基于证据推理和置信规则库的混凝土抗压强度预测方法

Concrete Compressive Strength Prediction Method Based on Evidential Reasoning and Belief Rule Base

摘要: 混凝土抗压强度的高低直接影响着建筑物的安全和稳定性，传统的混凝土抗压预测方式周期长且成本高。针对解决混凝土抗压强度分析所面临的材料成分、分析过程复杂等问题，提出了一种基于证据推理(Evidential Reasoning, ER)和置信规则库(Belief Rule Base)的混凝土抗压强度预测方法。该方法首先利用随机森林(RF)算法得出部分指标的重要度，利用证据推理算法赋权融合各项指标。其次利用置信规则库专家系统将混凝土抗压指标中定性知识与定量的数据相结合，建立置信规则库预测模型。然后采用投影协方差矩阵自适应进化策略算法(P-CMA-ES)优化模型的参数。最后通过UCI数据库混凝土抗压强度数据集，对提出的方法进行了验证。实验结果表明，该方法保证了模型推理的透明，本文提出的预测方法具有较高的精度且具有一定的可解释性。

Abstract: The compressive strength of concrete directly affects the safety and stability of buildings, and the traditional concrete compressive strength prediction method has a long period and high cost. In order to solve the problems of material composition and complex analysis process faced by concrete compressive strength analysis, a concrete compressive strength prediction method based on Evidential Reasoning (ER) and Belief Rule Base was proposed. Firstly, the random forest (RF) algorithm is used to obtain the importance of some indicators, and the evidence inference algorithm is used to empower and fuse various indicators. Secondly, the confidence rule base expert system is used to combine the qualitative knowledge and quantitative data in the concrete compressive index, and the confidence rule base prediction model is established. Then, the projection covariance matrix adaptive evolution strategy algorithm (P-CMA-ES) was used to optimize the parameters of the model. Finally, the proposed method is verified by the concrete compressive strength dataset of the UCI database. Experimental results show that the proposed method ensures the transparency of model reasoning, and the prediction method proposed in this paper has high accuracy and interpretability.

1. 引言

混凝土作为一种不可或缺的建筑材料，在各种建筑项目中占据举足轻重的地位。其结构性能评估的核心要素之一是抗压强度，这一指标对保障混凝土结构的安全性至关重要。然而，传统的“试块法”即28天标准养护法，尽管应用广泛，但是在实际操作过程中仍有诸多限制。

在施工过程中，为了保障混凝土的质量与安全性，持续的试验与调整过程不仅资源消耗巨大(包括原材料和时间)，还常常伴随着测试准确性的挑战，进而影响施工进度与品质。因此，若能现场实现混凝土试块抗压强度的精确且高效预测，将显著促进施工效率，保障工程质量，这一研究与应用领域具有深远的意义和价值。

通过分析混凝土成分的含量等数据，对比抗压强度的真实数据，结合专家经验建立回归模型进行预测，是一个人工智能问题，目前有各种各样的智能算法在这一领域得到了应用。其中基于神经网络的预测模型是最广泛的方法之一，陈洪根等[1]建立了一套基于BP神经网络的粉煤灰混凝土抗压强度预测模型。韩建军等[2]建立了针对垃圾飞灰不同掺量的混凝土BP神经网络预测模型。即便BP神经网络预测的精准度较高，但是学习速度缓慢，且存在训练过度导致模型性能下降，不能很好地满足混凝土及时修复拌合这一需求。

针对BP神经网络存在的缺点，曹斐等[3]建立了一种马氏距离加权SVR的预测模型。然而SVR对参数和核函数的选择过于敏感，鲁棒性较差。也有研究表明，极限学习机具有更好的性能，但隐藏的超参数问题无法通过具体的计算得出。综上所述，人工神经网络终究是一个黑盒模型，其模型的输入和输出之间的关系难以解释。一个共同问题是它们都不能同时充分利用定量和定性信息。例如，传统的基于规则的专家系统无法训练；利用人工神经网络等智能算法构建的模型只能使用定量信息进行训练，缺乏适应专家知识的能力。

