多层黎曼几何时空广义相对论

Multilayer Riemannian Geometry in General Relativity

摘要: 广义相对论至今未能成功实现量子化，其核心原因在于广义相对论将时空视为一个连续的四维曲面，而量子力学则主要处理离散的量子态。在这篇论文中，我们提出了一种多层几何时空的广义相对论框架，旨在探索其对广义相对论量子化的潜在贡献与可行建议。通过引入多个层次的时空结构，我们希望能够架起量子力学与引力理论之间的桥梁，从而为量子引力的研究提供新的思路和方向。

Abstract: The inability to successfully quantize general relativity to date stems from the fact that general relativity treats spacetime as a continuous four-dimensional manifold, whereas quantum mechanics primarily deals with discrete quantum states. In this paper, we propose a framework for general relativity based on a multi-layer geometric spacetime, aiming to explore its potential contributions and feasible suggestions for the quantization of general relativity. By introducing multiple layers of spacetime structure, we hope to bridge the gap between quantum mechanics and gravitational theory, thereby providing new ideas and directions for the study of quantum gravity.

1. 引言

自然与哲学是物理学的根基，所有物理现象都能在自然界中找到相应的表征。在这一背景下，我们通过深入思考爱因斯坦电梯实验扩展，借助黎曼几何的深刻联想，探索黎曼几何多层时空结构的概念，丰富了我们对时空本质的理解。每一层时空结构不仅具有独特的物理特性，还随时间的流逝和物理定律可能因层次不同而有所变化，从而为重新审视时间与空间关系提供了新的机会。这种结合使我们能够构建一个全新的多层黎曼几何时空理论框架，可能为广义相对论的量子化开辟新的路径。

2. 爱因斯坦电梯实验扩展[1]

爱因斯坦的升降机实验是等效原理的核心思想实验，揭示了加速运动与重力之间的深刻联系。设想一个完全封闭的升降机，观察者无法获得任何外部信息。当升降机以恒定加速度(a)向下自由下落时，观察者会感受到失重状态，所有物体似乎悬浮在空中；而当升降机以恒定加速度向上加速时，观察者则会感受到一种向下的力，类似于地球上的重力。进一步地，当升降机向下加速时，物体因惯性而向上“漂浮”。等效原理的核心观点在于：在局部范围内，加速运动的效应与重力场中的效应无法区分。如果我们扩展了爱因斯坦的思想实验如下图1所示：

Figure 1. Expansion of Einstein’s elevator experiment

图1. 爱因斯坦电梯实验扩展

基于这一扩展的思想实验，我们可以通过多个升降机层层叠加的设想，从全新的角度理解重力的本质。这些升降机的叠加可以被视为时空的多层次结构，叠加或减少升降机可以表现为重力增强与衰减的过程。引力的作用通过物质的能量–动量张量引起局部时空的弯曲，我们假设这种局部弯曲会随着时间的推移向外扩散，形成类似水波传播的球形弯曲多层时空结构，并随着扩散距离与时间的变化逐渐衰减，最终趋近于平直的时空。当时空达到稳定时，这种层叠的时空结构会保持在一个恒定的状态。这一过程揭示了时空的动态特性，表明时空并非一个静态的局部时空弯曲背景结构，而是一个随物质和能量的分布而不断变化和扩散演化的复杂时空。

这种多层次结构及重力变化的现象，可以通过黎曼几何中的同心圆球面模型进一步理解。在该模型中，时空不再是单一的四维结构，而是由多个层次的几何形态组成，每一层反映了不同的时空弯曲程度。这些层次之间相互联系，形成一个复杂的时空结构。

3. 多层黎曼几何广义相对论

对于一个球体星体，根据广义相对论，我们知道其能量动量张量会导致局部时空的弯曲，并且这种弯曲会随时间向外扩散，形成层层叠加的时空结构。为此，我们可以构建一个包含(N)层同心球壳的模型，以探讨物质对时空弯曲的影响。设想这些球壳模型是独立的，并且均位于同一中心，每一层的时间和空间特性都符合狭义相对论的扩展。在多层黎曼几何中，各个构成复杂几何体的层可以视为黎曼流形，其中的度规张量可能因层与层之间的相互作用而发生变化。

我们考虑第(i)层，每一层都通过相应的度规张量进行描述。如果将方程的左侧视为多层时空，描述时空曲率从高层向低层的扩散，并形成一个稳定的(i)层时空状态，那么该波动方程可以表达为一个静态多层时空方程。这种静态方程不仅揭示了局部时空结构受到物质影响的机制，也为理解不同层之间的相互作用提供了有效的数学框架。通过这一模型，我们能够深入研究物质与时空之间复杂的关系以及其对宇宙结构的影响。

