符号网络中企业与企业之间的雪堆博弈

The Enterprise-to-Enterprise Snowdrift Game in Signed Networks

摘要: 研究探讨了电子商务中企业间合作的动态及其受到网络结构影响的复杂性。通过构建具有社团结构的符号网络模型，模拟了企业间的聚集效应和合作关系，并分析了这些合作行为如何随着网络参数的变化而演化。研究发现，网络的平均度(即与其他企业建立合作关系的数量)对合作密度有显著影响，更高的平均度往往导致合作密度的降低。此外，社团内部的负边密度增加可能会促进合作行为，因为企业在长期博弈中倾向于选择合作以实现更稳定的累积收益。然而，社团间的正边密度增加却可能导致合作密度的降低，因为正边博弈的收益矩阵为背叛者提供了更高的短期收益，从而增加了背叛策略的吸引力。研究进一步分析了企业在不同网络结构下的策略更新行为，指出企业会根据邻居的策略和收益来调整自己的行为。这种策略的动态调整过程增加了合作网络的复杂性，并可能影响合作的稳定性和持续性。研究结果为构建和优化多个企业合作的电子商务平台提供了理论依据，强调了理解和适应网络结构在促进企业间有效合作中的重要性。

Abstract: The study explores the dynamics of inter-enterprise cooperation in e-commerce and the complexity affected by network structure. By constructing a signed network model with community structure, the study simulates the clustering effect and cooperative relationships between enterprises, and analyzes how these cooperative behaviors evolve with changes in network parameters. The research finds that the average degree of the network (i.e., the number of cooperative relationships established with other enterprises) significantly affects the cooperation density, with a higher average degree often leading to a decrease in cooperation density. Moreover, an increase in the density of negative edges within communities may promote cooperative behavior, as enterprises tend to choose cooperation in the long-term game to achieve more stable cumulative benefits. However, an increase in the probability of positive edges between communities may lead to a reduction in cooperation density, as the payoff matrix of positive edge games provides higher short-term benefits for defectors, thereby increasing the attractiveness of the defection strategy. The study further analyzes the strategy update behavior of enterprises under different network structures, pointing out that enterprises will adjust their behavior according to the strategies and payoffs of their neighbors. This dynamic adjustment process of strategies adds to the complexity of the cooperative network and may affect the stability and sustainability of cooperation. The research results provide a theoretical basis for building and optimizing e-commerce platforms for cooperation among multiple enterprises, emphasizing the importance of understanding and adapting to network structures to promote effective cooperation between enterprises.

1. 引言

在电子商务[1]中，企业永远不是孤立无援的，总是需要通过和其他企业之间的合作与交易，增加自身的利润与规模。

经典的B2B (Business to Business)电子商务[2]，是指企业与企业之间通过互联网或其他网络进行的商业交易。而企业与企业之间的关系，最常见为合作共赢。如两家企业合作开发一项新技术。这个合作项目需要双方共同投入研发资金。如果两家企业都选择合作，它们将共享因新技术带来的市场收益，但每家企业需要支付一部分研发成本。如果一家企业选择合作而另一家选择背叛(即不投入研发资金)，背叛方将免费获得新技术的使用权而不需支付任何成本，而合作方则承担了全部成本。如果两家企业都选择背叛，则项目不会启动，双方都不会获得任何收益。

在更广泛的B2B网络中，每个企业都可能与多个其他企业有合作关系，形成一个复杂的合作网络[3]。企业之间的合作策略会受到网络结构的影响，并且企业与企业之间的合作关系并不是平等的，某些企业之间的合作是积极的，双方的合作能够带来更高的收益，但一部分企业之间的合作却是消极的，双方对合作的收益没有过高的期望。这种复杂的关系，使得企业与企业之间的合作受到很大的影响，也极具研究价值。

文章将现实中企业与企业之间的聚集效应和合作关系，用具有社团结构的符号网络来描述。企业与企业之间通过连接的边进行雪堆博弈，不同符号的边表示不同的合作关系，从而有不同的收益矩阵。通过在符号网络中的演化博弈与策略更新，最终获得整个网络的合作密度。分析符号网络中，不同的网络参数对合作密度的影响，探讨如何提高企业与企业之间的合作，为构建多个企业合作的电子商务平台提供有力的理论依据。

2. 基本的符号网络

无向的符号网络[4] $G=\left\{V,E,A\right\}$ ，其中$V=\left\{1,2,3,\cdots ,N\right\}$ 是节点集合，网络中的总节点数为$N=\left|V\right|$ ；边集$E\subseteq V\times V$ 是网络中的边的集合，边$\left(i,j\right)\in E$ 表示节点i和j之间的无序对；$A={\left(a_{ij}\right)}_{N\times N}$ 是符号网络的邻接矩阵。

