三维可压缩Navier-Stokes/Allen-Cahn系统滑移边界问题稳态弱解的存在性

The Existence of Steady-State Weak Solutions for the Three-Dimensional Compressible Navier-Stokes/Allen-Cahn System with Slip Boundary Conditions

摘要: 本文主要考虑了在三维空间中，带有滑移边界条件的Navier-Stokes/Allen-Cahn (NSAC)系统稳态弱解的存在性问题。通过运用Helmholtz速度分解定理、弱收敛极限和有效粘性通量的方法，证明了该系统在滑移边界条件下稳态弱解的存在性。

Abstract: In this paper, the existence of a steady-state weak solution for a Navier-Stokes/Allen-Cahn (NSAC) system with slip boundary conditions in 3D space is discussed. In this paper, the methods of Helmholtz’s velocity decomposition theorem, weak convergence limit and effective viscous flux are used to prove the existence of a steady-state weak solution under slip boundary conditions.

1. 引言

Navier-Stokes/Allen-Cahn方程组[1] (简称为NSAC方程组)是描述非混相两相流运动的一类重要的扩散界面模型，该方程组由描述流体运动的Navier-Stokes方程组与描述界面运动的Allen-Cahn方程耦合而成。在物理和工程领域，NSAC方程组的应用范围广泛。例如，能源工程中，该方程组能够精确刻画流体与相变材料之间的相互作用，为设计更高效、更可靠的热交换器和储能系统提供了理论基础。同时，在材料研究领域，该方程组能够深入描述流体中相变的动态过程，有助于新材料的开发和性能优化。

滑移边界条件是指流体在固体边界上不是完全附着，而是存在一定的相对运动速度。这与传统的固定边界条件有所不同，后者是假设流体在边界上完全静止。而在微纳尺度流动等实际应用场景中，滑移边界条件可能更符合某些物理现象的真实情况，因此值得进一步探讨。

关于该方程组非定常适定性问题，Feireisl等[2]对三维无滑移边界条件，给出了有限能量弱解的存在性；Ding等[3]运用能量估计的方法，证明了一维初边值问题强解的全局存在唯一性；在$n\left(n\ge 1\right)$ 维有界区域中，Kotschote [4]运用压缩映射原理得到了该问题局部强解的存在唯一性；在广义Navier边界条件下，Chen等[5]运用基本能量方法和极大值原理，给出了该问题局部强解的存在唯一性。关于该方程组稳态解的适定性问题，目前的研究工作相对较少。在无滑移边界条件下，Chen等[6]利用弱收敛极限的方法，得到该方程组稳态弱解的存在性；在滑移边界条件下，Axman [7]给出了势能密度函数为对数形式时，方程组稳态弱解的存在性。

鉴于滑移边界条件在揭示流体与相变材料相互作用机制方面的潜在作用，以及NSAC方程组在描述

非混相两相流运动中的独特优势，本文研究了在滑移边界条件下，当势能密度函数为$f\left(\rho ,\chi \right)=\frac{{\chi }^4}{4}-\frac{{\chi }^2}{2}$

形式时，NSAC方程组稳态弱解的存在性。在Chen等[6]工作基础之上，通过运用Helmholtz速度分解定理等方法，克服滑移边界条件对密度强收敛带来的困难，进而证明NSAC方程组稳态弱解的存在性。

2. 主要定理

本文考虑势能密度函数为$f\left(\rho ,\chi \right)=\frac{{\chi }^4}{4}-\frac{{\chi }^2}{2}$ 形式时，三维可压缩NSAC方程组弱解的存在性问题，

该问题的方程如下：

$\{\begin{array}{l}\text{div}\left(\rho u\right)=0,\hfill \\ \text{div}\left(\rho u\otimes u\right)+\nabla {\rho }^{\gamma }-\nu \Delta u-\left(\nu +\lambda \right)\nabla \text{div}u+\text{div}\left(\nabla \chi \otimes \nabla \chi -\frac{{\left|\nabla \chi \right|}^2}{2}\mathbb{I}\right)=\rho F,\hfill \\ \text{div}\left(\rho u\chi \right)=-\mu ,\hfill \\ \rho \mu =-\Delta \chi +\rho \frac{\partial f\left(\rho ,\chi \right)}{\partial \chi }.\hfill \end{array}$ (1)

边界条件

$\{\begin{array}{l}{u\cdot n|}_{\partial \Omega }=\text{0},\hfill \\ n\cdot \nu \left(\nabla u+{\nabla }^{\text{T}}u\right)\cdot {\tau }_n+{\kappa u\cdot {\tau }_n|}_{\partial \Omega }=0,\hfill \\ {\nabla \chi \cdot n|}_{\partial \Omega }=0.\hfill \end{array}$ (2)

其中$\rho$ ，$u$ ，$\chi$ 分别表示流体的总密度、流体的平均速度和相场。$\gamma >1$ 是绝热常数，$\mathbb{I}$ 为$3\times 3$ 单位矩阵，$\mu$ 表示化学势，粘性系数$\nu ,\lambda$ 为常数，满足$\nu >0,2\nu +3\lambda \ge 0$ 。$n$ 表示$\partial \Omega$ 上的单位外法向量，${\tau }_n,n=1,2$ 表示$\partial \Omega$ 上的两个线性独立切向量，滑移系数$\kappa$ 满足$\kappa >0$ 。$F\in L^{\infty }\left(\Omega \right)$ 为流体所受的外用；流体的总密度满足如下约束条件，即

${\displaystyle {\int }_{\Omega }\rho \text{d}x}=m,$ (3)

其中$m>0$ 为常数。接下来，我们给出方程组(1)~(3)有限能量弱解定义。

定义1 给定常数$m>0$ ，$\Omega \subset {ℝ}^3$ 。我们称满足如下条件的$\left(\rho ,u,\chi \right)$ 是问题(1)~(3)的有限能量弱解：

(i) $\rho \in L^{\gamma }\left(\Omega \right)$ ，$u\in W^{1,2}\left(\Omega \right)$ ，$\chi \in W^{1,2}\left(\Omega \right)$ ，$\mu \in L^2\left(\Omega \right)$ 且对几乎处处的$x\in \Omega$ ，有$-1\le \chi \left(x\right)\le 1$ ；

(ii) 对任意的函数$\phi \in C^{\infty }\left(\overline{\Omega },{ℝ}^3\right)$ ，${\phi \cdot n|}_{\partial \Omega }=0$ 成立

