非对称信息下Cournot-Bertrand模型的动态复杂性

The Complex Dynamics of Cournot-Bertrand Model under Asymmetric Information

摘要: 本文首先建立了一个基于集群溢出的静态Cournot-Bertrand博弈模型。对于这个博弈，本文在异质预期的假定下提出了一个具有非对称信息的非线性动力学模型。并且在此基础上，探讨了Nash均衡点的局部稳定性。通过数值仿真，本文分析了集群溢出系数和外推精度对系统稳定性的影响，并且得到了以下结论。一方面，适当的集群溢出有利于系统的稳定性，但过多的集群溢出会导致系统陷入混沌。另一方面，信息不对称对系统稳定性的影响依赖于产品可替代率。当产品可替代率较小时，在此博弈中处于优势地位的公司掌握的有效信息越多越不利于系统的稳定性，但当产品可替代率较大时，信息越准确，系统的稳定性越强。

Abstract: This paper firstly constructs a static Cournot-Bertrand game based on cluster spillovers. Through the first-order optimality conditions, the Nash equilibrium is acquired. For such a game, a nonlinear dynamics with information asymmetry is established. Then we investigate the local stability of the Nash equilibrium. Through numerical simulation, this paper analyzes the influence of spillover coefficient and extrapolation accuracy on the stability of the system, and obtains the following conclsions. On the one hand, appropriate cluster spillover is conducive to the stability of the system, but too much cluster spillover will lead to chaos. On the other hand, the impact of information asymmetry on system stability depends on the product substitutability. Under the small product substitution rate, the more effective information the company has, the more unfavorable it is to the system stability. However, as the product substitution rate is large, the more accurate the information is, the stronger the system stability is.

1. 引言

寡头垄断市场的生产和销售由少数几个公司控制，这种市场结构普遍存在社会经济领域中。最著名的两个寡头博弈是Cournot博弈和Bertrand博弈，在这两个博弈中，企业分别在产量和价格方面进行竞争。但在实际经济活动中，除了这两个经典模型外，还存在着分别以产量和价格为竞争手段的Cournot-Bertrand博弈。对于上述的静态寡头博弈，参与人通常被假定为完全理性，并且掌握完美市场信息。但这种假定在实际市场中很难成立，因此学者们提出了有限理性假设，参与人常见的理性类型有基本有限理性，延迟有限理性行为，适应性有限理性，天真预期等。王国成[1]详细叙述了更多的有限理性分类。有限理性参与人会通过不断调整策略达到利益最大化，于是学者们进一步将博弈论与复杂动力学相结合去研究双寡头博弈的演化过程。Rand [2]首次将混沌理论应用于一个动态Cournot博弈的研究中。此后越来越多的学者采用这种方法研究寡头博弈[3]-[9]，其中Wang [9]建立了一个具有有限理性参与人的动态双寡头Cournot-Bertrand博弈模型，并且研究了Nash均衡点的存在性及其局部稳定性。

企业集群是指以主导产业为核心，聚集在一起的密切相关的企业及其配套机构，它是区域经济发展的重要载体。集群内人员的流动和交流过程中，不可避免地会发生知识和技术的外溢，在一定程度上导致企业生产成本降低。在[10] [11]中，学者们在寡头博弈模型中考虑了集群溢出对成本的影响。其中[11]基于有限理性建立了一个动态三寡头R&D Bertrand博弈模型，并且研究了集群溢出对系统稳定性的影响。

由于实际问题中参与者获取信息的能力不同，学者们进一步放宽了完美市场信息的假设。在文献[12]-[14]中，假定双寡头博弈中企业的成本函数是不确定的，并引入了一个概率参数来区分高成本和低成本。此外在[15] [16]中，假定一个参与者拥有其竞争对手下一时期的部分生产信息。其中Yuan和Zhu [16]基于外推机制建立了两个信息不对称的古诺双寡头博弈模型，结论表明对于采用自适应调整机制的企业，完美预测不利于系统平衡点的稳定性，而采用梯度调整机制的企业应该提高预测精度，以促进系统的稳定性。

由于实际需要，在参与人具有异质预期的假定下，一个考虑到集群溢出与非对称信息的动态双寡头Cournot-Bertrand博弈是值得研究的。然而，据作者所知，很少有学者研究这样的模型。因此，我引入了集群溢出系数与外推精度，建立了一个具有异质预期参与人的动态双寡头Cournot-Bertrand博弈模型。本文得到了与[16]不同的结果，即采用梯度调整的参与人获得的有效信息对系统稳定性的影响取决于产品可替代率，在较小的产品可替代率下，公司1掌握的有效信息越多越不利于系统的稳定性，但当可替代率较大时，它掌握的有效信息越多系统越稳定。此外，本文得到了与[11]类似的结论，即适当的集群溢出有利于系统的稳定性，过高的集群溢出则会导致系统通过分岔失去稳定性。

