斜极式开关磁阻电机振动特性研究

Vibration Characteristics of Switched Reluctance Motors with Helical Poles

摘要: 采用斜极结构的开关磁阻电机同时具有较好的减振效果和较优的综合性能，且这种结构并未过多地增加制造成本和工艺复杂度，也未出现影响电机的机械强度等问题，是一种比较理想的本体结构优化选择。同时，已有的研究也表明定、转子斜极的倾斜角度选择对减振效果具有至关重要的作用。本文将以六组不同倾斜角度的斜极式开关磁阻电机为研究对象，采用多物理场耦合仿真的方式对斜极结构电机的振动特性展开研究，为开关磁阻电机结构的进一步优化打下基础。

Abstract: The switched reluctance motor with inclined pole structure has better vibration damping effect and better overall performance at the same time, and this structure does not increase the manufacturing cost and process complexity too much, and does not affect the mechanical strength of the motor and other problems, which is a better choice for the optimisation of the ontology structure. At the same time, existing studies have also shown that the tilt angle of the stator and rotor inclined pole has a crucial role in the vibration damping effect. In this paper, we will take six sets of inclined-pole switched reluctance motors with different inclination angles as the research object, and use multi-physics field coupling simulation to investigate the vibration characteristics of the motor with inclined-pole structure, so as to lay a foundation for the further optimisation of the structure of switched reluctance motors.

1. 引言

由于开关磁阻电机是一个复杂的机电一体化系统，具有强耦合、强非线性的特点，其多物理场分析需要求解高度非线性化以及高耦合度的微分方程组。传统的建模解析方法需要进行大量假设和线性化才能求解这类问题，计算结果误差较大。有限元法是一种数值解法，其基本原理是将求解域离散化为最小单元，通过节点连接各单元之间的物理关系，然后从初始值出发，在边界条件的约束下求解偏微分方程，其在多物理场分析中应用普遍，且实用性强，对于许多复杂边界情况的定解问题、非线性问题和时变问题的求解都具有较好的效果。

为了对斜极式开关磁阻电机的振动特性产生更加清晰和深入的认识，本章将采用有限元法进行多物理场分析，分析流程如图1所示，由电场分析获得的电流响应输入到磁场模型，通过电磁场耦合分析可以获得电机的磁密和径向力的时空分布，然后利用麦克斯韦应力张量法计算并提取径向电磁力密度，在结构场中将径向力密度耦合到定子极上作为外部激励，经过谐响应分析或瞬态振动响应分析就可以获得电机定子结构的径向振动特性。

Figure 1. Multi-physical field analysis process for switched reluctance motors

图1. 开关磁阻电机多物理场分析流程

2. 斜极式定子和转子结构

如图2所示为定子和转子凸极的倾斜角度的定义，以电机轴向方向为Z轴，以定、转子的端面为XY平面，并分别以定子内表面圆和转子外表面圆的圆心为原点，构建空间三维坐标系，由此可定义定子极的倾斜角度为定子极沿Z轴在XY平面上的投影所对应的圆心角，如图2(a)所示；定义转子极的倾斜角度为转子极沿Z轴在XY平面上的投影所对应的圆心角，如图2(b)所示。为了方便计算斜极的倾斜角度，图3给出了定、转子极倾斜角度的三维计算示意图，可根据式(1)来计算图2所示的倾斜角度。

(a) 定子凸极倾斜角度 (b) 转子凸极倾斜角度

Figure 2. Definition of stator and rotor camber inclination angles

图2. 定子和转子凸极倾斜角度的定义

Figure 3. Schematic diagram for calculating the angle of inclination

图3. 倾斜角度的计算示意图

${\theta }_s=\frac{180\times L}{\pi R}$ (1)

式(1)中${\theta }_s$ 为倾斜角度，L为斜极投影弧长，R为定子内圆半径或转子外圆半径。图3中${\theta }_s$ 和${\theta }_1$ 之间的关系可以表示如下：

$H\tan \left({\theta }_1\right)=2R\sin \left(\frac{{\theta }_s}{2}\right)$ (2)

式(2)中${\theta }_1$ 为斜极与Z轴的夹角，H为硅钢片叠压高度。

根据文献[1]-[4]的研究，在采用斜极结构以减小电机振动的同时，为了避免影响电机的平均转矩和效率，同时采用斜极式定子和转子结构的组合是最优的选择，因此，本文的研究对象为定子和转子凸极同时倾斜相同角度的开关磁阻电机。

3. 斜极式开关磁阻电机结构振动特性

为了研究斜极结构对开关磁阻电机振动特性的影响，在保持其他参数相同的前提下，对倾斜角度分别为0˚、5˚、10˚、15˚、20˚、25˚的六组开关磁阻电机模型进行分析，首先分析其结构振动特性，通过模态分析获取其固有频率和模态振型，通过谐响应分析获取其三相激励模式下的幅频响应[5]。