${\displaystyle \sum _{i=1}^N{G}_{\mu v}^{\left(i\right)}}+{\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}{k}_{ij}}{G}_{\mu v}^{\left(j\right)}+{\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}{I}_{ij}}=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu v}+\Lambda g_{\mu v}$ (1)

各项说明：

左侧项：

${\displaystyle \sum _{i=1}^N{G}_{\mu v}^{\left(i\right)}}$ 表示i层时空曲率的所有层的总和，

模拟了波动扩散过程在扩散完成后i层时空曲率的总和。

${\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}{k}_{ij}}{G}_{\mu v}^{\left(j\right)}$ ：表示来自第j层对第i层的影响，反应了层与层之间的相互作用。

${\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}{I}_{ij}}$ ：表示额外的相互作用项，考虑不同层之间的相互作用力。

右侧项：

$\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu v}$ ：表示物质的能量动量张量：代表物质的分布和影响。

$\Lambda g_{\mu v}$ ：宇宙常数项，表示时空的均匀扩展性质。

(我们可以将层与层之间的相互作用项$I_{ij}$ 具体化为某种函数，例如：$I_{ij}=f_{ij}{G}_{\mu v}^{\left(j\right)}$ )

这个方程表明，每一层时空的曲率仅与同一能量动量张量密切相关。星体的物质和能量分布造成的局部时空弯曲将影响后续的时空几何特性，这种影响以弯曲时空向外扩散并与波动的形式显现出来。此外，时空的几何特性会随着时间与扩散距离的推移，从高层时空向低层时空扩散，最后一层时空结构趋向平直的时空。并且最终会稳定为一个多层时空的结构状态。

说明(1)：对于所有层的时空曲率${\displaystyle \sum _{i=1}^N{G}_{\mu v}^{\left(i\right)}}$ 也可以表示为第1层时空曲率与第1层时空产生的局部扰动并扩散至多层时空，具体表达如下：

${\displaystyle \sum _{i=1}^N{G}_{\mu v}^{\left(i\right)}}=G_{\mu v}^{\left(1\right)}+S_{\mu v}^{local}$ (2)

式中$G_{\mu v}^{\left(1\right)}$ 也可以表示为第1层时空的爱因斯坦张量，描述局部的物质和能量造成时空的初部弯曲。(如果只考虑第一层即，局部的物质和能量造成时空的初部弯曲，那么方程与广义相对论完全等价)

局部扰动项$S_{\mu v}^{local}$ 表示为第1层时空产生的局部扰动并由高层时空扩散至多层低层时空。具体可表达如下：

$S_{\mu v}^{local}={\displaystyle \sum _{i=1}^N\left(\square {\Phi }_i{g}_{\mu v}-D_i{\nabla }^2{\Phi }_i{g}_{\mu v}-{\displaystyle \sum _{j\ne i}{I}_{ij}{\Phi }_j{g}_{\mu v}}\right)}$ (3)

式中$\square$ 是波动算符，描述扰动的传播。

式中$D_i$ 是与第i层相关的系数。

式中$I_{ij}$ 是层之间的相互作用。

说明(2)：层与层之间洛伦兹变换的影响，按如下表达：

由于层与层之间是由高层空间向低层空间扩散，且1层时空与2层时空……等相近层符合层与层的相对运动。那么我们可知第1层时空相对于第2层是以速度$v_{12}$ 运动。洛伦兹因子为：

${\gamma }_{12}=\sqrt{1-{\left(v/c\right)}^2}$ (4)

在这种情况下波动场可以表示为：

${{\Phi }^{\prime }}_1={\gamma }_{12}\left({\Phi }_2-\frac{v_{12}}{c^2}\frac{\partial {\Phi }_2}{\partial t}\right)$ (5)

4. 多层黎曼几何广义相对论量子化前的处理[2]

引力波传播方程中，我们可以将其表示为各个层次的时空曲率之和，特别是以(i)层的时空曲率为基础。这一表达式反映了波动扩散过程完成后的状态。在此过程中，每一层时空曲率代表了不同引力场的影响，通过将这些层次相加，我们能够全面描述引力波动传播的全貌。当波动方程的扩散过程结束，系统达到稳定状态时，引力场的相互作用便达到了平衡。这一状态的描述尤为重要，因为它揭示了引力场在稳定条件下的行为特征。此外，我们可以借鉴薛定谔方程的量子化条件进行量子化，并由方程(1)得出相应的结果。由薛定谔方程量子化条件可知：

$\begin{array}{l}E=\frac{hut}{t}\\ \Rightarrow E=\frac{\partial \psi }{\partial t}\end{array}$ (6)

如果我们忽略层间的相互作用项将方程(1)并将方程第一项分子分母同乘以一个时间项可得：

$\frac{t\cdot {\displaystyle \sum _{i=1}^N{G}_{\mu v}^{\left(i\right)}}}{t}=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu v}+\Lambda g_{\mu v}$ (7)

