具有一般非线性的广义Boussinesq方程的概周期解

Almost Periodic Solutions of the Generalized Boussinesq Equations with General Nonlinearities

摘要: 本文考虑了一类在铰接边界条件下具有一般非线性的广义Boussinesq方程。利用无限维KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser)理论，我们证明了在足够小的扰动下，这类方程存在无限多个小振幅、实解析且线性稳定的概周期解。

Abstract: This paper considers a class of generalized Boussinesq equations with general nonlinearities under hinged boundary conditions. Using infinite-dimensional KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser) theory, we prove that for sufficiently small perturbations, the equations admit infinitely many of small amplitude, real analytic and linearly stable almost periodic solutions.

1. 引言

考虑在铰接边界条件下的广义Boussinesq方程

$u_{tt}-u_{xx}+{\left(u_{xx}-M_{\xi }u+f\left(u\right)\right)}_{xx}=0,t\in ℝ,x\in \left[0,\pi \right]$ ,(1)

$u\left(0,t\right)=u\left(\pi ,t\right)=u_{xx}\left(0,t\right)=u_{xx}\left(\pi ,t\right)=0$ ,(2)

其中$M_{\xi }$ 是一个实Fourier乘子，其定义为

$M_{\xi }\sin \left(nx\right)={\xi }_n\sin \left(nx\right),{\xi }_n\in \left[0,1\right],n=1,2,\cdots$ (3)

非线性项为$f\left(u\right)=\left(2p+2\right)u^{2p+1}$ ，p是一个正整数。本文利用无限维KAM理论证明这类方程小振幅实解析概周期解的存在性与线性稳定性。

Boussinesq型方程是描述浅水长波传播的一类重要数学物理方程，后被推广至包含各种非线性效应和高阶项的广义Boussinesq方程(1)。这类方程在描述更广泛的物理现象方面发挥着关键作用，如地震波传播、光纤中的脉冲传导以及等离子体波动等。

广义Boussinesq方程(1)具有Hamilton结构。Shi等人在一系列论文[1]-[5]中，运用KAM理论证明了具有不同非线性项的广义Boussinesq方程拟周期解的存在性及其线性稳定性。Wang、Lou和Si [6]则进一步获得了这类方程的拟周期KAM环面的非线性稳定性结果。

尽管广义Boussinesq方程的拟周期问题已得到广泛研究，其概周期问题却尚未得到充分探讨。Pöschel [7]和Bourgain [8]首先独立利用KAM理论研究了非线性Schrödinger方程的概周期解问题。此后，关于非线性Schrödinger方程和波动方程这两类经典Hamilton偏微分方程的概周期解问题已得到了深入而广泛的研究，请参考文献[9]-[16]。这一研究现状促使我们着手探讨广义Boussinesq方程概周期解的存在性和线性稳定性。我们的主要结果如下：

定理1.1 考虑在铰接边界条件(2)下的一维广义Boussinesq方程(1)，存在一个类Cantor集 $B^{*}\subset B:={\left[0,1\right]}^{\mathbb{N}}$ ，使得对任意$\xi =\left({\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_j,\cdots \right)\in B^{*}$ ，方程(1)存在一个小振幅、实解析且线性稳定的概周期解，其形式为

$u\left(t,x\right)={\displaystyle \sum _{j\ge 1}{U}_j}\left(\omega t\right)\sin \left(jx\right)$

其中，$U_j:{\mathbb{T}}^{\mathbb{N}}\to ℝ$ 是解析函数，且当$j\to +\infty$ 时以超指数衰减。频率$\omega =\left({\omega }_1,{\omega }_2,\cdots ,{\omega }_j,\cdots \right)$ 构成一个可数无穷序列的非共振频率，这些频率接近于未扰动频率${\left(j^2+1+{\xi }_j\right)}_{j\ge 1}$ 。

注1.1 可以证明集合$B^{*}$ 的Lebesgue测度是正的。然而，由于证明过程较为复杂，且受限于本文篇幅，我们无法在此详细展示。读者可参考文献[12]中的证明。

2. 预备知识

令$a\ge 0,\rho >0$ ，J是一个正整数。我们考虑以下无限维相空间

其中${\mathbb{T}}^J={ℝ}^J/\left(2\pi {\mathbb{Z}}^J\right)$ 。空间${\ell }^{a,\rho }$ 是由以下加权范数定义的复Banach空间：对于$z={\left(z_j\right)}_{j\in \mathbb{N}}$ ，

${\Vert z\Vert }_{a,\rho }={\displaystyle \sum _{j\in \mathbb{N}}{\text{e}}^{\rho j}}{j}^a\left|z_j\right|<+\infty$ .

上述相空间的复化记作。对于$s,r>0$ ，我们引入邻域

.

其中$\left|\cdot \right|$ 表示${ℂ}^J$ 中向量的上确界范数。

设$\mathcal{O}$ 是${ℝ}^J$ 中具有正Lebesgue测度的紧集。在下文中，任何函数关于$\xi \in \mathcal{O}$ 的导数均以Whitney意义下理解。

对于定义在$D\left(s,r\right)\times \mathcal{O}$ 上的函数$F\left(x,y,z,\overline{z};\xi \right)={\displaystyle \sum _{\alpha ,\beta }{F}_{\alpha \beta }}\left(x,y;\xi \right)z^{\alpha }{\overline{z}}^{\beta }$ ，其中 $F_{\alpha \beta }={\displaystyle \sum _{k\in {\mathbb{Z}}^J,l\in {\mathbb{N}}^J}{F}_{kl\alpha \beta }}\left(\xi \right)y^l{\text{e}}^{i\langle k,\theta \rangle }$ ($\langle \cdot ,\cdot \rangle$ 为标准内积记号)关于参数$\xi$ 是Whitney可微的，我们定义

${\Vert F\Vert }_{D\left(s,r\right),\mathcal{O}}\equiv \underset{{\Vert z\Vert }_{a,\rho }<r,{\Vert \overline{z}\Vert }_{a,\rho }<r}{\sup }{\displaystyle \sum _{\alpha ,\beta }{\Vert F_{\alpha \beta }\Vert }_{\mathcal{O}}}\left|z^{\alpha }\right|\left|{\overline{z}}^{\beta }\right|$ ,

这里

${\Vert F_{\alpha \beta }\Vert }_{\mathcal{O}}\equiv {\displaystyle \sum _{k,l}{\left|F_{kl\alpha \beta }\right|}_{\mathcal{O}}{r}^{2\left|l\right|}{\text{e}}^{\left|k\right|s}},{\left|F_{kl\alpha \beta }\right|}_{\mathcal{O}}=\underset{\xi \in \mathcal{O}}{\sup }\left(\left|F_{kl\alpha \beta }\right|+\left|\frac{\partial F_{kl\alpha \beta }}{\partial \xi }\right|\right)$ .

对于定义在$D\left(s,r\right)\times \mathcal{O}$ 上的函数F，与之对应的Hamilton向量场记为

$X_F=\left(F_y,-F_x,{\left\{\text{i}{F}_{z_n}\right\}}_{n\in \mathbb{N}},{\left\{-\text{i}{F}_{{\overline{z}}_n}\right\}}_{n\in \mathbb{N}}\right)$.

其中$\text{i}=\sqrt{-1}$ 。其加权范数定义为

${\Vert X_F\Vert }_{D\left(s,r\right),\mathcal{O}}={\Vert F_y\Vert }_{D\left(s,r\right),\mathcal{O}}+\frac{1}{r^2}{\Vert F_x\Vert }_{D\left(s,r\right),\mathcal{O}}+\frac{1}{r}\left({\displaystyle \sum _{n\in \mathbb{N}}{n}^a}{\text{e}}^{n\rho }{\Vert F_{z_n}\Vert }_{D\left(s,r\right),\mathcal{O}}+{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb{N}}{n}^a}{\text{e}}^{n\rho }{\Vert F_{{\overline{z}}_n}\Vert }_{D\left(s,r\right),\mathcal{O}}\right).$

3. 广义Boussinesq方程的Hamilton形式

设$u_t=v_x$ ,我们可以将广义Boussinesq方程(1)改写为如下Hamilton形式

$\{\begin{array}{l}{u}_t=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial H}{\partial v}\right)=v_x,\hfill \\ v_t=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial H}{\partial u}\right)={\partial }_x\left(u-u_{xx}+M_{\xi }u-f\left(u\right)\right),\hfill \end{array}$ (4)

这里Hamilton函数为

$H\left(u,v\right)=\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }\left(u^2+v^2+u_x^2+M_{\xi }u\cdot u\right)\text{d}x}-{\displaystyle {\int }_0^{\pi }g\left(u\right)\text{d}x}$ (5)

其中$g\left(u\right)={\displaystyle {\int }_0^{u}f}\left(s\right)\text{d}s$ 是f的原函数。

为了将系统(4)重写为无穷多个坐标下的Hamilton形式，我们令

$u={\displaystyle \sum _{j\ge 1}\frac{{\zeta }_j\sqrt{j}}{\sqrt{{\lambda }_j}}{\varphi }_j},v={\displaystyle \sum _{j\ge 1}\widetilde{{\zeta }_j}}\sqrt{j}\sqrt{{\lambda }_j}\widetilde{{\varphi }_j},{\lambda }_j=\sqrt{{\mu }_j},$

