x}}_8=\left({\rho }_1{u}_{1z}+f_1\right)-\frac{K_z}{m}{x}_8-g+d_1\\ {\dot{x}}_9=x_{10}\\ {\dot{x}}_{10}=u_{1x}-\frac{K_x}{m}{x}_{10}\\ {\dot{x}}_{11}=x_{12}\\ {\dot{x}}_{12}=u_{1y}-\frac{K_y}{m}{x}_{12}\end{array}$ (4)

式中，${\left[x_1,x_2,\cdots ,x_{12}\right]}^{\text{T}}={\left[\varphi ,\dot{\varphi },\theta ,\dot{\theta },\psi ,\dot{\psi },z,\dot{z},x,\dot{x},y,\dot{y}\right]}^{\text{T}}$；$b_{\varphi }=\frac{l}{I_x}$ ，$b_{\theta }=\frac{l}{I_y}$ ，$b_{\psi }=\frac{l}{I_z}$ ， $f_{\varphi }\left(x\right)=\frac{I_y-I_z}{I_x}\dot{\theta }\dot{\psi }+\frac{J_r}{I_x}\dot{\theta }\Upsilon -\frac{K_{\varphi }}{I_x}\dot{\varphi }$，$f_{\theta }\left(x\right)=\frac{I_z-I_x}{I_y}\dot{\varphi }\dot{\psi }+\frac{J_r}{I_y}\dot{\varphi }\Upsilon -\frac{K_{\theta }}{I_y}\dot{\theta }$，$f_{\psi }\left(x\right)=\frac{I_x-I_y}{I_z}\dot{\theta }\dot{\varphi }-\frac{K_{\psi }}{I_z}\dot{\psi }$ ；$\Delta f_{\varphi }\left(x\right)$ ， $\Delta f_{\theta }\left(x\right)$ ，$\Delta f_{\psi }\left(x\right)$ 为系统模型的不确定性；$u_{1x}=\left(\cos \varphi \sin \theta \cos \psi +\sin \varphi \sin \psi \right)\frac{u_1}{m}$ ， $u_{1y}=\left(\cos \varphi \sin \theta \sin \psi -\sin \varphi \cos \psi \right)\frac{u_1}{m}$ ，$u_{1z}=\left(\cos \varphi \cos \theta \right)\frac{u_1}{m}$ 。

四旋翼无人机在实际飞行过程中，由于环境的不断变化，因而难以获得精确的系统模型，为了便于建模，通常在建模过程中使用一些近似的方法。因此，本文考虑模型不确定性为$\Delta f_i\left(x\right)$ 是合理的。

假设2：在系统(2)中，假设外部干扰$d_i$ 和偏置故障$f_i\left(i=1,2,3,4\right)$ 均有界，即$\left|d_i\right|\le {\overline{d}}_i$ ，$\left|f_i\right|\le {\overline{f}}_i$ ，其中，${\overline{d}}_i$ ，${\overline{f}}_i$ 均是未知正常数。

3. 控制过程

本文所采用的控制策略为内外环串级控制器结构，外环为位置控制器，内环为姿态控制器。首先由控制指令给出无人机的期望位置可表示为$P_d={\left[x_d,y_d,z_d\right]}^{\text{T}}$ ，位置控制器采用GFTSMC控制，并将输出的升力控制量$U_1$ ，期望滚转角${\varphi }_d$ ，期望俯仰角${\theta }_d$ 传递给姿态环。姿态环采用RBF-ANFTSMC控制，输入为期望滚转角${\varphi }_d$ ，期望俯仰角${\theta }_d$ 和期望偏航角${\psi }_d$ ，输出为滚转角，俯仰角和偏航角的三个控制输入量$U_2$ ，$U_3$ 和$U_4$ ，实际位置可以表示为$P={\left[x,y,z\right]}^{\text{T}}$ ，总体控制结构框图如图2所示。

4. 容错控制器设计

4.1. 姿态容错控制器设计

对于姿态控制，设计了一种具有三个自适应律的非奇异快速终端滑模控制律，分别用于解决外部环境干扰，执行器故障和系统模型不确定性问题。

Figure 2. Block diagram of overall control structure

图2. 总体控制结构框图

定义姿态跟踪误差为

${\Theta }_e=\Theta -{\Theta }_d$ (5)

上式中，${\Theta }_e={\left[{\varphi }_e,{\theta }_e,{\psi }_e\right]}^{\text{T}}$ 为姿态跟踪误差；$\Theta ={\left[\varphi ,\theta ,\psi \right]}^{\text{T}}$ 为实际姿态角度；${\Theta }_d={\left[{\varphi }_d,{\theta }_d,{\psi }_d\right]}^{\text{T}}$ 为期望姿态角度。

选取非奇异快速终端滑模面为

$S_i={\Theta }_e+\frac{1}{B_i}sign\left({\dot{\Theta }}_e\right){\left|{\dot{\Theta }}_e\right|}^{\frac{w_i}{n_i}}+\frac{1}{c_i}sign\left({\Theta }_e\right){\left|{\Theta }_e\right|}^{\frac{k_i}{j_i}}\left(i=\varphi ,\theta ,\psi \right)$ (6)