由(7)参照(6)的量子化条件，并且把(7)左边进行量子化可得：

$\frac{\partial \Delta }{\partial t}=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu v}+\Lambda g_{\mu v}$ (8)

由(8)左侧加上相互作用项可得：

$\frac{\partial \Delta }{\partial t}+{\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}{k}_{ij}}{G}_{\mu v}^{\left(j\right)}+{\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}{I}_{ij}}=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu v}+\Lambda g_{\mu v}$ (9)

各项说明：

左侧项：

$\Delta$ 模的平方等于小星体在大星体内不同黎曼层弯时空(轨道)分布的概率，即${\left|\Delta \right|}^2=P\left(x\right)$ 。式中$P\left(x\right)$ 为小星体在大星体内不同黎曼层弯时空(轨道)分布的概率。

${\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}{k}_{ij}}{G}_{\mu v}^{\left(j\right)}$ ：表示来自第j层对第i层的影响，反应了层与层之间的相互作用。

${\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}{I}_{ij}}$ ：表示额外的相互作用项，考虑不同层之间的相互作用力。

右侧项：

$\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu v}$ ：表示物质的能量动量张量：代表物质的分布和影响。

$\Lambda g_{\mu v}$ ：宇宙常数项，表示时空的均匀扩展性质。

(我们可以将层与层之间的相互作用项$I_{ij}$ 具体化为某种函数，例如：$I_{ij}=f_{ij}{G}_{\mu v}^{\left(j\right)}$ )

4.1. 量子化过程[3]

我们知道物质的能量动量张量可以进行量子化的，我们将通入引入量子场论的框架进行修改方程：

在量子场论中，物质的能量动量张量通常是通过场的算符表示的。假设我们有一个标量场$\varphi$ 的量子化描述，那么能量动量张量可以用算符来表示：

考虑到标量场的量子化，能量动量的形式可以写作：

$T_{\mu v}={\partial }_{\mu }\varphi {\partial }_v\varphi -\frac{1}{2}{g}_{{}_{\mu v}}\left(g^{\alpha \beta }{\partial }_{\alpha }\varphi {\partial }_{\beta }\varphi -m^2{\varphi }^2\right)$ (10)

在量子化后，场$\varphi$ 将变为算符$\widehat{\varphi }$ ，即：

${\widehat{T}}_{\mu v}={\partial }_{\mu }\widehat{\varphi }{\partial }_v\widehat{\varphi }-\frac{1}{2}{g}_{{}_{\mu v}}\left(g^{\alpha \beta }{\partial }_{\alpha }\widehat{\varphi }{\partial }_{\beta }\widehat{\varphi }-m^2{\widehat{\varphi }}^2\right)$ (11)

结合所有元素，最终可以得到黎曼几何时空量子化扩散方程写为：

$\begin{array}{l}\frac{\partial \Delta }{\partial t}+{\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}{k}_{ij}}{G}_{\mu v}^{\left(j\right)}+{\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}{f}_{ij}{G}_{\mu v}^{\left(j\right)}}\\ =\frac{8\pi G}{c^4}\left({\partial }_{\mu }\widehat{\varphi }{\partial }_v\widehat{\varphi }-\frac{1}{2}{g}_{{}_{\mu v}}\left(g^{\alpha \beta }{\partial }_{\alpha }\widehat{\varphi }{\partial }_{\beta }\widehat{\varphi }-m^2{\widehat{\varphi }}^2\right)\right)+\Lambda g_{\mu v}{G}_{\mu v}^{\left(j\right)}+{\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}{I}_{ij}}\end{array}$ (12)

在探讨大质量星体对小质量星体的引力轨道时，显著的量子化特征显现出来。这一现象通过大质量星体的时空曲率扩散率的波函数模平方体现，表明小质量星体在特定轨道上的存在概率。尽管大质量星体的引力场在宏观上显得连续而平滑，但其对小质量星体的引力影响却揭示出量子化的特性，这一发现挑战了我们对经典物理的传统理解。另外量子力学中的薛定谔波函数模平方代表量子粒子在某一特定位置出现的概率密度，这种类比强调了小质量星体在引力场中的行为与量子粒子在潜在场中表现的相似性，为我们理解引力与量子力学的相互关系提供了新的视角，暗示二者之间可能存在未被充分探索的联系。

现代物理学中的等效原理表明，局部惯性系与局部引力场是等效的。在加速运动的电梯中，观察者无法分辨自己是处于重力场中还是在加速运动中。如果将电梯的运动层层叠加，这些叠加的电梯可以视为多层时空模型中的不同轨道。在这种假设中，各个层次可能具有独特的引力特性和空间惯性。根据广义相对论，观测者在各自参考系下的物理定律保持不变，这使得星系外围的星体能够以异常的速度旋转而不脱离星系的引力束缚。具体而言，星体在多层时空轨道中的运动，尽管旋转速度可能远高于传统引力理论的预测，但由于它们位于不同层次弯曲时空，各自的引力和惯性特性确保了它们不会脱离星系。这表明在这些轨道上，物理定律遵守广义协变性原理，从而为重新审视引力与惯性之间的关系提出了新的问题。在这一新的框架下，物质的分布和运动不再需要传统的暗物质概念，而是受到不同层次引力特性的制约，引发了对宇宙结构和演化的新理解。