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(-\rho \left(u\otimes u\right):\nabla \phi +\left(\nu \Delta u+\left(\nu +\lambda \right)\nabla \text{div}u-\text{div}\left(\nabla \chi \otimes \nabla \chi -\frac{{\left|\nabla \chi \right|}^2}{2}\mathbb{I}\right)-\nabla {\rho }^{\gamma }\right):\nabla \phi \right)\text{d}x}\\ +{\displaystyle {\int }_{\partial \Omega }\kappa \left(u\cdot \tau \right)\left(\phi \cdot \tau \right)\text{d}S}={\displaystyle {\int }_{\Omega }\rho F\cdot \phi \text{d}x}.\end{array}$

(iii) 对任意函数$\phi \in C^{\infty }\left(\overline{\Omega },{ℝ}^3\right)$ ，成立

${\displaystyle {\int }_{\Omega }\rho u\cdot \nabla \chi \phi \text{d}x}={\displaystyle {\int }_{\Omega }-\mu \phi \text{d}x},$

${\displaystyle {\int }_{\Omega }\rho \mu \phi \text{d}x}={\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\rho \left({\chi }^3-\chi \right)\phi +\nabla \chi \cdot \nabla \phi \right)\text{d}x}.$

(iv) 重整化(连续)方程(1)₁在${\mathcal{D}}^{\prime }\left({ℝ}^3\right)$ 意义下满足

$\text{div}\left(b\left(\rho \right)u\right)+\left[b^{\prime }\left(\rho \right)\rho -b\left(\rho \right)\right]\text{div}u=0,$ (4)

其中$\left(\rho ,u\right)$ 需要在$\Omega$ 外进行零延拓，函数b满足

$\{\begin{array}{l}b\in C^0\left[0,\infty \right)\cap C^1\left(0,\infty \right),\\ \underset{t\in \left(0,1\right)}{\text{sup}}\left|t^{k_1}{b}^{\prime }\left(t\right)\right|<\infty ,k_1\in \left(0,1\right),\\ \underset{t\in \left(1,\infty \right)}{\text{sup}}\left|t^{k_2}{b}^{\prime }\left(t\right)\right|<\infty ,k_2\le \frac{\gamma }{2}-1.\end{array}$ (5)

3. 主要定理的证明

下面给出本文的主要定理：

定理1 设$\gamma >6$ ，$m>0$ ，$F\in L^{\infty }\left(\Omega \right)$ ，$\Omega$ 为${ℝ}^3$ 中的光滑有界区域，则问题(1)~(3)至少存在一个非平凡有限能量弱解$\left(\rho ,u,\chi \right)$ ，且满足

$\rho \in L^{\infty }\left(\Omega \right),u\in W^{1,p}\left(\Omega \right),\chi \in W^{2,p}\left(\Omega \right),3<p<\infty .$ (6)

定理2 设$\gamma >6$ ，$m>0$ ，$F\in L^{\infty }\left(\Omega \right)$ ，$\Omega$ 为${ℝ}^3$ 中的光滑有界区域，则问题(1)~(3)至少存在一个非平凡有限能量弱解$\left(\rho ,u,\chi \right)$ ，且满足

$\rho \in L^{3\gamma -6}\left(\Omega \right),u\in W^{1,2}\left(\Omega \right),\chi \in W^{1,\frac{6\gamma -12}{\gamma }}\left(\Omega \right).$ (7)

定理1和定理2的证明步骤如下：首先，我们构造问题(1)~(3)的近似系统，利用Schauder不动点定理得到该近似系统解的存在性；其次，通过能量估计方法，得到该近似系统解的弱收敛极限；最后，证明该极限函数为问题的有限能量弱解。为方便起见，我们给出如下几个引理，这些引理的证明可以通过Axman [7]中的方法得到，这里不再详述。

引理1 若问题(1)~(3)中的有限能量弱解满足$\mu \in L^q\left(\Omega \right)$ ，$\rho \in L^p\left(\Omega \right)$ ，且$p>3$ ，$2\le q<\frac{3p}{p-3}$ ，则

${\Vert \rho \left({\chi }^3-\chi \right)\Vert }_{L^{\frac{pq}{p+q}}\left(\Omega \right)}+{\Vert \rho \mu \Vert }_{L^{\frac{pq}{p+q}}\left(\Omega \right)}+{\Vert \Delta \chi \Vert }_{L^{\frac{pq}{p+q}}\left(\Omega \right)}+{\Vert \nabla \chi \Vert }_{L^{\frac{3pq}{3p+3q-pq}}\left(\Omega \right)}\le C{\Vert \rho \Vert }_{L^p\left(\Omega \right)}\left({\Vert \mu \Vert }_{L^q\left(\Omega \right)}+1\right).$ (8)

引理2 若$\gamma >6$ ，问题(1)~(3)的有限能量弱解满足$\rho \in L^{2\gamma }\left(\Omega \right)$ ，$u\in W^{1,2}\left(\Omega \right)$ ，以及$\mu \in L^2\left(\Omega \right)$ ，则对于$1<p<+\infty$ ，成立

${\Vert u\Vert }_{W^{1,p}\left(\Omega \right)}+{\Vert \rho \Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}+{\Vert \nabla \chi \Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}+{\Vert \Delta \chi \Vert }_{L^{\frac{6\gamma }{\gamma +6}}\left(\Omega \right)}\le C.$ (9)

3.1. 逼近系统的构造及其解的存在性

对任意给定的$\alpha >0$ ，$\epsilon >0$ ，$\delta >0$ ，我们对问题(1)~(3)构造如下近似系统：

$\{\begin{array}{l}\alpha \left(\rho -h\right)+\text{div}\left(\rho u\right)=ϵ\Delta \rho ,\hfill \\ \begin{array}{l}\alpha \left(\rho +h\right)u+\frac{1}{2}\text{div}\left(\rho u\otimes u\right)+\frac{1}{2}\rho u\cdot \nabla u+\nabla {\rho }^{\gamma }+\delta \nabla {\rho }^{\beta }\\ =\nu \Delta u+\left(\nu +\lambda \right)\nabla \text{div}u-\text{div}\left(\nabla \chi \otimes \nabla \chi -\frac{{\left|\nabla \chi \right|}^2}{2}\mathbb{I}\right)+\rho F,\end{array}\hfill \\ \rho u\cdot \nabla \chi =-\mu ,\hfill \\ \rho \mu =-\Delta \chi +\rho \left({\chi }^3-\chi \right),\hfill \end{array}$ (10)

