伴随随机链路动态的复杂网络的双跟踪控制

Double Tracking Control of Complex Networks with Stochastic Links

摘要: 本文针对随机复杂动态网络，给出了网络在均方意义下实现双跟踪的定义，提出了新的控制策略。本文考虑的复杂网络是由节点与链路共同组成，并且采用两个随机微分方程来对节点与链路的动态分别进行了建模。假设节点的状态信息是可以被利用的，链路的状态信息是不可以被利用的，基于此，在节点中设计了控制器，同时在链路中设计了耦合关系。通过这两个部分的共同作用可以使得节点跟踪上任意给定的跟踪目标，同时链路也可以跟踪上任意给定的跟踪目标。最后给出数值仿真验证了本文所提控制方案的有效性。

Abstract: In this paper, the definition of double tracking in the meaning of mean square for stochastic complex dynamic networks is given, and a new control strategy is proposed. Complex network considered in this paper is composed of nodes and links, and two stochastic differential equations are used to model the dynamics of nodes and links respectively. It is assumed that the state information of the nodes can be used, and the state information of the links can not be used. Based on this, the controller is designed in the node and the coupling relationship is designed in the link. Through the joint action of these two parts, the nodes can track any given tracking targets, and the links can also track any given tracking targets. Finally, numerical simulation is given to verify the effectiveness of the proposed control scheme.

1. 引言

复杂网络涵盖了从社交媒体到物联网、电力系统到金融市场等众多领域，其复杂的动态变化给网络管理、安全性提出了前所未有的挑战[1]。因此研究网络的动态变化变得至关重要了。

然而现有的关于复杂网络的跟踪控制研究中，大多数集中于研究节点动态对网络动态变化的影响[2]-[5]，而其中链路仅仅被视为一个时变的值来研究。链路仅仅被用来辅助节点实现节点的动态行为，而其自身的动态行为被忽略了。事实上，“节点的动态”与“链路的动态”是相互耦合的，一个完整的复杂网络的动态变化不仅应该包含节点的动态变化还应该包含链路的动态变化。节点之间的链路可以用来描述网络拓扑，因而链路的动态变化可以直观地反应网络拓扑的变化，因此，可以将所有的链路的几何布局视为网络拓扑。网络拓扑对复杂网络涌现群体特征行为有重要的影响，例如，在社交网络中，网络拓扑影响信息的传播和互动；在大脑神经网络中，网络拓扑影响大脑的记忆功能；在web互联网中，网络拓扑影响网上冲浪和搜索引擎[6]。因此，理解网络拓扑对于理解网络间的相互作用有着深远的意义。

值得注意的是，真实的网络经常受到外部随机扰动的影响[7]-[11]。例如在电力系统网络中，发电机、变电站、配电站等元素形成了一个复杂的动态网络。其中发电机(节点)生产的能源以及传输(链路)随时会发生变化，同时天气、负载变化等随机因素也会影响着系统的运行；在城市交通网络系统中，车辆(节点)和道路(链路)等元素构成了一个动态网络。交通流量、道路封闭、交叉口被控制等随机因素都会影响交通网络的运行。因此，在节点动态与连接边动态中考虑随机因素的影响是至关重要的。在现有的关于随机复杂动态网络的研究中，例如，在文献[12]-[14]中研究了连续时间复杂网络和离散时间复杂网络中时滞对节点同步的影响；文献[16]研究了一类具有状态时滞的随机系统的鲁棒控制问题。文献[16]研究了具有随机噪声扰动的复杂网络的有限时间同步问题。值得注意的是，上述的这些文献均考虑的是随机因素对节点动态行为的影响，而忽略了随机因素对链路动态的影响。

经过上述的讨论，本章将考虑如何在伴随随机链路动态的复杂动态网络中实现网络的双跟踪控制。本章的主要创新点有如下三个方面：

(1) 在考虑随机因素对节点动态影响的基础上也考虑了随机因素对连接边动态的影响，即用两个随机微分方程分别来对节点和链路(连接边)的动态进行建模。

(2) 本章考虑了节点和链路(连接边)的双跟踪控制，给出的节点与链路(连接边)状态的跟踪目标是随机的，这意味着当节点跟踪上随机状态的同时，所有随机链路动态形成的整体网络拓扑布局也是随机的。

(3)由于随机链路状态不易测得，因此在控制方案的设计过程中将不使用随机链路的信息。

文章其余部分组织如下。第一部分给出了本文的网络模型以及一些重要的假设和引理。第二部分给出了随机复杂动态网络实现双跟踪的定义、控制目标和控制策略的设计。第三部分通过一个仿真实例验证了本文提出的控制方案的有效性。第四部分给出了总结。

2. 随机网络中节点与链路动态模型描述及准备工作

2.1. 基本问题模型描述

考虑由N个节点组成的随机复杂动态网络，其中第i个节点的动态方程可以描述为如下的随机微分方程

$\text{d}{z}_i\left(t\right)=\left\{A{z}_i\left(t\right)+h_i\left(z_i\left(t\right),t\right)+\alpha \tilde{\Gamma }\Lambda \left(z\right){\xi }_i\left(t\right)+u_i\left(t\right)\right\}\text{d}t+g_i\left(z_i\left(t\right),t\right)\text{d}\omega \left(t\right),i=1,2,\cdots ,N$ (1)