以实际数据为基础的预测方法属于黑盒模型，因为其具备良好的可操作性和精度在相关领域备受青睐。然而，采用黑盒模型获得的预测结果虽然精度高，但其准确性受数据样本影响，建模过程不透明，内部参数和自身结构不容易被理解[4]。为了解决这些问题，本文提出一种灰盒模型。灰盒模型是通过模型自身的机制进行构建，此模型需要一定的水平专业知识，对于缺乏该领域知识的方向不容易被实现。

置信规则库(belief rule base, BRB)是由Yang等人[5]在2006年提出，它是基于D-S证据理论、模糊理论和传统IF-THEN规则上发展起来的。BRB可将专家知识和实际数据进行结合，并构建出能够反映输入与输出之间复杂非线性关系的模型，因此可以有效地处理定量和定性信息[6]的复杂决策问题。与传统的IF-THEN规则不同，置信规则的每个结果属性都对应一个置信度，专家可以利用他们的主观知识建立一个初始BRB模型，BRB模型的参数也可以通过数值数据进行优化，来更准确地描述输入输出直接的非线性关系。BRB与“黑盒模型”不同的是，它能够通过专家知识对推理出的答案做出合理解释，且过程是透明的。BRB一经提出就被广泛应用到各个领域，例如Dong等[7]提出了一种基于分层置信库(HBRB)的惯导系统性能评估方法，将专家知识与检测数据样本进行有效融合，验证了所提方案的有效性。Han等[8]提供了一种基于可解释置信规则库和区间优化策略的锂电池容量预测模型。Yin等[9]提供了一种基于层次置信规则库的股票预测模型。另外BRB专家系统在医疗决策[10]、故障诊断[11]、风险评估[12]、投标承包、也得到广泛应用。

2. 问题描述

混凝土抗压强度预测的准确性对建筑安全和降低成本至关重要，因此提出一种有效的且精准的预测方法是相当重要的，本节主要介绍混凝土实际预测中存在的问题，然后提出一种混凝土抗压强度预测方法RF-BRB。整体流程如图1所示。

Figure 1. Flow diagram of concrete compressive strength prediction

图1. 混凝土抗压强度预测流程图

问题1在实际应用中，影响混凝土抗压强度的指标类型多且关系复杂，但每个指标对预测结果的影响都是不可或缺的。首先要确定各指标对预测的贡献度，然后再将贡献度转化为权值，这个过程可以描述为：

$O=\left\{x_1,x_2,\cdots ,x_n\right\}$ (1)

$O^{\prime }=S\left(O\right)$ (2)

$P=\left\{a_1,a_2,\cdots ,a_n\right\}$ (3)

其中，O表示原始特征集，$S(•)$ 表示重要性排序方法，P表示经过重要性排序后确定指标对应权值集合。

问题2在确定好各指标的权值后，由于各指标之间的化学反应，需要将它们融合到一起，因此如何建立一个融合模型是本文要解决的第二个问题。融合各项指标的过程可以描述为：

$T=ER\left\{\left(O,P\right)\right\}$ (4)

其中$ER\{•\}$ 表示证据推理方法，k表示各指标进行融合后的结果。

问题3在实际预测过程中存在不确定性因素，还需处理定性和定量的信息。BRB作为一种作为一种知识推导模型，能够很好地描述并转换不确定信息并得到准确结果，同时保证推理过程的透明性，BRB的模型建立可以描述为：

$Y=\text{BRB}\left(T,x_m,U\right)$ (5)

其中Y表示BRB的预测结果，$x_m$ 代表龄期指标，U表示BRB系统中的参数集，$\text{BRB}(•)$ 为融合函数。

3. RF-BRB的混凝土抗压预测模型

本节阐述了混凝土抗压强度预测模型RF-BRB的定义及推理过程，包括利用RF确定指标重要度，再通过ER迭代算法融合对应指标等推理机制。

3.1. 基于RF的混凝土抗压指标权值确定

分析混凝土的指标，较多且维度高，都作为模型的输入，会导致BRB组合规则爆炸，模型过于复杂，可解释性较差。某研究指出，这些指标对结果的贡献并不一致，因此需要对指标进行重要性排序，判断各个指标的权重。随机森林(RF) [13]通过集成学习的思想，结合样本随机和特征随机的策略，构架出多个独立决策树，并汇总它们的预测结果，能够有效地评估各个特征对结果的影响程度。因此本文选取RF作为确定混凝土抗压指标的权值方法。设有样本$k=1,2,\cdots ,K$ ，K表示训练样本的个数，每个样本有N个特征，其主要实现步骤如下。