边界条件

$\{\begin{array}{l}{\nabla \rho \cdot n|}_{\partial \Omega }=0,\hfill \\ {u\cdot n|}_{\partial \Omega }=0,\hfill \\ n\cdot \nu \left(\nabla u+{\nabla }^{\text{T}}u\right)\cdot {\tau }_n+{\kappa u\cdot {\tau }_n|}_{\partial \Omega }=0,\hfill \\ {\nabla \chi \cdot n|}_{\partial \Omega }=0.\hfill \end{array}$ (11)

其中$\beta >\text{max}\left\{6,\gamma \right\}$ ，$h=\frac{M}{\left|\Omega \right|}$ 。

接下来，我们运用Schauder不动点定理证明近似系统(10)、(11)弱解的存在性。定义解空间如下：

$M_p=\left\{w\in \left(W^{2,p}\left(\Omega \right),{ℝ}^3\right),在�界\partial \Omega 上w\cdot n=0\right\},$

$M_p=\left\{m\in W^{2,p}\left(\Omega \right),在�界\partial \Omega 上\nabla m\cdot n=0\right\},$

$N_p=\left\{z\in \left(W^{3,p}\left(\Omega \right),{ℝ}^3\right),在�界\partial \Omega 上\nabla z\cdot n=0\right\},$

其中$1\le p<\infty$ 。

利用椭圆方程正则性理论和Schauder不动点定理，可得到如下结果。

引理3 设$\alpha >0$ ，$\epsilon >0$ ，$\Omega$ 为${ℝ}^3$ 中有界光滑区域，则对给定的$u\in M_p$ ，以下问题

$\{\begin{array}{l}\alpha \left(\rho -h\right)+\text{div}\left(\rho u\right)=ϵ\Delta \rho ,\hfill \\ {\nabla \rho \cdot n|}_{\partial \Omega }=0,\hfill \end{array}$ (12)

存在映射${\mathcal{S}}_1:M_p\to M_p$ ，$3<p<\infty$ ，满足

(i) $\rho ={\mathcal{S}}_1\left(u\right)$ 为问题(12)弱解，且${\displaystyle {\int }_{\Omega }\rho }={\displaystyle {\int }_{\Omega }h}$ 。

(ii) $\rho \ge 0$ ，a.e.于$\Omega$ 。

(iii) $\begin{array}{l}ϵ{\Vert \nabla \rho \Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}^2\le C{\Vert {\rho }^2\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}\hfill \end{array}$ 。 (13)

若${\Vert u\Vert }_{W^{1,p}\left(\Omega \right)}\le K$ ，则有${\Vert \rho \Vert }_{W^{2,p}}\le C\left(1+K\right)$ 。 (14)

引理4 设$\Omega$ 为${ℝ}^3$ 中有界光滑区域，则对给定的$u\in M_p$ ，$\rho ={\mathcal{S}}_1\left(u\right)$ ，以下问题

$\{\begin{array}{l}\rho u\cdot \nabla \chi =-\mu ,\hfill \\ \rho \mu =-\Delta \chi +\rho \left({\chi }^3-\chi \right),\hfill \\ {\nabla \chi \cdot n|}_{\partial \Omega }=0,\hfill \end{array}$ (15)

存在映射${\mathcal{S}}_2:M_p\to N_p$ ，$3<p<\infty$ ，满足

(i) ${\mathcal{S}}_2\left(u\right)=\chi$ 。

(ii) $\left|\chi \right|\le 1$ ，且

${\Vert \chi \Vert }_{W^{2,\frac{2q}{2+q}}\left(\Omega \right)}+{\Vert \nabla \chi \Vert }_{L^{\frac{6q}{6+q}}\left(\Omega \right)}\le C\left({\Vert \mu \Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}{\Vert \rho \Vert }_{L^q\left(\Omega \right)}+1\right).$ (16)

定义映射$\mathcal{T}:M_p\to M_p$ ，$\mathcal{T}\left(u\right)=w$ 是以下问题的解

$\{\begin{array}{l}-\nu \Delta w-\left(\nu +\lambda \right)\nabla \text{div}w=-\alpha \left(\rho +h\right)u-\frac{1}{2}\text{div}\left(\rho u\otimes u\right)-\frac{1}{2}\rho u\cdot \nabla u\\ -\nabla {\rho }^{\gamma }-\delta \nabla {\rho }^{\beta }-\text{div}\left(\nabla \chi \otimes \nabla \chi -\frac{{\left|\nabla \chi \right|}^2}{2}\mathbb{I}\right)=\rho F,\\ {w\cdot n|}_{\partial \Omega }=0,\\ {n\cdot \nu \left(\nabla w+{\nabla }^{\text{T}}w\right)\cdot {\tau }_n+kw\cdot {\tau }_n|}_{\partial \Omega }=0.\end{array}$ (17)

其中$\rho ={\mathcal{S}}_1\left(u\right)$ ，$\chi ={\mathcal{S}}_2\left(u\right)$ 。由于方程的右端项属于$L^p\left(\Omega \right)$ ，可得$\mathcal{T}:M_p\to M_p$ 是连续紧算子。

最后，我们证明$\left\{u\in M_p|u=t\mathcal{T}\left(u\right),0\le t\le 1\right\}$ 为有界集。为此，将$\mathcal{T}\left(u\right)=w$ 代入方程(17)₁，在其两边同乘以$u$ ，并在$\Omega$ 上积分，得到

$\begin{array}{l}t{\displaystyle {\int }_{\Omega }u}\cdot \nabla {\rho }^{\gamma }+t\delta {\displaystyle {\int }_{\Omega }u}\cdot \nabla {\rho }^{\beta }+{\displaystyle {\int }_{\Omega }\nu }{\left|\nabla u\right|}^2+\left(\nu +\lambda \right){\left|\text{div}u\right|}^2+{\displaystyle {\int }_{\partial \Omega }k}\left({\left|u_1\cdot {\tau }_1\right|}^2+{\left|u_2\cdot {\tau }_2\right|}^2\right)\\ \le t{\displaystyle {\int }_{\Omega }\rho }F\cdot u+t{\displaystyle {\int }_{\Omega }\rho }\mu \nabla \chi \cdot u-t{\displaystyle {\int }_{\Omega }\rho }\left({\chi }^3-\chi \right)\nabla \chi \cdot u.\end{array}$ (18)