其中$z_i\left(t\right)=z_i\in {ℝ}^n$ 表示第i个节点的状态变量；$A\in {ℝ}^{n\times n}$ 是一个已知的常数矩阵，$h_i\left(z_i\left(t\right),t\right)\in {ℝ}^n$ 是一个连续的非线性向量函数，$\alpha$ 表示耦合强度，$\tilde{\Gamma }=diag\left\{b_1,b_2,\cdots ,b_n\right\}\in {ℝ}^{n\times n}$ $b_j>0,j=1,2,\cdots ,n$ 表示内部耦合矩阵；$\Lambda \left(z\right)\in {ℝ}^{n\times N}$ 表示内部耦合函数；${\xi }_i={\left({\xi }_{i1},{\xi }_{i2},\cdots ,{\xi }_{iN}\right)}^{\text{T}}\in {ℝ}^N,i=1,2,\cdots ,N$ 表示第i个节点的出向量，${\xi }_{ij}$ 表示第i个节点与第j个节点连接关系的权值；$u_i\in {ℝ}^n$ 是第i个节点的控制输入；$g_i\left(z_i,t\right)\in {ℝ}^n$ 是一个向量函数表示随机噪声的强度；$\omega \left(t\right)$ 是定义在完备空间$\left(\Omega ,F,P\right)$ 上的一维布朗运动，$\omega \left(t\right)$ 的导数可以解释为“白噪声”，“白噪声”经常被用来描述动态系统经典的噪声和扰动。本文考虑的即为受这种噪声影响的系统，称为Itô随机系统，并且满足$E\left\{\text{d}\omega \left(t\right)\right\}=0$ ，$E\left\{\text{d}{\omega }^2\left(t\right)\right\}=\text{d}t$ 。

注1：这里需要指出的是，在文献[17]中，第i个节点与第j个节点之间连接关系的权值被定义为：${\xi }_{ij}>0$ (节点i与节点j之间有连接)，${\xi }_{ij}=0$ (节点i与节点j之间没有连接)。而本文不仅对节点的动态进行了建模，对链路${\xi }_{ij}$ 的动态也进行了建模(如方程(2)所示)。此外，与文献[18]相比，本文考虑了随机因素对网络动态的影响，因此在方程(1)中增加了随机项$g\left(z_i\left(t\right),t\right)\text{d}\omega \left(t\right)$ 。

受文献[18]-[20]的启发，考虑受随机因素影响的第i个节点的出链路${\xi }_i$ 的动态方程如下

$\text{d}{\xi }_i\left(t\right)=\left\{A_2{\xi }_i+\Phi \left(z,t\right)z_i\left(t\right)+{\Omega }_i\left(z,t\right)\right\}\text{d}t+{\overline{g}}_i\left({\xi }_i,t\right)\text{d}\omega \left(t\right)$ (2)

其中$A_2\in {ℝ}^{N\times N}$ 是实常数矩阵，$\Phi \left(z,t\right)\in {ℝ}^{N\times n}$ 和${\Omega }_i\left(z,t\right)\in {ℝ}^{N\times N}$ 是内部耦合关系矩阵，${\overline{g}}_i\left({\xi }_i,t\right)\in {ℝ}^N$ 是一个表示随机噪声强度的函数。

注2：近年来，许多关于随机因素对复杂网络动态影响的研究均忽视了随机因素对链路动态的影响。然而在实际情况中，随机扰动也会影响链路的动态。例如，在文献[14]中所提到的通信传输网络中，链路反映的是信号之间的传输，而信号之间的传输往往会受到网络带宽、传导介质、测量噪声等因素的影响，导致随机信息丢失或不完整。因此，在研究链路的动态行为时也应该考虑随机因素的影响。

假设1：对于方程(1)中的非线性函数$h_i\left(z_i\left(t\right),t\right)$ 存在一个正常数$\gamma$ 使得其满足如下的范数有界条件

$\Vert h_i\left(z_i\left(t\right),t\right)\Vert \le \gamma$ (3)

假设2：在链路的动态方程(2)中，$A_2$ 是Hurwitz矩阵。

根据假设2可知，对于任意给定的正定矩阵$Q_2$ ，有且仅有一个具有合适维数的正定矩阵${\overline{P}}_2$ 满足下列的Lyapunov方程

$A_2{}^T{\overline{P}}_2+{\overline{P}}_2{A}_2=-Q_2$ (4)

同样的，对于矩阵A来说，存在一个矩阵K使得矩阵$A-K$ 是Hurwitz矩阵。因此，类似的，对于任意给定的正定矩阵$Q_1$ ，有且仅有一个具有合适维数的正定矩阵${\overline{P}}_1$ 满足如下的Lyapunov方程

${\left(A-K\right)}^{\text{T}}{\overline{P}}_1+{\overline{P}}_1\left(A-K\right)=-Q_1$ (5)

令$z_i^{\ast }\left(t\right)$ 和${\xi }_i^{\ast }\left(t\right)$ 为方程(1)和(2)中的两个给定的跟踪目标，并且他们的动态可以用如下的随机微分方程来描述