其中$B_i,c_i>0$ ，$n_i,w_i,j_i,k_i$ 都为正奇数，且满足$1<\frac{w_i}{n_i}<\frac{k_i}{j_i}<2$ 。以俯仰角$\theta$ 为例，其求解过程如下

由系统(3)可知俯仰子系统为

$\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_3=x_4\\ {\dot{x}}_4=f_{\theta }\left(x\right)+\left({\rho }_3{u}_3+f_3\right)b_{\theta }+\Delta f_{\theta }\left(x\right)+d_3\end{array}$ (7)

定义$\theta$ 角跟踪误差为

${\theta }_e=\theta -{\theta }_d$ (8)

对其求二阶导可得

${\ddot{\theta }}_e=\ddot{\theta }-{\ddot{\theta }}_d={\dot{x}}_4-{\ddot{\theta }}_d=f_{\theta }\left(x\right)+\left({\rho }_3{u}_3+f_3\right)b_{\theta }+\Delta f_{\theta }\left(x\right)+d_3-{\ddot{\theta }}_d$ (9)

定义未知函数为

$P_{\theta }\left(x\right)=f_{\theta }\left(x\right)+\Delta f_{\theta }\left(x\right)$ (10)

由于系统模型的复杂耦合性，故一些模型参数是无法准确确定的，且$\Delta f_{\theta }(x)$ 是未知的，故函数$P_{\theta }\left(x\right)$ 也是未知的，考虑到RBF神经网络可以对未知函数实现任意精度的逼近，故函数$P_{\theta }\left(x\right)$ 可以表示为

$P_{\theta }\left(x\right)=W_1^{*\text{T}}{H}_1\left(x\right)+{\epsilon }_1\left(x\right)$ (11)

其中，x为神经网络的输入向量；$W_1^{\ast }$ 为网络的理想权值；${\epsilon }_1$ 为网络的逼近误差，且$\left|{\epsilon }_1\right|\le {\overline{\epsilon }}_1$ ，${\overline{\epsilon }}_1$ 为未知正常数；$H\left(x\right)={\left[h_1\left(x\right),h_2\left(x\right),\cdots ,h_j\left(x\right)\right]}^{\text{T}}$ 为径向基函数，其输出为

$h_j\left(x\right)=\exp \left[-\frac{{\Vert x-c_j\Vert }_2^2}{b_j^2}\right]\left(j=1,2,3,4,5\right)$ (12)

将上式(10)和(11)代入式(9)中，可得

${\ddot{\theta }}_e=\ddot{\theta }-{\ddot{\theta }}_d={\dot{x}}_4-{\ddot{\theta }}_d=W_1^{*\text{T}}{H}_1+{\epsilon }_1+\left({\rho }_3{u}_3+f_3\right)b_{\theta }+d_3-{\ddot{\theta }}_d$(13)

选取非奇异快速终端滑模面为

$s_{\theta }={\theta }_e+\frac{1}{B_1}sign\left({\dot{\theta }}_e\right){\left|{\dot{\theta }}_e\right|}^{\frac{w_1}{n_1}}+\frac{1}{c_1}sign\left({\theta }_e\right){\left|{\theta }_e\right|}^{\frac{k_1}{j_1}}$ (14)

其中$B_1,c_1>0$ ，$n_1,w_1,j_1,k_1$ 都为正奇数，且满足$1<\frac{w_1}{n_1}<\frac{k_1}{j_1}<2$ 。

对式(14)求导

${\dot{s}}_{\theta }={\dot{\theta }}_e+\frac{w_1}{B_1{n}_1}{\left|{\dot{\theta }}_e\right|}^{\frac{w_1}{n_1}-1}{\ddot{\theta }}_e+\frac{k_1}{c_1{j}_1}{\left|{\theta }_e\right|}^{\frac{k_1}{j_1}-1}{\dot{\theta }}_e$ (15)

代入式(13)可得

$\begin{array}{c}{\dot{s}}_{\theta }={\dot{\theta }}_e+\frac{k_1}{c_1{j}_1}{\left|{\theta }_e\right|}^{\frac{k_1}{j_1}-1}{\dot{\theta }}_e+\frac{w_1}{B_1{n}_1}{\left|{\dot{\theta }}_e\right|}^{\frac{w_1}{n_1}-1}{\ddot{\theta }}_e\\ ={\dot{\theta }}_e+\frac{k_1}{c_1{j}_1}{\left|{\theta }_e\right|}^{\frac{k_1}{j_1}-1}{\dot{\theta }}_e+\frac{w_1}{B_1{n}_1}{\left|{\dot{\theta }}_e\right|}^{\frac{w_1}{n_1}-1}\left(W_1^{*\text{T}}{H}_1+{\epsilon }_1+\left({\rho }_3{u}_3+f_3\right)b_{\theta }+d_3-{\ddot{\theta }}_d\right)\\ ={\dot{\theta }}_e+\frac{k_1}{c_1{j}_1}{\left|{\theta }_e\right|}^{\frac{k_1}{j_1}-1}{\dot{\theta }}_e+\frac{w_1}{B_1{n}_1}{\left|{\dot{\theta }}_e\right|}^{\frac{w_1}{n_1}-1}\left(W_1^{*\text{T}}{H}_1+{\epsilon }_1+{\gamma }_1{u}_3+f_3{b}_{\theta }+d_3-{\ddot{\theta }}_d\right)\end{array}$(16)