本文的结构如下。第二节中，在集群溢出的假定下，我们提出了一个静态Cournot-Bertrand博弈，对于这个博弈，我们通过引入信息不对称建立了一个拥有异质预期参与人的非线性动力系统。并且进一步得到了这个动力系统的两个不动点。在第三节中，我们研究了上述两个不动点的稳定性，给出了稳定区域。第四节通过数值模拟研究了系统的复杂动力学行为。最后，第五节对本文进行了总结。

2. 模型建立及不动点求解

博弈参与人为市场中的两家公司，其中第1家公司在市场中具有竞争优势，通过控制产量来影响市场供给。而第2家公司处于弱势地位，它选择价格作为决策变量，通过控制价格来影响市场需求。参与人的目的都是自身利益最大化。$q_i\left(t\right)\left(i=1,2\right)$ 代表公司i在t时刻的产量，$p_i\left(t\right)\left(i=1,2\right)$ 表示公司i在t时刻的商品价格。假设两家公司的逆需求函数为：

$p_1\left(t\right)=1-q_1\left(t\right)-d{q}_2\left(t\right)$ ,

$p_2\left(t\right)=1-q_2\left(t\right)-d{q}_1\left(t\right)$ ,

其中产品可替代率$d\in \left(0,1\right]$ 表示两家公司产品之间的差异程度，d越接近1，两种产品之间的替代性越大，当$d=1$ 时，代表两家公司生产同质商品。

我们进一步得到：

$p_1\left(t\right)=1-d-\left(1-d^2\right)q_1\left(t\right)+d{p}_2\left(t\right)$ ,

$q_2\left(t\right)=1-d{q}_1\left(t\right)-p_2\left(t\right)$ .

我们假定公司i在t时刻的成本函数为：$C_i\left(q_i\left(t\right)\right)=c_i{q}_i\left(t\right)-b\left[q_1\left(t\right)+q_2\left(t\right)\right]$ ，其中$c_i{q}_i\left(t\right)$ 表示在没有集群溢出的情况下企业i的成本，$c_i\in \left(0,1\right)$ 是企业i的边际成本。$b>0$ 代表溢出系数，集群溢出在一定程度上可以降低产品成本。

于是公司1与公司2在t时刻的利润函数为：

${\pi }_1\left(t\right)=a_1{q}_1\left(t\right)-\left(d^2-1\right)q_1{\left(t\right)}^2+d{q}_1\left(t\right)p_2\left(t\right)-b{p}_2\left(t\right)+b$ ， (1)

${\pi }_2\left(t\right)=a_2{p}_2\left(t\right)-p_2{\left(t\right)}^2-d{q}_1\left(t\right)p_2\left(t\right)+\left(b-bd+c_{2}d\right)q_1\left(t\right)+b-c_2$ ， (2)

其中$a_1=1-c_1+b-bd-d$ ，$a_2=1+c_2-b$ 。由(1)和(2)，我们得到两个公司的边际利润：

$\frac{\partial {\pi }_1\left(t\right)}{\partial q_1\left(t\right)}=a_1-2\left(d^2-1\right)q_1\left(t\right)+d{p}_2\left(t\right)$ ， (3)

$\frac{\partial {\pi }_2\left(t\right)}{\partial p_2\left(t\right)}=a_2-2p_2\left(t\right)-d{q}_1\left(t\right)$ . (4)

在实际市场中，企业对环境的计算和认知能力是有限的，因此参与人具有有限理性，他们逐步调整自己的产量(或价格)以达到最大利润。假设公司1采用基于边际利润的梯度调整如下：

$q_1\left(t+1\right)=q_1\left(t\right)+v{q}_1\left(t\right)\frac{\partial {\pi }_1\left(t\right)}{\partial q_1\left(t\right)}$ ，

其中$v>0$ ，表示公司1的产量修正参数。公司1下一时期的产量是由当前时期产量、产量修正参数v和边际利润决定的。若边际利润大于(小于)零则公司1选择在下一时期增加(减少)产量，若边际利润等于零，则它保持自身产量不变。

公司2采用自适应调整机制：

$p_2\left(t+1\right)=x{R}_2\left(q_1\left(t\right)\right)+\left(1-x\right)p_2\left(t\right)$ ， (5)