$\text{d}\left(z_i^{\ast }\right)=f_i^{\ast }\text{d}t+g_i\left(z_i^{\ast },t\right)\text{d}\omega \left(t\right)$ (6)

$\text{d}\left({\xi }_i^{\ast }\right)={\overline{f}}_i^{*}\text{d}t+{\overline{g}}_i\left({\xi }_i^{\ast },t\right)\text{d}\omega \left(t\right)$ (7)

引入节点与链路的跟踪误差向量$e_i\left(t\right)=z_i\left(t\right)-z_i^{\ast }\left(t\right)$ 和${\overline{e}}_i\left(t\right)={\xi }_i\left(t\right)-{\xi }_i^{\ast }\left(t\right)$ 。因此根据方程(1)和(6)可以得到节点跟踪误差的动态方程

$\begin{array}{c}\text{d}{e}_i\left(t\right)=\text{d}{z}_i\left(t\right)-\text{d}{z}_i^{\ast }\left(t\right)\\ =\left[A{z}_i+h_i\left(z_i\right)+\alpha \tilde{\Gamma }\Lambda \left(z\right){\xi }_i+u_i\right]\text{d}t+g_i\left(z_i,t\right)\text{d}\omega \left(t\right)-\left\{f_i^{\ast }\text{d}t+g_i\left(z_i^{\ast },t\right)\text{d}\omega \left(t\right)\right\}\\ =\left[A{z}_i+h_i\left(z_i\right)+\alpha \tilde{\Gamma }\Lambda \left(z\right){\xi }_i+u_i-f_i^{\ast }\right]\text{d}t+\left[g_i\left(z_i,t\right)-g_i\left(z_i^{\ast },t\right)\right]\text{d}\omega \left(t\right)\\ =\left[A\left(z_i-z^{\ast }\right)+A{z}^{\ast }+h_i\left(z_i\right)+\alpha \tilde{\Gamma }\Lambda \left(z\right)\left({\xi }_i-{\xi }_i^{\ast }\right)+\alpha \tilde{\Gamma }\Lambda \left(z\right){\xi }_i^{\ast }+u_i-f_i^{\ast }\right]\text{d}t\\ +\left[g_i\left(z_i,t\right)-g_i\left(z_i^{\ast },t\right)\right]\text{d}\omega \left(t\right)\\ =\left[A{e}_i+\alpha \tilde{\Gamma }\Lambda \left(z\right){\overline{e}}_i+A{z}_i^{\ast }+\alpha \tilde{\Gamma }\Lambda \left(z\right){\xi }_i^{\ast }+h_i\left(z_i,t\right)-f_i^{\ast }+u_i\right]\text{d}t+\left[g_i\left(z_i,t\right)-g_i\left(z_i^{\ast },t\right)\right]\text{d}\omega \left(t\right)\\ =m_i\text{d}t+n_i\text{d}\omega \left(t\right)\end{array}$ (8)

令$m_i=A{e}_i+\alpha \tilde{\Gamma }\Lambda \left(z\right){\overline{e}}_i+A{z}_i^{\ast }+\alpha \tilde{\Gamma }\Lambda \left(z\right){\xi }_i^{\ast }+h_i\left(z_i,t\right)-f_i^{\ast }+u_i$和$n_i=g_i\left(z_i,t\right)-g_i\left(z_i^{\ast },t\right)$ 。

同时，根据方程(2)和(7)可以得带链路跟踪误差的动态方程

$\begin{array}{c}\text{d}{\overline{e}}_i\left(t\right)=\text{d}{\xi }_i\left(t\right)-\text{d}{\xi }_i^{\ast }\left(t\right)\\ =\left\{\left[A_2{\xi }_i+\Phi \left(z,t\right)z_i+{\Omega }_i\left(z,t\right)\right]\right\}\text{d}t+{\overline{g}}_i\left({\xi }_i,t\right)\text{d}\omega \left(t\right)-\left\{{\overline{f}}_i^{\ast }\text{d}t+{\overline{g}}_i^{\ast }\left({\xi }_i^{\ast },t\right)\text{d}\omega \left(t\right)\right\}\\ =\left\{A_2\left({\xi }_i-{\xi }_i^{\ast }\right)+A_2{\xi }_i^{\ast }+{\Phi }_2\left(z,t\right)\left(z_i-z_i^{\ast }\right)+{\Phi }_2\left(z,t\right)z_i^{\ast }+{\Omega }_i\left(z,t\right)-{\overline{f}}_i^{\ast }\right\}\text{d}t\\ +\left\{{\overline{g}}_i\left({\xi }_i,t\right)-{\overline{g}}_i^{\ast }\left({\xi }_i^{\ast },t\right)\right\}\text{d}\omega \left(t\right)\\ =\left\{A_2{\overline{e}}_i+{\Phi }_2\left(z,t\right)e_i+A_2{\xi }_i^{\ast }+{\Phi }_2\left(z,t\right)z_i^{\ast }+{\Omega }_i\left(z,t\right)-{\overline{f}}_i^{\ast }\right\}\text{d}t+\left\{{\overline{g}}_i\left({\xi }_i,t\right)-{\overline{g}}_i^{\ast }\left({\xi }_i^{\ast },t\right)\right\}\text{d}\omega \left(t\right)\\ ={\overline{m}}_i\text{d}t+{\overline{n}}_i\text{d}\omega \left(t\right)\end{array}$ (9)