步骤1初始化$k=1$ ，创建决策树$T_k$ ；

步骤2对第k个样本进行训练，计算第k个OOB数据的分类准确率$L_k^{oob}$ 。

步骤3对OOB数据集中的特征$X_i$ ，$i=1,2,\cdots ,N$ 施加扰动，计算$L_{k,i}^{oob}$ 。

步骤4重复步骤1~步骤3。

步骤5特征$X_i$ 的重要性程度$P_i$ 如式(6)。

$P_i=\frac{1}{K}{\displaystyle \sum _{i=1}^K\left(L_k^{oob}-L_{k,i}^{oob}\right)}$ (6)

步骤6对$P_j$ 降序排列，并计算指标的权值，计算公式如下。

$w_j=\frac{P_j}{{\displaystyle \sum _{j=1}^N{P}_j}}$ (7)

3.2. 基于ER迭代算法的指标融合

在上文中通过重要性来确定各指标的权值，本文采用证据推理(ER)算法[14]对物料指标进行融合，确保使用数据的完整性，并且解决了下文BRB中规则组合爆炸的问题。主要实现步骤如下：

步骤1：根据专家知识初始化指标中不同评估等级的置信度，第i个指标可以描述为：

$e_i=\left\{\left({\beta }_r,{\sigma }_{r,i}\right),\left(\theta ,{\sigma }_{\theta ,i}\right),r=1,\cdots ,R;i=1,\cdots ,N\right\}$ (8)

其中${\beta }_r$ 表示第r个指标数据的评估级别，${\sigma }_{r,i}$ 表示在证据$e_i$ 下被评估为等级${\beta }_r$ 的置信度。$\theta$ 表示全局无知，${\sigma }_{\theta ,i}$ 表示第i个指标中数据未分配的置信度。

步骤2：计算证据的基本概率质量，如式(9)~(11)描述：

$m_{r,i}=1-w_i{\sigma }_{r,i}$ (9)

$m_{\delta ,i}=1-w_i{\displaystyle \sum _{r=1}^R{\sigma }_{r,i}}$ (10)

$m_{\epsilon ,i}=1-w_i$ (11)

其中，$m_{r,i}$ 表示的是第r个指标中第i个指标等级的基本概率质量，$m_{\delta ,i}$ 代表未分配给数据等级集合的基本概率质量，$m_{\epsilon ,i}$ 为缺少的第i个数据指标概率质量。

步骤3：基于Dempster规则求解组合概率质量：

$m_{r,J\left(i+1\right)}=F_{J\left(i+1\right)}\left[m_{r,J\left(i\right)}{m}_{r,i+1}+m_{r,J\left(i\right)}{m}_{\theta ,i+1}+m_{\theta ,J\left(i\right)}{m}_{r,i+1}\right]$

$m_{\theta ,J\left(i\right)}=m_{\theta ,J\left(i\right)}+m_{u,J\left(i\right)}$

$m_{u,J\left(i+1\right)}=F_{J\left(i+1\right)}\left[m_{u,J\left(i\right)}{m}_{u,i+1}+m_{u,J\left(i\right)}{m}_{\theta ,i+1}+m_{\theta ,J\left(i\right)}{m}_{u,i+1}\right]$

$m_{L\left(\Theta \right),J\left(i+1\right)}=F_{J\left(i+1\right)}\left[m_{\theta ,J\left(i\right)}{m}_{\theta ,i+1}\right]$

$F_{J\left(i+1\right)}=\frac{1}{1-{\displaystyle \sum _{r=1}^R{\displaystyle \sum _{s=1}^R{m}_{r,J\left(i\right)}{m}_{s,i+1}}}}$ (12)

步骤4：根据上述结果计算联合置信度：

${\sigma }_r=\frac{m_{r,J\left(i\right)}}{1-m_{L\left(\Theta \right)J\left(i\right)}}$ (13)