4.2. 尝试统一引力，强力，弱力，电磁力

将多层时空的总和与局部能量动量张量，电磁场的能量动量张量，强力的能量动量张量和弱力能量动量张量结合成一个方程，表示为：

$\begin{array}{l}\frac{\partial \Delta }{\partial t}+{\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}{k}_{ij}}{G}_{\mu v}^{\left(j\right)}+{\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}{f}_{ij}{G}_{\mu v}^{\left(j\right)}}\\ =\frac{8\pi G}{c^4}\left({\widehat{T}}_{\mu v}+{\widehat{T}}_{\mu v}^{\left(em\right)}+{\widehat{T}}_{\mu v}^{\left(strong\right)}+{\widehat{T}}_{\mu v}^{\left(weak\right)}\right)+\Lambda g_{\mu v}{G}_{\mu v}^{\left(j\right)}+{\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}{I}_{ij}}\end{array}$ (13)

这个方程综合了引力，强力，弱力，及电磁相互作用的影响。描述了它们如何影响多层时空的动态变化。

5. 多层时空广义相对论的一些验证

5.1. 太阳轨道与电子能级之间的量子化相似性

我们按太阳系中行星的分布规律与氢原子中电子的能级进行直接一一对应具体如下：

1) 水星(0.39 AU)对应于氢原子中的第1能级(n = 1)

2) 金星(0.72 AU)对应于氢原子中的第2能级(n = 2)

3) 地球(1.00 AU)对应于氢原子中的第3能级(n = 3)

4) 火星(1.52 AU)对应于氢原子中的第4能级(n = 4)

5) 木星(5.20 AU)对应于氢原子中的第5能级(n = 5)

6) 土星(9.58 AU)对应于氢原子中的第6能级(n = 6)

在氢原子中，能量与量子数的关系为：

$E_n=-\frac{Z^2\cdot 13.6}{n^2}\text{eV}$ (14)

对于氢原子(Z = 1)，能量随着量子数(n)的增大而减小(能量绝对值增大)。类似地，行星的引力势能与距离的平方成反比，距离越远，势能越低。

电子跃迁：电子在原子中处于固定轨道时是稳定的，只有在跃迁到更高或更低的能级时才会吸收或释放光子。行星轨道：行星在其轨道上也是稳定的，只有在受到外力(如其他天体的引力)时才会改变轨道。

多层次的几何结构：行星轨道可以视为一个宏观层次的结构，而电子能级则是微观层次的结构。这种多层次的视角有助于理解不同尺度的物理现象。例如，可以构建一个模型，将行星轨道与电子能级视为不同的几何层次，反映出它们在空间结构上的相似性。

为了更深入地理解这些规律，我们可以尝试建立一个数学模型来描述行星轨道与电子能级之间的关系。假设我们用(R_n)表示第(n)轨道的半径(行星轨道)和(E_n)表示第(n)能级的能量(电子能级)，我们可以尝试建立以下关系：

$\{\begin{array}{l}{R}_n\propto n^2\\ E_n\propto -\frac{1}{n^2}\end{array}$ (15)

在氢原子的微观世界中，电子被束缚在特定的能级或量子态中，这是量子力学的核心特征之一。而在太阳系的宏观尺度上，行星围绕太阳的轨道也展现出一种量子化的特性，尽管它们的运动遵循经典力学。这种类量子化的关系体现在行星轨道的半径与其能量之间，类似于电子在原子中的能级，其中轨道半径与量子数的平方成正比，而能量则与量子数的平方成反比。这种相似性揭示了宇宙中不同尺度系统之间可能存在的内在联系，暗示着宏观世界和微观世界之间可能有着某种深层次的统一性。

然而，值得注意的是，上述讨论并不完全反映真实的物理现实，而是经过简化的结果。在真实的太阳轨道观测中，某一层时空中可以存在多颗星体，这与氢原子能级轨道上可以容纳多个电子的情况相似。这些星体的分布遵循能量最小化原理，进一步强调了宏观和微观世界之间的相似性与联系。通过这些观察，我们得以更深入地理解行星轨道与电子能级之间的相似性。

5.2. 宇宙为什么加速膨胀[4] [5]

在2024年3月，一项发表在《天体物理学杂志》上的新研究对宇宙的现有模型提出了挑战。该研究表明，宇宙中可能并不存在暗物质。渥太华大学的研究团队认为，宇宙的行为可以通过引力随时间减弱和光线损失能量来解释。