对方程(10)₃两边乘以$t\mu$ ，方程(10)₁两边乘以$t\left(\frac{\gamma }{\gamma -1}{\rho }^{\gamma -1}+\frac{1}{4}{\chi }^4-\frac{1}{2}{\chi }^2\right)$ ，在$\Omega$ 上积分，结合式(18)，可得

$\begin{array}{l}{\Vert u\Vert }_{W^{1,2}\left(\Omega \right)}^2+t{\Vert \mu \Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}+t\delta {\displaystyle {\int }_{\Omega }\nabla }{\rho }^{\beta }\cdot u+t\alpha {\displaystyle {\int }_{\Omega }\rho }\left(\frac{\gamma }{\gamma -1}{\rho }^{\gamma -1}+\frac{1}{4}{\chi }^4-\frac{1}{2}{\chi }^2\right)\\ \le t{\displaystyle {\int }_{\Omega }\rho }F\cdot u+t{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(ϵ\Delta \rho +\alpha h\right)\left(\frac{\gamma }{\gamma -1}{\rho }^{\gamma -1}+\frac{1}{4}{\chi }^4-\frac{1}{2}{\chi }^2\right)}.\end{array}$ (19)

设$U={\Vert u\Vert }_{W^{1,2}\left(\Omega \right)}^2+t{\Vert \mu \Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}^2$ ，对(19)右端项利用分部积分和散度定理，有

$U\le C\left(1+{\Vert \rho \Vert }_{L^{\frac{6}{5}}\left(\Omega \right)}^2+\sqrt{ϵ}{\Vert {\rho }^2\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}^{\frac{1}{2}}{U}^{\frac{3}{4}}\right).$ (20)

若$p>\frac{6}{5}$ ，有

$U\le C{\left(1+{\Vert \rho \Vert }_{L^{\frac{6}{5}}\left(\Omega \right)}\right)}^2\le C{\left(1+{\Vert \rho \Vert }_{L^p\left(\Omega \right)}\right)}^2,$ (21)

即

${\Vert u\Vert }_{W^{1,2}\left(\Omega \right)}\le C\left(1+{\Vert \rho \Vert }_{L^p\left(\Omega \right)}\right),{\Vert \mu \Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}\le C\left(1+{\Vert \rho \Vert }_{L^p\left(\Omega \right)}\right).$ (22)

下一步我们进行Bgovskii估计，对动量方程两边同乘函数

$\Phi =ℬ\left[{\rho }^{\beta }-{\left\{{\rho }^{\beta }\right\}}_{\Omega }\right],$

其中${\left\{{\rho }^{\beta }\right\}}_{\Omega }=\frac{1}{\left|\Omega \right|}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\rho }^{\beta }}\text{d}x$ ，$ℬ~{\text{div}}^{-1}$ 是Bgovskii算子，满足

${\Vert \nabla \Phi \Vert }_{L^p\left(\Omega \right)}\le C{\Vert {\rho }^{\beta }\Vert }_{L^P\left(\Omega \right)},{\Phi |}_{\partial \Omega }=0.$

可得

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\rho }^{\gamma +\beta }}+\delta {\displaystyle {\int }_{\Omega }{\rho }^{2\beta }}\le {\displaystyle {\int }_{\Omega }{\rho }^{\gamma }}{\left\{{\rho }^{\beta }\right\}}_{\Omega }+\delta {\displaystyle {\int }_{\Omega }{\rho }^{\beta }}{\left\{{\rho }^{\beta }\right\}}_{\Omega }+{\displaystyle {\int }_{\Omega }\alpha }\left(\rho +h\right)u\cdot \Phi +\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\rho }u\otimes u:\Phi \\ +\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\rho }u\cdot \nabla u\cdot \Phi +{\displaystyle {\int }_{\partial \Omega }k}\left(u\cdot \tau \right)\left(\Phi \cdot \tau \right)\text{d}S+{\displaystyle {\int }_{\Omega }\nu }\nabla u\cdot \nabla \Phi \\ +{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\nu +\lambda \right)\text{div}u\cdot \nabla \Phi }+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla \chi \right|}^2}\left|\nabla \Phi \right|+{\displaystyle {\int }_{\Omega }\rho }F\cdot \Phi \\ ={\displaystyle \sum _{i=1}^{10}\left|I_i\right|.}\end{array}$ (23)

利用算子$ℬ$ 的性质和Hölder不等式，有

${\displaystyle \sum _{i=1}^{10}\left|I_i\right|}\le C\left({\Vert \rho \Vert }_{L^{2\beta }\left(\Omega \right)}^{\beta +4}+{\Vert \rho \Vert }_{L^{2\beta }\left(\Omega \right)}^{\beta +\gamma }+1\right).$

其中$\beta >\text{max}\left\{6,\gamma \right\}$ 。上式结合式(23)，易得

${\Vert \rho \Vert }_{L^{2\beta }\left(\Omega \right)}\le C.$ (24)

令式(22)中$p=2\beta$ ，有

${\Vert u\Vert }_{W^{1,2}(\Omega )}\le C,{\Vert \mu \Vert }_{L^2(\Omega )}\le C.$ (25)

根据引理2，得到$u\in W^{1,p}\left(\Omega \right)$ ，$\rho \in L^{\infty }\left(\Omega \right)$ 。进一步，对方程组(17)₂两边乘以$\nabla u$ ，重复上述步骤，可以得到$u\in W^{2,p}\left(\Omega \right)$ 。

至此，我们证明了$\left\{u\in M_p|u=t\mathcal{T}\left(u\right),0\le t\le 1\right\}$ 为有界集。应用Schauder不动点定理，可以得到如下结果。

命题1 设$\alpha >0$ ，$\epsilon >0$ ，$\beta >\text{max}\left\{6,\gamma \right\}$ ，则近似系统(10)、(11)至少存在一个弱解$\left({\rho }_{\epsilon },u_{\epsilon },{\chi }_{\epsilon }\right)$ ，满足

${\Vert {\rho }_{ϵ}\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}+{\Vert u_{ϵ}\Vert }_{W^{1,p}\left(\Omega \right)}+ϵ{\Vert \nabla {\rho }_{ϵ}\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}^2+{\Vert \nabla {\chi }_{ϵ}\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}\le C,$ (26)