如果$a_{ij}=+1$ ，则节点i和节点j之间的边为“正”的，意味着节点i和节点j之间的关系是积极的；如果$a_{ij}=-1$ ，节点i和节点j之间的边为“负”的，则节点i和节点j之间的关系是消极的；如果$a_{ij}=0$ ，则节点i和节点j之间没有连接，不存在边。其中，负边占所有边的比例，称为符号网络的负边密度${\rho }^{-}$ 。具体表示见图1。

符号网络的邻接矩阵可以分为两部分，$A=A^{+}+A^{-}={\left(a_{ij}^{+}\right)}_{N\times N}+{\left(a_{ij}^{-}\right)}_{N\times N}$ 。若$a_{ij}=+1$ ，则$a_{ij}^{+}=1,a_{ij}^{-}=0$ ；若$a_{ij}=-1$ ，则$a_{ij}^{+}=0,a_{ij}^{-}=1$ ；若$a_{ij}=0$ ，则$a_{ij}^{+}=0,a_{ij}^{-}=0$ 。

则节点i的正度$k_i^{+}$ 和负度$k_i^{-}$ 可以定义为

$\begin{array}{ccc}{k}_i^{+}={\displaystyle \sum _j{a}_{ij}^{+}}& & k_i^{-}={\displaystyle \sum _j{a}_{ij}^{-}}\end{array}$ (1)

得到节点i的度为$k_i=k_i^{+}+k_i^{-}$ 。有网络中所有节点的度，可以得到网络的平均度$\overline{k}={\displaystyle \sum _i{k}_i}$ 。

Figure 1. Mixed uniform random network

图1. 混合均匀随机网络

3. 符号网络上的雪堆博弈

3.1. 雪堆博弈模型

在某一项目中，双方共同承担成本c，经过运营，将获得r的利润，并平均分给双方企业，在扣除成本后，企业双方获得最终的净利润。这种博弈被称为两人雪堆博弈[5]，博弈的收益矩阵表示为表1：

Table 1. The standard payoff matrix of the two-person snowdrift game

表1. 两人雪堆博弈的标准收益矩阵

		企业j
		合作	背叛
企业i	合作	$\left(r-c/2,r-c/2\right)$	$\left(r-c,r\right)$
	背叛	$\left(r,r-c\right)$	$\left(0,0\right)$

博弈策略有：“合作C”与“背叛D”。当企业选择合作时，愿意主动的承担成本c，而当企业选择背叛时，企业会自私，不愿意付出，只愿意坐享其成，但是当双方都不愿意付出时，双方都不会获得收益。

3.2. 博弈中企业的总收益

符号网络中边，分为“正边”和“负边”。其中，正边表示企业与企业之间的合作关系是积极的，即双方的合作能够将付出的成本，变成更高的收益，从而取得更大的利润。而负边意味着双方的合作是消极的，即使双方付出了成本，但是获得的收益无法与正边相比，取得的利润较低。

因此根据符号网络中，企业与企业之间的边的正负关系，可以获得两种博弈收益矩阵$M^{+}$ 和$M^{-}$ ，分别代表着企业之间通过正边和负边进行连接的博弈。表达式为

$M^{+}=\left(\begin{array}{cc}{r}^{+}-c^{+}/2& r^{+}-c^{+}\\ r^{+}& 0\end{array}\right)$ (2)

和

$M^{-}=\left(\begin{array}{cc}{r}^{-}-c^{-}/2& r^{-}-c^{-}\\ r^{-}& 0\end{array}\right)$ (3)

其中，$c^{+}$ 和$r^{+}$ ($c^{-}$ 和$r^{-}$ )表示企业之间通过正边(负边)进行连接的雪堆博弈的成本和收益。并且$r^{-}<r^{+}$ ，即通过正边进行的博弈收益更高。

将“合作”策略记为$s=\left(0,1\right)$ ，背叛策略记为$s=\left(1,0\right)$ 。则企业i的总收益为

$u_i={\displaystyle \sum _j\left(a_{ij}^{+}\cdot s_i{M}^{+}{s^{\prime }}_j+a_{ij}^{-}\cdot s_i{M}^{-}{s^{\prime }}_j\right)}$ (4)