开关磁阻电机的噪声主要来自于定子的径向振动，而定子振动是直接由定、转子之间的径向电磁力引起的，特别是当径向力的某阶谐波频率和定子的固有频率靠近或重合时，产生共振，此时的振动和噪声现象尤其明显。因此，开展模态分析以确定电机定子的固有频率和振型，对于开关磁阻电机的进一步振动分析具有重要意义。

以能量法进行结构动力学分析的基础是Hamilton原理，由于有限元法是一种数值解法，首先将连续结构离散化，离散化后每个线弹性结构单元的振动方程为：

$M_e\left[{\ddot{u}}_e\right]+C_e\left[{\dot{u}}_e\right]+K_e\left[u_e\right]=\left[F{\left(t\right)}_e\right]$ (3)

将离散单元方程组进行组合，最终生成总体振动方程组。组合整理之后标准的强迫振动方程为：

$M\left[\ddot{u}\right]+C\left[\dot{u}\right]+K\left[u\right]=\left[F\left(t\right)\right]$ (4)

式(4)中$M$ 为质量矩阵，$C$ 为阻尼矩阵，$K$ 为刚度矩阵，$\left[u\right]$ 为位移矢量，$\left[F\left(t\right)\right]$ 为外力矢量。模态分析时要计算系统的固有频率，系统为无阻尼自由振动，系统特征方程为：

$\left(K-{\omega }^{2}M\right)\left[U\right]=\left[0\right]$ (5)

求解式(5)所示的方程，可得到固有频率${\omega }_i$ 及特征向量${\left[U\right]}_i$ ，该特征向量即为固有频率${\omega }_i$ 对应的结构模态振型。

出于简化计算和排除其他因素干扰的考虑，将实际的开关磁阻电机定子及相关结构进行适当简化，简化后的定子结构包括定子铁芯、外壳和绕组，如图4所示为倾斜角度为0˚的定子结构的网格划分。其中，将复杂的定子外壳结构简化为圆筒形的外壁，并考虑绕组对定子固有频率的影响，各部分的材料属性如表1所示。进行模态分析时，整个定子结构采用自由边界条件，定子铁芯和外壳之间的接触条件设置为摩擦(Frictional)，定子铁芯和所有线圈之间的接触条件设置为绑定(Bonded)。

模态分析结束后，其中三组不同倾斜角度的定子结构的模态振型分别如图5、图6和图7所示，可以看出与传统的定子结构相比，斜极式定子结构的振型有所不同，具体表现为随着倾斜角度的逐渐增大，定子结构的振型沿轴向的“扭转变形”的趋势越来越明显，且“扭转变形”的方向与定子凸极倾斜的方向一致，不难分析出这是由于定子凸极的形变传递至外壳造成的。

Figure 4. Finite element modelling for structural field analysis of switched reluctance motors with 12/8 structure

图4. 12/8结构开关磁阻电机结构场分析的有限元模型

Table 1. Material properties of each part of the finite element model of the stator structure

表1. 定子结构有限元模型各部分的材料属性

	材料	密度(kg/m^3)	杨氏模量(GPa)	泊松比
定子	硅钢片	7850	220	0.3
外壳	低碳钢	7850	210	0.29
绕组	铜	8300	110	0.34

(a) 二阶模态 (b) 三阶模态

(c) 四阶模态 (d) 六阶模态

Figure 5. Mode shapes of the stator structure with a tilt angle of 0˚

图5. 倾斜角度为0˚的定子结构模态振型

(a) 二阶模态 (b) 三阶模态

(c) 四阶模态 (d) 六阶模态

Figure 6. Mode shapes of the stator structure with a tilt angle of 15˚

图6. 倾斜角度为15˚的定子结构模态振型

(a) 二阶模态 (b) 三阶模态

(c) 四阶模态 (d) 六阶模态

Figure 7. Mode shapes of the stator structure with a tilt angle of 25˚

图7. 倾斜角度为25˚的定子结构模态振型

全部六组定子结构模型的固有频率对比如表2所示，可以看出六组模型的低阶固有频率基本相同，四阶及四阶以上的固有频率整体上随倾斜角度的增大而增大，但最大变化幅度不超过2%，故不同的倾斜角度对固有频率的影响较小。

Table 2. Intrinsic frequency of six sets of stator structures with different tilt angles