其中${\mu }_j=j^2+1+{\xi }_j$ ，${\varphi }_j=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\sin \left(jx\right)$ ，并且$\widetilde{{\varphi }_j}=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\cos \left(jx\right)$ 。在这些坐标下系统(4)变为

$\{\begin{array}{ll}\stackrel{.}{{\zeta }_j}=-\frac{\partial H}{\partial \widetilde{{\zeta }_j}}=-j{\lambda }_j\widetilde{{\zeta }_j},\hfill & j\ge 1,\hfill \\ \stackrel{.}{\widetilde{{\zeta }_j}}=\frac{\partial H}{\partial {\zeta }_j}=j{\lambda }_j{\zeta }_j+\epsilon \frac{\partial G}{\partial {\zeta }_j},\hfill & j\ge 1,\hfill \end{array}$ (6)

这里

$H\left(\zeta ,\tilde{\zeta }\right)=\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{j\ge 1}j}{\lambda }_j\left({\zeta }_j^2+\widetilde{{\zeta }_j^2}\right)+G\left(\zeta \right).$ (7)

且

$G\left(\zeta \right)={\displaystyle \sum _{j_1,j_2,\cdots ,j_{2p+2}\in \mathbb{N}}{G}_{j_1,j_2,\cdots ,j_{2p+2}}}{\zeta }_{j_1}{\zeta }_{j_2}\cdots {\zeta }_{j_{2p+2}}$ ,

其中

$G_{j_1,j_2,\cdots ,j_{2p+2}}=-\frac{\sqrt{j_1{j}_2\cdots j_{2p+2}}}{\sqrt{{\lambda }_{j_1}{\lambda }_{j_2}\cdots {\lambda }_{j_{2p+2}}}}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }{\varphi }_{j_1}}{\varphi }_{j_2}\cdots {\varphi }_{j_{2p+2}}\text{d}x$ .

可以证明$G_{j_1,j_2,\cdots ,j_{2p+2}}=0$ ，除非对某些正负号组合使得$j_1\pm j_2\pm \cdots \pm j_{2p+2}=0$ 。

为了简化分析，我们引入复坐标

$w_j:=\frac{1}{\sqrt{2}}\left({\zeta }_j+\text{i}\widetilde{{\zeta }_j}\right),{\overline{w}}_j:=\frac{1}{\sqrt{2}}\left({\zeta }_j-\text{i}\widetilde{{\zeta }_j}\right)$ (8)

这个变换允许我们用复变量w和$\overline{w}$ 来表示Hamilton函数，从而得到一个具有辛结构 $\text{i}{\displaystyle \sum _{j\ge 1}d}{w}_j\wedge d{\overline{w}}_j$的实解析Hamilton函数

$H={\displaystyle \sum _{j\ge 1}j}{\lambda }_j{w}_j{\overline{w}}_j+G\left(w,\overline{w}\right)$ , (9)

其中

$G\left(w,\overline{w}\right)=\frac{1}{2^{p+1}}{\displaystyle \sum _{j_1,j_2,\cdots ,j_{2p+2}\in \mathbb{N}}{G}_{j_1,j_2,\cdots ,j_{2p+2}}}\left(w_{j_1}+{\overline{w}}_{j_1}\right)\left(w_{j_2}+{\overline{w}}_{j_2}\right)\cdots \left(w_{j_{2p+2}}+{\overline{w}}_{j_{2p+2}}\right).$

引理3.1 对于$a>0$ 和$\rho \ge 0$ ，梯度$G_w$ 和$G_{\overline{w}}$ 是从原点${\ell }^{a,\rho }$ 到原点${\ell }^{a,\rho }$ 的某个邻域的实解析映射，满足

${\Vert G_w\Vert }_{a,\rho },{\Vert G_{\overline{w}}\Vert }_{a,\rho }=O\left({\Vert w\Vert }_{a,\rho }^{2p+1}\right)$ .

证明 为了方便证明，通过令$w_j=w_j$ 和${\overline{w}}_j=w_{-j}$ 引入${\ell }^{a,\rho }$ 上的坐标$\left(\cdots ,w_{-2},w_{-1},w_1,w_2,\cdots \right)$ 。在此变换下，扰动G可表示为：

$\begin{array}{c}G=\frac{1}{2^{p+1}}{\displaystyle \sum _{j_1,j_2,\cdots ,j_{2p+2}\in \mathbb{N}}{G}_{j_1,j_2,\cdots ,j_{2p+2}}}\left(w_{j_1}+{\overline{w}}_{j_1}\right)\left(w_{j_2}+{\overline{w}}_{j_2}\right)\cdots \left(w_{j_{2p+2}}+{\overline{w}}_{j_{2p+2}}\right)\\ ={\sum }_{j_1,j_2,\cdots ,j_{2p+2}\in \mathbb{Z}\backslash \left\{0\right\}}{G}_{j_1,j_2,\cdots ,j_{2p+2}}{w}_{j_1}{w}_{j_2}\cdots w_{j_{2p+2}},\end{array}$ (10)

这里新系数定义为

$G_{j_1,j_2,\cdots ,j_{2p+2}}=G_{\left|j_1\right|,\left|j_2\right|,\cdots ,\left|j_{2p+2}\right|}$ .

令${\tilde{w}}_l=\left|w_l\right|+\left|w_{-l}\right|$ 。若$w\in {\ell }^{a,\rho }$ ，那么$\tilde{w}\in {\ell }^{a,\rho }$ 。由(10)式，我们推出

$\left|\frac{\partial G}{\partial w_l}\right|\le c{\displaystyle \sum _{\pm j_1\pm j_2\pm \cdots \pm j_{2p+1}=l}\left|w_{j_1}\right|\left|w_{j_2}\right|\cdots \left|w_{j_{2p+1}}\right|}\le c{\displaystyle \sum _{j_1+j_2+\cdots +j_{2p+1}=l}{\tilde{w}}_{j_1}}{\tilde{w}}_{j_2}\cdots {\tilde{w}}_{j_{2p+1}}\le c{\left(\underset{2p+1}{\underbrace{\tilde{w}\ast \tilde{w}\ast \cdots \ast \tilde{w}}}\right)}_l,$

其中$\ast$ 表示离散卷积，c是仅依赖于p的常数。由${\ell }^{a,\rho }$ 的Banach代数性质，我们得到

${\Vert G_w\Vert }_{a,\rho }\le c{\Vert \underset{2p+1}{\underbrace{\tilde{w}\ast \tilde{w}\ast \cdots \ast \tilde{w}}}\Vert }_{a,\rho }=c{\Vert \tilde{w}\Vert }_{a,\rho }^{2p+1}\le c{\Vert w\Vert }_{a,\rho }^{2p+1}$ .

这就完成了引理的证明。

为简单起见，我们选择了前J个模${\varphi }_1,\cdots ,{\varphi }_J$ 为切方向，其余模为法方向。令$z={\left(w_j\right)}_{j>J}$ 表示法向变量。我们引入作用–角变量如下

$w_j=\sqrt{y_j+I_j}{\text{e}}^{\text{i}{x}_j},{\overline{w}}_j=\sqrt{y_j+I_j}{\text{e}}^{-\text{i}{x}_j},1\le j\le J$, (11)

其中振幅$\left\{I_j\right\}$ 满足条件

$I_j\in A_r=\left\{r^2<I_j<r^{2\lambda }:1\le j\le J\right\},\frac{2}{3}<\lambda <1$ .

相应的辛结构变为$dy\wedge dx+\text{i}dz\wedge d\overline{z}$。非线性项G现在可以表示为：

$\begin{array}{c}G\left(x,y,z,\overline{z}\right)=G\left(w,\overline{w}\right)={\displaystyle \sum _{\left|\mu \right|+\left|\nu \right|+\left|\beta \right|=2p+2}{G}^{\mu \nu \beta }}\sqrt{{\left(y+I\right)}^{\mu }}{\text{e}}^{\text{i}\langle \mu ,x\rangle }\sqrt{{\left(y+I\right)}^{\nu }}{\text{e}}^{-\text{i}\langle \nu ,x\rangle }{q}^{\beta }\\ ={\displaystyle \sum _{\left|\beta \right|\le 2p+2}{G}^{\beta }}\left(x,y\right)q^{\beta },\end{array}$(12)

其中$I=\left(I_1,\cdots ,I_J\right)$ ，$q=\left(z,\overline{z}\right)$ ，并且

$G^{\beta }\left(x,y\right)={\displaystyle \sum _{\left|\mu \right|+\left|\nu \right|=2p+2-\left|\beta \right|}{G}^{\mu \nu \beta }}{\text{e}}^{\text{i}\langle \mu -\nu ,x\rangle }\sqrt{{\left(y+I\right)}^{\mu +\nu }}.$