其中${\gamma }_1={\rho }_3{b}_{\theta }$ ，定义$K_1=1/{\gamma }_1$ ，$X_1={\overline{d}}_3+b_{\theta }{\overline{f}}_3+{\overline{\epsilon }}_1$ ；由假设2可知$X_1\ge \left|d_3+b_{\theta }{f}_3+{\epsilon }_1\right|$ 。由于${\gamma }_1,{\overline{d}}_3,{\overline{f}}_3,{\overline{\epsilon }}_1$ 是未知的，所以可知$K_1$ 和$X_1$ 也是未知的。

故可选取如下Lyapunov函数

$V_1=\frac{1}{2}{s}_{\theta }^2+\frac{{\gamma }_1}{2{\zeta }_1}{\tilde{k}}_1^2+\frac{1}{2{\eta }_1}{\tilde{W}}_1^{\text{T}}{\tilde{W}}_1+\frac{1}{2{\lambda }_1}{\tilde{X}}_1^2$(17)

其中${\zeta }_1,{\eta }_1,{\lambda }_1$ 都为正常数，${\tilde{K}}_1={\widehat{K}}_1-K_1$ ，${\tilde{W}}_1={\widehat{W}}_1-W_1^{\ast }$ ，${\tilde{X}}_1={\widehat{X}}_1-X_1$ ，${\widehat{K}}_1,{\widehat{W}}_1,{\widehat{X}}_1$ 分别代表$K_1,W_1^{\ast },X_1$ 的估计值，且假设$K_1,W_1^{\ast },X_1$ 是缓慢变化的。

对上式(17)求导可得

${\dot{V}}_1=s_{\theta }{\dot{s}}_{\theta }+\frac{{\gamma }_1}{{\zeta }_1}{\tilde{K}}_1{\dot{\widehat{K}}}_1+\frac{1}{{\eta }_1}{\tilde{W}}_1^{\text{T}}{\dot{\widehat{W}}}_1+\frac{1}{{\lambda }_1}{\tilde{X}}_1{\dot{\widehat{X}}}_1$(18)

把式(16)代入式(18)可得

$\begin{array}{c}{\dot{V}}_1=s_{\theta }{\dot{s}}_{\theta }+\frac{{\gamma }_1}{{\zeta }_1}{\tilde{K}}_1{\dot{\widehat{K}}}_1+\frac{1}{{\eta }_1}{\tilde{W}}_1^{\text{T}}{\dot{\widehat{W}}}_1+\frac{1}{{\lambda }_1}{\tilde{X}}_1{\dot{\widehat{X}}}_1\\ =s_{\theta }{\dot{\theta }}_e+\frac{s_{\theta }{k}_1}{c_1{j}_1}{\left|{\theta }_e\right|}^{\frac{k_1}{j_1}-1}{\dot{\theta }}_e+\frac{s_{\theta }{w}_1}{B_1{n}_1}{\left|{\dot{\theta }}_e\right|}^{\frac{w_1}{n_1}-1}\left(W_1^{*\text{T}}{H}_1+{\epsilon }_1+{\gamma }_1{u}_3+f_3{b}_{\theta }+d_3-{\ddot{\theta }}_d\right)\\ +\frac{{\gamma }_1}{{\zeta }_1}{\tilde{K}}_1{\dot{\widehat{K}}}_1+\frac{1}{{\eta }_1}{\tilde{W}}_1^{\text{T}}{\dot{\widehat{W}}}_1+\frac{1}{{\lambda }_1}{\tilde{X}}_1{\dot{\widehat{X}}}_1\\ =\frac{s_{\theta }{w}_1}{B_1{n}_1}{\left|{\dot{\theta }}_e\right|}^{\frac{w_1}{n_1}-1}\left({\widehat{W}}_1^{\text{T}}{H}_1+{\epsilon }_1+{\gamma }_1{u}_3+f_3{b}_{\theta }+d_3-{\ddot{\theta }}_d\right)+{\text{s}}_{\theta }{\dot{\theta }}_e+\frac{s_{\theta }{k}_1}{c_1{j}_1}{\left|{\theta }_e\right|}^{\frac{k_1}{j_1}-1}{\dot{\theta }}_e\\ +\frac{{\gamma }_1}{{\zeta }_1}{\tilde{K}}_1{\dot{\widehat{K}}}_1+\frac{1}{{\lambda }_1}{\tilde{X}}_1{\dot{\widehat{X}}}_1+{\tilde{W}}_1^{\text{T}}\left(\frac{1}{{\eta }_1}{\dot{\widehat{W}}}_1-\frac{s_{\theta }{w}_1}{B_1{n}_1}{\left|{\dot{\theta }}_e\right|}^{\frac{w_1}{n_1}-1}{H}_1\right)\end{array}$(19)

故可设计自适应律为

${\dot{\widehat{W}}}_1=\frac{s_{\theta }{w}_1{\eta }_1}{B_1{n}_1}{\left|{\dot{\theta }}_e\right|}^{\frac{w_1}{n_1}-1}{H}_1$ (20)