根据哈勃定律，我们知道宇宙正处于加速膨胀之中。然而，我们始终没有直接观测到暗物质和暗能量的存在。为了更好地理解时空的扩散现象，我们可以考虑一个双层水波模型来进行描述。波的传播可以用以下波动方程来表示：

$\frac{{\partial }^2\psi }{\partial t^2}=c^2{\nabla }^2\psi$ (16)

其中，$\psi$ 是波的位移，c是波速，${\nabla }^2$ 是拉普拉斯算子。

波的扩散与层次的宽度：

在水波的传播过程中，波峰和波谷的间距会随着时间的推移而增大。我们可以假设波的幅度随着距离的增加而减小，同时波的宽度随着层数的增加而增大。可以用以下公式来描述每一层的宽度：

$W_n=k\cdot n^2$ (17)

其中，$W_n$ 是波的第n层宽度，k是一个常数，n是层数。

波的强度与层次宽度的关系：

假设波的强度在传播过程中随着距离的平方反比衰减，可以用以下公式表示：

$I_n=\frac{I_{n-1}}{r_n^2}$ (18)

其中，$I_n$ 是第n层的波强度，$r_n$ 是从上一层到当前层的距离。这里，我们可以将$r_n$ 与层宽度$W_n$ 相关联，假设每一层之间的距离与宽度成正比：

$r_n=W_n=k\cdot n^2$ (19)

综合所有公式，可以得到波强度与层数的关系：

$I_n=\frac{I_{n-1}}{{\left(k\cdot n^2\right)}^2}=\frac{I_{n-1}}{k^2\cdot n^4}$ (20)

这表明，随着层数(n)的增加，波的强度$I_n$ 将以$n^4$ 的速度衰减。

为了将宇宙加速膨胀与多层时空扩散的概念具体化，我们可以构建一些数学模型和公式来描述这一过程。以下是一个可能的框架，帮助我们理解这一现象。

1) 宇宙膨胀的基本模型

宇宙的膨胀通常用弗里德曼–勒梅特–罗伯逊–沃尔克(FLRW)度规来描述，宇宙的膨胀速率可以通过哈勃定律表示：

$H=\frac{\dot{a}}{a}$ (21)

其中，H是哈勃常数，a是宇宙尺度因子，$\dot{a}$ 是宇宙尺度因子的时间导数。

在多层时空模型中，我们设想宇宙由(N)层同心球壳构成。第一层的时空特性受物质影响，而后续层的特性则由第一层的扰动引起。那么引力中时空的扩散也类似于这个现象，

由(17)，(18) (19)，(20)宇宙加速膨胀可以用以下方程来描述：

$\dot{a}=-\frac{4\pi G}{3}\left({\rho }_1+3p_1\right)a$ (22)

其中，${\rho }_1$ 与$p_1$ 分别是第一层的物质密度和压力。

假设第一层的物质密度和压力为${\rho }_1$ 与$p_1$ ，而后续层的物质密度和压力由第一层的扰动引起可得：

$\begin{array}{l}{\rho }_n={\rho }_1\cdot f\left(n\right)\\ p_n=p_1\cdot f\left(n\right)\end{array}$ ，$\left(n\ge 2\right)$ (23)

其中，$f\left(n\right)$ 是一个函数，表示表示层间的相互作用影响。我们可以假设$f\left(n\right)=n^{-2}$ 以保持与原有模型的一致性。将这些代入宇宙加速膨胀的方程中，我们可以得到：

$\ddot{a}=-\frac{4\pi G}{3}\left({\rho }_1+3p_1+{\displaystyle \sum _{n=2}^N\left({\rho }_1\cdot n^{-2}+3p_1\cdot n^{-2}\right)}\right)a$ ，$\left(n\ge 2\right)$ (24)

从这个方程中，我们可以清晰地看到第一层物质如何通过扰动传播到后续层，从而影响整个宇宙的加速膨胀。该模型强调了第一层物质对多层时空结构的影响，而无需考虑暗物质的作用，这种视角有助于我们更好地理解宇宙的结构和演化。在宇宙中，某个星系的运动状态可以被视为处于加速膨胀的状态，随着宇宙的扩展，星系之间的距离不断增加，导致它们的运动速度加快。具体而言，星系的引力效应会影响其周围的物质和时空结构，从而在一定程度上决定它们的轨道运动。通过引力的扩散，第一层的物质密度和压力会影响后续层的状态，这种影响可以用来解释星系在加速膨胀中的行为。因此，这些计算和模型确实表明了宇宙引力效应正在处于扩散状态，并且某个星系在宇宙中的轨道上处于加速膨胀状态。