3.3. 博弈策略的更新

在策略更新中，对于费米更新规则[6]，个体不仅会以较大的概率学习收益比它更高的邻居的策略，还会以较小的概率学习收益比它小的邻居的策略。

在符号网络中，由于正负边的存在，个体的邻居也被分为“正邻居——与个体通过正边相连的邻居”和“负邻居——与个体通过负边相连的邻居”。由于通过负边相连的两个企业之间的不信任，所以在策略更新时，不会选择负邻居的个体，而是趋向于选择正邻居的个体，因此企业i随机选择企业j的概率为

$\frac{a_{ij}^{+}}{k_i^{+}}$ 。

在费米更新规则下，企业i策略$s_i$ 更新为企业j策略$s_j$ 的概率为

$p_{s_i\to s_j}=\frac{1}{1+{\text{e}}^{\left(u_i-u_j\right)\kappa }}$ (5)

其中，$\kappa$ 为选择强度，其可放大或缩小收益差对策略更新概率的影响，固定为$\kappa =1$ 。

3.4. 博弈演化

在初始时刻，各个企业随机选择自己的策略，并按照符号网络的结构，进行博弈，得到各个企业的总收益。通过随机选择正邻居的企业，并按照策略更新规则，更新自身的策略。重复以上步骤，不断更新自身策略与收益，直至网络中，企业的策略选择趋于稳定状态。

在博弈时刻t，网络中，选择“合作C”策略的企业占总企业数的比例称为合作密度$\overline{\rho }\left(t\right)$ 。直至$\overline{\rho }\left(t\right)$ 基本保持不变，此时策略演化达到稳定状态$\overline{\rho }$ 。

4. 符号网络仿真实验及分析

4.1. 具有社团结构的符号网络

在现实中，企业与企业之间存在着聚集效应，企业更加愿意“报团取暖”，即符号网络中存在着社团结构。社团内部的企业合作更加频繁，社团之间只有少部分合作关系。在同一社团内的企业更加愿意相信其他企业，双方的合作大多数是积极的，而处于不同社团的企业，双方之间合作更加困难，合作大多数是消极的。

为了更好的描述现实企业之间的关系，构建具有社团结构的符号网络[7]。

在社团结构的符号网络中，社团内部存在大量正边，而大多数负边存在社团之间。具有社团结构的符号网络模型由参数$Cs,n,\overline{k},p_{in},p_p^{+},p_n^{-}$ 控制。$Cs$ 是社团符号网络中的社团数量，n是每一个社团结构中的节点数量，$\overline{k}$ 是节点的平均度，$p_{in}$ 表示社团结构内部存在的边的比例，而$1-p_{in}$ 表示社团与社团之间存在的边的比例，$p_p^{+}$ 表示社团与社团之间出现正边的概率，$p_n^{-}$ 表示社团内部出现负边的概率。社团符号网络中的总边数为$Cs\ast n\ast \overline{k}/2$ ，其中负边占总边数的比例为${\rho }^{-}=p_{in}\ast p_n^{-}+\left(1-p_{in}\right)\ast \left(1-p_p^{+}\right)$ 。示意图如图2：

Figure 2. Schematic diagram of a signed network with community structure

图2. 具有社团结构的符号网络示意图

4.2. 平均度对合作演化的影响

对于具有社团结构的符号网络，其平均度表示了企业能够与多少个企业之间建立合作关系。当平均度越大，企业也就能够与更多的企业之间进行合作，然而，考虑到对方企业的背叛，并不是合作关系越多越好，其中的关系是复杂的。

在$c^{+}=c^{-}=2$ ，$r^{+}=3$ ，$r^{-}=2$ 的情况下，通过改变具有社团结构符号网络的平均度$\overline{k}$ ，并观察最终的合作密度$\overline{\rho }$ ，判断平均度是如何影响企业之间的合作关系。见图3：

Figure 3. The impact of average degree on cooperation density

图3. 平均度对合作密度的影响

发现无论$\overline{k}$ 选择何值，企业的合作密度$\overline{\rho }\left(t\right)$ 随着时间的演化，逐渐减少。

通过正边进行的雪堆博弈收益矩阵，其纳什均衡是“背叛，合作”；而通过负边进行的雪堆博弈收益矩阵，其纳什均衡是“背叛，背叛”。因此在整个符号网络的演化博弈中，能导致合作行为的减少，因为合作者可能因收益较低而转向背叛策略。企业之间合作的收益系数$r^{+}$ 和$r^{-}$ 并不大，无法给企业带来更高的收益，所以许多企业为了追求更高的利润，选择背叛策略，减少自身的损失。