步骤5：假设评估等级${\beta }_r$ 的效用为 $u\left({\beta }_r\right)$ ，那么评估的期望效用计算如下：

${x^{\prime }}_i={\displaystyle \sum _{r=1}^{R}u\left({\beta }_r\right){\sigma }_r}$ (14)

基于上述分析，式(14)的结果对混凝土抗压强度的指标进行有效的评估，某类指标的效用值越高，代表该类属性对混凝土抗压强度的影响越大，验证了混凝土抗压强度预测方案的有效性。

3.3. 基于BRB的混凝土抗压强度预测模型

混凝土是多材料混合制成，它的抗压强度主要有两方面组成，其一是在混合过程中各个物料的配比，其二是各物料相互作用的时间[15] [16]。因此构建如下的置信规则：

$\begin{array}{l}{R}_k:\text{if}{x}_1\text{is}{A}_1\wedge x_2\text{is}{A}_2\wedge \cdots \wedge x_M\text{is}{A}_M\\ \text{Then result is}\left\{\left(C_1,{\beta }_1\right),\left(C_2,{\beta }_2\right),\cdots ,\left(C_N,{\beta }_N\right)\right\}\\ \text{with rule weight }{\theta }_1,{\theta }_2,\cdots ,{\theta }_K\\ \text{and attribute weight }{\delta }_1,{\delta }_2,\cdots ,{\delta }_M\end{array}$ (15)

其中，$x_i\left(i=1,\cdots ,M\right)$ 是指混凝土抗压强度预测评估指标；$A_i\left(i=1,\cdots ,M\right)$ 表示评估指标的参考值集合；$C_i\left(i=1,\cdots ,N\right)$ 是RF-BRB模型输出结果的参考等级；${\beta }_i\left(i=1,\cdots ,N\right)$ 表示第k条置信规则下，每个结果对应的置信度；${\theta }_i\left(i=1,\cdots ,K\right)$ 表示第i条置信规则的规则权重；K表示置信规则的数量；${\delta }_i\left(i=1,\cdots ,M\right)$ 表示第i个评估指标的属性权重；M表示评估指标的数量。

当输入信息$x_i\left(i=1,2\right)$ 到来后，利用证据推理算法对BRB中的置信规则进行组合，从而得BRB系统的最终输出，即抗压强度的估计值。主要包含以下5个步骤：

步骤1：通过专家知识对参数进行初始化。

步骤2：计算输入与参考值的匹配度：

$a_i^s=\{\begin{array}{l}\frac{B_i^{n+1}-x_i}{B_i^{n+1}-B_i^n},s=n\left(A_i^n\le x_i\le A_i^{n+1}\right)\\ \frac{x_i-B_i^n}{B_i^{n+1}-B_i^n},s=n+1\\ 0,s=1,2,\cdots ,S\left(s\ne n,n+1\right)\end{array}$ (16)

其中，$a_i^s$ 表示第i个输入$x_i$ 对于参考值$A_i$ 的匹配度。

步骤3：计算规则激活权重，公式如下：

${\omega }_k=\frac{{\theta }_k{\displaystyle \prod _{i=1}^T{\left(a_i^s\right)}^{{\delta }_i}}}{{\displaystyle \sum _{l=1}^L{\theta }_l}{\displaystyle \prod _{i=1}^T{\left(a_i^s\right)}^{{\delta }_i}}}$ (17)

其中，${\omega }_k$ 表示第k条规则的激活权重，${\theta }_k$ 表示第k条规则的规则权重，${\delta }_i$ 表示第i个属性权重，T表示前提属性的数量。

步骤4：使用ER解析算法生成混凝土抗压预测结果的置信度，公式如下：

$\beta =\frac{\mu \times \left[{\displaystyle \prod _{k=1}^L\left({\omega }_k{\beta }_{n,k}\right)+1-{\omega }_k{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\beta }_{i,k}}}-{\displaystyle \prod _{k=1}^{L}1-{\omega }_k{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\beta }_{i,k}}}\right]}{1-\mu \times \left[{\displaystyle \prod _{k=1}^{L}1-{\omega }_k}\right]}$