令${\overline{m}}_i=A_2{\overline{e}}_i+{\Phi }_2\left(z,t\right)e_i+A_2{\xi }_i^{\ast }+{\Phi }_2\left(z,t\right)z_i^{\ast }+{\Omega }_i\left(z,t\right)-{\overline{f}}_i^{\ast }$ 和${\overline{n}}_i={\overline{g}}_i\left({\xi }_i,t\right)-{\overline{g}}_i^{\ast }\left({\xi }_i^{\ast },t\right)$ 。

定义1：考虑由方程(1)和(2)组成的随机复杂动态网络，如果$\underset{t\to \infty }{\lim }E\left\{{\Vert z_i\left(t\right)-z_i^{\ast }\left(t\right)\Vert }^2\right\}=0,i,j=1,2,\cdots ,N$ 和$\underset{t\to \infty }{\lim }E\left\{{\Vert {\xi }_i\left(t\right)-{\xi }_i^{\ast }\left(t\right)\Vert }^2\right\}=0,i,j=1,2,\cdots ,N$ 成立，就称随机复杂动态网络在均方意义下实现了双跟踪控制。

引理1 [14]：令f是一个定义在$\left[0,+\infty \right)$ 上的非负函数，如果f在$\left[0,+\infty \right)$ 上是一致连续的并且是勒贝格可积的，那么$\underset{t\to +\infty }{\lim }f\left(t\right)=0$ 成立。

2.2. 控制方案

控制目标：考虑由方程(1)和(2)组成的随机复杂动态网络，通过在节点中设计控制器$u_i$ 和在链路中设计耦合项${\Omega }_i$ 使得节点与链路的跟踪误差$\underset{t\to \infty }{\lim }E\left\{{\Vert e_i\left(t\right)\Vert }^2\right\}=\underset{t\to \infty }{\lim }E\left\{{\Vert z_i\left(t\right)-z_i^{\ast }\left(t\right)\Vert }^2\right\}=0,i=1,2,\cdots ,N$ 和$\underset{t\to \infty }{\lim }E\left\{{\Vert {\overline{e}}_i\left(t\right)\Vert }^2\right\}=\underset{t\to \infty }{\lim }E\left\{{\Vert {\xi }_i\left(t\right)-{\xi }_i^{\ast }\left(t\right)\Vert }^2\right\}=0,i=1,2,\cdots ,N$ 成立，也就是说随机复杂动态网络在均方意义下实现了双跟踪控制。

为了实现上述的控制目标，在节点方程(1)中设计的控制器$u_i$ 以及在链路方程(2)中设计的耦合项${\Omega }_i\left(z,t\right)$ 如下

$u_i=-K{e}_i+f_i^{*}-A{z}_i^{*}-\alpha \tilde{\Gamma }\Lambda \left(z\right){\xi }_i^{*}+{\Theta }_i$ (10)

${\Omega }_i=-\overline{K}{e}_i-A_2{\xi }_i{}^{\ast }-\Phi z_i{}^{\ast }+{\overline{f}}_i^{*}$ (11)

$\overline{K}=\alpha P_2^{-1}\Lambda {\left(z\right)}^{\text{T}}\tilde{\Gamma }{P}_1+\Phi \left(z,t\right)$ (12)

其中${\Theta }_i=-\gamma \overline{sign}\left(e_i\right)$ 。

注3：方程(10)-(12)称为为上述控制目标而设计的控制策略，其中方程(10)中的$u_i$ 称为为节点设计的控制器，其包括两个部分，第一个部分$-K{e}_i$ 称为误差反馈项，其中K是通过求解方程(5)得到的增益矩阵，第二个部分$f_i^{\ast }-A{z}_i^{\ast }-\alpha \tilde{\Gamma }\Lambda \left(z\right){\xi }_i^{\ast }$是与随机的跟踪目标有关的项，第三个部分${\Theta }_i$ 是鲁棒项，是为了克服方程(1)中$h_i\left(z_i\left(t\right),t\right)$ 带来的不确定性。方程(11)中的耦合关系矩阵${\Omega }_i$ 包括两个部分，第一个部分$\overline{K}{e}_i$ 是误差反馈项，其中增益矩阵$\overline{K}$ 如方程(8)所示，第二个部分$-A_2{\xi }_i^{\ast }-\Phi z_i^{\ast }+{\overline{f}}_i^{\ast }$ 是与随机的跟踪目标有关的项。

假设3 [21] [22]：噪声强度函数$g_i$ 和${\overline{g}}_i$ 满足Lipschitz条件，即存在两个正常数${\delta }_1>0,{\delta }_2>0$ 满足如下的不等式

$trace\left[{\left(g_i\left(z_i,t\right)-g_i\left(z_i^{\ast },t\right)\right)}^{\text{T}}\left(g_i\left(z_i,t\right)-g_i\left(z_i^{\ast },t\right)\right)\right]\le {\delta }_1{\Vert z_i-z_i^{\ast }\Vert }^2={\delta }_1{\Vert e_i\Vert }^2$ (13)