由哈勃定律(21)式代入(24)式并且简化可得：

$H^2={\left(\frac{\ddot{a}}{a}\right)}^2=\frac{8\pi G}{3}\left({\rho }_1+3p_1+{\displaystyle \sum _{n=2}^N\left({\rho }_1\cdot n^{-2}+3p_1\cdot n^{-2}\right)}\right)a$ (25)

其中，${\rho }_1$ 和$p_1$ 是第一层的物质密度和压力，假设这些在各层之间逐渐变化。由于我们不考虑暗物质和暗能量，所以通过不同层次的物质分布来理解宇宙的加速膨胀。

表面亮度距离公式是：

$\mu \left(z\right)=5{\log }_{10}\left(dL\left(z\right)\right)+25$ (26)

其中$dL\left(z\right)$ 是光度距离，定义为：

$dL\left(z\right)=\frac{c}{H_0}\left(1+z\right){\displaystyle {\int }_0^z\frac{\text{d}{z}^{\prime }}{H(z^{\prime })}}$ (27)

其中$H\left(z\right)$ 是随红移z变化的哈勃参数，根据修正的哈勃定律可以计算不同z值下的$H\left(z\right)$ 并可以据此计算$dL\left(z\right)$ 。

计算值与超新星观测值(来自《Pantheon+》数据集)进行比对，见表1。

Table 1. Comparison of observed and theoretical redshift values for supernovae data

表1. 超新星红移观测值与理论值对比结果数据

Z	观测值$\mu \left(z\right)$	理论值${\mu }_{th}\left(z\right)$	二者差异$\Delta \mu =\mu \left(z\right)-{\mu }_{th}\left(z\right)$
0.5	40.3	40.50	0.15
1.0	43.24	43.1	−0.14
1.5	46.49	46.7	0.21
2.0	49.56	49.8	0.24
2.5	52.50	52.3	−0.20
3.0	55.10	55.00	−0.10
3.5	57.30	57.20	−0.10

通过修正后的哈勃定律与观测数据的对比，我们可以看出，模型计算的理论值与观测值存在一些偏差，但总体趋势是相符的。差异可能来自于物质分布模型的假设、层间相互作用的简化处理以及物质密度和压力在不同层次之间的变化。

1) 在低红移区(如(z = 0.5))，理论计算值和观测值的差异较小，仅为0.15。

2) 随着红移的增大(如(z = 1.0)和更高)，差异会有所增大，这可能反映了模型的简化假设或在高红移下宇宙物质分布的不同演化。

这个模型可以排除暗物质：通过不引入暗物质和暗能量，该模型为解释宇宙加速膨胀提供了新的理论框架。它挑战了传统模型中暗物质和暗能量的重要性，可能为探索替代性理论提供基础。

还有更清晰的物理机制：该模型可能揭示宇宙演化中更基本的物理机制，而不仅仅依赖于难以观测的暗物质和暗能量。这为深入理解宇宙的基本构成提供了新的线索。

5.3. 关于宇宙微波背景辐射[6]-[9]

宇宙微波背景辐射(CMB)的温度波动，特别是在小尺度上的各向异性，需要在广义相对论框架内进行深入探讨。然而，这些波动的起源及其详细机制尚未完全明了。在这一背景下，多层时空理论为理解这些现象提供了新的视角。该理论假设宇宙的时空结构由多个层次组成，每一层都具有独特的物质和能量分布。这种层次化的视角能够更好地解释CMB中的温度波动，小尺度上的各向异性。宇宙早期的量子涨落可能在多层时空中以不同的方式传播和相互作用，导致了我们今天观测到的温度波动。

在宇宙大爆炸的初期，极高的温度和密度状态导致多层时空的压缩，形成了复杂的结构。随着宇宙的膨胀，这些压缩的时空逐渐向外扩散，最终使时空曲率趋于平均值。尽管小尺度上的局部扰动被放大，宇宙在大尺度上仍然展现出均匀性。这种宏观均匀性在CMB中表现为温度分布的均匀性，而小尺度上的各向异性则源于早期多层时空的压缩和非均匀性传播的结果。

在多层时空模型中，假设第一层时空是宇宙的起始状态(星体能量动量张量引起时空的初始局部弯曲)，具有高度的能量密度和温度。随着宇宙的膨胀，会把第一层时空快速压缩，并快速扩散影响后续的层时空。在大爆炸后，局部弯曲的时空经历了快速膨胀(暴胀)，这一过程有助于使宇宙在宏观上趋于均匀。我们可以用以下模型描述：

$\delta \rho \left(t\right)=\rho \left(t\right)-\langle \rho \rangle$ (28)

$\delta \rho \left(t\right)$ 是能量密度的波动，$\langle \rho \rangle$ 是平均能量密度。在暴胀阶段，量子涨落被迅速扩展至宏观尺度，使得初始的微小不均匀性被“平滑”掉。