${\Vert {\rho }_{ϵ}\Vert }_{L^{2\beta }\left(\Omega \right)}+{\Vert u_{ϵ}\Vert }_{W^{1,2}\left(\Omega \right)}+{\Vert {\mu }_{ϵ}\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}+{\Vert \nabla {\chi }_{ϵ}\Vert }_{L^{\frac{6\beta }{3+\beta }}\left(\Omega \right)}+{\Vert \Delta {\chi }_{ϵ}\Vert }_{L^{\frac{6\beta }{\beta +6}}\left(\Omega \right)}\le C,$ (27)

其中$1<p<+\infty$ 。

3.2. 极限过程$\alpha \to 0^{+}$ ，$\epsilon \to 0^{+}$

本节利用弱收敛极限方法来处理近似系统(10)、(11)的非线性项和边界条件，从而推导出稳态弱解的存在性。弱收敛极限方法主要用于研究函数序列或函数空间的极限行为，其优势在于它能够处理一些传统方法难以处理的非线性问题。首先，对近似系统(10)、(11)关于$\alpha \to 0^{+}$ ，$\epsilon \to 0^{+}$ 取极限。由命题1，可得

$u_{ϵ}\rightharpoonup u_{\delta }于W^{1,q}\left(\Omega \right),q>3$

$u_{ϵ}\to u_{\delta }于L^{\infty }\left(\Omega \right),$

${\rho }_{ϵ}{\rightharpoonup }^{*}{\rho }_{\delta }于L^{\infty }\left(\Omega \right),$

${\rho }_{ϵ}^{\gamma }{\rightharpoonup }^{*}\overline{{\rho }_{\delta }^{\gamma }}于L^{\infty }\left(\Omega \right),$

${\chi }_{ϵ}\rightharpoonup {\chi }_{\delta }于W^{2,2}\left(\Omega \right),$

$\nabla {\chi }_{ϵ}\to \nabla {\chi }_{\delta }于L^6\left(\Omega \right),$

${\mu }_{ϵ}\rightharpoonup {\mu }_{\delta }于L^2\left(\Omega \right),$ (28)

${\rho }_{ϵ}{u}_{ϵ}\rightharpoonup {\rho }_{\delta }{u}_{\delta }于L^2\left(\Omega \right),$

${\rho }_{ϵ}{u}_{ϵ}\otimes u_{ϵ}{\rightharpoonup }^{*}{\rho }_{\delta }{u}_{\delta }\otimes u_{\delta }于L^{\infty }\left(\Omega \right),$

${\rho }_{ϵ}{\left({\chi }_{ϵ}^3-\chi \right)}_{ϵ}\rightharpoonup {\rho }_{\delta }\left({\chi }_{\delta }^3-{\chi }_{\delta }\right)于L^2\left(\Omega \right),$

${\rho }_{ϵ}{u}_{ϵ}{\chi }_{ϵ}\rightharpoonup {\rho }_{\delta }{u}_{\delta }{\chi }_{\delta }于L^6\left(\Omega \right),$

${\rho }_{ϵ}{\chi }_{ϵ}\rightharpoonup {\rho }_{\delta }{\chi }_{\delta }于L^6\left(\Omega \right),$

${\rho }_{ϵ}{\mu }_{ϵ}\rightharpoonup \overline{{\rho }_{\delta }{\mu }_{\delta }}于L^2\left(\Omega \right),$

$\nabla {\chi }_{ϵ}\otimes \nabla {\chi }_{ϵ}\rightharpoonup \nabla {\chi }_{\delta }\otimes \nabla {\chi }_{\delta }于L^3\left(\Omega \right),$

${\left|\nabla {\chi }_{ϵ}\right|}^2\rightharpoonup {\left|\nabla {\chi }_{\delta }\right|}^2于L^3\left(\Omega \right).$

在近似系统(10)、(11)中，令$\epsilon \to 0^{+}$ ，$\alpha \to 0^{+}$ ，并利用上式，可得

$\{\begin{array}{l}\text{div}\left({\rho }_{\delta }{u}_{\delta }\right)=0,于{\mathcal{D}}^{\prime }\left(\Omega \right),\\ \text{div}\left({\rho }_{\delta }{u}_{\delta }\otimes u_{\delta }\right)+\nabla {\overline{P}}_{\delta }=\nu \Delta u_{\delta }+\left(\nu +\lambda \right)\nabla \text{div}u-\text{div}\left(\nabla {\chi }_{\delta }\otimes \nabla {\chi }_{\delta }-\frac{{\left|\nabla {\chi }_{\delta }\right|}^2}{2}\mathbb{I}\right)+{\rho }_{\delta }F,于{\mathcal{D}}^{\prime }\left(\Omega \right),\\ {\rho }_{\delta }{u}_{\delta }\cdot \nabla {\chi }_{\delta }=-{\mu }_{\delta },于{\mathcal{D}}^{\prime }\left(\Omega \right),\\ \overline{{\rho }_{\delta }{\mu }_{\delta }}=-\Delta {\chi }_{\delta }+{\rho }_{\delta }\left({\chi }_{\delta }^3-\chi \right),于{\mathcal{D}}^{\prime }\left(\Omega \right).\end{array}$(29)

其中$\overline{P}=\overline{{\rho }_{\delta }^{\gamma }+\delta {\rho }_{\delta }^{\beta }}$ 。

下一步需证明$\overline{{\rho }_{\delta }{\mu }_{\delta }}={\rho }_{\delta }{\mu }_{\delta }$ ，${\overline{P}}_{\delta }=P_{\delta }$ 。利用Helmholtz速度分解定理[8]对速度$u_{\delta }$ 进行分解，该定理指出流体中任意一点的速度可以分解为旋转部分和平移部分之和，即：$u_{\delta }=\nabla {\varphi }_{\delta }+\text{curl}{A}_{\delta }$ ，${\omega }_{\delta }=\text{curl}{u}_{\delta }$ ，其中${\varphi }_{\delta },A_{\delta },{\omega }_{\delta }$ 满足

$\text{curlcurl}{A}_{\delta }=\text{curl}{u}_{\delta }={\omega }_{\delta }\text{, }于\Omega ,$

$\text{divcurl}{A}_{\delta }=0\text{, }于\Omega ,$

$\text{curl}{A}_{\delta }\cdot n=0,于\partial \Omega ,$

$\Delta {\varphi }_{\delta }=\text{div}{u}_{\delta }\text{, }于\Omega ,$

$\nabla {\varphi }_{\delta }\cdot n=0\text{, }于\partial \Omega ,$

${\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_{\delta }\text{d}x}=0.$

以及

${\Vert \nabla \text{curl}{A}_{\delta }\Vert }_{L^q\left(\Omega \right)}\le {\Vert {\omega }_{\delta }\Vert }_{L^q\left(\Omega \right)},$

