量子场论中的量子运动方程与量子诺特定理

Quantum Equation of Motion and Quantum Noether’s Theorem in Quantum Field Theory

摘要: 运动方程和诺特定理是经典场论中的核心概念。然而在实际的量子场论中，需要使用量子运动方程和量子诺特定理来研究一系列与物理观测量相关的关联函数或者矩阵元。经典场论中的运动方程和诺特定理与其量子版本之间具有非常微妙，但却十分重要的联系与区别。透析这一点，无论对于前沿工作者，抑或是初学场论的研究生，都具有非常重要的意义。它揭示了经典物理与量子物理之间的本质差别。本文利用路径积分量子化方法，从第一性原理出发，基于泛函计算体系，推导出了量子版本的运动方程与诺特定理，详细探讨了其与经典版本之间的联系与区别。这对于量子物理的前沿计算具有重要的指导和规范作用，也为初学场论的研究生快速进入前沿领域的研究，提供了一条脉络清晰，可操作性很强的道路。

Abstract: Equation of motion and Noether’s theorem are core concepts in classical field theory. However, in practical quantum field theory, it is necessary to use quantum equation of motion and quantum Noether’s theorem to study a series of correlation functions or matrix elements related to physical observables. There is a very subtle yet crucial connection and difference between the classical and quantum versions of the equation of motion and Noether’s theorem. Analyzing this is of great importance not only for researchers at the forefront but also for graduate students new to field theory. It reveals the fundamental differences between classical and quantum physics. This paper utilizes the path integral quantization method, starting from first principles, based on functional calculation, to derive the quantum versions of the equations of motion and Noether’s theorem, and it thoroughly discusses their connections and differences with the classical versions. This serves as an important guide and standard for frontier calculations in quantum physics and also provides a clear and practical path for graduate students new to field theory to quickly engage in forefront research.

1. 引言

在现代物理学中，量子场论(QFT)的运动方程在各种物理现象的研究中扮演着核心角色。特别是在如格点量子色动力学(Lattice QCD)这类理论中，运动方程被用于从计算得到的关联函数中提取矩阵元信息，这对于理解强相互作用及其相关现象至关重要。然而，传统的运动方程主要源自经典的Euler-Lagrangian公式，这些方程虽然在概念上可以自然地推广到量子领域，但在实际应用中却面临诸多挑战。这主要是因为量子理论的本质不在于探讨单一特定的场，而是涉及到场的统计性质和超越单一解的复杂性。因此，经典运动方程的解–尽管在数学上被明确定义为算符–很难与量子场论中的具体物理图像相对应，而在实际应用中往往显得笨拙且僵化。

量子计算的核心始终是关联函数或矩阵元，传统的方法并未能充分解决从量子场论的第一性原理出发直接推导出适用于量子系统的运动方程的需求。因此，开发出真正基于量子理论的运动方程，即以关联函数或矩阵元为核心的方程，成为了一个不可回避的研究任务。这不仅是对现有理论的一个重要补充，也为我们提供了一个更加精确和实用的工具来处理复杂的量子系统。此外，对称性问题的研究，如规范对称性、手征反常(chiral anomaly)和手征磁效应(chiral magnetic effect) [1]-[15]，也广泛采用经典场论中的诺特定理(Noether’s theorem)。其中最近的研究包括：文献[13]通过一维系统中的手征反常及其对无序响应的影响，揭示了手征电流在背景电磁场下的非守恒性；文献[14]在三维自旋轨道耦合金属中的手征反常研究，探讨了在外磁场和电场作用下的电、热和引力反常现象；文献[15]是手征费米子反常作为记忆效应的一项研究，讨论了在不同时空中的手征电荷的非守恒性。虽然守恒流的概念可以自然地被推广到物理量算符，但关于这些物理量的计算存在许多微妙且重要的差异，这些差异经常导致研究者陷入一些无法预见的错误，并迫使他们不得不重新组织矩阵元，建立新的规则，重新诠释量子计算中与对称性相关的特殊性。