将式(20)代入式(19)可得

$\begin{array}{l}{\dot{V}}_1=s_{\theta }{\dot{\theta }}_e+\frac{s_{\theta }{k}_1}{c_1{j}_1}{\left|{\theta }_e\right|}^{\frac{k_1}{j_1}-1}{\dot{\theta }}_e+\frac{s_{\theta }{w}_1}{B_1{n}_1}{\left|{\dot{\theta }}_e\right|}^{\frac{w_1}{n_1}-1}\left({\widehat{W}}_1^{\text{T}}{H}_1+{\epsilon }_1+{\gamma }_1{u}_3+f_3{b}_{\theta }+d_3-{\ddot{\theta }}_d\right)\\ +\frac{{\gamma }_1}{{\zeta }_1}{\tilde{K}}_1{\dot{\widehat{K}}}_1+\frac{1}{{\lambda }_1}{\tilde{X}}_1{\dot{\widehat{X}}}_1\end{array}$(21)

引入一个辅助变量，即

$\begin{array}{l}{\alpha }_1={\widehat{W}}_1^{\text{T}}{H}_1-{\ddot{\theta }}_d+{\widehat{X}}_{1}sign\left(s_{\theta }\right)+{\sigma }_{1}sign\left(s_{\theta }\right)+l_1{s}_{\theta }\\ +\frac{B_1{n}_1}{w_1}sign\left({\dot{\theta }}_e\right){\left|{\dot{\theta }}_e\right|}^{2-\frac{w_1}{n_1}}\left(1+\frac{k_1}{c_1{j}_1}{\left|{\theta }_e\right|}^{\frac{k_1}{j_1}-1}\right)\end{array}$(22)

将辅助变量上式(22)代入式(21)即可得

$\begin{array}{l}{\dot{V}}_1=\frac{s_{\theta }{w}_1}{B_1{n}_1}{\left|{\dot{\theta }}_e\right|}^{\frac{w_1}{n_1}-1}\left({\alpha }_1-{\widehat{X}}_{1}sign\left(s_{\theta }\right)-{\sigma }_{1}sign\left(s_{\theta }\right)-l_1{s}_{\theta }+\epsilon +{\gamma }_1{u}_3+f_3{b}_{\theta }+d_3\right)\\ +\frac{{\gamma }_1}{{\zeta }_1}{\tilde{k}}_1{\dot{\widehat{k}}}_1+\frac{1}{{\lambda }_1}{\tilde{X}}_1{\dot{\widehat{X}}}_1\\ =\frac{s_{\theta }{w}_1}{B_1{n}_1}{\left|{\dot{\theta }}_e\right|}^{\frac{w_1}{n_1}-1}\left({\alpha }_1-{\sigma }_{1}sign\left(s_{\theta }\right)-l_1{s}_{\theta }+{\gamma }_1{u}_3\right)+\frac{w_1}{B_1{n}_1}{\left|{\dot{\theta }}_e\right|}^{\frac{w_1}{n_1}-1}\left(-X_1\left|s_{\theta }\right|+\left(\epsilon +f_3{b}_{\theta }+d_3\right)s_{\theta }\right)\\ +\frac{{\gamma }_1}{{\zeta }_1}{\tilde{K}}_1{\dot{\widehat{K}}}_1+{\tilde{X}}_1\left(\frac{1}{{\lambda }_1}{\dot{\widehat{X}}}_1-\frac{w_1}{B_1{n}_1}{\left|{\dot{\theta }}_e\right|}^{\frac{w_1}{n_1}-1}\left|s_{\theta }\right|\right)\end{array}$(23)

由$X_1\ge \left|d_3+b_{\theta }{f}_3+\epsilon \right|$ ，故有

$\begin{array}{l}{\dot{V}}_1\le \frac{s_{\theta }{w}_1}{B_1{n}_1}{\left|{\dot{\theta }}_e\right|}^{\frac{w_1}{n_1}-1}\left({\alpha }_1-{\sigma }_{1}sign\left(s_{\theta }\right)-l_1{s}_{\theta }+{\gamma }_1{u}_3\right)\\ +\frac{{\gamma }_1}{{\zeta }_1}{\tilde{K}}_1{\dot{\widehat{K}}}_1+{\tilde{X}}_1\left(\frac{1}{{\lambda }_1}{\dot{\widehat{X}}}_1-\frac{w_1}{B_1{n}_1}{\left|{\dot{\theta }}_e\right|}^{\frac{w_1}{n_1}-1}\left|s_{\theta }\right|\right)\end{array}$(24)

故可设计自适应律为

${\dot{\widehat{X}}}_1=\{\begin{array}{l}\frac{{\lambda }_1{w}_1}{B_1{n}_1}{\left|{\dot{\theta }}_e\right|}^{\frac{w_1}{n_1}-1}\left|s_{\theta }\right|F_1,{\dot{\widehat{X}}}_1>0\\ \frac{{\lambda }_1{w}_1}{B_1{n}_1}{\left|{\dot{\theta }}_e\right|}^{\frac{w_1}{n_1}-1}\left|s_{\theta }\right|,{\dot{\widehat{X}}}_1\le 0\end{array}$ (25)

上式(25)中的F为

$F_1=\{\begin{array}{l}1\text{, }\left|s_{\theta }\right|\ge L_1\\ -1\text{, }\left|s_{\theta }\right|<L_1\end{array}$ (26)