和

$trace\left[{\left({\overline{g}}_i\left({\xi }_i,t\right)-{\overline{g}}_i\left({\xi }_i^{\ast },t\right)\right)}^{\text{T}}\left({\overline{g}}_i\left({\xi }_i,t\right)-\overline{g}\left({\xi }_i^{\ast },t\right)\right)\right]\le {\delta }_2{\Vert {\xi }_i-{\xi }_i^{\ast }\Vert }^2={\delta }_2{\Vert {\overline{e}}_i\Vert }^2$ (14)

定理1：考虑由方程(1)和(2)组成的随机复杂动态网络，并且假设满足假设1-3以及$\lambda >{\delta }_1{\lambda }_{\max }\left(P_1\right)+{\delta }_2{\lambda }_{\max }\left(P_2\right)$ ($\lambda =\min \left\{{\lambda }_{\min }\left(Q_1\right),{\lambda }_{\min }\left(Q_2\right)\right\}$ )，那么通过应用控制策略(10)-(12)，节点跟踪误差$\underset{t\to \infty }{\lim }E\left\{{\Vert e_i\left(t\right)\Vert }^2\right\}=\underset{t\to \infty }{\lim }E\left\{{\Vert z_i\left(t\right)-z_i^{\ast }\left(t\right)\Vert }^2\right\}=0,i=1,2,\cdots ,N$ 以及链路跟踪误差$\underset{t\to \infty }{\lim }E\left\{{\Vert {\overline{e}}_i\left(t\right)\Vert }^2\right\}=\underset{t\to \infty }{\lim }E\left\{{\Vert {\xi }_i\left(t\right)-{\xi }_i^{\ast }\left(t\right)\Vert }^2\right\}=0,i=1,2,\cdots ,N$ 成立，那么称随机复杂动态网络在均方意义下实现了双跟踪控制。

证明：考虑正定函数$V\left(t,e_i,{\overline{e}}_i\right)=V_1\left(t,e_i\right)+V_2\left(t,{\overline{e}}_i\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^N{e}_i^{\text{T}}}{P}_1{e}_i+{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\overline{e}}_i^{\text{T}}}{P}_2{\overline{e}}_i$，其中$V_1=V_1\left(e_i,t\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^N{e}_i^{\text{T}}}{P}_1{e}_i$ ，$V_2=V_2\left({\overline{e}}_i,t\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^N{\overline{e}}_i^{\text{T}}}{P}_2{\overline{e}}_i$。

那么$\text{d}V\left(t,e_i,{\overline{e}}_i\right)=\text{d}{V}_1\left(t,e_i\right)+\text{d}{V}_2\left(t,{\overline{e}}_i\right)$，根据Itô微分公式可知

$\text{d}{V}_1\left(t,e_i\right)=L{V}_1\left(t,e_i\right)\text{d}t+{\left(\frac{\partial V_1\left(t,e_i\right)}{\partial e_i}\right)}^{\text{T}}{n}_i\text{d}\omega \left(t\right)$ (15)

$\text{d}{V}_2\left(t,{\overline{e}}_i\right)=L{V}_2\left(t,{\overline{e}}_i\right)\text{d}t+{\left(\frac{\partial V_2\left(t,{\overline{e}}_i\right)}{\partial {\overline{e}}_i}\right)}^{\text{T}}{\overline{n}}_i\text{d}\omega \left(t\right)$ (16)

其中

$\begin{array}{c}L{V}_1={\displaystyle \sum _{i=1}^N\left\{\frac{\partial V_1\left(t,e_i\right)}{\partial t}+{\left(\frac{\partial V_1\left(t,e_i\right)}{\partial e_i}\right)}^{\text{T}}{m}_i+\frac{1}{2}trace\left[n_i^{\text{T}}\frac{{\partial }^2{V}_1\left(t,e_i\right)}{\partial e_i^2}{n}_i\right]\right\}}\\ ={\displaystyle \sum _{i=1}^N\left\{2\left(e_i^{\text{T}}{P}_1\right)m_i+trace\left[n_i^{\text{T}}{P}_1{n}_i\right]\right\}}\\ ={\displaystyle \sum _{i=1}^N\left\{2e_i^{\text{T}}{P}_1\left[A{e}_i+\alpha \tilde{\Gamma }\Lambda \left(z\right){\overline{e}}_i+A{z}_i^{\ast }+\alpha \tilde{\Gamma }\Lambda \left(z\right){\xi }_i^{\ast }+h_i\left(z_i,t\right)-f_i^{\ast }+u_i\right]+trace\left[n_i^{\text{T}}{P}_1{n}_i\right]\right\}}\end{array}$ (15)

和

$\begin{array}{c}L{V}_2={\displaystyle \sum _{i=1}^N\left\{\frac{\partial V_2\left(t,{\overline{e}}_i\right)}{\partial t}+{\left(\frac{\partial V_2\left(t,{\overline{e}}_i\right)}{\partial {\overline{e}}_i}\right)}^{\text{T}}{\overline{m}}_i+\frac{1}{2}trace\left[{\overline{n}}_i^{\text{T}}\frac{{\partial }^2{V}_2\left(t,{\overline{e}}_i\right)}{\partial {\overline{e}}_i^2}{\overline{n}}_i\right]\right\}}\\ ={\displaystyle \sum _{i=1}^N\left\{2\left({\overline{e}}_i^{\text{T}}{P}_2\right){\overline{m}}_i+trace\left[{\overline{n}}_i^{\text{T}}{P}_2{\overline{n}}_i\right]\right\}}\\ ={\displaystyle \sum _{i=1}^N\left\{2\left({\overline{e}}_i^{\text{T}}{P}_2\right)\left[A_2{\overline{e}}_i+{\Phi }_2\left(z,t\right)e_i\right]+trace\left[{\overline{n}}_i^{\text{T}}{P}_2{\overline{n}}_i\right]\right\}}\end{array}$ (16)