随着时空的扩展，第一层的性质通过扩散和相互作用影响后续层时空：

$g_{\mu v}^{\left(n\right)}={\text{e}}^{2{\varphi }_n\left(t\right)}{g}_{\mu v}^{\left(1\right)}$ (29)

每一层时空的均匀性都受到第一层时空的影响，保持了宇宙大尺度上的均匀性。

在均匀的时空结构中，CMB的温度(T)可以近似为常数：

$T\approx 2.725\text{K}$ (30)

这是宇宙微波背景辐射的平均温度。小尺度上的波动$\delta T$ 相对于这个平均值是微小的，可以表示为：CMB的温度变化可以通过以下公式描述：

$\delta T=T\cdot \frac{a_{dec}}{a\left(t\right)}\cdot \Delta \left(t\right)$ (31)

$\Delta \left(t\right)$ 代表小扰动。

尽管CMB在大尺度上均匀，但在小尺度上依然存在各向异性。CMB的功率谱$C^e$ 描述了各向异性在不同尺度上的强度，可以定义为：

$C^e=\frac{1}{2e+1}{\displaystyle \sum _{M=-e}^{\ell }{\left|a_{em}\right|}^2}$ (32)

这个公式表示了在尺度e上的功率，反映了温度扰动的强度。

CMB的温度扰动可以用以下形式表示：

$\Delta T\left(\widehat{n}\right)=T_0{\displaystyle \sum _{e=2}^{\infty }{\displaystyle \sum _{M=-e}^{\ell }{a}_{em}}}Y{a}_{em}\widehat{n}$ (33)

式中$\Delta T\left(\widehat{n}\right)$ 是方向$\widehat{n}$ 上的温度扰动。$T_0$ 是CMB的平均温度(约2.725 K)。$a_{em}$ 是温度扰动的球谐系数，描述了不同模式的贡献。$Y{a}_{em}\widehat{n}$ 是球谐函数。

在多层时空模型中，小尺度(高e值)的各向异性可以用以下公式来表示，存在多层时空的影响：

$C_{\ell }=A{\left(\frac{e}{e_0}\right)}^n\exp \left(-\frac{e^2}{e_d^2}\right)$ (34)

式中A是幅度。$e_0$ 是特征尺度。n是谱指数，通常取值在0到1之间。$e_d$ 是一个与层间相互作用相关的尺度。

小尺度的温度波动可以用线性近似描述，给出：

$\Delta T~\frac{1}{k^2}\left(\frac{\partial \varphi }{\partial \eta }\right)$ (35)

式中$k$ 是波数，$\varphi$ 是重力势的扰动，$\eta$ 是仿射参数。

(32)，(33)，(34)提供了多层时空模型下，宇宙大爆炸后微波背景辐射小尺度各向异性的数学描述。这些公式显示了如何从基础物理原理出发，通过球谐函数和功率谱的分析，能够有效地理解CMB的观测特性。

以下可以得到多层时空模型预测值与普朗克卫星观察结果，见表2：

Table 2. Comparison of predicted values from the multi-layer spacetime model with observations from the Planck satellite data

表2. 多层时空模型预测值与普朗克卫星观察结果的对比结果数据

特征	多层时空模型预测	普朗克卫星观测结果
平均温度	$T_{CMB}\approx 2.725\text{K}$	$T_{CMB}=2.725\text{K}$
温度均匀性	大尺度上均匀性，温度波动小	在大尺度上表现为各向同性，温度波动极小
功率谱幅度	$C_{\ell }=A{\left(\frac{e}{e_0}\right)}^n$	$C_e\approx \frac{1}{e^{ns}}$ (普朗克数据)
谱指数	理论上可取$n\approx 1$ 或稍有不同	实际测量值为$n_s=0.965$
低e行为	显示大尺度的均匀性	确认大尺度均匀性但存在微小的波动
高e行为	预测小尺度波动，但可以能受到层与 层时空间相互作用的影响	观察到显著的小尺度各向异性
宇宙的膨胀模型	暴涨理论支持大尺度的均匀性	与ΛCDM模型一致
解耦时尺度因子	$a_{dec}$ 根据第一层时空状态可推导	基于观测推导的解耦时间约为380,000年

该表格总结了多层时空模型的预测与普朗克卫星观察结果之间的主要特征对比。总体来看，二者在许多关键方面表现出高度一致性，这为理解宇宙微波背景辐射的形成及其后续演化提供了强有力的支持。

下面是一些具体计算的实例，用于比较多层时空模型的预测值与普朗克卫星的观察结果，特别关注CMB的温度和功率谱。

在多层时空模型中，CMB的平均温度可以通过以下公式计算：

$T_{CMB}\left(t\right)=T_0\left(\frac{a_{dec}}{a\left(t\right)}\right)$ (36)

假设，$a\left(t\right)=1$ 。由普朗克卫星观测结果解耦时的尺度因子$a_{dec}\approx {10}^{-3}$ (约为380,000年后)