图中表明，最终的合作密度$\overline{\rho }$ 随着平均度$\overline{k}$ 的增加迅速减小，直至趋于0。发现只有较小的$\overline{k}$ ，才能使得网络中，存在一部分合作企业，当$\overline{k}$ 增大时，合作密度减小，这意味着网络中选择合作策略的企业数量很少。这是因为，企业能够进行合作的对象增加，意味着背叛者会给更多的合作者造成损失，降低网络中大部分企业的收益，从而影响企业选择合作策略。

4.3. 社团内部出现负边的概率$p_n^{-}$ 对合作演化的影响

处于同一社团内部的企业，企业与企业之间存在大量的正边，只有少部分的负边。为了探讨社团内负边对网络合作密度的影响，在较小的平均度的情况下，改变$p_n^{-}$ 的值，绘制图4：

Figure 4. The impact of the probability of negative edges within communities on cooperation density

图4. 社团内部出现负边的概率对合作密度的影响

发现随着$p_n^{-}$ 的值增加，合作密度$\overline{\rho }$ 也呈现上升趋势，但是整个合作密度$\overline{\rho }$ 都处于较小的值。

虽然通过负边进行的雪堆博弈收益矩阵，其纳什均衡是“背叛，背叛”，但是当企业与企业之间通过负边进行博弈的数量增加后，合作密度$\overline{\rho }$ 反而增加。这是因为$p_n^{-}$ 增加后，合作者的收益进一步被压缩，但是通过重复的演化博弈，企业可能会发现，尽管短期内背叛更有利，但由于企业会根据其邻居的策略和收益来更新自己的策略，导致整体收益进一步降低，为了更高的收益，长期合作可以维持更稳定的合作关系，从而在多次博弈中获得更高的累积收益。

4.4. 社团之间出现正边的概率$p_p^{+}$ 对合作演化的影响

对于处于社团之间的企业双方的合作关系主要呈现为消极状态，只有小概率的情况是积极的。为了探讨社团之间出现正边的概率对网络合作密度的影响，增加社团之间的积极合作概率，观察最终的合作密度，绘制图5。

发现合作密度$\overline{\rho }$ 随着社团之间出现正边概率$p_p^{+}$ 的增加而呈现降低趋势，但是差距很小。

因为通过正边进行的博弈收益矩阵，给背叛者提供了更高的收益，合作者和背叛者之间的收益反馈差距较大，这使得更多的个体选择背叛策略。并且当部分企业进行策略更新时，发现某个邻居通过选择背叛策略，从而获得了更高的收益，这部分企业会有较大概率调整自己的策略，减少合作策略的发生。这多方面的因素导致共同导致了合作密度$\overline{\rho }$ 的降低。

5. 研究结论与建议

在B2B电子商务领域，企业间的合作与背叛策略是一个动态平衡的过程，受到网络结构和博弈行为

Figure 5. The impact of the probability of positive edges between communities on cooperation density

图5. 社团之间出现正边的概率对合作密度的影响

的显著影响。在具有社团结构的网络中，社团内部适当的负边合作关系有助于促进企业间的长期合作关系。社团间的正边合作关系虽然看似有利于合作，但实际上可能导致合作密度降低，因为背叛者可能获得更高的短期收益。企业在多次博弈中会根据周围环境调整策略，长期合作可能因累积收益的考虑而变得更加稳定。

针对这些研究结论，电子商务平台可以采取一系列措施来促进企业间的合作。首先，平台应优化企业间的网络连接，通过限制企业与企业之间的合作关系来减少背叛风险，从而提升合作密度。其次，平台需要设计有效的激励机制，奖励那些展现出长期合作精神的企业，以促进合作行为。此外，社团内部的适量的消极合作关系也是关键，同时，对于社团间的合作，平台应谨慎管理，避免过度激励正边合作，通过建立信任和信息共享来促进更健康的合作关系。平台还应提供教育资源，帮助企业理解合作的长期价值，并学会制定有效的博弈策略。持续监测合作网络的动态，并根据监测结果及时调整合作策略，是确保合作环境稳定的关键。通过这些措施，电子商务平台可以为企业提供一个更加稳定和有利的合作环境，促进整个网络的效率和收益提升。

基金项目

国家自然科学基金项目(12061020)；贵州省科技厅科学基金(黔科合基础[2019] 1123号；黔科合-ZK [2021]一般331)；贵州省教育厅科学基金(黔科合KY字[2021] 088号，黔科合KY字[2022] 301)；贵州省师范学院博士基金(No. 2021BS005)。