因此，直接从量子场论的基本原理出发，推导适用于量子系统的诺特定理，不仅有助于避免上述问题，也是理解从经典物理到量子物理过渡的关键。对于初学场论的研究生而言，这些理论不仅提供了一个系统性和规范性的学习框架，更为他们未来的研究工作奠定了坚实的理论基础。

2. 经典场论的运动方程与诺特定理

我们首先回顾一下经典场论对于运动方程和诺特定理的处理方法[16]-[19]。经典场论的计算是从作用量S出发的，而Euler-Lagrangian方程就是作用量的极值条件，即为：

$\frac{\delta S}{\delta \varphi }=0$ (1)

如果用拉格朗日密度表示作用量，那么我们就可以立刻得到Euler-Lagrangian方程，也就是，

$\frac{\delta S}{\delta \varphi }=\frac{\delta }{\delta \varphi \left(x\right)}{\displaystyle \int {\text{d}}^{4}z}ℒ\left(z\right)=\frac{\partial ℒ}{\partial \varphi }-\partial \left(\frac{\partial ℒ}{\partial \left(\partial \varphi \right)}\right)=0$ (2)

例如，对于${\varphi }^4$ 理论而言，拉氏量为：

$ℒ=\frac{1}{2}{\left(\partial \varphi \right)}^2-\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2-\frac{\lambda }{4!}{\varphi }^4$ (3)

因此经典运动方程为：

$\left(-{\partial }^2-m^2\right)\varphi =\frac{\lambda }{3!}{\varphi }^3$ (4)

这个方程即使是在正则量子化的框架中也很难用于实际的计算。

另一方面，在经典场论中，对称性表现为系统的作用量在对称性变换下保持不变。考虑全局的连续对称性变换$\varphi \to {\varphi }^{\prime }$ ，系统具有这样的对称性也就意味着，

$S\left[\varphi \right]=S\left[{\varphi }^{\prime }\right]$ (5)

我们采用无穷小变换形式来解析这种变换不变性的性质，即有，

$\varphi \to {\varphi }^{\prime }=\varphi +ϵ\text{Δ}\varphi +O\left({ϵ}^2\right)$ (6)

其中$ϵ$ 为全局变换参数。由于拉氏量中的表面项不影响作用量，因此，

$ℒ\to {ℒ}^{\prime }=ℒ+ϵ\partial \mathcal{J}$ (7)

另一方面，场变换导致的拉氏量变换总是可以写作，

${ℒ}^{\prime }=ℒ+ϵ\left[\frac{\partial ℒ}{\partial \varphi }-\partial \frac{\partial ℒ}{\partial \left(\partial \varphi \right)}\right]\text{Δ}\varphi +ϵ\partial \left(\frac{\partial ℒ}{\partial \left(\partial \varphi \right)}\text{Δ}\varphi \right)$ (8)

再加上经典理论的运动方程总是成立的，因此，

${ℒ}^{\prime }=ℒ+ϵ\partial \left(\frac{\partial ℒ}{\partial \left(\partial \varphi \right)}\text{Δ}\varphi \right)$ (9)

对比(7)式和(9)式，就可以得到经典的流守恒方程，

$\partial j=0$ (10)

其中诺特定理给出了诺特流的计算方式，即，

$j=\frac{\partial ℒ}{\partial \left(\partial \varphi \right)}\Delta \varphi -\mathcal{J}$ (11)

例如：对于复标量场，

$ℒ=\left(\partial {\varphi }^{+}\right)\left(\partial \varphi \right)-m^2{\varphi }^{+}\varphi$ (12)

我们可以根据$U\left(1\right)$ 对称性，得到守恒流

$j=i\left(\partial {\varphi }^{+}\right)\varphi -i{\varphi }^{+}\partial \varphi$ (13)

这就是复标量粒子的电荷守恒。这个守恒流可以自然地推广到量子算符，但是关于流的关联函数的计算往往需要加入额外的规则。例如，QED中的Ward恒等式并不能直接从经典的流守恒得到，这说明了，诺特定理的量子版本并不是平庸的。