经过这个变换，我们得到新Hamilton函数H的形式为

$H\triangleq H\left(x,y,z,\overline{z};I,\xi \right)=N\left(y,z,\overline{z},\xi \right)+P\left(x,y,z,\overline{z};I,\xi \right)$ ,(13)

其中

$N\left(y,z,\overline{z},\xi \right)={\displaystyle \sum _{j=1}^J{\omega }_j}\left(\xi \right)y_j+{\displaystyle \sum _{j>J}{\Omega }_j}\left(\xi \right)z_j\overline{z_j}$ ,(14)

切向频率为

$\omega \left(\xi \right)=\left({\omega }_1\left(\xi \right),{\omega }_2\left(\xi \right),\cdots ,{\omega }_J\left(\xi \right)\right)=\left({\lambda }_1,2{\lambda }_2,\cdots ,J{\lambda }_J\right)$ ,(15)

法向频率为

$\Omega \left(\xi \right)={\left({\Omega }_j\left(\xi \right)\right)}_{j>J},{\Omega }_j\left(\xi \right)=j\sqrt{j^2+1+{\xi }_j}$ .(16)

扰动项为

$P\left(x,y,z,\overline{z};I,\xi \right)=G\left(x,y,z,\overline{z}\right)$ ,(17)

与参数$\xi$ 无关。

记$B^J={\left[0,1\right]}^J$ ，$B={\left[0,1\right]}^{\mathbb{N}}$ ，考虑无穷维参数$\xi$ ，我们将$\xi$ 分解如下：

$\xi =\left({\xi }^J,{\xi }^{\prime }\right)\in B^J\times B^{\prime }=B$ ,

式中$B^{\prime }$ 表示序列${\xi }^{\prime }=\left({\xi }_{J+1},{\xi }_{J+2},\cdots \right)$ 的闭集。在当前分析中，${\xi }^{\prime }$ 可视为辅助参数，所有后续结果都对这些参数一致成立。

命题3.1 (1) 当$1\le j\le J$ 时，切频率${\omega }_j\left(\xi \right)$ 满足$\left|{\omega }_j\left(\xi \right)\right|\le 2J^2$ ，且存在一个常数$M_0>0$ ，使在$B^J$ 上有$\left|\frac{\partial \omega }{\partial \xi }\right|\le M_0$ 。

(2) 存在一个常数$m_0>0$ ，使得对于$j\ge J$ ，法频${\Omega }_j$ 满足

$\left|\langle l,\Omega \rangle \right|\ge m_0{\langle l\rangle }_2$ ，对所有满足$1\le \left|l\right|\le 2$ 的$l\in {\mathbb{Z}}^{\infty }$ ，

这个不等式在$B^J$ 上一致成立。这里，对于$d\ge 1$ ${\langle l\rangle }_d=\max \left\{1,\left|{\displaystyle \sum _{j\ge J}{j}^d}{l}_j\right|\right\}$ ，$\langle l,\Omega \rangle ={\displaystyle \sum _{j\ge J}{l}_j}{\Omega }_j$ 。

(3) 令$\tau >J+1$ 其$\gamma >0$ 充分小。存在一个具有正Lebesgue测度的子集$\mathcal{O}\subseteq B^J$ 满足对所有${\xi }^J\in \mathcal{O}$ ，

$\text{meas}\left(\mathcal{O}\right)\ge 1-O\left(\gamma \right).$

并且以下非共振条件对所有${\xi }^{\prime }\in B^{\prime }$ 一致成立：

$\begin{array}{l}\left|\langle k,\omega \left(\xi \right)\rangle \right|\ge \frac{\gamma }{{\left|k\right|}^{\tau }},�所有k\in {\mathbb{Z}}^J\backslash \left\{0\right\},\\ \left|\langle k,\omega \left(\xi \right)\rangle +{\Omega }_n\left(\xi \right)\right|\ge \frac{\gamma }{{\left|k\right|}^{\tau }},�所有k\in {\mathbb{Z}}^J\backslash \left\{0\right\},n,m\in \mathbb{N},\\ \left|\langle k,\omega \left(\xi \right)\rangle +{\Omega }_n\left(\xi \right)+{\Omega }_m\left(\xi \right)\right|\ge \frac{\gamma }{{\left|k\right|}^{\tau }},�所有k\in {\mathbb{Z}}^J\backslash \left\{0\right\},n,m\in \mathbb{N},\\ \left|\langle k,\omega \left(\xi \right)\rangle +{\Omega }_n\left(\xi \right)-{\Omega }_m\left(\xi \right)\right|\ge \frac{\gamma }{{\left|k\right|}^{\tau }},�所有k\in {\mathbb{Z}}^J\backslash \left\{0\right\},n,m\in \mathbb{N},n\ne m.\end{array}$ (18)

证明 (1) 关于切频向量$\omega$ 的结论可直接由(15)式得出。

(2) 只需考虑$l=e_i-e_j$ 的情况，此时$\left|\langle l,\Omega \rangle \right|=\left|{\Omega }_i-{\Omega }_j\right|$ 且${\langle l\rangle }_2=\left|i^2-j^2\right|$ 。通过(16)式中${\Omega }_j$ 的定义，

${\Omega }_j=j^2+\frac{1}{2}{\eta }_j+{\widehat{\Omega }}_j$ ,

其中

${\widehat{\Omega }}_j=\frac{-{\eta }_j^2}{4\sqrt{j^4+j^2{\eta }_j}+4j^2+2{\eta }_j},{\eta }_j=1+{\xi }_j\in \left[1,2\right]$.

注意$j\ge J\ge 3$ ，我们有

$\left|{\widehat{\Omega }}_j\right|\le \frac{4}{4\sqrt{j^4+j^2}+4j^2+2}\le \frac{4}{4\sqrt{3^4+3^2}+4\cdot 3^2+2}\le \frac{1}{18}.$

因此，

$\begin{array}{l}\left|{\Omega }_i-{\Omega }_j\right|=\left|i^2-j^2+\frac{{\xi }_i-{\xi }_j}{2}+{\widehat{\Omega }}_i-{\widehat{\Omega }}_j\right|\\ \ge \left|i^2-j^2\right|-\frac{\left|{\xi }_i-{\xi }_j\right|}{2}-\left|{\widehat{\Omega }}_i-{\widehat{\Omega }}_j\right|\\ \ge \left|i^2-j^2\right|-\frac{\left|i^2-j^2\right|}{2}-\frac{\left|i^2-j^2\right|}{9}\\ =\frac{7}{18}\left|i^2-j^2\right|.\end{array}$

(3) 只需要考虑(18)式中的第四种非共振条件，这是最困难的情况。令

$S\left({\xi }^J;{\xi }^{\prime }\right)=\langle k,\omega \left(\xi \right)\rangle +{\Omega }_n\left(\xi \right)-{\Omega }_m\left(\xi \right)={\displaystyle \sum _{i=1}^{J}i}{k}_i\sqrt{i^2+1+{\xi }_i}+{\Omega }_n\left(\xi \right)-{\Omega }_m\left(\xi \right).$

注意到$\omega \left(\xi \right)$ 与${\xi }^{\prime }$ 无关，而${\Omega }_n\left(\xi \right)$ 和${\Omega }_m\left(\xi \right)$ 与${\xi }^J$ 无关。设对某个$1\le l\le J$ ，有$k_l\ne 0$ ，那么

$\left|\frac{\partial S}{\partial {\xi }_l}\right|=\left|\frac{l{k}_l}{2\sqrt{l^2+1+{\xi }_l}}\right|\ge \frac{1}{4}$ .

因此，

$\text{meas}\left\{{\xi }^J\in B^J:\left|S\left({\xi }^J;{\xi }^{\prime }\right)\right|<\frac{\gamma }{{\left|k\right|}^{\tau }}\right\}\le 4\cdot \frac{1}{2\cdot \frac{1}{4}}\cdot \frac{\gamma }{{\left|k\right|}^{\tau }}=8\gamma .$

命题3.2 令$0<{\epsilon }_0\ll 1$ ，$r={\epsilon }_0^{1/2}$ ，以及$s>0$ 。扰动P的Hamilton向量场$X_P$ 定义了一个映射

满足以下性质：

(1) 对于每个$\xi \in B$ ，映射$X_P\left(\cdot ,\xi \right)$ 在$D\left(s,r\right)$ 上是实解析的。

(2) 对于每个$w\in D\left(s,r\right)$ 和${\xi }^{\prime }\in B^{\prime }$ ，映射$X_P\left(w,\cdot \right)$ 在$\mathcal{O}$ 上是Whitney可微的。

此外，存在一个与r和s无关的常数$C>0$ 使得当$\left|y\right|<r^2$ 和${\Vert z\Vert }_{a,\rho }<r$ 时，

${\Vert X_P\Vert }_{D\left(s,r\right),B}<{\epsilon }_0$ ,

其中${\epsilon }_0=C{\epsilon }_0^p$ 。

证明 根据引理3.1和(12)式，存在一个常数$C>0$ ，使得当$\left|y\right|<r^2$ 且${\Vert z\Vert }_{a,\rho }<r$ 时，有