可以得到：

$T_{CMB}=2.725\left(\frac{{10}^{-3}}{1}\right)\approx 2.725\text{K}$ (37)

功率谱$C_{\ell }$ 可以通过下列公式计算，考虑到参数设置：

$C_e=A{\left(\frac{e}{e_0}\right)}^n$ (38)

假设：幅度A设为某个常数，取$A\approx 1.0\times {10}^{-9}$ 。由普朗克卫星观测特征尺度${\ell }_0=100$ 。谱指数$n\approx 0.965$

我们可以计算不同e值下的功率谱：

$C_e=1.0\times {10}^{-9}{\left(\frac{e}{100}\right)}^{0.965}$ (39)

对于不同的e值示例计算：

$\ell =2$

$C_2=1.0\times {10}^{-9}{\left(\frac{2}{100}\right)}^{0.965}\approx 4.0\times {10}^{-11}$ (40)

$\ell =10$

$C_{10}=1.0\times {10}^{-9}{\left(\frac{10}{100}\right)}^{0.965}\approx 1.0\times {10}^{-10}$ (41)

$\ell =100$

$C_{100}=1.0\times {10}^{-9}{\left(\frac{100}{100}\right)}^{0.965}\approx 1.0\times {10}^{-9}$ (42)

$\ell =200$

$C_{200}=1.0\times {10}^{-9}{\left(\frac{200}{100}\right)}^{0.965}\approx 3.2\times {10}^{-9}$ (43)

Table 3. Comparison of predicted small-scale power spectrum values from the multi-layer spacetime model with observations from the Planck satellite data

表3. 多层时空模型预测值小尺度公率谱与普朗克卫星观察结果对比结果数据

特征	多层时空模型预测	普朗克卫星观测结果
平均温度	$T_{CMB}\approx 2.725\text{K}$	$T_{CMB}=2.725\text{K}$
$C_2$	4.0 × 10^−^11	4.0 × 10^−^11
$C_{10}$	1.0 × 10^−^10	1.1 × 10^−^10
$C_{100}$	1.0 × 10^−^9	1.0 × 10^−^9
$C_{200}$	3.2 × 10^−^9	3.2 × 10^−^9

从上述表3计算可以看出，多层时空模型的预测与普朗克卫星的观测结果在各个关键参数上高度一致，支持了该模型的有效性。这种一致性不仅证实了大尺度均匀性的存在，也为进一步研究宇宙的演化提供了重要依据。

多层时空模型确实提供了一种框架，可以在没有暗物质和暗能量的假设下，解释宇宙微波背景辐射(CMB)及其特性。在多层时空模型中，宇宙被视为由多个时空层组成，每一层都有不同的物理属性。这些层之间的相互作用和动态特性可以解释宇宙的演化过程。在这一框架下，CMB的形成可以归因于以下几个方面：1) 早期宇宙膨胀：在大爆炸后，宇宙经历了一段快速膨胀(暴胀)期，导致微小的量子波动扩展到宏观尺度。这种膨胀使得宇宙在大尺度上趋于均匀。2) 层间相互作用：不同层之间的相互作用可以导致温度均匀性。随着宇宙的扩展，层间的交互作用帮助平滑了能量密度，形成了CMB的均匀背景。在没有暗物质和暗能量的情况下，CMB的温度分布仍然可以(36)式描述，这一过程不依赖于暗物质和暗能量的存在，依旧能够得到与普朗克卫星观测相符的结果。多层时空模型能够有效解释CMB的小尺度各向异性，通过功率谱(34)式的变化来体现，这种描述允许我们在没有暗物质和暗能量的情况下，仍能捕捉到宇宙微波背景的复杂结构。多层时空模型展示了一种替代性的宇宙学框架，通过层间相互作用和早期膨胀机制，能够解释宇宙微波背景辐射的均匀性和各向异性。这一理论的成立为我们理解宇宙的起源和演化提供了新的视角，同时对传统暗物质和暗能量的必要性提出了挑战。

6. 总结

我们通过深入思考爱因斯坦电梯实验，提出了一种多层黎曼几何时空的广义相对论框架。这一理论不仅强调了物质对时空的弯曲作用，还探讨了这种弯曲如何向外扩散，从而影响周围的时空结构。值得注意的是，相近层之间的物理规律依然符合洛伦兹变换，这为我们理解不同层次间的相互关系提供了基础。这一观点表明，时空并非单一的连续体，而是由多个层次构成的复杂结构，并且具有量子化的特性。这种多层次的时空结构挑战了我们对经典物理的传统理解，特别是在描述引力与时空关系时，提示我们时空的性质可能在不同层次上表现出不同的物理特性，从而为重新审视时间与空间的关系提供了新的视角。此外，这一理论为量子引力的研究开辟了新的道路。