3. 量子运动方程

通过路径积分量子化和泛函运算体系，我们可以得到量子运动方程的形式，也就是

$\langle \frac{\delta S}{\delta \varphi \left(x\right)}\varphi \left(x_1\right)\varphi \left(x_2\right)\cdots \varphi \left(x_n\right)\rangle =i{\displaystyle \sum }_{i=1}^n\langle \varphi \left(x_1\right)\cdots \varphi \left(x_{i-1}\right)\delta \left(x-x_i\right)\varphi \left(x_{i+1}\right)\cdots \varphi \left(x_n\right)\rangle$ (14)

这里，$\langle \cdots \rangle$ 表示算符的时序乘积真空期望值，并且需要注意的是，所有作用于场算符的线性运算应当作用于关联函数。例如，考虑标量场理论，

$ℒ=\frac{1}{2}{\left(\partial \varphi \right)}^2-\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2$ (15)

我们可以得出一系列的运动方程，其中第一个方程就是，

$\left(-{\partial }^2-m^2\right)\langle T\varphi \left(x\right)\varphi \left(x_1\right)\rangle =i\delta \left(x-x_1\right)$ (16)

下一个非平庸的方程为：

$\begin{array}{l}\left(-{\partial }^2-m^2\right)\langle T\varphi \left(x\right)\varphi \left(x_1\right)\varphi \left(x_2\right)\varphi \left(x_3\right)\rangle \\ =i\delta \left(x-x_1\right)\langle T\varphi \left(x_2\right)\varphi \left(x_3\right)\rangle +i\delta \left(x-x_2\right)\langle T\varphi \left(x_1\right)\varphi \left(x_3\right)\rangle \\ +i\delta \left(x-x_3\right)\langle T\varphi \left(x_1\right)\varphi \left(x_2\right)\rangle \end{array}$ (17)

量子版本的运动方程可以不断构造下去，这一系列的方程给出了相关理论的完备的动力学信息，并且能够展示关联函数计算的具体步骤。

量子运动方程可以通过泛函层次的牛顿–莱布尼茨定理证明。我们知道，函数层次的牛顿–莱布尼茨定理为：

${\displaystyle \int \text{d}x}\frac{\text{d}f\left(x\right)}{\text{d}x}=\text{surface}\text{term}\to 0$ (18)

推广到泛函层次，则有，

${\displaystyle \int \mathcal{D}\varphi }\frac{\delta F\left[\varphi \right]}{\delta \varphi }=\text{surface}\text{term}\to 0$ (19)

如果令：

$F\left[\varphi \right]={\text{e}}^{iS\left[\varphi \right]}\varphi \left(x_1\right)\cdots \varphi \left(x_n\right)$ (20)

可以推出，

${\displaystyle \int \mathcal{D}\varphi }{\text{e}}^{iS\left[\varphi \right]}\left[\left(i\frac{\delta S}{\delta \varphi \left(x\right)}\right)\varphi \left(x_1\right)\cdots \varphi \left(x_n\right)+\delta \left(x-x_1\right)\varphi \left(x_2\right)\cdots \varphi \left(x_n\right)+\cdots +\varphi \left(x_1\right)\cdots \varphi \left(x_{n-1}\right)\delta \left(x-x_n\right)\right]=0$ (21)

上式两边同时除以生成泛函$Z\left(0\right)={\displaystyle \int \mathcal{D}\varphi }\exp iS\left[\varphi \right]$ ，我们就能得到量子运动方程，

$\langle \frac{\delta S}{\delta \varphi \left(x\right)}\varphi \left(x_1\right)\varphi \left(x_2\right)\cdots \varphi \left(x_n\right)\rangle =i\langle \delta \left(x-x_1\right)\varphi \left(x_2\right)\cdots \varphi \left(x_n\right)+\cdots +\varphi \left(x_1\right)\cdots \varphi \left(x_{n-1}\right)\delta \left(x-x_n\right)\rangle$ (22)