${\left|P_x\right|}_{D\left(s,r\right),\mathcal{O}}\le C\left({\left|y\right|}^{p+1}+{\left|y\right|}^{p+1/2}{\Vert z\Vert }_{a,\rho }+{\left|y\right|}^p{\Vert z\Vert }_{a,\rho }^2+\cdots +{\left|y\right|}^{1/2}{\Vert z\Vert }_{a,\rho }^{2p+1}+{\Vert z\Vert }_{a,\rho }^{2p+2}\right)\le C{r}^{2p+2}.$ (19)

${\left|P_y\right|}_{D\left(s,r\right),\mathcal{O}}\le C\left({\left|y\right|}^p+{\left|y\right|}^{p-1/2}{\Vert z\Vert }_{a,\rho }+{\left|y\right|}^{p-1}{\Vert z\Vert }_{a,\rho }^2+\cdots +{\left|y\right|}^{-1/2}{\Vert z\Vert }_{a,\rho }^{2p+1}\right)\le C{r}^{2p}.$ (20)

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb{N}}{n}^a}{\text{e}}^{n\rho }\left({\Vert P_{z_n}\Vert }_{D\left(s,r\right),\mathcal{O}}+{\Vert P_{{\overline{z}}_n}\Vert }_{D\left(s,r\right),\mathcal{O}}\right)\le C\left({\left|y\right|}^{p+1/2}+{\left|y\right|}^p{\Vert z\Vert }_{a,\rho }+\cdots +{\left|y\right|}^{1/2}{\Vert z\Vert }_{a,\rho }^{2p}+{\Vert z\Vert }_{a,\rho }^{2p+1}\right)\le C{r}^{2p+1}.$(21)

现在，根据向量场的加权范数的定义，我们推导出

$\begin{array}{l}{\Vert X_P\Vert }_{D\left(s,r\right),\mathcal{O}}={\left|P_y\right|}_{D\left(s,r\right),\mathcal{O}}+\frac{1}{r^2}{\left|P_x\right|}_{D\left(s,r\right),\mathcal{O}}+\frac{1}{r}{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb{N}}{n}^a}{\text{e}}^{n\rho }\left({\Vert P_{z_n}\Vert }_{D\left(s,r\right),\mathcal{O}}+{\Vert P_{{\overline{z}}_n}\Vert }_{D\left(s,r\right),\mathcal{O}}\right)\\ \le C{r}^{2p}={\epsilon }_0.\end{array}$(22)

这就完成了证明。

4. KAM步骤

在本文的剩余部分中，我们采用以下符号约定：符号“+”表示下一次迭代步骤中的量。符号“$\lesssim$ ”表示在不等式中省略与迭代步骤和切频数量无关的各种常数。

4.1. 第一个KAM步骤

在区域$D\left(s,r\right)\times \mathcal{O}$ 上考虑一个形式为(13)的Hamilton函数$H=N+P$ ，它满足命题3.1和3.2中的结论。下面，我们将(18)式中的非共振条件写成更紧凑的形式：

$\left|\langle k,\omega \rangle +\langle l,\Omega \rangle \right|\ge \frac{\gamma }{{\left|k\right|}^{\tau }}$ ,(23)

其中$\left(k,l\right)\in {\mathbb{Z}}^J\times {\mathbb{Z}}^{\infty }$ 且$\left|l\right|\le 2$ 。

令$0<s_{+}<s$ 并为后续迭代定义以下参数：

$\begin{array}{l}{r}_{+}=\frac{r}{4}{\epsilon }^{1/3}{\left({\gamma }^{-2}{\left(s-s_{+}\right)}^{-\left(2\tau +2\right)}\right)}^{1/3},\\ {\epsilon }_{+}=C{\left({\gamma }^{-2}{\left(s-s_{+}\right)}^{-\left(2\tau +2\right)}\right)}^{1/3}{\epsilon }^{4/3}.\end{array}$ (24)

我们的目标是构造一个辛变换

$\Phi :D_{+}\times \mathcal{O}=D\left(s_{+},r_{+}\right)\times \mathcal{O}\to D\left(s,r\right)\times B$

使得新的Hamilton函数$H_{+}=N_{+}+P_{+}$ 由更新后的参数${\epsilon }_{+},s_{+},{\gamma }_{+},r_{+}$ 来定义。

4.1.1. 线性化方程的求解

我们将P展开成它的Taylor-Fourier级数：

$P={\displaystyle \sum _{k\in {\mathbb{Z}}^J,l\in \mathbb{N},\alpha ,\beta }{P}_{kl\alpha \beta }}{y}^l{\text{e}}^{\text{i}\langle k,x\rangle }{z}^{\alpha }{\overline{z}}^{\beta }$,(25)

其中$k\in {\mathbb{Z}}^J$ ，$l\in \mathbb{N}$ 以及多指标$\alpha$ 和$\beta$ 在所有无限维向量的集合上运行

设R是P的截断，由

$\begin{array}{c}R\left(x,y,z,\overline{z}\right)=R_0+R_1+R_2\\ ={\displaystyle \sum _{k,\left|l\right|\le 1}{P}_{kl00}}{\text{e}}^{\text{i}\langle k,x\rangle }{y}^l+{\displaystyle \sum _{k,n}\left(P_n^{k10}{z}_n+P_n^{k01}{\overline{z}}_n\right){\text{e}}^{\text{i}\langle k,x\rangle }}\\ +{\displaystyle \sum _{k,n,m}\left(P_{nm}^{k20}{z}_n{z}_m+P_{nm}^{k11}{z}_n{\overline{z}}_m+P_{nm}^{k02}{\overline{z}}_n{\overline{z}}_m\right){\text{e}}^{\text{i}\langle k,x\rangle }}\end{array}$(26)

其中系数$P_n^{k10}=P_{kl\alpha \beta }$ 且$\alpha =e_n,\beta =0$ ，$P_n^{k01}=P_{kl\alpha \beta }$ 且$\alpha =0,\beta =e_n$ ，$P_{nm}^{k20}=P_{kl\alpha \beta }$ 且$\alpha =e_n+e_m,\beta =0$ ，$P_{nm}^{k11}=P_{kl\alpha \beta }$ 且$\alpha =e_n,\beta =e_m$ ，$P_{nm}^{k02}=P_{kl\alpha \beta }$ 且$\alpha =0,\beta =e_n+e_m$ 。这里，$e_n$ 表示第n个分量为1，其他所有分量为0的向量。

在每次KAM迭代步骤中，假设满足小除数条件，我们寻找定义在$D\left(s_{+},r_{+}\right)=D_{+}$ 上的函数F，使得Hamilton向量场$X_F$ 的时间-1映射${\varphi }_F^1$ 定义了一个映射$D_{+}\to D$ ，并将H变换为$H_{+}$ 。设函数F具有如下形式

$\begin{array}{c}F\left(x,y,z,\overline{z}\right)=F_0+F_1+F_2\\ ={\displaystyle \sum _{k\ne 0,\left|l\right|\le 1}{F}_{kl00}{\text{e}}^{\text{i}\langle k,x\rangle }{y}^l}+{\displaystyle \sum _{k,n}\left(F_n^{k10}{z}_n+F_n^{k01}{\overline{z}}_n\right){\text{e}}^{\text{i}\langle k,x\rangle }}\\ +{\displaystyle \sum _{k,n,m}\left(F_{nm}^{k20}{z}_n{z}_m+F_{nm}^{k02}{\overline{z}}_n{\overline{z}}_m\right){\text{e}}^{\text{i}\langle k,x\rangle }}+{\displaystyle \sum _{\left|k\right|+\left|n-m\right|\ne 0}{F}_{nm}^{k11}}{z}_n{\overline{z}}_m{\text{e}}^{\text{i}\langle k,x\rangle },\end{array}$(27)

且满足下面的引理：

引理4.1 存在形如(27)的函数F满足方程

$\left\{N,F\right\}+R-P_{0000}-\langle {\omega }^{\prime },y\rangle -{\displaystyle \sum _n{P}_{nn}^{011}}{z}_n{\overline{z}}_n=0$ ,(28)

其中

${\omega }^{\prime }={\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^J}{\frac{\partial P}{\partial y}|}_{z=\overline{z}=y=0}}\text{d}x$.