${\Vert {\nabla }^2\text{curl}{A}_{\delta }\Vert }_{L^q\left(\Omega \right)}\le {\Vert {\omega }_{\delta }\Vert }_{W^{1,q}\left(\Omega \right)},$ $1<q<\infty .$

对方程(29)₂两边作用旋度，有

$-\nu \Delta {\omega }_{\delta }=-\text{curl}\left({\rho }_{\delta }{u}_{\delta }\cdot \nabla u_{\delta }\right)+\text{curl}\left({\rho }_{\delta }F-\text{curl}\left(\nabla {\chi }_{\delta }\Delta {\chi }_{\delta }\right)\right).$

由于

${\Vert {\rho }_{\delta }{u}_{\delta }\cdot \nabla u_{\delta }\Vert }_{L^q\left(\Omega \right)}\le {\Vert {\rho }_{\delta }\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}{\Vert u_{\delta }\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}{\Vert \nabla u_{\delta }\Vert }_{L^q\left(\Omega \right)}\le C,$

${\Vert {\rho }_{\delta }F\Vert }_{L^q\left(\Omega \right)}\le {\Vert F\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}{\Vert {\rho }_{\delta }\Vert }_{L^q\left(\Omega \right)}\le C,$

${\Vert \nabla {\chi }_{\delta }\Delta {\chi }_{\delta }\Vert }_{L^q\left(\Omega \right)}\le {\Vert \nabla {\chi }_{\delta }\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}{\Vert \Delta {\chi }_{\delta }\Vert }_{L^q\left(\Omega \right)}\le C,$

其中$q\le 6\beta /\left(\beta +6\right)$ 。结合椭圆正则性理论，可得${\Vert {\omega }_{\delta }\Vert }_{W^{1,q}\left(\Omega \right)}\le C$ 。

其次，对$u_{\epsilon }$ 进行Helmholtz分解：$u_{\epsilon }=\nabla {\varphi }_{\epsilon }+\text{curl}{A}_{\epsilon }$ ，并对近似系统(29)₂两边作用旋度，可得

$\begin{array}{c}-\nu {\omega }_{ϵ}=\underset{=:H_1}{\underbrace{\text{curl}\left(-\frac{1}{2}\alpha {\rho }_{ϵ}{u}_{ϵ}-\frac{3}{2}\alpha h{u}_{ϵ}-{\rho }_{ϵ}{u}_{ϵ}\cdot \nabla u_{ϵ}+{\rho }_{ϵ}F-\nabla {\chi }_{ϵ}\Delta {\chi }_{ϵ}\right)}}\underset{=:H_2}{\underbrace{-\text{curl}\left(\frac{1}{2}ϵ\Delta {\rho }_{ϵ}{u}_{ϵ}\right)}}=:H_1+H_2,\\ {\omega }_{ϵ}\cdot {\tau }_1=-\left(2c_2-\frac{k}{\nu }\right)u_{ϵ}\cdot {\tau }_2,于\partial \Omega 上,\\ {\omega }_{ϵ}\cdot {\tau }_2=\left(2c_2-\frac{k}{\nu }\right)u_{ϵ}\cdot {\tau }_1,于\partial \Omega 上,\\ \text{ div}{\omega }_{ϵ}=0,于\partial \Omega 上.\end{array}$

令${\omega }_{ϵ}={\omega }_{ϵ}^0+{\omega }_{ϵ}^1+{\omega }_{ϵ}^2$ ，其中${\omega }_{ϵ}^0,{\omega }_{ϵ}^1,{\omega }_{ϵ}^2$ 满足

$\begin{array}{llll}\nu \Delta {\omega }_{ϵ}^0=0,\hfill & \nu \Delta {\omega }_{ϵ}^1=H_1,\hfill & \nu \Delta {\omega }_{ϵ}^2=H_2,\hfill & 于\Omega �,\hfill \\ {\omega }_{ϵ}^0\cdot {\tau }_1=-\left(2c_2-\frac{k}{\nu }\right)u_{ϵ}\cdot {\tau }_2,\hfill & {\omega }_{ϵ}^1\cdot {\tau }_1=0,\hfill & {\omega }_{ϵ}^2\cdot {\tau }_1=0,\hfill & 于\partial \Omega 上,\hfill \\ {\omega }_{ϵ}^0\cdot {\tau }_2=\left(2c_2-\frac{k}{\nu }\right)u_{ϵ}\cdot {\tau }_1,\hfill & {\omega }_{ϵ}^1\cdot {\tau }_2=0,\hfill & {\omega }_{ϵ}^2\cdot {\tau }_2=0,\hfill & 于\partial \Omega 上,\hfill \\ \text{div}{\omega }_{ϵ}^0=0,\hfill & \text{div}{\omega }_{ϵ}^1=0,\hfill & \text{div}{\omega }_{ϵ}^2=0,\hfill & 于\partial \Omega 上.\hfill \end{array}$

结合命题1，利用内插不等式，可得到如下结论。

引理5 若${\omega }_{ϵ}={\omega }_{ϵ}^0+{\omega }_{ϵ}^1+{\omega }_{ϵ}^2$ 满足上述条件，则有

${\Vert {\omega }_{ϵ}^2\Vert }_{L^p\left(\Omega \right)}\le C\left(m\right){ϵ}^{\frac{1}{2}},p\in \left[1,2\right],$

${\Vert {\omega }_{ϵ}^0\Vert }_{W^{1,q}\left(\Omega \right)}+{\Vert {\omega }_{ϵ}^1\Vert }_{W^{1,q}\left(\Omega \right)}\le C\left(m^{1+\gamma \left(\frac{4}{3}-\frac{2}{q}\right)}\right),q\in \left[2,\frac{6\beta }{6+\beta }\right].$

为了使密度${\rho }_{\epsilon }$ 弱收敛成为强收敛，我们需要排除密度${\rho }_{\epsilon }$ 在弱收敛过程中奇异性的振荡和集中，因此引入“有效粘性通量”的定义。将速度$u_{\epsilon }$ 的Helmholtz分解：$u_{\epsilon }=\nabla {\varphi }_{\epsilon }+\text{curl}{A}_{\epsilon }$ ，代入近似动量方程，得到