其中$L_1$ 为正实数，式(25)中所设计的自适应律是不需要外部干扰的上界信息的。由式(26)可知，当${\dot{\widehat{X}}}_1>0$ 时，自适应律有两种不同的形式：当$\left|s_{\theta }\right|\ge L_1$ 时，开关增益${\dot{\widehat{X}}}_1$ 会随时间增大，且滑动变量$s_{\theta }$ 会更快地趋近滑模面附近。一旦到达附近，即当$\left|s_{\theta }\right|<L_1$ 时，开关增益${\dot{\widehat{X}}}_1$ 减小，滑动变量会保持在滑模面附近。

将上式(25)代入式(24)可得

${\dot{V}}_1\le \frac{s_{\theta }{w}_1}{B_1{n}_1}{\left|{\dot{\theta }}_e\right|}^{\frac{w_1}{n_1}-1}\left({\alpha }_1-{\sigma }_{1}sign\left(s_{\theta }\right)-l_1{s}_{\theta }+{\gamma }_1{u}_3\right)+\frac{{\gamma }_1}{{\zeta }_1}{\tilde{K}}_1{\dot{\widehat{K}}}_1$ (27)

故可设计自适应律和控制器为

${\dot{\widehat{K}}}_1={\zeta }_1\frac{s_{\theta }{w}_1}{B_1{n}_1}{\left|{\dot{\theta }}_e\right|}^{\frac{w_1}{n_1}-1}{s}_{\theta }{\alpha }_1$ (28)

$u_3=-{\widehat{K}}_1{\alpha }_1$ (29)

将式(28)和式(29)代入式(27)可得

$\begin{array}{c}{\dot{V}}_1\le \frac{s_{\theta }{w}_1}{B_1{n}_1}{\left|{\dot{\theta }}_e\right|}^{\frac{w_1}{n_1}-1}\left({\alpha }_1-{\sigma }_{1}sign\left(s_{\theta }\right)-l_1{s}_{\theta }-{\gamma }_1{\widehat{K}}_1{\alpha }_1\right)+{\gamma }_1{\tilde{K}}_1\frac{s_{\theta }{w}_1}{B_1{n}_1}{\left|{\dot{\theta }}_e\right|}^{\frac{w_1}{n_1}-1}{\alpha }_1\\ =\frac{s_{\theta }{w}_1}{B_1{n}_1}{\left|{\dot{\theta }}_e\right|}^{\frac{w_1}{n_1}-1}\left({\alpha }_1-{\sigma }_{1}sign\left(s_{\theta }\right)-l_1{s}_{\theta }-{\gamma }_1{\widehat{K}}_1{\alpha }_1+{\gamma }_1{\tilde{K}}_1{\alpha }_1\right)\\ =\frac{s_{\theta }{w}_1}{B_1{n}_1}{\left|{\dot{\theta }}_e\right|}^{\frac{w_1}{n_1}-1}\left({\alpha }_1-{\sigma }_{1}sign\left(s_{\theta }\right)-l_1{s}_{\theta }-{\gamma }_1{K}_1{\alpha }_1\right)\end{array}$ (30)

由$K_1=1/{\gamma }_1$ ，所以有

$\begin{array}{c}{\dot{V}}_1\le \frac{s_{\theta }{w}_1}{B_1{n}_1}{\left|{\dot{\theta }}_e\right|}^{\frac{w_1}{n_1}-1}\left({\alpha }_1-{\sigma }_{1}sign\left(s_{\theta }\right)-l_1{s}_{\theta }-{\gamma }_1{K}_1{\alpha }_1\right)\\ =\frac{s_{\theta }{w}_1}{B_1{n}_1}{\left|{\dot{\theta }}_e\right|}^{\frac{w_1}{n_1}-1}\left(-{\sigma }_{1}sign\left(s_{\theta }\right)-l_1{s}_{\theta }\right)\\ =-\frac{{\sigma }_1{w}_1}{B_1{n}_1}{\left|{\dot{\theta }}_e\right|}^{\frac{w_1}{n_1}-1}\left|s_{\theta }\right|-\frac{s_{\theta }^2{w}_1{l}_1}{B_1{n}_1}{\left|{\dot{\theta }}_e\right|}^{\frac{w_1}{n_1}-1}\le 0\end{array}$ (31)

定理1：综合考虑俯仰角状态方程式(7)，控制器式(29)和自适应律式(20)、式(25)、式(28)可知，系统误差变量将在有限时间内收敛到0。

证明：首先可由上式(31)可定义$M_1=\frac{{\sigma }_1{w}_1}{B_1{n}_1}{\left|{\dot{\theta }}_e\right|}^{\frac{w_1}{n_1}-1}$ ，$N_1=\frac{w_1{l}_1}{B_1{n}_1}{\left|{\dot{\theta }}_e\right|}^{\frac{w_1}{n_1}-1}$ 。然后讨论误差变量存在的两种情

况：情况一，当${\dot{\theta }}_e\ne 0$ 时，可以推导出$M_1>0$ ，$N_1>0$ ，因此可得出${\dot{V}}_1<0$ ，因此可知，系统误差变量会在有限时间到达滑模面附近，并最终收敛到0。情况二，当${\dot{\theta }}_e=0$ 时，将式(28)、式(29)、式(20)和式(25)代入式(9)可知，当误差变量未到达滑模面时，${\ddot{\theta }}_e\ne 0$ ，即误差变量不会保持在一个固定点上。综上所述，系统误差变量将在有限时间内从任意情况下到达滑模面，并最终收敛到0。