$\mu =\frac{1}{{\displaystyle \sum _{n=1}^N{\displaystyle \prod _{k=1}^L\left({\omega }_k{\beta }_{n,k}+1-{\omega }_k{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\beta }_{i,k}}\right)}}-\left(N-1\right){\displaystyle \prod _{k=1}^{L}1-{\omega }_k{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\beta }_{i,k}}}}$ (18)

步骤5：最终输出为：

$y_r={\displaystyle \sum _{n=1}^N{D}_n{\beta }_n}$ (19)

其中，$y_r$ 表示模型的实际输出，${\beta }_n$ 表示相对于评价结果$D_n$ 的置信度。

3.4. 基于BRB的混凝土抗压强度预测模型的优化过程

传统的带有专家经验的BRB模型具有一定局限性。需要通过实际数据对模型进行训练，以达到模型参数的优化。BRB的参数优化是带有约束的，高维非线性优化问题[17]，因此选用P-CMA-ES优化算法。其过程描述如下：

步骤1：利用投影运算来增加约束，将待解映射到可行超平面上，可将该超平面描述为：

$A_e{\Omega }_j^{\left(g\right)}\left(1+n_e·\left(j-1\right):n_e·j\right)=1$ (20)

对于不满足解执行如下：

$\begin{array}{l}{\Omega }_i^{\left(g\right)}\left(1+n_e·\left(j-1\right):n_e·j\right)\\ ={\Omega }_i^{\left(g+1\right)}\left(1+n_e·\left(j-1\right):n_e·j\right)-A_e^{\text{T}}·{\left(A_e·A_e^{\text{T}}\right)}^{-1}·{\Omega }_i^{\left(g+1\right)}\left(1+n_e·\left(j-1\right):n_e·j\right)·A_e\end{array}$ (21)

式中：$A_e={\left[1\cdots 1\right]}_{1\times 2^N}$ 为方程参数向量；${\Omega }_i^{\left(g\right)}$ 为进化至第g代时的第i个解；$n_e=\left(1,2,\cdots ,2^N\right)$ 为解中等约束条件变量的数目；$j=\left(1,2,\cdots ,2^N+1\right)$ 代表中等约束条件的数目。

步骤2：采样，择出当前最优子群。利用多维正态分布生成由$\lambda$ 个个体组成的种群，采样过程为：

$x_k^{\left(g+1\right)}=m^{\left(g\right)}+{\delta }^{\left(g\right)}·N_k\left(0,C^{\left(g\right)}\right),k=1,2,\cdots ,\lambda$ (22)

其中，$x_{i:\lambda }^{\left(g+1\right)}$ 表示第$g+1$ 代种群中排名第i的个体。

步骤4：更新协方差矩阵。

$p_c^{\left(g+1\right)}=\left(1-c_c\right)p_c^{\left(g\right)}+h_{\partial }^{\left(g+1\right)}\sqrt{c_c\left(2-c_c\right){\mu }_{eff}}\left(m^{\left(g+1\right)}-m^{\left(g\right)}\right)/{\delta }^{\left(g\right)}$

$C^{\left(g+1\right)}=\left(1-c_1-c_{\mu }\right)C^{\left(g\right)}+c_1\left(p_c^{\left(g+1\right)}{p}_c^{{\left(g+1\right)}^{\text{T}}}+\sigma \left(h_{\delta }^{\left(g+1\right)}\right)C^{\left(g\right)}\right)+c_{\mu }{\displaystyle \sum _{i=1}^{\mu }{w}_i{y}_{i:\lambda }^{\left(g+1\right)}{y}_{i:\lambda }^{{\left(g+1\right)}^{\text{T}}}}$ (23)

其中$y_{i:\lambda }^{\left(g+1\right)}=\left(x_{i:\lambda }^{\left(g+1\right)}-m^{\left(g\right)}\right)/{\delta }^{\left(g\right)}$ 。

步骤5：更新步长。

$p_{\delta }^{\left(g+1\right)}=\left(1-c_{\delta }\right)p_{\delta }^{\left(g\right)}+\sqrt{c_{\delta }\left(2-c_{\delta }\right){\mu }_{eff}}{C}^{\left(g\right)-\frac{1}{2}}\left(m^{\left(g+1\right)}-m^{\left(g\right)}\right)/{\delta }^{\left(g\right)}$