F的Taylor-Fourier系数由以下方程定义

$\begin{array}{c}\left(\langle k,\omega \rangle \right)F_{kl00}=-\text{i}{P}_{kl00},k\ne 0,\left|l\right|\le 1,\\ \left(\langle k,\omega \rangle -{\Omega }_n\right)F_n^{k10}=-\text{i}{P}_n^{k10},\\ \left(\langle k,\omega \rangle +{\Omega }_n\right)F_n^{k01}=-\text{i}{P}_n^{k01},\\ \left(\langle k,\omega \rangle -{\Omega }_n-{\Omega }_m\right)F_{nm}^{k20}=-\text{i}{P}_{nm}^{k20},\\ \left(\langle k,\omega \rangle -{\Omega }_n+{\Omega }_m\right)F_{nm}^{k11}=-\text{i}{P}_{nm}^{k11},\left|k\right|+\left|n-m\right|\ne 0,\\ \left(\langle k,\omega \rangle +{\Omega }_n+{\Omega }_m\right)F_{nm}^{k02}=-\text{i}{P}_{nm}^{k02}.\end{array}$ (29)

证明参考文献[9]中的引理4.3。

4.1.2. 坐标变换的估计

如前所述，由于在每次迭代步骤中切向频率的数量增加，我们需要推导出比[2]中的估计更为精确的结果。我们首先引入以下引理，它对于估计$X_F$ 和${\varphi }_F^1$ 至关重要：

引理4.2 [9] 设$f\left(x,y,z,\overline{z}\right)={\displaystyle \sum _{k,n,m}{f}_{k,nm}}{\text{e}}^{\text{i}\langle k,x\rangle }{z}_n{\overline{z}}_m$为一个实解析函数，其中$k\in {\mathbb{Z}}^J$ ，$n,m\in \mathbb{N}$ 。则以下不等式成立：

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{k,n,m}\left|f_{k,nm}\right|\left|z_n\right|\left|z_m\right|\left|k\right|{\text{e}}^{\left|k\right|\left(s-\frac{1}{4}\left(s-s_{+}\right)\right)}{\left|k\right|}^{2\tau +1}}\\ \le {\left(\frac{4\left(2\tau +2\right)}{e}\right)}^{2\tau +2}{\left(s-s_{+}\right)}^{-\left(2\tau +2\right)}{\displaystyle \sum _{k,n,m}\left|f_{k,n,m}\right|\left|z_n\right|\left|z_m\right|{\text{e}}^{\left|k\right|s}}.\end{array}$ (30)

引理4.3 回顾${\Vert X_P\Vert }_{D\left(s,r\right),\mathcal{O}}<\epsilon$ 。令

$D_i=D\left(s_{+}+\frac{i}{4}(s-s_{+}),\frac{i}{4}r\right),i=1,2,3,4$

则对于引理4.1中定义的函数F，其Hamilton向量场$X_F$ 满足以下估计：

${\Vert X_F\Vert }_{D_3,\mathcal{O}}\lesssim {\left(\frac{4\left(2\tau +2\right)}{e}\right)}^{2\tau +2}{\gamma }^{-2}{\left(s-s_{+}\right)}^{-\left(2\tau +2\right)}\epsilon$ (31)

证明 我们分几个步骤进行证明：

(1) 我们估计${\Vert F_x\Vert }_{D_3,\mathcal{O}}$ 。对于(29)中的方程，利用范数${\left|\cdot \right|}_{\mathcal{O}}$ 的定义和非共振条件(18)，我们得到$k\ne 0$ 时的估计如下：

$\begin{array}{l}{\left|F_{kl00}\right|}_{\mathcal{O}}\lesssim {\gamma }^{-2}{\left|k\right|}^{2\tau +1}{\left|P_{kl00}\right|}_{\mathcal{O}};\\ {\left|F_n^{k10}\right|}_{\mathcal{O}}\lesssim {\gamma }^{-2}{\left|k\right|}^{2\tau +1}{\left|P_n^{k10}\right|}_{\mathcal{O}};\\ {\left|F_n^{k01}\right|}_{\mathcal{O}}\lesssim {\gamma }^{-2}{\left|k\right|}^{2\tau +1}{\left|P_n^{k01}\right|}_{\mathcal{O}};\\ {\left|F_n^{k20}\right|}_{\mathcal{O}}\lesssim {\gamma }^{-2}{\left|k\right|}^{2\tau +1}{\left|P_n^{k20}\right|}_{\mathcal{O}};\\ {\left|F_{nm}^{k11}\right|}_{\mathcal{O}}\lesssim {\gamma }^{-2}{\left|k\right|}^{2\tau +1}{\left|P_{nm}^{k11}\right|}_{\mathcal{O}},\left|k\right|+\left|n-m\right|\ne 0;\\ {\left|F_{nm}^{k02}\right|}_{\mathcal{O}}\lesssim {\gamma }^{-2}{\left|k\right|}^{2\tau +1}{\left|P_{nm}^{k02}\right|}_{\mathcal{O}}.\end{array}$ (32)

根据加权范数的定义和引理4.2，可得：

$\begin{array}{l}{\Vert F_x\Vert }_{D_3,\mathcal{O}}\lesssim {\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}\left|l\right|\le 1\\ k\end{array}}\left|k\right|{\left|P_{kl00}\right|}_{\mathcal{O}}{r}_3^{2\left|l\right|}{\gamma }^{-2}{\left|k\right|}^{2\tau +1}{\text{e}}^{\left|k\right|\left(s-\frac{s-s_{+}}{4}\right)}}\\ +{\displaystyle \sum _{k,n}\left|k\right|{\left|P_n^{k10}\right|}_{\mathcal{O}}{\gamma }^{-2}{\left|k\right|}^{2\tau +1}{\text{e}}^{\left|k\right|\left(s-\frac{s-s_{+}}{4}\right)}\left|z_n\right|}\\ +{\displaystyle \sum _{k,n}\left|k\right|{\left|P_n^{k01}\right|}_{\mathcal{O}}{\gamma }^{-2}{\left|k\right|}^{2\tau +1}{\text{e}}^{\left|k\right|\left(s-\frac{s-s_{+}}{4}\right)}\left|{\overline{z}}_n\right|}\\ +{\displaystyle \sum _{k,n,m}\left|k\right|{\left|P_{nm}^{k20}\right|}_{\mathcal{O}}{\gamma }^{-2}{\left|k\right|}^{2\tau +1}{\text{e}}^{\left|k\right|\left(s-\frac{s-s_{+}}{4}\right)}\left|z_n\right|\left|z_m\right|}\\ +{\displaystyle \sum _{k,n,m}\left|k\right|{\left|P_{nm}^{k02}\right|}_{\mathcal{O}}{\gamma }^{-2}{\left|k\right|}^{2\tau +1}{\text{e}}^{\left|k\right|\left(s-\frac{s-s_{+}}{4}\right)}\left|{\overline{z}}_n\right|\left|{\overline{z}}_m\right|}\\ +{\displaystyle \sum _{\left|k\right|+\left|n-m\right|\ne 0}\left|k\right|{\left|P_{nm}^{k11}\right|}_{\mathcal{O}}{\gamma }^{-2}{\left|k\right|}^{2\tau +1}{\text{e}}^{\left|k\right|\left(s-\frac{s-s_{+}}{4}\right)}\left|z_n\right|\left|{\overline{z}}_m\right|}.\end{array}$

然后，由引理4.2，我们推出

$\begin{array}{l}{\Vert F_x\Vert }_{D_3,\mathcal{O}}\lesssim {\gamma }^{-2}{\left(s-s_{+}\right)}^{-\left(2\tau +2\right)}{\left(\frac{4\left(2\tau +2\right)}{e}\right)}^{2\tau +2}\\ \times [{\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}\left|l\right|\le 1\\ k\ne 0\end{array}}{\left|P_{kl00}\right|}_{\mathcal{O}}{r}_3^{2\left|l\right|}{\text{e}}^{\left|k\right|s}}+{\displaystyle \sum _{k,n}{\left|P_n^{k10}\right|}_{\mathcal{O}}{\text{e}}^{\left|k\right|s}\left|z_n\right|}\\ +{\displaystyle \sum _{k,n}{\left|P_n^{k01}\right|}_{\mathcal{O}}{\text{e}}^{\left|k\right|s}\left|{\overline{z}}_n\right|}+{\displaystyle \sum _{k,n,m}{\left|P_{nm}^{k20}\right|}_{\mathcal{O}}{\text{e}}^{\left|k\right|s}\left|z_n\right|\left|z_m\right|}\\ +{\displaystyle \sum _{k,n,m}{\left|P_{nm}^{k02}\right|}_{\mathcal{O}}{\text{e}}^{\left|k\right|s}\left|{\overline{z}}_n\right|\left|{\overline{z}}_m\right|}+{\displaystyle \sum _{\left|k\right|+\left|n-m\right|\ne 0}{\left|P_{nm}^{k11}\right|}_{\mathcal{O}}{\text{e}}^{\left|k\right|s}\left|z_n\right|\left|{\overline{z}}_m\right|}].\end{array}$

注意

$\begin{array}{l}{\Vert R_x\Vert }_{D,\mathcal{O}}=\underset{\begin{array}{c}\Vert z\Vert <r\\ \Vert \overline{z}\Vert <r\end{array}}{\sup }[{\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}\left|l\right|\le 1\\ k\end{array}}\left|k_i\right|{\left|P_{kl00}\right|}_{\mathcal{O}}{r}^{2\left|l\right|}{\text{e}}^{\left|k\right|s}}+{\displaystyle \sum _{k,n}\left|k_i\right|{\left|P_n^{k10}\right|}_{\mathcal{O}}{\text{e}}^{\left|k\right|s}\left|z_n\right|}\\ +{\displaystyle \sum _{k,n}\left|k_i\right|{\left|P_n^{k01}\right|}_{\mathcal{O}}{\text{e}}^{\left|k\right|s}\left|{\overline{z}}_n\right|}+{\displaystyle \sum _{k,n,m}\left|k_i\right|{\left|P_{nm}^{k20}\right|}_{\mathcal{O}}{\text{e}}^{\left|k\right|s}\left|z_n\right|\left|z_m\right|}\\ +{\displaystyle \sum _{k,n,m}\left|k_i\right|{\left|P_{nm}^{k02}\right|}_{\mathcal{O}}{\text{e}}^{\left|k\right|s}\left|{\overline{z}}_n\right|\left|{\overline{z}}_m\right|}+{\displaystyle \sum _{k,n,m}\left|k_i\right|{\left|P_{nm}^{k11}\right|}_{\mathcal{O}}{\text{e}}^{\left|k\right|s}\left|z_n\right|\left|{\overline{z}}_m\right|}],\end{array}$