在此基础上，我们可以得到更一般的形式，即对任意由场算符构成的算符$\mathcal{O}$ ，其关联函数满足方程，

$\langle \frac{\delta S}{\delta \varphi \left(x\right)}\mathcal{O}\rangle =i\langle \frac{\delta \mathcal{O}}{\delta \varphi \left(x\right)}\rangle$ (23)

4. 戴森–施温格方程

实际上，非微扰场论中常用的戴森–施温格方程就是从量子运动方程中得出的。换言之，戴森–施温格方程本质上就是一种量子运动方程。为了揭示这一点，我们重新令(19)式中的泛函为：

$F\left[\varphi \right]={\text{e}}^{i{S}_J\left[\varphi \right]}$ (24)

其中，$S_J$ 为带有外源的作用量。从这里，我们可以得出量子运动方程的母方程，

$\left[\frac{\delta S}{\delta \varphi }\left[\frac{\delta }{i\delta J\left(x\right)}\right]+J\left(x\right)\right]{\text{e}}^{-iW\left[J\right]}=0$ (25)

其中$W\left[J\right]$ 是连通格林函数的生成泛函。在上式的基础上，持续对外源J计算泛函导数，最后将外源取为零，则能得到各阶运动方程。例如，对于标量场理论，我们可以得到，

$\left(-{\partial }^2-m^2\right){\frac{i{\delta }^{2}W\left[J\right]}{\delta J\left(y\right)\delta J\left(x\right)}|}_{J=0}=i\delta \left(x-y\right)$ (26)

不难证明：

${\frac{i{\delta }^{2}W\left[J\right]}{\delta J\left(y\right)\delta J\left(x\right)}|}_{J=0}=\langle T\varphi \left(x\right)\varphi \left(x_1\right)\rangle$ (27)

这就是第一阶的量子运动方程。同样的，对于量子电动力学(QED)，

$ℒ=\overline{\psi }\left(i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m\right)\psi -\frac{1}{4}{F}^2-e\overline{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi A_{\mu }$ (28)

我们也可以推出母方程，

$\left[\left(i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-e{\gamma }^{\mu }\frac{\delta }{i\delta J^{\mu }\left(x\right)}-m\right)\frac{\delta }{i\delta \overline{\eta }\left(x\right)}+\eta \left(x\right)\right]{\text{e}}^{-iW\left[J,\overline{\eta },\eta \right]}=0$ (29)

在此基础上，继续对外源$\eta$ 求导，可以得到，

$\left(i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m\right)\frac{{\delta }^{2}W\left[\overline{\eta },\eta ,J\right]}{\delta \overline{\eta }\left(x\right)\delta \eta \left(y\right)}+ie{\gamma }^{\mu }\frac{{\delta }^{3}W\left[\overline{\eta },\eta ,J\right]}{\delta \overline{\eta }\left(x\right)\delta \eta \left(y\right)\delta J^{\mu }\left(x\right)}+\delta \left(x-y\right)=0$ (30)

通过连通格林函数的生成泛函，我们可以定义电子传播子，也就是

$\frac{{\delta }^{2}W\left[\overline{\eta },\eta ,J\right]}{\delta \overline{\eta }\left(x\right)\delta \eta \left(y\right)}=iG\left(x,y\right)$ (31)

另外，三次导数可以给出，

$\frac{{\delta }^{3}W\left[\overline{\eta },\eta ,J\right]}{\delta \overline{\eta }\left(x\right)\delta \eta \left(y\right)\delta J^{\mu }\left(x\right)}=-{\displaystyle \int {\text{d}}^{4}u{\text{d}}^{4}v{\text{d}}^{4}w}{D}_{\mu \nu }\left(z,w\right)G\left(x,u\right)i{\Gamma }^{\nu }\left(u,v;w\right)G\left(v,y\right)$ (32)