${\delta }^{\left(g+1\right)}={\delta }^{\left(g\right)}\exp \left(c_{\delta }\left(\Vert p_{\delta }^{\left(g+1\right)}\Vert /E\left(\Vert N\left(0,I\right)\Vert \right)-1\right)/d_{\delta }\right)$ (24)

当种群进化达到最大数量时终止，否则回溯第二步，继续优化。

4. 案例分析

4.1. 混凝土抗压强度预测模型构建

数据集来源于UCI平台提供的Concrete Compressive Strength数据集，由于数据样本较为庞大，试验中各个指标均有缺失，为了更好地验证模型的有效性，因此去除控制变量(未加入该材料)的数据，最终得到200组混凝土样本。通过随机森林算法对除龄期外的另外7个指标进行重要度分析。确定好指标的重要性指数后，将其转化为各指标对应的权重，采用证据推理算法对不同指标进行融合，各指标的融合对应的重要度和权值如表1所列。

Table 1. Importance index and weighting of each indicator

表1. 各项指标重要性指数和权重

排序	特征名称	重要性指数&权重
1	水泥	(1.2595, 0.4297)
2	水	(0.3860, 0.1317)
3	强塑剂	(0.3457, 0.1180)
4	粗骨料	(0.2786, 0.0950)
5	炉渣	(0.2701, 0.0922)
6	粉煤灰	(0.2400, 0.0819)
7	细骨料	(0.1509, 0.0515)

在指标融合后，建立BRB混凝土抗压预测模型，各指标的参考值如表2所列。

Table 2. Reference points and reference values for each indicator

表2. 各指标的参考点和参考值

参考点	S	A	B	C	D	E
X1	1.0	0.7	0.25	0.1	0.05	0
X2	1.0	0.85	0.65	0.4	0.25	0

4.2. 实验结果分析

在初始BRB模型中，由于专家知识具有局限性，而且未经外部影响进行模型训练，从而影响了模型的准确性，为解决参数的优化问题，利用P-CMA-ES算法进行参数优化，迭代训练次数为500，优化后的参数如表3所列。

Table 3. Optimized attributes parameters of BRB

表3. BRB的优化属性参数

规则数	前提属性	规则权重	评价结果
	$x_1,x_2$	${\zeta }_k$	$\left\{{\alpha }_1^k,{\alpha }_2^k,{\alpha }_3^k,{\alpha }_4^k,{\alpha }_5^k,{\alpha }_6^k\right\}$
1	S^S	0.205	{0.09, 0.12, 0.01, 0.02, 0.23, 0.53}
2	S^A	0.652	{0.20, 0.15, 0.20, 0.16, 0.03, 0.26}
3	S^B	0.376	{0.51, 0.21, 0.10, 0.04, 0.13, 0.01}
4	S^C	0.975	{0.05, 0.04, 0.30, 0.14, 0.26, 0.21}
5	S^D	0.311	{0, 0.67, 0.33, 0, 0, 0}
6	S^E	0.266	{0.10, 0.04, 0, 0.32, 0.24, 0.30}
7	A^S	0.043	{0.08, 0.18, 0.48, 0.16, 0, 0.10}
8	A^A	0.191	{0.31, 0.22, 0.04, 0.13, 0.12, 0.18}
9	A^B	0.627	{0.49, 0.24, 0.05, 0.03, 0.09, 0.10}
10	A^C	0.126	{0.80, 0.02, 0.02, 0.05, 0.03, 0.08}
11	A^D	0.994	{0.53, 0, 0.26, 0, 0, 0.21}
12	A^E	0.712	{0.02, 0.05, 0.37, 0.05, 0.43, 0.08}
13	B^S	0.818	{0.53, 0.02, 0.17, 0.18, 0.05, 0.05}
14	B^A	0.790	{0.09, 0.22, 0.35, 0.03, 0.16, 0.15}
15	B^B	0.453	{0.31, 0.12, 0.26, 0.15, 0.09, 0.07}
16	B^C	0.328	{0.51, 0.25, 0.16, 0, 0.08, 0}
17	B^D	0.644	{0.25, 0, 0, 0.48, 0.27, 0}
18	B^E	0.625	{0, 0.01, 0.02, 0.23, 0.17, 0.57}
19	C^S	0.464	{0.07, 0.31, 0.02, 0.06, 0.40, 0.14}
20	C^A	0.211	{0.13, 0.15, 0.33, 0.07, 0.02, 0.30}
21	C^B	0.557	{0.29, 0.21, 0.16, 0.05, 0.15, 0.14}