并且$\frac{1}{r^2}{\Vert R_x\Vert }_{D,\mathcal{O}}\le {\Vert X_R\Vert }_{D,\mathcal{O}}\le {\Vert X_P\Vert }_{D,\mathcal{O}}<\epsilon$ 。因此我们有

$\begin{array}{l}\frac{1}{r^2}{\Vert F_x\Vert }_{D_3,\mathcal{O}}\lesssim {\left(\frac{4\left(2\tau +2\right)}{e}\right)}^{2\tau +2}{\gamma }^{-2}{\left(s-s_{+}\right)}^{-\left(2\tau +2\right)}\frac{1}{r^2}{\Vert R_x\Vert }_{D,\mathcal{O}}\\ \lesssim {\left(\frac{4\left(2\tau +2\right)}{e}\right)}^{2\tau +2}{\gamma }^{-2}{\left(s-s_{+}\right)}^{-\left(2\tau +2\right)}{\Vert X_R\Vert }_{D,\mathcal{O}}\\ \lesssim {\left(\frac{4\left(2\tau +2\right)}{e}\right)}^{2\tau +2}{\gamma }^{-2}{\left(s-s_{+}\right)}^{-\left(2\tau +2\right)}\epsilon .\end{array}$

同理，${\Vert F_y\Vert }_{D_3,\mathcal{O}}\lesssim {\left(\frac{4\left(2\tau +2\right)}{e}\right)}^{2\tau +2}{\gamma }^{-2}{\left(s-s_{+}\right)}^{-\left(2\tau +2\right)}\epsilon$ 。

(2) 注意到由于$F=F_0+F_1+F_2$ 且$F_{0_{z_n}}=F_{0_{{\overline{z}}_n}}=0$ ，要估计${\Vert X_F\Vert }_{D_3,\mathcal{O}}$ ，只需估计${\Vert X_{F_1}\Vert }_{D_3,\mathcal{O}}$ 和${\Vert X_{F_2}\Vert }_{D_3,\mathcal{O}}$ 。根据(32)，使用范数${\Vert \cdot \Vert }_{D_3,\mathcal{O}}$ 的定义和非共振条件(18)，我们得到

${\Vert F_{1_{z_n}}\Vert }_{D_3,\mathcal{O}}={\Vert {\displaystyle \sum _k{F}_n^{k10}}{\text{e}}^{\text{i}\langle k,x\rangle }\Vert }_{D_3,\mathcal{O}}\lesssim {\gamma }^{-2}{\displaystyle \sum _k\left|P_n^{k10}\right|{\left|k\right|}^{2\tau +2}{\text{e}}^{\left|k\right|\left(s-\frac{1}{4}\left(s-s_{+}\right)\right)}}$ .

同理，${\Vert F_{1_{{\overline{z}}_n}}\Vert }_{D_3,\mathcal{O}}\lesssim {\gamma }^{-2}{\displaystyle \sum _k\left|P_n^{k01}\right|{\left|k\right|}^{2\tau +2}{\text{e}}^{\left|k\right|\left(s-\frac{1}{4}\left(s-s_{+}\right)\right)}}$

应用引理4.2，我们推出

$\frac{1}{r}{\displaystyle \sum _{n>J}{\Vert F_{1_{z_n}}\Vert }_{D_3,\mathcal{O}}}{\left|n\right|}^a{\text{e}}^{\left|n\right|\rho }\lesssim {\left(\frac{4\left(2\tau +2\right)}{e}\right)}^{2\tau +2}{\gamma }^{-2}{\left(s-s_{+}\right)}^{-\left(2\tau +2\right)}\epsilon .$

类似的估计也适用于$\frac{1}{r}{\displaystyle \sum _{n>J}{\Vert F_{1_{{\overline{z}}_n}}\Vert }_{D_3,\mathcal{O}}}{\left|n\right|}^a{\text{e}}^{\left|n\right|\rho }$。

根据向量场范数的定义，我们有

${\Vert X_{F_1}\Vert }_{D_3,\mathcal{O}}\lesssim {\left(\frac{4\left(2\tau +2\right)}{e}\right)}^{2\tau +2}{\gamma }^{-2}{\left(s-s_{+}\right)}^{-\left(2\tau +2\right)}\epsilon$ .(33)

此外，由(32)式并使用类似的论证，我们得到

${\Vert F_{2_{z_n}}\Vert }_{D_3,\mathcal{O}}\lesssim {\gamma }^{-2}{\displaystyle \sum _{k,m}\left(\left|P_{nm}^{k20}\right|\left|z_m\right|+\left|P_{nm}^{k11}\right|\left|{\overline{z}}_m\right|\right)}{\left|k\right|}^{2\tau +2}{\text{e}}^{\left|k\right|\left(s-\frac{1}{4}\left(s-s_{+}\right)\right)}$.(34)

类似的估计适用于${\Vert F_{2_{{\overline{z}}_n}}\Vert }_{D_3,\mathcal{O}}$ 。

再次应用引理4.2得到

${\Vert X_{F_2}\Vert }_{D_3,\mathcal{O}}\lesssim {\left(\frac{4\left(2\tau +2\right)}{e}\right)}^{2\tau +2}{\gamma }^{-2}{\left(s-s_{+}\right)}^{-\left(2\tau +2\right)}\epsilon$ .(35)

由这些估计可以得出引理的结论。

引理4.4 设$\eta ={\epsilon }^{1/3}{\left({\gamma }^{-2}{\left(s-s_{+}\right)}^{-\left(2\tau +2\right)}\right)}^{1/3}$ 并定义

$D_{i\eta }=D\left(s_{+}+\frac{i}{4}\left(s-s_{+}\right),\frac{i}{4}\eta r\right),i=1,2,3,4.$

若$\epsilon \ll \frac{1}{\sqrt{8}}{\gamma }^3{\left(s-s_{+}\right)}^{3\tau +3}$ ，则我们有

${\varphi }_F^t:D_{2\eta }\to D_{3\eta },-1\le t\le 1$ (36)

此外，

${\Vert D{\varphi }_F^t-Id\Vert }_{D_{\eta }}\lesssim {\left(\frac{4\left(2\tau +2\right)}{e}\right)}^{2\tau +2}{\gamma }^{-2}{\left(s-s_{+}\right)}^{-\left(2\tau +3\right)}\epsilon$ .(37)

这个引理的证明可直接从引理4.3推导出来，可参考文献[9]中的引理4.4，故省略。

4.1.3. 新标准型与新扰动的估计

前面定义的映射${\varphi }_F^1$ 将H变换为$H_{+}=H°{\varphi }_F^1=N_{+}+P_{+}$ ，其中新标准形$N_{+}$ 为

$N_{+}=N+P_{0000}+\langle {\omega }^{\prime },y\rangle +{\displaystyle \sum _{n>J}{P}_{nn}^{011}}{z}_n{\overline{z}}_n=\langle {\omega }^{+},y\rangle +{\displaystyle \sum _{n>J}{\Omega }_n^{+}}{z}_n{\overline{z}}_n,$ (38)

其中

$\begin{array}{l}{\omega }_i^{+}={\omega }_i+P_{0e_{i}00},i=1,2,\cdots ,J,\\ {\Omega }_n^{+}={\Omega }_n+P_{nn}^{011},n>J.\end{array}$ (39)

根据P的正则性，我们得到以下估计

${\left|{\omega }^{+}-\omega \right|}_{\mathcal{O}}<\epsilon ,{\left|{\Omega }_n^{+}-{\Omega }_n\right|}_{\mathcal{O}}<\epsilon .$ (40)

由于

$\begin{array}{c}{P}_{+}={\displaystyle {\int }_0^1\left(1-t\right)}\left\{\left\{N,F\right\},F\right\}°{\varphi }_F^t\text{d}t+{\displaystyle {\int }_0^1\left\{R,F\right\}°{\varphi }_F^t\text{d}t}+\left(P-R\right)°{\varphi }_F^1\\ ={\displaystyle {\int }_0^1\left\{R\left(t\right),F\right\}°{\varphi }_F^t\text{d}t}+\left(P-R\right)°{\varphi }_F^1,\end{array}$

其中$R\left(t\right)=\left(1-t\right)\left(N_{+}-N\right)+tR$ ，所以我们得到

$X_{P_{+}}={\displaystyle {\int }_0^1{\left({\varphi }_F^t\right)}^{*}}{X}_{\left\{R\left(t\right),F\right\}}\text{d}t+{\left({\varphi }_F^1\right)}^{*}{X}_{\left(P-R\right)}$ .