进一步，可以推导出

(17)

其中${\gamma }_1={\lambda }_{\min }\left(Q_1\right)-{\delta }_1{\lambda }_{\max }\left(P_1\right)-{\delta }_2{\lambda }_{\max }\left(P_2\right)>0$ 和${\gamma }_2={\lambda }_{\min }\left(Q_2\right)-{\delta }_1{\lambda }_{\max }\left(P_1\right)-{\delta }_2{\lambda }_{\max }\left(P_2\right)>0$ ，因此$E\left\{L\left(V\right)\right\}\le -{\gamma }_1{\displaystyle \sum _{i=1}^N\left\{E\left({\Vert z_i\left(t\right)-z_i^{\ast }\left(t\right)\Vert }^2\right)\right\}}-{\gamma }_2{\displaystyle \sum _{i=1}^N\left\{E\left({\Vert {\xi }_i\left(t\right)-{\xi }_i^{\ast }\left(t\right)\Vert }^2\right)\right\}}$ 。对于任意的$t\ge 0$ ，通过方程(17)，可以得到

$\begin{array}{c}E\left\{V\left(t\right)\right\}-E\left\{V\left(0\right)\right\}=E\left\{V_1\left(t\right)-V_1\left(0\right)\right\}+E\left\{V_2\left(t\right)-V_2\left(0\right)\right\}={\displaystyle {\int }_0^{t}E\left\{LV\left(s\right)\right\}\text{d}s}\\ \le -{\gamma }_1{\displaystyle {\int }_0^t{\displaystyle \sum _{i=1}^N\left\{E\left({\Vert z_i\left(s\right)-z_i^{\ast }\left(s\right)\Vert }^2\right)\right\}\text{d}s}}-{\gamma }_2{\displaystyle {\int }_0^t{\displaystyle \sum _{i=1}^N\left\{E\left({\Vert {\xi }_i\left(s\right)-{\xi }_i^{\ast }\left(s\right)\Vert }^2\right)\right\}\text{d}s}}\end{array}$ (18)

这意味着

${\displaystyle {\int }_0^t{\displaystyle \sum _{i=1}^N\left\{E\left({\Vert z_i\left(s\right)-z_i^{\ast }\left(s\right)\Vert }^2\right)\right\}\text{d}s}}\le \frac{1}{{\gamma }_1}E\left\{V_1\left(0\right)\right\}-\frac{1}{{\gamma }_1}E\left\{V_1\left(t\right)\right\}\le \frac{1}{{\gamma }_1}E\left\{V_1\left(0\right)\right\}$ (19)

${\displaystyle {\int }_0^t{\displaystyle \sum _{i=1}^N\left\{E\left({\Vert {\xi }_i\left(s\right)-{\xi }_i^{\ast }\left(s\right)\Vert }^2\right)\right\}\text{d}s}}\le \frac{1}{{\gamma }_2}E\left\{V_2\left(0\right)\right\}-\frac{1}{{\gamma }_2}E\left\{V_2\left(t\right)\right\}\le \frac{1}{{\gamma }_2}E\left\{V_2\left(0\right)\right\}$ (20)

因此

${\displaystyle {\int }_0^t{\displaystyle \sum _{i=1}^N\left\{E\left({\Vert z_i\left(s\right)-z_i^{\ast }\left(s\right)\Vert }^2\right)\right\}\text{d}s}}<+\infty$ and ${\displaystyle {\int }_0^t{\displaystyle \sum _{i=1}^N\left\{E\left({\Vert {\xi }_i\left(s\right)-{\xi }_i^{\ast }\left(s\right)\Vert }^2\right)\right\}\text{d}s}}<+\infty$ (21)

进一步，不难得到$E\left\{{\Vert z_i\left(t\right)-z_i^{\ast }\left(t\right)\Vert }^2\right\}$ 和$E\left\{{\Vert {\xi }_i\left(t\right)-{\xi }_i^{\ast }\left(t\right)\Vert }^2\right\}$ 在区间$\left[0,+\infty \right)$ 是一致连续的。

那么，根据引理1，我们可以得到$\underset{t\to \infty }{\lim }E\left\{{\Vert z_i\left(t\right)-z_i^{\ast }\left(t\right)\Vert }^2\right\}=0$ 和$\underset{t\to \infty }{\lim }E\left\{{\Vert {\xi }_i\left(t\right)-{\xi }_i^{\ast }\left(t\right)\Vert }^2\right\}=0$ ，这就意味着随机复杂动态网络在均方意义下实现了双跟踪控制。