续表

22	C^C	0.344	{0.15, 0.40, 0.10, 0.11, 0.09, 0.15}
23	C^D	0.906	{0.06, 0.12, 0.45, 0.05, 0.25, 0.07}
24	C^E	0.109	{0, 0.01, 0.10, 0.01, 0.32, 0.56}
25	D^S	0.394	{0.30, 0.12, 0.10, 0.04, 0, 0.44}
26	D^A	0.482	{0.05, 0.33, 0.06, 0.22, 0.10, 0.24}
27	D^B	0.172	{0.15, 0.28, 0, 0.05, 0.04, 0.48}
28	D^C	0.561	{0.01, 0.07, 0.14, 0.13, 0.25, 0.4}
29	D^D	0.404	{0.16, 0.15, 0.06, 0.13, 0.13, 0.37}
30	D^E	0.345	{0, 0, 0, 0.02, 0.07, 0.91}
31	E^S	0.654	{0.01, 0.12, 0.06, 0.16, 0.31, 0.34}
32	E^A	0.965	{0.08, 0.11, 0.34, 0.18, 0.18, 0.11}
33	E^B	0.233	{0, 0.13, 0.26, 0.10, 0.34, 0.17}
34	E^C	0.059	{0.07, 0.05, 0.30, 0.36, 0.18, 0.04}
35	E^D	0.147	{0.13, 0.09, 0.20, 0.02, 0.37, 0.19}
36	E^E	0.706	{0.03, 0.16, 0.41, 0.18, 0.18, 0.04}

为了有效地对模型进行评价，本节使用MSE、MAE和R2作为评价指标，结合BP神经网络、KNN和ELM进行对比。4种方法与真实值的拟合如图2所示，评价指标的值对比如表4所示。

Figure 2. RF-BRB and other methods are fitted to true values (Electronic version in color)

图2. RF-BRB和其它方法与真实值拟合图(电子版为彩图)

Table 4. Evaluation index of RF-BRB and other methods

表4. RF-BRB与其它方法的评价指标

方法	MSE	MAE	R2
RF-BRB	0.0023	0.0340	0.8662
BP	0.0051	0.0568	0.7021
ELM	0.0061	0.0612	0.6440
KNN	0.0156	0.0929	0.0895

通过对照实验结果可以得出以下结论：

RF-BRB模型的MSE和MAE值是最低的，R2值最高，表面模型相较于对比方法有着更高的预测精度和模型契合度。

1) 通过RF对指标进行确定权值，对后续BRB的输入是有效的。

2) 相较于其他预测方法，BRB模型具有处理定性和定量的问题，推理过程透明，能够很好地处理不确定信息数据问题。

5. 结束语

为了有效地预测混凝土抗压强度，本文先采用RF方法确定各输入指标的权值，再用ER迭代算法将各指标进行融合，在保证了数据完整性的同时，也解决了BRB组合规则爆炸的问题。在建立RF-BRB模型的同时，利用合适的优化算法对模型的参数进行优化，这样就在实际操作中实现了系统的自我调整。

从案例研究中可以看出，RF-BRB的精度较高，相较于BP，KNN，ELM性能更好，验证了本文提出的方法能有效地预测混凝土抗压强度。然而随着时代的发展，新材料会源源不断地冲击并代替旧材料，面对众多材料，显然融合是不足以预测说明的，因此为了我们将对BRB进行分层及多专家联合优化进行探索，构建混凝土抗压预测模型，从而使预测更加准确。

基金项目

哈尔滨师范大学博士科研启动基金项目(XKB201901)，黑龙江省自然科学基金(LH2021F037)，“装备智能运用教育部重点实验室”开放基金课题资助(AAIE-2023-0102)。

NOTES

^*通讯作者Email: [e-mail]