根据文献[17]，我们有以下结果：

${\Vert {\left({\varphi }_F^t\right)}^{*}Y\Vert }_{D_{\eta }}\le {\Vert Y\Vert }_{D_{2\eta }},0\le t\le 1$ (41)

由文献[9]，得

${\Vert X_{\left\{R\left(t\right),F\right\}}\Vert }_{D_{2\eta }}\lesssim {\left(\frac{4\left(2\tau +2\right)}{e}\right)}^{2\tau +2}{\gamma }^{-2}{\left(s-s_{+}\right)}^{-\left(2\tau +3\right)}{\eta }^{-2}{\epsilon }^2$

以及

${\Vert X_{\left(P-R\right)}\Vert }_{D_{2\eta }}\lesssim \eta \epsilon <{\left(\frac{4\left(2\tau +2\right)}{e}\right)}^{2\tau +2}\eta \epsilon$ .

因此，对于$r_{+}=\frac{1}{4}\eta r$ ，我们得到

${\Vert X_{P_{+}}\Vert }_{D\left(s_{+},r_{+}\right)}\lesssim {\left(\frac{4\left(2\tau +2\right)}{e}\right)}^{2\tau +2}\left(\eta \epsilon +{\gamma }^{-2}{\left(s-s_{+}\right)}^{-\left(2\tau +3\right)}{\eta }^{-2}{\epsilon }^2\right).$

令$\eta ={\epsilon }^{1/3}{\left({\gamma }^{-2}{\left(s-s_{+}\right)}^{-\left(2\tau +3\right)}\right)}^{1/3}$ ，故得

${\Vert X_{P_{+}}\Vert }_{D\left(s_{+},r_{+}\right)}\lesssim {\left(\frac{4\left(2\tau +2\right)}{e}\right)}^{2\tau +2}\left(\eta \epsilon +{\gamma }^{-2}{\left(s-s_{+}\right)}^{-\left(2\tau +3\right)}{\eta }^{-2}{\epsilon }^2\right).$ (42)

4.2. 更多振子的激发

经过第一次迭代后，我们得到了一个新的Hamilton函数$H_{+}$ ：

$H_{+}=H°{\varphi }_F^1={\displaystyle \sum _{1\le i\le J}{\omega }_i^{+}}{y}_i+{\displaystyle \sum _{n>J}{\Omega }_n^{+}}{z}_n{\overline{z}}_n+P_{+}\left(x,y,z,\overline{z},\xi ,I\right)$ ，

其中${\varphi }_F^1:D\left(s_{+},r_{+}\right)\times \mathcal{O}\to D\left(s,r\right)\times B^J$ 是一个辛变换，$\mathcal{O}$ 是$B^J$ 的一个子集，新的参数集是

$B_{+}=\left\{\left({\xi }^J,{\xi }^{\prime }\right):{\xi }^J\in \mathcal{O}\right\}\subset B.$

在下一步迭代构造中，以及所有后续步骤中，我们将按如下方式进行：考虑定义在区域$D\left(s_{+},r_{+}\right)\times B_{+}$ 上的Hamilton函数$H_{+}$ 。

(1) 选择合适的$J_{+}>J$ ，并通过设定以下形式激发更多振子；

$z_j=\sqrt{y_j+I_j}{\text{e}}^{i{x}_j},{\overline{z}}_j=\sqrt{y_j+I_j}{\text{e}}^{-i{x}_j},J<j\le J_{+}$,

其中新的振幅满足

$r_{+}^2<I_j<r_{+}^{2\lambda },\frac{2}{3}<\lambda <1$ (43)

其余法变量$z_j,j>J_{+}$ 保持不变。

(2) 这个变换产生了一个新的Hamilton函数

$H_{+}={\displaystyle \sum _{1\le i\le J_{+}}{\omega }_i^{+}}{y}_i+{\displaystyle \sum _{n>J_{+}}{\Omega }_n^{+}}{z}_n{\overline{z}}_n+P_{+}\left(x,y,z_n,{\overline{z}}_n,\xi ,I\right)$ (44)

其中对于$J<i\le J_{+}$ 有${\omega }_i^{+}={\Omega }_i^{+}$ ，且$H_{+}$ 仍然定义在$D\left(s_{+},r_{+}\right)$ 上。

(3) 根据(42)，我们得到$\Vert X_{P_{+}}\Vert <{\epsilon }_{+}$ 。我们选择${\gamma }_{+}={\gamma }^{\varrho }$ ，其中$1<\varrho <\frac{4}{3}$ ，使其在KAM迭代的一步中起到与$\gamma$ 相同的作用。注意，$P_{+}$ 与P保持相同的结构。

(4) 最后，我们再次将参数$\xi \in B_{+}$ 划分为“本质的”部分和“虚拟的”部分$\xi =\left({\xi }^{J_{+}},{\xi }^{″}\right)$ ，并考虑切片

$B^{J_{+}}=\left\{{\xi }^{J_{+}}:\left({\xi }^{J_{+}},{\xi }^{″}\right)\in B_{+}\right\}\subset {ℝ}^{J_{+}},$

此过程使我们能够对Hamilton函数(44)执行另一次KAM迭代，按照与第4.1节相同的程序。这意味着KAM步骤可以无限次迭代。

我们简要概述了迭代过程。在接下来的部分中，我们将更详细地描述迭代过程。

5. 迭代引理与收敛性

随着每次迭代中被激发的振子数量$J_{\nu }$ (其中$\nu$ 表示第$\nu$ 步)的增加，我们的主要目标是控制$J_{\nu }$ 的增长率，并确保KAM机制在无限步数下有效迭代下去。对于任意$J\ge 1$ ，我们定义如下序列

$J_0=J,J_{\nu }=\left(\nu +1\right)J,\nu \ge 1$ (45)

此外，对于给定$\epsilon ,r,s$ 和所有$\nu \ge 0$ ，我们定义如下序列

$\begin{array}{l}{s}_{\nu }=s\left(1-{\displaystyle \sum _{i=2}^{\nu +1}{2}^{-i}}\right),\\ {\gamma }_0=\gamma ={\epsilon }^{1/8},{\gamma }_{\nu }={\epsilon }_{\nu }^{1/8},\\ {\epsilon }_{\nu +1}={\left(\frac{4\left(2{\tau }_{\nu }+2\right)}{e}\right)}^{2{\tau }_{\nu }+2}{\left({\gamma }_{\nu }^{-2}{\left(s_{\nu }-s_{\nu +1}\right)}^{-\left(2{\tau }_{\nu }+3\right)}\right)}^{1/3}{\epsilon }_{\nu }^{4/3},\\ {\eta }_{\nu }={\epsilon }_{\nu }^{1/3}{\left({\gamma }_{\nu }^{-2}{\left(s_{\nu }-s_{\nu +1}\right)}^{-\left(2{\tau }_{\nu }+3\right)}\right)}^{1/3},\\ r_{\nu +1}=\frac{1}{4}{\eta }_{\nu }{r}_{\nu },\\ m_{\nu }=\frac{m_0}{3}\left(2+2^{-\nu }\right),\\ {\tau }_{\nu }=J_{\nu }+2,\end{array}$ (46)

其中$s_0=s$ ，$r_0=r$ ，以及${\epsilon }_0=\epsilon$ 。

5.1. 迭代引理

上述分析可以总结为以下引理为

引理5.1 设$\epsilon$ 足够小且$\nu \ge 0$ 。假设在$D\left(s_{\nu },r_{\nu }\right)\times B_{\nu }$ 上定义了$H_{\nu }=N_{\nu }+P_{\nu }$ ，其中

$H_{\nu }={\displaystyle \sum _{1\le i\le J_{\nu }}{\omega }_i^{\nu }}\left(\xi \right)y_i+{\displaystyle \sum _{n>J_{\nu }}{\Omega }_n^{\nu }}\left(\xi \right)z_n{\overline{z}}_n+P_{\nu }\left(x,y,z,\overline{z},\xi ,I\right)$

满足

${\Vert X_{P_{\nu }}\Vert }_{D\left(s_{\nu },r_{\nu }\right)\times B_{\nu }}\le {\epsilon }_{\nu },{\left|{\omega }^{\nu }-{\omega }^{\nu -1}\right|}_{{\mathcal{O}}_{\nu }}<{\epsilon }_{\nu -1},{\left|{\Omega }_n^{\nu }-{\Omega }_n^{\nu -1}\right|}_{{\mathcal{O}}_{\nu }}<{\epsilon }_{\nu -1}$

且对所有满足$\left|l\right|\le 2$ 的整数向量$\left(k,l\right)\in {\mathbb{Z}}^{J_{\nu }}\times {\mathbb{Z}}^{\infty }$ ，非共振条件

$\left|\langle k,{\omega }^{\nu }\rangle +\langle l,{\Omega }^{\nu }\rangle \right|\ge \frac{{\gamma }_{\nu }}{{\left|k\right|}^{{\tau }_{\nu }}},\left|\langle l,{\Omega }^{\nu }\rangle \right|\ge m_{\nu }{\langle l\rangle }_2$