其中$\text{Γ}$ 就是电子–光子的正规顶角。这样，电子的量子运动方程就表示为，

$\left(i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m\right)G\left(x,y\right)=i\delta \left(x-y\right)+e{\gamma }^{\mu }{\displaystyle \int {\text{d}}^{4}u{\text{d}}^{4}v{\text{d}}^{4}w}{D}_{\mu \nu }\left(x,w\right)G\left(x,u\right)i{\Gamma }^{\nu }\left(u,v;w\right)G\left(v,y\right)$ (33)

上式就是电子的戴森–施温格方程。为了表示得更清楚，我们定义电子自能，

$\Sigma \left(x,y\right)=-ie{\gamma }^{\mu }{\displaystyle \int {\text{d}}^{4}u{\text{d}}^{4}w}{D}_{\mu \nu }\left(x,w\right)G\left(x,u\right)i{\Gamma }^{\nu }\left(u,y;w\right)$ (34)

同时注意到自由传播子的逆为：

$i{G}_0^{-1}\left(x,y\right)=\left(i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m\right)\delta \left(x-y\right)$ (35)

最终，我们给出了电子的运动方程，

$G\left(x-y\right)=G_0\left(x-y\right)+{\displaystyle \int {\text{d}}^{4}w{\text{d}}^{4}z}{G}_0\left(x-w\right)\Sigma \left(w-z\right)G\left(z-y\right)$ (36)

这也就是电子的戴森–施温格方程。此方程在量子色动力学中对应夸克的戴森–施温格方程，求解此方程是强相互作用非微扰方法的重要基础[20]-[38]。其中最近的相关研究包括：文献[36]利用戴森–施温格方程(DSE)方法研究了QCD中的Lee-Yang边缘奇点，特别是在有限温度和化学势条件下，通过简化的截断方案计算了轻夸克的手征相变线；文献[37]介绍了改进的截断方案在冷致密QCD物质中的应用，研究了强子–夸克相变，并构建了物质的状态方程和中子星质量–半径关系，戴森–施温格方程也是该研究的基本方法；文献[38]提出了一种从QCD到现象的实用方案，使用耦合的戴森–施温格方程计算夸克传播子和夸克–胶子相互作用顶点。

5. 量子诺特定理

通过路径积分量子化，我们还可以进一步地推出量子版本的诺特定理，这是量子系统对称性分析与计算的重要基础。相较于经典版本，它更加明确地给出了矩阵元计算的规范，对于目前的高能粒子碰撞中的手征磁效应等方面研究提供了理论依据。

$i\partial \langle Tj\left(x\right)\mathcal{O}\rangle =\langle T\Delta \varphi \left(x\right)\frac{\delta \mathcal{O}}{\delta \varphi \left(x\right)}\rangle$ (37)

这里$\mathcal{O}$ 仍然代表由场算符构成的任意算符。经典的诺特定理仅仅给出了一个守恒流的形式，而上式明确地展示了对称性对于运动方程的简化。上面几节给出的量子运动方程是动力学的基本方程，而量子诺特定理所引入的关于关联函数的方程实际上是运动方程在对称性下的约化结果，这将大大简化量子运动方程的直接求解，也体现了对称性在物理学中的重要地位。

这里给出量子诺特定理的证明。同样的，我们从一个在函数层次显而易见的结论出发，亦即：改变积分参量，积分结果不变，

${\displaystyle \int \text{d}x}f\left(x\right)={\displaystyle \int \text{d}{x}^{\prime }}f\left(x^{\prime }\right)$ (38)

在泛函层次，我们也有，

${\displaystyle \int \mathcal{D}\varphi }F\left[\varphi \right]={\displaystyle \int \mathcal{D}{\varphi }^{\prime }}F\left[{\varphi }^{\prime }\right]$ (39)

我们考虑变量代换，

$\varphi \left(x\right)\to {\varphi }^{\prime }\left(x\right)=\varphi \left(x\right)+ϵ\left(x\right)\text{Δ}\varphi \left(x\right)$ (40)