其中公司2基于(4)得到的最优反应函数$R_2\left(q_1\left(t\right)\right)=\frac{a_2-d{q}_1\left(t\right)}{2}$ ，$x\in \left(0,1\right)$ 是赋予它的权重。

由于公司间地位的差异，经济市场中常常存在信息不对称。由于Cournot-Bertrand博弈中采用产量决策的公司具有市场优势，本文假定公司1在一定程度上掌握了公司2下一时期的策略信息。并且我们引入一个外推精度参数$o\in \left[0,1\right]$ 来描述公司1所掌握信息的准确性，o越大，说明信息越准确。在信息不对称的假设下，公司1的调整机制转变为：

$q_1\left(t+1\right)=q_1\left(t\right)+v{q}_1\left(t\right)\frac{\partial {\pi }_1\left[q_1\left(t\right),o{p}_2\left(t+1\right)+\left(1-o\right)p_2\left(t\right)\right]}{\partial q_1\left(t\right)}$ . (6)

将(3)、(4)代入(5)、(6)得到以下动力系统：

$\{\begin{array}{l}{q}_1\left(t+1\right)=q_1\left(t\right)+v{q}_1\left(t\right)\left[a_1+\frac{dox{a}_2}{2}+\left(2d^2-2-\frac{d^{2}ox}{2}\right)q_1\left(t\right)+d\left(1-ox\right)p_2\left(t\right)\right]\\ p_2\left(t+1\right)=x\frac{a_2-d{q}_1\left(t\right)}{2}+\left(1-x\right)p_2\left(t\right)\end{array}$ . (7)

令$q_1\left(t+1\right)=q_1\left(t\right)$ 以及$p_2\left(t+1\right)=p_2\left(t\right)$ ，得到系统(7)的两个不动点：

$E_0\left(0,\frac{a_2}{2}\right)$ ，$E_1\left(q_1^{\ast },p_2^{\ast }\right)$ ，

其中

$q_1^{\ast }=\frac{2\left(1-c_1+b\right)-\left(1-c_2+3b\right)d}{4-3d^2}$ ，$p_2^{\ast }=\frac{2\left(1+c_2-b\right)-\left(1-c_1+b\right)d-\left(1+2c_2-3b\right)d^2}{4-3d^2}$ .

$E_0$ 是系统(7)的边界平衡点，$E_1$ 是它唯一的Nash平衡点，且必须满足$q_1^{\ast }>0,p_2^{\ast }>0$ ，即：

$\{\begin{array}{l}2\left(1+c_2-b\right)-\left(1-c_1+b\right)d-\left(1+2c_2-3b\right)d^2>0\hfill \\ 2\left(1-c_1+b\right)-\left(1-c_2+3b\right)d>0\hfill \end{array}$ . (8)

3. 系统稳定性分析

本节将通过系统(7)的Jacobian矩阵J来分析系统不动点的稳定性。J的一般形式如下：

$J=\left(\begin{array}{cc}{J}_{11}& v{q}_1^{\ast }d\left(1-ox\right)\\ -\frac{xd}{2}& 1-x\end{array}\right)$ ，

其中$J_{11}=1+v\left[a_1+\frac{dox{a}_2}{2}+2\left(2d^2-2-\frac{d^{2}ox}{2}\right)q_1+d\left(1-ox\right)p_2\right]$ 。

定理1. 边界平衡点$E_0$ 不稳定。

证明：系统在$E_0$ 处的Jacobian矩阵如下：

$J\left(E_0\right)=\left(\begin{array}{cc}1+v\left[a_1+\frac{dox{a}_2}{2}+d\left(1-ox\right)p_2\right]& 0\\ -\frac{xd}{2}& 1-x\end{array}\right)$ .

其特征值为：${\eta }_1=1+v\left[\frac{2\left(1-c_1+b\right)-d\left(1-c_2+3b\right)}{2}\right]$ ，${\eta }_2=1-x$ 。由(8)，${\eta }_1>1$ ，${\eta }_2<1$ ，因此，边界平衡点$E_0$ 不稳定。

定理2. 当系统参数满足

$\{\begin{array}{l}4-2x+4\left(d^2-1\right)q_1^{\ast }v+\left[2-\frac{3d^2}{2}-2d^{2}o\right]q_1^{\ast }vx>0\hfill \\ -x+2\left(d^2-1\right)q_1^{\ast }v+\left[\frac{d^2}{2}\left(1-o\right)+2\left(1-d^2\right)\right]q_1^{\ast }vx<0\hfill \end{array}$