同理，由式子(3)可分别选取非奇异快速终端滑模面为

$s_{\varphi }={\varphi }_e+\frac{1}{B_2}sign\left({\dot{\varphi }}_e\right){\left|{\dot{\varphi }}_e\right|}^{\frac{w_2}{n_2}}+\frac{1}{c_2}sign\left({\varphi }_e\right){\left|{\varphi }_e\right|}^{\frac{k_2}{j_2}}$ (32)

$s_{\psi }={\psi }_e+\frac{1}{B_3}sign\left({\dot{\psi }}_e\right){\left|{\dot{\psi }}_e\right|}^{\frac{w_3}{n_3}}+\frac{1}{c_3}sign\left({\psi }_e\right){\left|{\psi }_e\right|}^{\frac{k_3}{j_3}}$ (33)

其中$B_{2,3},c_{2,3}>0$ ，$n_{2,3},w_{2,3},j_{2,3},k_{2,3}$ 都为正奇数，且满足$1<\frac{w_{2,3}}{n_{2,3}}<\frac{k_{2,3}}{j_{2,3}}<2$ 。

故同理可得出横滚角和偏航角对应的自适应律和控制器分别为

${\dot{\widehat{W}}}_2=\frac{s_{\varphi }{w}_2{\eta }_2}{B_2{n}_2}{\left|{\dot{\varphi }}_e\right|}^{\frac{w_2}{n_2}-1}{H}_2$ (34)

${\dot{\widehat{X}}}_2=\{\begin{array}{l}\frac{{\lambda }_2{w}_2}{B_2{n}_2}{\left|{\dot{\varphi }}_e\right|}^{\frac{w_2}{n_2}-1}\left|s_{\varphi }\right|F_2,{\dot{\widehat{X}}}_2>0\\ \frac{{\lambda }_2{w}_2}{B_2{n}_2}{\left|{\dot{\varphi }}_e\right|}^{\frac{w_2}{n_2}-1}\left|s_{\varphi }\right|,{\dot{\widehat{X}}}_2\le 0\end{array}$ (35)

${\dot{\widehat{K}}}_2={\zeta }_2\frac{s_{\varphi }{w}_2}{B_2{n}_2}{\left|{\dot{\varphi }}_e\right|}^{\frac{w_2}{n_2}-1}{s}_{\varphi }{\alpha }_2$ (36)

$u_2=-{\widehat{K}}_2{\alpha }_2$ (37)

${\dot{\widehat{W}}}_3=\frac{s_{\psi }{w}_3{\eta }_3}{B_3{n}_3}{\left|{\dot{\psi }}_e\right|}^{\frac{w_3}{n_3}-1}{H}_3$ (38)

${\dot{\widehat{X}}}_3=\{\begin{array}{l}\frac{{\lambda }_3{w}_3}{B_3{n}_3}{\left|{\dot{\psi }}_e\right|}^{\frac{w_3}{n_3}-1}\left|s_{\psi }\right|F_3,{\dot{\widehat{X}}}_3>0\\ \frac{{\lambda }_3{w}_3}{B_3{n}_3}{\left|{\dot{\psi }}_e\right|}^{\frac{w_3}{n_3}-1}\left|s_{\psi }\right|,{\dot{\widehat{X}}}_3\le 0\end{array}$ (39)

${\dot{\widehat{K}}}_3={\zeta }_3\frac{s_{\psi }{w}_3}{B_3{n}_3}{\left|{\dot{\psi }}_e\right|}^{\frac{w_3}{n_3}-1}{s}_{\psi }{\alpha }_3$ (40)

$u_4=-{\widehat{K}}_3{\alpha }_3$ (41)

在传统的滑模控制应用中，系统抖振现象是无法避免的。为了减小此现象，本文采用一种改进的饱和函数$\Xi \left(s_i\right)$ 来代替传统的符号函数$sign\left(s_i\right)$ ，改进的饱和函数为

$\Xi \left(s_i\right)=\{\begin{array}{l}sign\left(s_i\right),\left|s_i\right|\ge \nabla \\ \frac{s}{{\nabla }^{\mu }},\left|s_i\right|<\nabla \end{array}$ (42)

其中：$s_i\left(i=\varphi ,\theta ,\psi ,x,y,z\right)$ 为所设计的终端滑模面，$\nabla ,\mu$ 都为正常数，且$\mu >1$ 。

4.2. 位置容错控制器设计

由系统(2)可得出一组虚拟控制输入为

$\{\begin{array}{l}{u}_{1x}=\left(\cos \varphi \sin \theta \cos \psi +\sin \varphi \sin \psi \right)\frac{U_1}{m}\\ u_{1y}=\left(\cos \varphi \sin \theta \sin \psi -\sin \varphi \cos \psi \right)\frac{U_1}{m}\\ u_{1z}=\left(\cos \varphi \cos \theta \right)\frac{U_1}{m}\end{array}$ (43)

解上述虚拟控制输入可得

$U_1=m\frac{\cos {\varphi }_d\cos {\theta }_d}{u_{1z}}$ (44)