既然变量代换不影响积分结果，我们可以说，

${\displaystyle \int \mathcal{D}\varphi }{\text{e}}^{iS\left[\varphi \right]}\varphi \left(x_1\right)\varphi \left(x_2\right)={\displaystyle \int \mathcal{D}{\varphi }^{\prime }}{\text{e}}^{iS\left[{\varphi }^{\prime }\right]}{\varphi }^{\prime }\left(x_1\right){\varphi }^{\prime }\left(x_2\right)$ (41)

在一般的场论中，积分测度保持不变(不考虑反常)，即

$\mathcal{D}\varphi =\mathcal{D}{\varphi }^{\prime }$ (42)

同时，由于系统具有全局对称性，局域变换$\varphi \to {\varphi }^{\prime }$ 所导致的影响只会体现在偏导数项中，也就是说，

$ℒ\to {ℒ}^{\prime }=ℒ-ϵ\partial \left[\frac{\partial ℒ}{\partial \left(\partial \varphi \right)}\text{Δ}\varphi -\mathcal{J}\right]+\text{surf}\text{.}+\text{O}\left({ϵ}^2\right)$ (43)

我们在量子层次定义，

$j=\frac{\partial ℒ}{\partial \left(\partial \varphi \right)}\text{Δ}\varphi -\mathcal{J}$

这意味着，

${\text{e}}^{iS\left[{\varphi }^{\prime }\right]}={\text{e}}^{iS\left[\varphi \right]}\left(1-i{\displaystyle \int {\text{d}}^{4}x}ϵ\left(x\right)\partial j\left(x\right)\right)+\text{O}\left({ϵ}^2\right)$ (44)

回到泛函积分不因积分变量的改变而改变这一事实，我们就能得出：

${\displaystyle \int \mathcal{D}\varphi }{\text{e}}^{iS\left[\varphi \right]}\varphi \left(x_1\right)\varphi \left(x_2\right)={\displaystyle \int \mathcal{D}\varphi }{\text{e}}^{iS\left[\varphi \right]}\varphi \left(x_1\right)\varphi \left(x_2\right)-i{\displaystyle \int {\text{d}}^{4}x}ϵ\left(x\right)ℐ\left(x;x_1,x_2\right)+\text{O}\left({ϵ}^2\right)$ (45)

这里我们定义了泛函$ℐ$ ，

$ℐ\left(x;x_1,x_2\right)={\displaystyle \int \mathcal{D}\varphi }{\text{e}}^{iS\left[\varphi \right]}\left(\partial j\left(x\right)\varphi \left(x_1\right)\varphi \left(x_2\right)+i\delta \left(x-x_1\right)\Delta \varphi \left(x_1\right)\varphi \left(x_2\right)+i\delta \left(x-x_2\right)\varphi \left(x_1\right)\Delta \varphi \left(x_2\right)\right)$ (46)

所以，泛函$ℐ$ 必然为零，而$ℐ=0$ 就意味着：

$i\partial \langle Tj\left(x\right)\varphi \left(x_1\right)\varphi \left(x_2\right)\rangle =\delta \left(x-x_1\right)\langle T\text{Δ}\varphi \left(x_1\right)\varphi \left(x_2\right)\rangle +\delta \left(x-x_2\right)\langle T\varphi \left(x_1\right)\text{Δ}\varphi \left(x_2\right)\rangle$ (47)

我们看到：当计算守恒流相关的关联函数时，它的散度并不像经典理论那样，完全为零，而是会产生一些列由场的变换所诱导的接触项。实际上，这就是很多量子对称性计算时所产生的局域发散。这里我们计算的是守恒流与$\varphi \left(x_1\right)\varphi \left(x_2\right)$ 的关联，推广得更一般的情形，我们就得到了量子守恒流方程，

$i\partial \langle Tj\left(x\right)\mathcal{O}\rangle =\langle T\text{Δ}\varphi \left(x\right)\frac{\delta \mathcal{O}}{\delta \varphi \left(x\right)}\rangle$ (48)