表2. 六组不同倾斜角度定子结构的固有频率

	二阶固有频率(Hz)	三阶固有频率(Hz)	四阶固有频率(Hz)	六阶固有频率(Hz)
0˚	920.76	2497.3	4361.1	7213.7
5˚	921.89	2496.7	4363.7	7211.6
10˚	925.12	2513.1	4390.3	7270.2
15˚	921.53	2516.2	4396	7296.7
20˚	924.74	2535.2	4430.7	7350.2
25˚	910.47	2521.1	4411.4	7357.5

为了进一步研究斜极结构对开关磁阻电机结构振动特性的影响，对六组倾斜角度不同的定子结构展开谐响应分析。谐响应分析用于求解线性结构对随时间呈正弦变化的载荷的稳态响应，在分析过程中所有的载荷及结构响应均以相同频率作正弦变化。将已知大小和频率的谐波载荷作为激励输入到结构场中，如力、力密度和强迫位移等，经分析得到一定频率范围内的结构响应，通过提取特定位置点的位移、速度或加速度等，可以探测结构在该激励下的共振响应频率。

Figure 8. Schematic diagram of loading method for harmonic response analysis

图8. 谐响应分析的加载方式示意图

(a) 六组定子结构的幅频响应 (b) 幅频响应局部放大图

Figure 9. Amplitude-frequency response of six stator structures with different tilt angles

图9. 六组不同倾斜角度定子结构的幅频响应

由于12/8结构开关磁阻电机通常工作在三相模式下，故分别对六组定子结构模型施加相同的三相模式激励，即对开关磁阻电机的一相定子极施加幅值恒定的径向力密度作为谐波载荷，载荷大小为0.05 MPa，加载方式如图8所示，谐响应分析的其余设置与模态分析相同，分析结束后提取外壳表面中间节点的加速度频率响应数据，其中幅频响应曲线如图9所示，图中纵坐标采用对数分度以方便展示，从图9中可以看出，在三相激励模式下，定子结构最易出现正方形的形变，即在四阶固有频率处发生共振，此时振动加速度的幅值最大，且六组模型的幅频响应波形和共振响应频率基本一致，共振点处的振动响应幅值有一定差异。

4. 基于多场耦合的斜极式开关磁阻电机振动特性分析

多物理场耦合瞬态振动仿真

通过瞬态电磁场有限元分析可以获得电机在连续运行过程中的径向电磁力密度，将其作为外部激励输入到结构场中以求解瞬态振动响应。瞬态振动分析是在随时间变化的载荷作用下，求解结构的振动响应的方法。瞬态振动仿真分别采用与模态分析相同的六组定子结构模型，材料和接触条件设置也相同，为使瞬态分析准确，结构场有限元分析的时间步长需小于瞬态电磁场仿真的步长，此处设置为25 us。开关磁阻电机工作在三相激励模式下，以均布载荷的方式，将随时间周期性变化的径向电磁力密度分别依次施加在六组模型的A、B、C三相定子极的表面，六组模型的外部激励均相同，如图10所示为开关磁阻电机定子结构的受力示意图，为了避免发生刚体运动，在外壳一侧端面施加了固定约束。

Figure 10. Schematic diagram of loading method and fixed constraints for transient vibration simulation

图10. 瞬态振动仿真的加载方式和固定约束示意图

瞬态振动仿真结束后，分别提取六组模型的外壳表面中间坐标点的加速度数据，图11(a)和图11(b)分别为六组模型的振动加速度波形和频谱，从图中可以看出六组定子结构的共振响应频率基本一致，均在四阶固有频率附近，这与谐响应分析的结果一致。图11(c)和图11(d)分别为六组模型的加速度平均值和四阶固有频率处的振动幅值，其中四阶固有频率处的振动幅值随着倾斜角度的增加而先减小后增大，可以看出20˚为减振的最优倾斜角度值，而倾斜角度为25˚的模型其加速度平均值和振动幅值相比其他模型明显较大，这说明定、转子斜极结构确实能够取得较好的减振效果，但其倾斜角度必须在合理范围内。

(a) 六组模型的加速度波形 (b) 六组模型的加速度频谱

(c) 六组模型的加速度平均值 (d) 六组模型的四阶固有频率处的加速度幅值

Figure 11. Vibration response of six stator structures with different tilt angles

图11. 六组不同倾斜角度定子结构的振动响应

Figure 12. Schematic of the spatial distribution of data points in the circumferential and axial directions of the stator

图12. 定子上周向和轴向数据点的空间分布示意图

为了进一步研究斜极结构对开关磁阻电机振动特性的影响，本文分别沿定子圆周端面和轴向表面选取了若干数据点，通过提取这些点处的加速度数据以更加清晰地分析定子结构的振动特性。以定子的中心为原点建立空间三维坐标系，如图12所示，选取的数据点分为周向和轴向，其中周向数据点选取在远离固定约束的定子端面，每隔45˚圆心角选取一点；以其中一个周向数据点为起点，沿Z轴正方向直线选取轴向数据点，每隔20 mm直线距离选取一点，可通过对比图10和图12来理解这些数据点的空间分布，表3和表4分别为定子周向和轴向数据点的三维坐标数值。