${\varphi }_d=\arctan \left(\frac{\sin {\psi }_d{u}_{1x}-\cos {\psi }_d{u}_{1y}}{u_{1z}}\cos {\theta }_d\right)$ (45)

${\theta }_d=\arctan \left(\frac{\cos {\psi }_d{u}_{1x}+\sin {\psi }_d{u}_{1y}}{u_{1z}}\right)$ (46)

定义位置跟踪误差为

$E_P=P_d-P$ (47)

其中，$E_P={\left[e_x,e_y,e_z\right]}^{\text{T}}$ ，期望位置为$P_d={\left[x_d,y_d,z_d\right]}^{\text{T}}$ ，实际位置为$P={\left[x,y,z\right]}^{\text{T}}$ 。

选取全局快速终端滑模面为

$S_i={\dot{E}}_P+{\beta }_i{E}_P+{\vartheta }_i{E}_P^{\frac{p_i}{q_i}}\left(i=x,y,z\right)$ (48)

其中：${\beta }_i,{\vartheta }_i>0$ ；$p_i,q_i$ 都为正奇数，且$q_i>p_i$ 。

选取一般趋近律为

${\dot{S}}_i={\kappa }_i{S}_i+{\iota }_i\Xi \left(S_i\right)\left(i=x,y,z\right)$ (49)

上式中，${\kappa }_i,{\iota }_i\left(i=x,y,z\right)$ 为已知的正常数，$\Xi \left(S_i\right)$ 为改进的饱和函数。

故控制器可设计为

$\{\begin{array}{l}{u}_{1x}={\ddot{x}}_d+{\beta }_x{\dot{e}}_x+\frac{{\vartheta }_x{p}_x}{q_x}{e}_x^{\frac{p_x}{q_x}-1}{\dot{e}}_x+\frac{K_x\dot{x}}{m}+{\dot{s}}_x\\ u_{1y}={\ddot{y}}_d+{\beta }_y{\dot{e}}_y+\frac{{\vartheta }_y{p}_y}{q_y}{e}_y^{\frac{p_y}{q_y}-1}{\dot{e}}_y+\frac{K_y\dot{y}}{m}+{\dot{s}}_x\\ u_{1z}=\left({\ddot{z}}_d+{\beta }_z{\dot{e}}_z+\frac{{\vartheta }_z{p}_z}{q_z}{e}_z^{\frac{p_z}{q_z}-1}{\dot{e}}_z+\frac{K_z\dot{z}}{m}+{\dot{s}}_z+g-f_1-d_1\right)/{\rho }_1\end{array}$ (50)

引理1：假设存在正定且连续函数$W\left(x\right)$ ，满足不等式$\dot{W}\left(x\right)+\beta W\left(x\right)+\vartheta W{\left(x\right)}_{}^{\frac{p}{q}}\le 0$ ，其中，$\beta ,\vartheta >0$ ，$p,q$ 为正奇数，且$q>p$ ，系统初始状态为$x_0$ ，则状态x将在有限时间$t_s$ 内收敛到平衡点，且满足：

$t_s\le \frac{q}{\beta \left(q-p\right)}\ln \left(\frac{\beta W{\left(x_0\right)}_{}^{\frac{q-p}{q}}+\vartheta }{\vartheta }\right)$ (51)

对上式(48)求导可得

${\dot{S}}_i={\ddot{E}}_P+{\beta }_i{\dot{E}}_P+{\vartheta }_i\frac{p_i}{q_i}{E}_P^{\frac{p_i}{q_i}-1}{\dot{E}}_P\left(i=x,y,z\right)$ (52)

其中$S_i={\left[s_x,s_y,s_z\right]}^{\text{T}}$ 。

选取Lyapunov函数为

$V_2=\frac{1}{2}\left(s_x^2+s_y^2+s_z^2\right)$ (53)

对上式(53)求导，并将式(50)和式(52)代入得

$\begin{array}{c}{\dot{V}}_2=s_x\left(-{\kappa }_x{s}_x-{\iota }_x\Xi \left(s_x\right)\right)+s_y\left(-{\kappa }_y{s}_y-{\iota }_y\Xi \left(s_y\right)\right)+s_z\left(-{\kappa }_z{s}_z-{\iota }_z\Xi \left(s_z\right)\right)\\ =-{\kappa }_i{S}_i^2-{\iota }_i\left|S_i\right|\end{array}$ (54)

由于${\kappa }_i,{\iota }_i\left(i=x,y,z\right)$ 为已知的正常数，故可得出${\dot{V}}_2\le 0$ 。

由上述的引理1可知滑模面$S_i$ 可在有限时间收敛到平衡状态，且收敛时间为

$t_{s_i}\le \frac{q_i}{{\beta }_i\left(q_i-p_i\right)}\ln \left(\frac{{\beta }_{i}W{\left(x_0\right)}_{}^{\frac{q_i-p_i}{q_i}}+{\vartheta }_i}{{\vartheta }_i}\right)\left(i=x,y,z\right)$ (55)