$\begin{array}{l}\nabla \left(-\left(2\nu +\lambda \right)\Delta {\varphi }_{ϵ}+p_{ϵ}\right)=\nu \Delta \text{curl}{A}_{ϵ}+{\rho }_{ϵ}F-{\rho }_{ϵ}{u}_{ϵ}\cdot \nabla u_{ϵ}-\frac{1}{2}ϵ\Delta {\rho }_{ϵ}{u}_{ϵ}\\ -\frac{3}{2}\alpha h{u}_{ϵ}-\frac{1}{2}\alpha {\rho }_{ϵ}{u}_{ϵ}-\text{div}\left(\nabla {\chi }_{ϵ}\otimes \nabla {\chi }_{ϵ}-\frac{{\left|\nabla {\chi }_{ϵ}\right|}^2}{2}\mathbb{I}\right).\end{array}$

其中，$p_{ϵ}=\nabla {\rho }_{ϵ}^{\gamma }+\delta \nabla {\rho }_{ϵ}^{\beta }$ ，定义：

$G_{ϵ}=-\left(2\nu +\lambda \right)\Delta {\varphi }_{ϵ}+p_{ϵ}=-\left(2\nu +\lambda \right)\text{div}{u}_{ϵ}+p_{ϵ}.$

同样的，我们将$u_{\delta }=\nabla {\varphi }_{\delta }+\text{curl}{A}_{\delta }$ 代入方程(29)₂，有

$\nabla \left(-\left(2\nu +\lambda \right)\Delta {\varphi }_{\delta }+{\overline{p}}_{\delta }\right)=\nu \Delta \text{curl}{A}_{\delta }+{\rho }_{\delta }F-{\rho }_{\delta }{u}_{\delta }\cdot \nabla u_{\delta }-\text{div}\left(\nabla {\chi }_{\delta }\otimes \nabla {\chi }_{\delta }-\frac{{\left|\nabla {\chi }_{\delta }\right|}^2}{2}\mathbb{I}\right).$

接下来，定义“有效粘性通量”，如下

$G_{\delta }=-\left(2\nu +\lambda \right)\Delta {\varphi }_{\delta }+{\overline{p}}_{\delta }=-\left(2\nu +\lambda \right)\text{div}{u}_{\delta }+{\overline{p}}_{\delta }.$(30)

其中${\overline{p}}_{\delta }=\nabla \overline{{\rho }_{\delta }^{\gamma }}+\delta \nabla \overline{{\rho }_{\delta }^{\beta }}$ 。注意到

${\displaystyle {\int }_{\Omega }{G}_{ϵ}}={\displaystyle {\int }_{\Omega }{p}_{ϵ}},{\displaystyle {\int }_{\Omega }{G}_{\delta }}={\displaystyle {\int }_{\Omega }{\overline{p}}_{\delta }}.$

这是由于

${\displaystyle {\int }_{\Omega }{G}_{ϵ}}={\displaystyle {\int }_{\Omega }-}\left(2\nabla +\lambda \right)\text{div}{u}_{ϵ}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{p}_{ϵ}}={\displaystyle {\int }_{\partial \Omega }-}\left(2\nabla +\lambda \right)u_{ϵ}\cdot n+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{p}_{ϵ}}={\displaystyle {\int }_{\Omega }{p}_{ϵ}},$

${\displaystyle {\int }_{\Omega }{G}_{\delta }}={\displaystyle {\int }_{\Omega }-}\left(2\nabla +\lambda \right)\text{div}{u}_{\delta }+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\overline{p}}_{\delta }}={\displaystyle {\int }_{\partial \Omega }-}\left(2\nabla +\lambda \right)u_{\delta }\cdot n+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\overline{p}}_{\delta }}={\displaystyle {\int }_{\Omega }{\overline{p}}_{\delta }}.$

令$G_{ϵ}=G_{ϵ}^1+G_{ϵ}^2$ ，定义$\nabla G_{ϵ}^2=-\frac{1}{2}ϵ\Delta {\rho }_{ϵ}{u}_{ϵ}-\nu \text{curl}{\omega }_{ϵ}^2$ ，则${\displaystyle {\int }_{\Omega }{G}_{ϵ}^2}\text{d}x=0$ 。结合引理5，得到如下结论。

引理6

$G_{ϵ}\to G_{\delta },于L^2\left(\Omega \right),$

${\Vert G_{\delta }\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}\le C\left(\xi \right)\left(1+m^{1+\frac{2\beta }{3}+\xi }\right),\xi \in \left(0,\frac{\beta -6}{3}\right].$

定义非增光滑函数$N:\left[0,\infty \right)\to \left[0,1\right]，$ 满足

$N\left(t\right)=\{\begin{array}{l}1,t\in \left[0,m-3\right],\hfill \\ \in \left[0,1\right],t\in \left(m-3,m-2\right),\hfill \\ 0,t\in \left[m-2,\infty \right).\hfill \end{array}$

对方程(29)₁两边乘以$N^l\left({\rho }_{ϵ}\right)$ ，在$\Omega$ 上积分，其中$l\in N$ ，利用有效粘性通量及引理6，可得如下引理。

引理7 存在$m_0$ ，对任意$m>m_0$ ，成立

$\frac{m-3}{m}{\left(m-3\right)}^{\gamma }-{\Vert G_{\delta }\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}\ge 1,$

且有$\underset{ϵ\to 0}{\lim }\left|\left\{{\rho }_{ϵ}>m-3\right\}\right|=0$ 。

最后我们证明密度的强收敛性。取$\eta >0，$ 并对方程(29)₁两边乘以$\ln \left(m\right)-\ln \left({\rho }_{{}_{\delta }}+\eta \right)$ ，在$\Omega$ 上积分，利用引理7及Fatuo引理，当$\eta \to 0^{+}$ ，$\alpha \to 0^{+}$ 时，可以得到如下结论。

引理8 ${\displaystyle {\int }_{\Omega }\overline{p_{\delta }{\rho }_{\delta }}}\le {\displaystyle {\int }_{\Omega }{G}_{\delta }}{\rho }_{\delta }$ 。

设$u_{\delta }\in W^{1,q}\left(\Omega \right)$ ，${\rho }_{\delta }\in L^p\left(\Omega \right)$ ，其中$1<q<\infty$ ，$1<p<\infty$ ，有$u_{\delta }\cdot \nabla {\rho }_{\delta }\in L^s\left(\Omega \right)$ ，其中$\frac{1}{s}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}$ 。