在$B_{\nu }=\left\{\left({\xi }^{J_{\nu }},{\xi }^{\nu }\right):{\xi }^{J_{\nu }}\in {\mathcal{O}}_{\nu }\right\}$ 上成立。

那么存在一族辛坐标变换

${\Phi }_{\nu +1}:D\left(s_{\nu +1},r_{\nu +1}\right)\times B^{\nu +1}\to D\left(s_{\nu },r_{\nu }\right)$

及一个闭子集

$B_{\nu +1}=\left\{\left({\xi }^{J_{\nu +1}},{\xi }^{\nu +1}\right):{\xi }^{J_{\nu +1}}\in {\mathcal{O}}_{\nu +1}\right\}$ ,

其中

$\begin{array}{l}{\mathcal{O}}_{\nu +1}=B^{\nu +1}\setminus \left({\displaystyle \underset{k,l}{\cup }{ℛ}_{k,l}^{\nu +1}}\right),\\ B^{\nu +1}=\left\{{\xi }^{J_{\nu +1}}:\left({\xi }^{J_{\nu +1}},{\xi }^{\nu +1}\right)\in B_{\nu }\right\}\subset {ℝ}^{J_{\nu +1}},\\ {ℛ}_{k,l}^{\nu +1}=\left\{\xi \in B^{\nu +1}:\left|\langle k,{\omega }^{\nu +1}\rangle +\langle l,{\Omega }^{\nu +1}\rangle \right|<\frac{{\gamma }_{\nu +1}}{{\left|k\right|}^{{\tau }_{\nu +1}}}\right\},\end{array}$

对于所有满足$\left|l\right|\le 2$ 的整数向量$\left(k,l\right)\in {\mathbb{Z}}^{J_{\nu +1}}\times {\mathbb{Z}}^{\infty }$ ，使得对于$H_{\nu +1}=H_{\nu }°{\Phi }_{\nu +1}=N_{\nu +1}+P_{\nu +1}$ ，在激发$J_{\nu +1}-J_{\nu }$ 个振子后，以$\nu +1$ 代替$\nu$ 满足相同的假设。

5.2. 收敛性

假设Hamilton函数的两个性质都得到了满足。为应用在$\nu >0$ 时的迭代引理，设$s_0=s$ ，$r_0=r$ ，$H_0=H$ ，${\gamma }_0=\gamma$ ，设初始频率数为$J_0=J$ ，设$B_{-1}=B$ ，$B_0=\left\{\left({\xi }^J,{\xi }^0\right):{\xi }^J\in {\mathcal{O}}_{\gamma }\right\}$ 满足小除数条件，其中

${\mathcal{O}}_{\gamma }=B^0\backslash \left({\displaystyle \underset{k,l}{\cup }{ℛ}_{k,l}^0}\left(\gamma \right)\right)$ 。

因此，迭代引理可以归纳地应用。当$\nu \ge 1$ 时，我们得到如下变换序列

${\Psi }^{\nu }={\Phi }_1\circ {\Phi }_2\circ \cdots \circ {\Phi }_{\nu }:D\left(s_{\nu },r_{\nu }\right)\times B^{\nu }\to D\left(s_0,r_0\right)$ ,

使得

$H_{\nu }=H\circ {\Psi }^{\nu }={\displaystyle \sum _{1\le i\le J_{\nu }}{\omega }_i^{\nu }}\left(\xi \right)y_i+{\displaystyle \sum _{n>J_{\nu }}{\Omega }_n^{\nu }}\left(\xi \right)z_n{\overline{z}}_n+P_{\nu }\left(x,y,z,\overline{z},\xi ,I\right)$ .

设$B^{*}={\displaystyle \underset{\nu =0}{\overset{\infty }{\cap }}{B}_{\nu }}$ 。如文献[9]中所述，并且由于引理4.4，我们可以得出${\Psi }^{\nu }$ 和$D{\Psi }^{\nu }$ 在$D\left(\frac{s}{2},r_{\infty }\right)\times B^{*}$ 上一致收敛的结论，最终Hamilton函数为

$H_{\infty }={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\omega }_n^{\infty }}\left(\xi \right)y_n$ .

我们有

${\epsilon }_{\nu +1}={\left(\frac{4\left(2{\tau }_{\nu }+2\right)}{e}\right)}^{2{\tau }_{\nu }+2}{\left({\gamma }_{\nu }^{-2}{\left(s_{\nu }-s_{\nu +1}\right)}^{-\left(2{\tau }_{\nu }+3\right)}\right)}^{1/3}{\epsilon }_{\nu }^{4/3},{\gamma }_{\nu }={\epsilon }_{\nu }^{1/8}$ .

为了简化符号，令$C_{\nu }={\left(\frac{4\left(2{\tau }_{\nu }+2\right)}{e}\right)}^{2{\tau }_{\nu }+2}$ 和${C^{\prime }}_{\nu }=2{\tau }_{\nu }+3$ 。因此

${\epsilon }_{\nu +1}=C_{\nu }{\left(s_{\nu }-s_{\nu +1}\right)}^{-C_{{\nu }^{\prime }}/3}{\epsilon }_{\nu }^{5/4}$ .(47)

现在我们将证明，当$\nu \to \infty$ 时，${\epsilon }_{\nu }\to 0$ ，并且每一步的KAM估计都是有效的。

由于$J_0=J$ ，由(5.3)式及$C_{\nu }$ 和$C_{{\nu }^{\prime }}$ 的定义可知，若${\epsilon }_0=\epsilon$ 足够小，则存在$1<\kappa <5/4$ 的常数$\kappa$ ，使得

${\epsilon }_1=C_0{\left(s_0-s_1\right)}^{-C_{0^{\prime }}/3}{\epsilon }^{5/4}={\epsilon }^{\kappa }.$ (48)

因此，${\epsilon }_1<\epsilon$ 。由于我们设定$J_{\nu }=\left(\nu +1\right)J_0$ ，因此被激发的振子的数量增加缓慢。因此，通过同样的分析，我们得到

${\epsilon }_2=C_1{\left(s_1-s_2\right)}^{-C_{1^{\prime }}/3}{\epsilon }_1^{5/4}\le {\epsilon }_1^{\kappa }={\epsilon }^{{\kappa }^2}$ ,(49)

即${\epsilon }_2<{\epsilon }_1$ ，通过归纳法，我们得到

${\epsilon }_{\nu +1}=C_{\nu }{\left(s_{\nu }-s_{\nu +1}\right)}^{-C_{{\nu }^{\prime }}/3}{\epsilon }_{\nu }^{5/4}\le {\epsilon }_{\nu }^{\kappa }\le {\epsilon }^{{\kappa }^{\nu +1}}$ .(50)

因此，当$\epsilon$ 足够小时，就有${\epsilon }_{\nu }\to 0$ ，$\nu \to \infty$ 。此外，${\epsilon }_{\nu }$ 随迭代步骤$\nu$ 呈超指数衰减，即${\epsilon }_{\nu }\le {\epsilon }^{{\kappa }^{\nu }}$ 。当$J_{\nu }$ 缓慢增长时，我们可以确保KAM估计在每一步都是有效的。

设${\varphi }_H^t$ 为$X_H$ 的流量。由于$H\circ {\Psi }^{\nu }=H_{\nu }$ ，我们有

${\Psi }^{\nu }\circ {\varphi }_H^t={\varphi }_{H_{\nu }}^t\circ {\Psi }^{\nu }$ .(51)

${\Psi }^{\nu }$ 和$D{\Psi }^{\nu }$ 的一致收敛意味着可以在(51)式的两边取极限。因此，在$D\left(\frac{s}{2},0\right)\times B^{*}$ 上，我们得到

${\Psi }^{\infty }\circ {\varphi }_H^t={\varphi }_{H_{\infty }}^t\circ {\Psi }^{\infty }$ (52)

和

${\Psi }^{\infty }:D\left(\frac{s}{2},0\right)\times B^{*}\to D\left(s,r\right)\times B$ .

由(52)式可知，我们得到了在$\xi \in B^{*}$ 处的初始扰动Hamilton系统的不变无限维环面${\Psi }^{\infty }\left({\mathbb{T}}^{\mathbb{N}}\times \left\{\xi \right\}\right)$ ，从而得到了频率为${\omega }_1^{*},{\omega }_2^{*},\cdots$ 的概周期解，并且这些频率逐渐趋近于这些参数下的初始频率。

6. 总结

本文首先将广义Boussinesq写成Hamilton形式，然后对线性方程进行求解以及估计坐标变换，得到新标准型与新扰动的估计，最后构造KAM迭代，本文的创新之处在于证明了存在无限多个小振幅、实解析且线性稳定的概周期解。本文由于Boussinesq方程中非线性项向量场正则性的缺失，导致测度估计不能很好地进行，仍待后续的研究。在此之后，作者会对高维广义Boussinesq方程的概周期解的存在性与稳定性问题进行相关研究。

基金项目

飞行器数学建模与高性能计算工信部重点实验室基金资助项目(项目编号：202408)。