由以上分析可知，位置子系统可在有限时间内到达期望状态，且该子系统保持渐进稳定状态。

5. 仿真验证

5.1. 仿真设定

四旋翼无人机动力学模型参数如下表1所示。

Table 1. Parameters of the quadrotor UAV dynamics model

表1. 四旋翼无人机动力学模型参数

符号	参数	符号	参数
m	2 kg	$K_{x,y,z}$	0.010 s^2/rad
g	9.81 m/s^2	$K_{\varphi ,\theta ,\psi }$	0.014 s^2/rad
$I_{x,y,z}$	1.250 N∙s^2/rad	l	0.25 m

为了验证所提控制算法的有效性，分别基于本文提出的基于RBF神经网络的自适应非奇异快速终端滑模控制(RBF-ANFTSMC)方法、全局快速终端滑模控制(GFTSMC) [13]方法和非奇异快速终端滑模控制(NFTSMC) [14]方法进行控制系统设计和仿真对比。

在仿真实验中，四旋翼无人机系统的初始状态设置为：${\left[x_0,y_0,z_0,{\varphi }_0,{\theta }_0,{\psi }_0\right]}^{\text{T}}={\left[0,0,0,0,0,0\right]}^{\text{T}}$ ，位置期望轨迹为$x_d=\cos t$ ，$y_d=\sin t+2$ ，$z_d=5+t$ ，期望偏航角${\psi }_d=\pi /3$ 。系统所受外部干扰和执行器故障参数设置为：当$t<12\text{s}$ 时，未发生执行器故障，且$d_1=d_2=d_3=d_4=0$ ；当$t\ge 12\text{s}$ 时，发生执行器故障，有${\rho }_1=0.52$ ，${\rho }_2={\rho }_3={\rho }_4=0.64$ ，$f_1=4$ ，$f_2=0.1\sin \left(0.1\pi t\right)$ ，$f_3=0.2\sin \left(0.2\pi t\right)$ ，$f_4=0.3\sin \left(0.3\pi t\right)$ ，$d_1=4$ ，$d_2=0.6$ ，$d_3=3\sin \left(0.5\pi t\right)$ ，$d_4=1.5$ 。容错控制器相关参数设置为：$B_1=B_2=10$ ，$B_3=30$ ，$w_1=w_2=w_3=5$ ，$n_1=n_2=n_3=3$ ，$c_1=c_2=c_3=1$ ，$k_1=k_2=k_3=7$ ，$j_1=j_2=j_3=3$ ，${\lambda }_1={\lambda }_2={\lambda }_3=100$ ，${\sigma }_{1,2,3}=5$ ，$l_{1,2,3}=1000$ ，${\zeta }_1={\zeta }_2={\zeta }_3=5$ ，${\eta }_1={\eta }_2={\eta }_3=1$ ，$L_{1,2,3}=0.0005$ ，$\mu =1.5$ ，$\nabla =0.1$ ，${\beta }_{x,y,z}=1$ ，${\vartheta }_{x,y,z}=1$ ，$p_{x,y,z}=13$ ，$q_{x,y,z}=15$ ，${\kappa }_{x,y,z}=5$ ，${\iota }_{x,y,z}=0.1$ 。

5.2. 仿真结果分析

三种控制方案的仿真结果如图3~6所示。图3和图4分别表示3D空间轨迹跟踪曲线图和位置跟踪曲线图，可以看出：所设计的RBF-ANFTSMC控制方法相比于GFTSMC和NFTSMC两种控制方法具有更快的收敛速度，且实现了在受外部干扰、系统模型不确定性和执行器故障情况下四旋翼无人机系统较高精度的轨迹跟踪效果。

Figure 3. 3D trajectory tracking

图3. 三维轨迹跟踪曲线

Figure 4. Position tracking

图4. 位置跟踪曲线

图5为姿态跟踪曲线，可以看出：RBF-ANFTSMC和NFTSMC这两种控制方法都能以较高的收敛精度实现姿态跟踪曲线的快速收敛；而GFTSMC控制方法的效果明显较差，相比于另外两种控制方法其误差更大，收敛精度较低；当$t=12\text{s}$ 时，系统受外部干扰，系统不确定性和执行器故障影响，由放大图可以看出RBF-ANFTSMC控制方法在极短时间内快速的再次跟踪目标轨迹，收敛精度较高，而另外两种控制方法的收敛速度明显更小，抗干扰能力较差，这也意味着本文提出的RBF-ANFTSMC控制方法具有更强的容错能力，控制精度较高。此外，通过图6的姿态跟踪误差曲线对比可以看出本文提出的RBF-ANFTSMC控制方法收敛速度更快，且通过引入改进的饱和函数，有效地抑制了控制系统的抖振现象。

Figure 5. Attitude tracking

图5. 姿态跟踪曲线

Figure 6. Attitude tracking error

图6. 姿态跟踪误差曲线

6. 结论

本文针对具有外部干扰、系统模型不确定性和执行器故障的四旋翼无人机系统，提出了一种基于RBF-ANFTSMC有限时间容错控制策略。首先，外环位置容错控制采用GFTSMC控制方法。在此基础上，设计了一种基于RBF-ANFTSMC算法的有限时间容错控制器，用于外环姿态容错控制，并进行了稳定性分析。最后，通过仿真对比实验可知，所提出的RBF-ANFTSMC控制方法可以保证无人机系统的全局收敛，对外部扰动和执行器故障具有较强的鲁棒性。