3. 仿真

考虑由7个节点组成的随机复杂动态网络，假设每个孤立节点$z_i$ 的动力学方程为Chua电路[23]：

$\{\begin{array}{l}{\dot{z}}_{i1}\left(t\right)=c_1\left(z_{i2}\left(t\right)-z_{i1}\left(t\right)-\ell \left(z_{i1}\left(t\right)\right)\right),\\ {\dot{z}}_{i2}\left(t\right)=z_{i1}\left(t\right)-z_{i2}\left(t\right)+z_{i3}\left(t\right),\\ {\dot{z}}_{i3}\left(t\right)=c_2{z}_{i3}\left(t\right),\end{array}$ (22)

其中$\ell \left(z_{i1}\left(t\right)\right)={\epsilon }_2{z}_{i1}\left(t\right)+0.5\left({\epsilon }_1-{\epsilon }_2\right)\left(\left|z_{i1}\left(t\right)+1\right|-\left|z_{i1}\left(t\right)-1\right|\right)$ ，${\epsilon }_1<{\epsilon }_2<0$ ，$c_1=9.2156$ ，$c_2=15.9946$ ，${\epsilon }_1=-1.2495$ ，${\epsilon }_2=-0.75735$ 。

在本文，令$A=\left[\begin{array}{ccc}-c_1\left(1+{\epsilon }_2\right)& c_1& 0\\ 1& -1& 1\\ 0& -c_2& 0\end{array}\right]$ ，$h_i\left(t,z_i\left(t\right)\right)=\left[\begin{array}{c}\frac{-\left({\epsilon }_1-{\epsilon }_2\right)\left(\left|z_{i1}\left(t\right)+1\right|-\left|z_{i1}\left(t\right)-1\right|\right)}{2}\\ 0\\ 0\end{array}\right]$ ，并且受文献[19]的启发，考虑给定的通讯协议为$\alpha \tilde{\Gamma }\Lambda \left(z\right){\xi }_i\left(t\right)$，那么对于受控节点$z_i$ 的动力学方程就可以写为下式

$\text{d}{z}_i\left(t\right)=\left\{A{z}_i\left(t\right)+h_i\left(z_i\left(t\right),t\right)+\alpha \tilde{\Gamma }\Lambda \left(z\right){\xi }_i\left(t\right)+u_i\left(t\right)\right\}\text{d}t,i=1,2,\cdots ,N$ (23)

此外，本文考虑随机噪声的强度为$g_i\left(z_i\left(t\right),t\right)=0.5e_i\left(t\right)$ ，因此，上式可以写为本文方程(1)的形式

$\text{d}{z}_i\left(t\right)=\left\{A{z}_i\left(t\right)+h_i\left(z_i\left(t\right),t\right)+\alpha \tilde{\Gamma }\Lambda \left(z\right){\xi }_i\left(t\right)+u_i\left(t\right)\right\}\text{d}t+g\left(z_i\left(t\right),t\right)\text{d}\omega \left(t\right),i=1,2,\cdots ,N$ (24)

进一步，链路的动态考虑为本文方程(2)的形式。在MATLAB中进行仿真的步骤如下：

第一步：确定节点$z_i\left(0\right)=rand\left(3,1\right)$ 与链路${\xi }_i\left(0\right)=rand\left(N,1\right)$ 的初始状态；

第二步：确定方程(2)中的矩阵函数$A_2$ 和${\overline{g}}_i\left({\xi }_i\left(t\right),t\right)$ ；根据假设2可知$A_2$ 是Hurwitz，因此，假设$A_2=aD{\overline{A}}_2{D}^{-1}$ ，其中$a=rand\left(1\right)$ ，D是一个随机生成的N阶的可逆矩阵，${\overline{A}}_2$ 是一个对角元素为负数的对角矩阵，${\overline{g}}_i\left({\xi }_i\left(t\right),t\right)=0.8{\overline{e}}_i\left(t\right)$ ；

第三步：通过有限差分的方式求解方程(1)和(2)；

第四步：给定随机的跟踪参考目标$z_i^{*}\left(t\right)$ 和${\xi }_i^{*}\left(t\right)$ ；其中$f_i^{*}=\left[\sin \left(t\right),\sin \left(t\right),\sin \left(t\right)\right],i=1,2,\cdots ,7$ ，${\overline{f}}_1^{*}={\left[0,a_{21},a_{31},0,0,0,0\right]}^{\text{T}}$，${\overline{f}}_2^{*}={\left[a_{12},0,0,a_{42},a_{52},0,0\right]}^{\text{T}}$，${\overline{f}}_3^{*}={\left[a_{13},0,0,0,0,a_{63},a_{73}\right]}^{\text{T}}$，${\overline{f}}_4^{*}={\left[0,a_{24},0,0,0,0,0\right]}^{\text{T}}$，${\overline{f}}_5^{*}={\left[0,a_{25},0,0,0,0,0\right]}^{\text{T}}$，${\overline{f}}_6^{*}={\left[0,0,a_{36},0,0,0,0\right]}^{\text{T}}$，${\overline{f}}_7^{*}={\left[0,0,a_{37},0,0,0,0\right]}^{\text{T}}$；令$z^{*}={\left[z_1^{*\text{T}},z_2^{*\text{T}},\cdots ,z_7^{*\text{T}}\right]}^{\text{T}}$ ，${\xi }^{*}={\left[{\xi }_1^{*\text{T}},{\xi }_2^{*\text{T}},\cdots ,{\xi }_7^{*\text{T}}\right]}^{\text{T}}$ 。