我们再次强调：这个流守恒方程的得到仅仅依赖于全局对称性。

量子守恒流方程清楚地给出了守恒流相关的关联函数的计算结果，整体上看，它与经典版本类似，都具有$\partial j$ 的结构，但是量子版本衍生出了一系列的接触项。这些接触项的产生是由于在实际计算中，我们通常计算的都是时序关联函数，这就使得单纯的$\partial j=0$ 没有任何的实用价值。量子守恒流方程对于各种手征反常的前沿研究具有非常重要的意义。

6. 守恒流的重整化性质

利用量子守恒流方程，我们可以很方便地得到守恒流的重整化性质。在场论中，为了消除紫外发散，所有的理论参量和算符都需要进行重整化，比较典型的就是场算符的重整化，即：

${\varphi }_b=\sqrt{Z}{\varphi }_r$ (49)

这里我们定义场的重整化系数为Z。未重整化的场称为裸场，记为${\varphi }_b$ ，重整化的场记为${\varphi }_r$ 。守恒流作为一个由场算符组成的局域复合算符，原则上也需要作重整化，这是因为局域复合算符所对应的顶点结构会产生额外的紫外发散，因此我们设流算符的重整化系数为$Z_j$ ，也就是说，

$j_b=Z_j{j}_r$ (50)

无论是裸量，还是重整化量，都可以应用量子守恒流方程。这是由于我们的推导是基于泛函积分量子化的，只要给定拉氏量和对称性，推导的结果不依赖于积分场的具体结构。这样我们就可以针对裸场和重整化场，写出两组量子守恒流方程：

$i\partial \langle T{j}_b\left(x\right){\varphi }_b\left(x_1\right){\varphi }_b\left(x_2\right)\rangle =\delta \left(x-x_1\right)\langle T\text{Δ}{\varphi }_b\left(x_1\right){\varphi }_b\left(x_2\right)\rangle +\cdots$ (51)

$i\partial \langle T{j}_r\left(x\right){\varphi }_r\left(x_1\right){\varphi }_r\left(x_2\right)\rangle =\delta \left(x-x_1\right)\langle T\text{Δ}{\varphi }_r\left(x_1\right){\varphi }_r\left(x_2\right)\rangle +\cdots$ (52)

对比上下两式，再结合重整化系数，我们可以得到，

$Z_j=1$ (53)

也就是说，如果局域复合算符是守恒的，那么这个算符不需要进行重整化。这一结论在正则量子化处理中，很难通过$\partial j=0$ 得到，而利用量子守恒流方程，却可以非常自然地推出。这也就是量子守恒流方程比经典诺特定理更具有实用价值的一个证明。

7. 总结

本文通过路径积分量子化的方法，系统地推导出了量子运动方程和量子守恒流方程的一般形式。量子运动方程揭示了量子场论中计算关联函数的基本规律，具体表现为路径积分形式下的场论运动方程。通过这些运动方程，我们能够推导出例如量子电动力学(QED)中的电子戴森–施温格方程。这些方程不仅在描述电子的量子行为方面具有重要意义，而且其量子色动力学(QCD)中的对应版本也在解决强相互作用的非微扰问题中扮演着关键角色。这些方程为理解粒子间相互作用和预测物理现象提供了强有力的工具。

另一方面，量子守恒流方程，也就是量子诺特定理，通过路径积分的方法自然地解决了局域流算符发散的问题。更重要的是，这一理论自然地引出了守恒算符无需重整化的结论。这在量子场论的重整化过程中具有深远的意义，因为它大大简化了理论推导和重整化的计算过程。量子守恒方程在规范对称性、手征反常等前沿领域中也扮演着重要角色，极大地简化了这些领域中的理论推演和重整化过程，因此具有显著的理论价值和应用前景。

最后，通过这些推导和论证，能够清楚地揭示量子场论和经典场论之间的联系与区别。对于初学量子场论的研究生而言，这种路径积分形式的量子化方法提供了一种直观的理解方式，使他们能够从看似风格迥异、难以理解的量子演算中，找到与经典理论一致的物理逻辑。这不仅有助于他们掌握量子场论的基本概念和计算技巧，还能够帮助他们在更高层次上理解和应用量子场论的理论框架。