Table 3. Three-dimensional coordinates of last week’s orientation data points on the stator

表3. 定子上周向数据点的三维坐标

	坐标1	坐标2	坐标3	坐标4	坐标5	坐标6	坐标7	坐标8
X (mm)	61	43.134	0	−43.134	−61	−43.134	0	43.134
Y (mm)	0	−43.134	−61	−43.134	0	43.134	61	43.134
Z (mm)	−60	−60	−60	−60	−60	−60	−60	−60

Table 4. 3D coordinates of axial data points on the stator

表4. 定子上轴向数据点的三维坐标

	坐标1	坐标2	坐标3	坐标4	坐标5	坐标6	坐标7
X (mm)	43.134	43.134	43.134	43.134	43.134	43.134	43.134
Y (mm)	−43.134	−43.134	−43.134	−43.134	−43.134	−43.134	−43.134
Z (mm)	−60	−40	−20	0	20	40	60

由上文分析可知，电机在三相激励模式下最易激发出四阶模态振型，此处的振动幅值最大，因此以下分析将重点针对四阶固有频率处的加速度展开。图13为六组定子结构在周向和轴向数据点处的振动幅值与相位，由于提取的加速度数据是沿X轴方向的，因此，为了排除空间位置对振动幅值的影响，周向数据点的加速度幅值进行了归一化处理。

从图13(a)和图13(c)中可以看出，六组周向数据点的加速度幅值具有与正方形的形变类似的空间对称分布特点；除斜极为15˚的定子模型外，其余轴向数据点的加速度幅值随着远离固定约束端而逐渐增大，其中斜极为20˚的定子模型的加速度在周向和轴向上的幅值最小，且幅值沿圆周和轴线的变化最小，故20˚为减振的最优倾斜角度值，这与上文的结论相同。

从图13(b)和图13(d)中可以看出，六组周向数据点的加速度相位具有相似的变化规律，且和幅值同样具有与正方形的形变类似的空间对称分布特点；而在轴向上，随着倾斜角度的逐渐增大，六组数据点的加速度相位以及相位的增幅逐渐变大，尤其是倾斜角度为25˚的定子模型比较明显，而倾斜角度为0˚的模型的加速度相位在轴向上则基本不变。

由图13可知，在周向上，当倾斜角度过大如25˚时，其加速度最大幅值的数据点的空间位置发生了改变，与其余组的数据点相比，加速度最大幅值的位置大致沿圆周偏移了45˚角度，其相位也产生了一定偏移；在轴向上，斜极为10˚和20˚模型的数据点的加速度相位比较接近，其加速度幅值也呈现相同的特点，即幅值沿轴线基本不变，而斜极为25˚模型的数据点的加速度相位及相位增幅较大，其加速度幅值沿轴线的变化也较大，可见定子加速度的相位会影响振动幅值的分布和变化。

结合前文分析的结果，除了模态振型以外，不同倾斜角度电机的结构振动特性和电磁特性基本一致，六组模型在瞬态振动仿真时所施加的径向力激励也相同，而其振动响应存在较大差异，故可合理推断，当电机受到径向力激励时，斜极式定子结构存在轴向的“扭转变形”，从而改变了定子振动加速度的时空分布，通过影响加速度幅值和相位从而影响了开关磁阻电机最终的振动水平，而这种影响与倾斜角度有关。

(a) 周向数据点的加速度幅值 (b) 周向数据点的加速度相位

(c) 轴向数据点的加速度幅值 (d) 轴向数据点的加速度相位

Figure 13. Acceleration amplitude and phase at circumferential and axial data points for six sets of stators with different tilt angles

图13. 六组不同倾斜角度定子的周向和轴向数据点处的加速度幅值和相位

5. 总结

首先，本文通过有限元分析获取并对比了不同倾斜角度的斜极式开关磁阻电机的结构振动特性，六组模型的固有频率和三相激励模式下的共振响应频率基本相同，而模态振型则随定子极倾斜的方向产生“扭转变形”；其次，对六组不同倾斜角度的开关磁阻电机进行了多物理场耦合振动仿真；最后，对比了六组不同倾斜角度定子结构表面的振动响应数据，其频谱均在四阶固有频率附近具有最大幅值，此外还对比了定子在周向和轴向多个坐标点的振动幅值和相位，结果表明斜极结构会影响定子加速度的时空分布，倾斜角度越大对振动幅值和相位的影响越明显，而倾斜角度为20˚时的减振效果最好。