时，$E_1$ 是局部渐近稳定的。

证明：系统在$E_1$ 处的Jacobian矩阵如下：

$J\left(E_1\right)=\left(\begin{array}{cc}{J}_{11}& v{q}_1^{\ast }d\left(1-ox\right)\\ -\frac{xd}{2}& 1-x\end{array}\right)$ ，

其中$J_{11}=1+v\left[a_1+\frac{dox{a}_2}{2}+2\left(2d^2-2-\frac{d^{2}ox}{2}\right)q_1^{\ast }+d\left(1-ox\right)p_2^{\ast }\right]$ 。由$\frac{\partial {\pi }_i}{\partial q_i}\left(q_1^{\ast },p_2^{\ast }\right)=0$ ($i=1,2$ )，$J_{11}$ 可以被简化为$J_{11}=1+2q_1^{\ast }v\left(d^2-2\right)-\frac{d^2{q}_1^{\ast }o}{2}vx$ 。

$J\left(E_1\right)$ 的特征多项式为：$f\left(\eta \right)={\eta }^2-T\eta +D$ ，其中$T=2-x+v\left[\left(2d^2-2\right)q_1^{\ast }-\frac{d^2{q}_1^{\ast }}{2}ox\right]$ 是$J\left(E_1\right)$ 的迹，$D=1-x+\left(2d^2-2\right)q_1^{\ast }v+q_1^{\ast }\left[\frac{d^2}{2}\left(1-o\right)+2\left(1-d^2\right)\right]vx$ 是$J\left(E_1\right)$ 的行列式。由于$\Delta =T^2-4D>0$ ，$J\left(E_1\right)$ 有两个不同的实数特征根，记为${\eta }_i\left(i=1,2\right)$ 。

当$\left|{\eta }_i\right|<1\left(i=1,2\right)$ 时，$E_1$ 是局部渐近稳定的。$\left|{\eta }_i\right|<1\left(i=1,2\right)$ 的充要条件为以下Jury条件成立[16]：

$\{\begin{array}{l}(\text{i}):1+T+D=4-2x+4\left(d^2-1\right)q_1^{\ast }v+\left[2-\frac{3d^2}{2}-2d^{2}o\right]q_1^{\ast }vx>0\hfill \\ (\text{ii}):1-T+D=\left(2-\frac{3}{2}{d}^2\right)q_1^{\ast }>0\hfill \\ (\text{iii}):D-1=-x+2\left(d^2-1\right)q_1^{\ast }v+\left[\frac{d^2}{2}\left(1-o\right)+2\left(1-d^2\right)\right]q_1^{\ast }vx<0\hfill \end{array}$ ,

(ii)显然成立，因此(i)与(iii)成立时，$E_1$ 是局部渐近稳定的。当参数取值$c_1=0.1$ ，$c_2=0.3$ ，$b=0.2$ ，$d=0.6$ ，$x=0.7$ ，$o=0.7$ 时，$E_1$ 的稳定区域如图1所示。

4. 数值模拟

在本节中，我们通过数值模拟来分析系统(7)的复杂动力学行为。图2是在不同外推精度参数o下，

Figure 1. Stability region of $E_1$ in the plane $\left(x,v\right)$

图1. $E_1$ 在$\left(x,v\right)$ 平面内的稳定区域

Figure 2. Bifurcation diagram of system (7) with respect to b

图2. 系统(7)关于b的分岔图

系统(7)关于溢出系数b的分岔图，其他参数取值为$c_1=0.1$ ，$c_2=0.3$ ，$v=2.5$ ，$d=0.5$ ，$x=0.7$ 。从图中我们观察到，当$o=0$ ，即模型中不存在信息不对称时，系统在$b<0.288$ 时呈现出稳定状态。而当o增大到0.3后，系统在$b<0.209$ 时稳定。在$o=0.6$ 与$o=1$ 的情况下，系统(7)分别在$b=0.121$ 与$b=0.041$ 处发生二周期分岔并且进入混沌状态。图2说明成本溢出系数增大到某个值后，会导致系统发生分岔最终进入混沌。而公司1掌握的信息越准确，系统越早失去稳定性。

图3取与图2取一样的参数值，作出系统的最大Lyapunov指数图。从图3中我们可以得到与图2相同的结论，并且直观的看到，外推精度参数o越大，系统越早陷入混沌状态。