注4：为了更直观地理解链路动态跟踪目标的意义，${\overline{f}}_i^{*},i=1,2,\cdots ,7$ 可以统一写为矩阵的形式$\left[\begin{array}{ccccccc}0& a_{12}& a_{13}& 0& 0& 0& 0\\ a_{21}& 0& 0& a_{24}& a_{25}& 0& 0\\ a_{31}& 0& 0& 0& 0& a_{36}& a_{37}\\ 0& a_{42}& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& a_{52}& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& a_{63}& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& a_{73}& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$ ，其中0表示两个节点之间没有连接，$a_{ij}$ 表示两个节点之间连接关系的权值。这可以解释为用这七个节点来模拟电力网络，电力网络[21]通常可以使用图1的树形拓扑来描述，其中节点表示电力系统中的设备(例如，发电机、变电站以及电力用户等)，而连接边则表示电力传输的权值。在这个例子中，根节点(节点1)是发电机，它连接到两个变电站(节点2和3)，同时变电站又分别连接到两个电力用户(节点4，5，6，7)。当本章所考虑的链路实现跟踪时，最终的网络拓扑则呈现为图1中的树型拓扑，这意味着电力网络在运行过程中根据实际的需求(电压和频率的调节以及负载均衡)来调整节点之间电力的分配和传输以确保网络的稳定运行以及电力供应的可靠性。需要指出的是，电力网络中的负载变化会导致电压的波动。当负载增加时，电压可能下降，当负载减少时，电压可能上升。而这种负载变化通常是随机的，这是因为负载会受到各种因素的影响，如天气、季节、用电行为等，因此电力传输的权值也会受到随机因素的影响，那么考虑随机的链路跟踪目标是有意义的。本章以此为背景来说明随机动态节点与链路跟踪的意义。

Figure 1. Tree topology for power networks

图1. 电力网络的树形拓扑结构

Figure 2. (a) Tracking error of the nodes e (t) when using the controller in [18]; (b) Tracking error of the nodes e (t) when using the controller in [21]; (c) Tracking error of the nodes e (t) with the control scheme in this paper

图2. (a) 控制器为[18]时节点的跟踪误差曲线e (t)；(b) 控制器为[21]的节点的跟踪误差曲线e (t)；(c) 本文控制策略下节点的跟踪误差曲线e (t)

Figure 3. (a) Tracking error of the links $\overline{e}\left(t\right)$ with the controller in [18]; (b) Tracking error of the links $\overline{e}\left(t\right)$ with the controller in [21]; (c) Tracking error of the links $\overline{e}\left(t\right)$ with the control scheme in this paper

图3. (a) 控制器为[18]时链路的跟踪误差曲线$\overline{e}\left(t\right)$ ；(b) 控制器为[21]的链路的跟踪误差曲线$\overline{e}\left(t\right)$ ；(c) 本文控制策略下链路的跟踪误差曲线$\overline{e}\left(t\right)$

Figure 4. (a) The norm curves of tracking error $\Vert e\left(t\right)\Vert$ of the nodes when using the control scheme in [18] [21] and this chapter, respectively; (b) The norm curves of tracking error $\Vert \overline{e}\left(t\right)\Vert$ of the links when using the control scheme in [18] [21] and this chapter, respectively

图4. (a)分别利用文献[18] [21]以及本文的控制策略得到的节点的跟踪误差范数$\Vert e\left(t\right)\Vert$ 曲线；(b) 分利用文献[18] [21]以及本文的控制策略得到的链路的跟踪误差范数$\Vert \overline{e}\left(t\right)\Vert$ 曲线

观察图2~4，可以得到如下的观察结果：

(1) 从图2和图3可以看出，将文献[18]和[21]中的控制策略应用到本文并不能使节点与链路的跟踪误差趋于0，即文献[18]和[21]中的控制策略并不适用于本文，而本文所设计的控制策略可以有效地使得节点与链路的跟踪误差分别趋于0。

(2) 为了更直观的展示本文所提控制策略的优势，图4使用跟踪误差范数比较了文献[18]，[21]以及本文的控制策略。可以看出，本文的控制策略在超调，响应速度等方面具有优势。

4. 总结

本文在随机复杂动态网络中研究了节点与链路的跟踪控制问题。采用两个随机微分方程来对节点与链路的动态进行建模，与现有研究不同的是，本文也考虑了随机因素对链路动态的影响。本文给出了随机复杂动态网络在均方意义下实现双跟踪的定义，在此基础上本文所设计的控制策略不仅包括节点中的控制器还包括链路中的耦合项，通过这两个部分的共同作用可以使得节点与链路分别跟踪上任意给定的参考信号。同时，本文所给定的跟踪目标是任意且随机的，这意味着最终网络中节点跟踪上参考信号之后，整体链路形成的网络拓扑是随机的。

基金项目

广东技术师范大学人才引进项目(991701003)；中山大学技术服务项目(1748078)；广州市基础与应用基础研究项目(SL2024A04J01631)。

NOTES

^*通讯作者。