Figure 3. Maximum Lyapunov exponent diagram of system (7) with respect to b

图3. 系统(7)关于b的最大Lyapunov指数图

图4是系统(7)关于产品替代率参数d的分岔图，o取值分别为0，0.3，0.6与1。其他系统参数取值为$c_1=0.1$ ，$c_2=0.3$ ，$b=0.2$ ，$v=2.5$ ，$x=0.7$ 。在图4中，当模型不存在信息不对称时$\left(o=0\right)$ ，系统在$d>0.391$ 时是稳定的。而当$o=0.3$ ，$o=0.6$ 与$o=1$ 时，系统分别在$d>0.406$ ，$d>0.415$ 与$d>0.423$ 时稳定。因此我们得到以下结论，产品替代率越大，系统越稳定，并且o越大系统关于产品差异度的稳定区域越小。基于图4中的参数，图5计算了系统的最大Lyapunov指数，并得到了与图4相同的结论。

图6展示了不同产品替代率参数d下，系统关于外推精度o的分岔图，其他参数取值为$c_1=0.1$ ，$c_2=0.3$ ，$b=0.2$ ，$v=2.5$ ，$x=0.7$ 。对比图6中的几幅图我们发现当产品替代率很小时，若公司1掌握有关公司2下一时期策略的有效信息，系统呈现混沌状态。而随着产品替代率增大，适度的有效信息有利于系统稳定性，但当d增大到1时，过低的有效信息会导致系统不稳定，有效信息越多系统的稳定性越好。

奇怪吸引子反映了混沌行为的复杂性和内在规律性。图7与图8分别是系统参数取值为$c_1=0.1$ ，$c_2=0.3$ ，$b=0.2$ ，$v=2.5$ ，$d=0.1$ ，$x=0.7$ ，$o=0.8$ 与$c_1=0.1$ ，$c_2=0.3$ ，$b=0.8$ ，$v=2.5$ ，$d=0.8$ ，$x=0.7$ ，$o=0.8$ 时的奇怪吸引子。它们都代表系统处于混沌状态，图7代表过低的产品替代率导致系统进入混沌状态而图8代表过高的成本溢出系数会导致系统不稳定。

混沌系统的一个特征是对初值敏感，即便初始值变化微小，但经过一段时间的演化，产量演化曲线也会出现明显的偏离。图9是在初始值分别为$\left(q_1\left(0\right),p_2\left(0\right)\right)=\left(0.1,0.1\right)$ 与$\left(q_1\left(0\right),p_2\left(0\right)\right)=\left(0.101,0.101\right)$ 时

Figure 4. Bifurcation diagram of system (7) with respect to d

图4. 系统(7)关于d的分岔图

Figure 5. Maximum Lyapunov exponent diagram of system (7) with respect to d

图5. 系统(7)关于d的最大Lyapunov指数图

Figure 6. Maximum Lyapunov exponent diagram of system (7) with respect to $\theta$

图6. 系统(7)关于$\theta$ 的最大Lyapunov指数图

Figure 7. Strange attractor diagram ($d=0.1$ )

图7. 奇怪吸引子图($d=0.1$ )

Figure 8. Strange attractor diagram ($b=0.8$ )

图8. 奇怪吸引子图($b=0.8$ )

Figure 9. Sensitivity dependence on the initial conditions ($q_1$ )

图9. 初值敏感性($q_1$ )

公司1的产量演化曲线。其他参数取值为：$c_1=0.1$ ，$c_2=0.3$ ，$b=0.2$ ，$v=4.3$ ，$d=0.6$ ，$x=0.7$ 。图8表明当$t<10$ 时，不同初值下公司1的产量演化曲线分离并不显著，但随着时间推进，产量演化曲线出现了明显的分离。在与图9相同的参数取值下，图10展现了在初值$\left(q_1\left(0\right),p_2\left(0\right)\right)=\left(0.1,0.1\right)$ 和$\left(q_1\left(0\right),p_2\left(0\right)\right)=\left(0.101,0.101\right)$ 时公司2的价格演化曲线，它与图9得到一致的结果。

5. 结论

本文在集群溢出的假设下，首先建立了一个静态Cournot-Bertrand博弈模型。由于动态分析的必要性，

Figure 10. Sensitivity dependence on the initial conditions ($p_2$ )

图10. 初值敏感性($p_2$ )

基于信息不对称，本文建立了具有异质预期参与人的非线性动力系统。并且进一步分析了Nash均衡点的局部稳定性。通过数值仿真，本文分析了溢出系数，外推精度以及产品替代率等对系统稳定性的影响，最终得到以下结论。一方面，适当的集群溢出对Nash均衡的稳定性产生正面影响，但集群溢出系数较高时，系统会陷入混沌。另一方面，外推精度对系统稳定性的影响取决于产品替代率。当产品替代率较小时，处于优势地位的公司掌握的信息越准确越不利于系统的稳定性，而当产品替代率较大时，有效信息越多系统稳定性越强。