则存在${\rho }_n\in C^{\infty }\left(\overline{\Omega }\right)$ ，使得

$\begin{array}{l}{u}_{\delta }\cdot \nabla {\rho }_n\to u_{\delta }\cdot \nabla \rho ,于L^s\left(\Omega \right),\\ {\rho }_n\to {\rho }_{\delta },于L^p\left(\Omega \right).\end{array}$

取满足上述条件的${\rho }_n$ ，有

${\displaystyle {\int }_{\Omega }\left({\rho }_n\text{div}{u}_{\delta }+u_{\delta }\cdot \nabla {\rho }_n\right)}={\displaystyle {\int }_{\Omega }\text{div}}\left({\rho }_n{u}_{\delta }\right)={\displaystyle {\int }_{\partial \Omega }{\rho }_n}{u}_{\delta }\cdot n\text{d}S=0.$

令$n\to \infty$ ，由Lebesgue控制收敛定理，可得

${\displaystyle {\int }_{\Omega }\left({\rho }_{\delta }\text{div}{u}_{\delta }+u_{\delta }\cdot \nabla {\rho }_{\delta }\right)}=0.$

由于$0<{\rho }_n<m$ ，取$\eta >0$ ，对连续性方程两边乘以$-\ln \frac{\eta }{{\rho }_n+\eta }$ ，得到

$0=-{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\rho }_{\delta }}{u}_{\delta }\cdot \nabla \ln \frac{\eta }{{\rho }_n+\eta }={\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\rho }_{\delta }{u}_{\delta }\cdot \nabla {\rho }_n}{{\rho }_n+\eta }}.$

令$n\to \infty$ ，可得

$0={\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\rho }_{\delta }{u}_{\delta }\cdot \nabla {\rho }_{\delta }}{{\rho }_{\delta }+\eta }}.$

再令$\eta \to \infty$ ，得到${\displaystyle {\int }_{\Omega }{u}_{\delta }}\cdot \nabla {\rho }_{\delta }=0$ ，即${\displaystyle {\int }_{\Omega }{\rho }_{\delta }}\text{div}{u}_{\delta }=0$ 。

因此，对$-\left(2\nu +\lambda \right)\text{div}{u}_{\delta }+{\overline{p}}_{\delta }=G_{\delta }$两边乘以${\rho }_{\delta }$ 在$\Omega$ 上积分，有

${\displaystyle {\int }_{\Omega }{\overline{p}}_{\delta }}{\rho }_{\delta }={\displaystyle {\int }_{\Omega }{G}_{\delta }}{\rho }_{\delta }.$ (31)

结合引理8及式(31)，得到

${\displaystyle {\int }_{\Omega }\overline{p_{\delta }{\rho }_{\delta }}}\le {\displaystyle {\int }_{\Omega }{\overline{p}}_{\delta }}{\rho }_{\delta }.$

下面证明${\rho }_{\epsilon }$ 在$L^{\beta }\left(\Omega \right)$ 上强收敛。设$B\subset \Omega$ ，根据插值不等式，有

$\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\rho }_{ϵ}}\le {\left(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_{B}1}\right)}^{1-\frac{1}{\beta }}{\left(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\rho }_{ϵ}^{\gamma }}\right)}^{\frac{1}{\beta }},$

$\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\rho }_{ϵ}^{\beta }}\le {\left(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\rho }_{ϵ}^{\beta +1}}\right)}^{1-\frac{1}{\beta }}{\left(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\rho }_{ϵ}}\right)}^{\frac{1}{\beta }}.$

因此，

${\left(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\rho }_{ϵ}}\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\rho }_{ϵ}^{\beta }}\right)}^{1-\frac{1}{\beta }}\le {\left(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_{B}1}\right)}^{1-\frac{1}{\beta }}{\left(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\rho }_{ϵ}^{\beta +1}}\right)}^{1-\frac{1}{\beta }}.$

令$\epsilon \to 0^{+}$ ，$\left|B\right|\to 0$ ，可得${\rho }_{\delta }\overline{{\rho }_{\delta }^{\beta }}\le \overline{{\rho }_{\delta }^{\beta +1}}$ ，a.e.于$\Omega$ 。

结合式(31)，有

${\rho }_{\delta }\overline{{\rho }_{\delta }^{\beta }}=\overline{{\rho }_{\delta }^{\beta +1}}.$

类似可得：

${\overline{{\rho }_{\delta }^{\beta }}}^{\frac{\beta +1}{\beta }}\le \overline{{\rho }_{\delta }^{\beta +1}},{\rho }_{\delta }\le {\overline{{\rho }_{\delta }^{\beta }}}^{\frac{1}{\beta }}.$

因此，

${\rho }_{\delta }\overline{{\rho }_{\delta }^{\beta }}=\overline{{\rho }_{\delta }^{\beta +1}}\ge {\overline{{\rho }_{\delta }^{\beta }}}^{\frac{\beta +1}{\beta }}\ge {\rho }_{\delta }\overline{{\rho }_{\delta }^{\beta }}.$

由上式可得$\overline{{\rho }_{\delta }^{\beta +1}}={\overline{{\rho }_{\delta }^{\beta }}}^{\frac{\beta +1}{\beta }}$ ，即${\rho }_{\delta }^{\beta }=\overline{{\rho }_{\delta }^{\beta }}$ 。

故${\rho }_{ϵ}\to {\rho }_{\delta }$ 于$L^{\beta }\left(\Omega \right)$ 。

综上，可得到如下命题。

命题2 设$\beta >\max \left\{6,\gamma \right\}$ ，对于任意的$\delta >0$ ，则以下问题

$\{\begin{array}{l}\text{div}\left({\rho }_{\delta }{u}_{\delta }\right)=0,\\ \text{div}\left({\rho }_{\delta }{u}_{\delta }\otimes u_{\delta }\right)+\nabla \left({\rho }_{\delta }^{\gamma }+\delta {\rho }_{\delta }^{\beta }\right)=\nu \Delta u_{\delta }+\left(\nu +\lambda \right)\nabla \text{div}u+{\rho }_{\delta }F-\text{div}\left(\nabla {\chi }_{\delta }\otimes \nabla {\chi }_{\delta }-\frac{{\left|\nabla {\chi }_{\delta }\right|}^2}{2}\mathbb{I}\right),\\ {\rho }_{\delta }{u}_{\delta }\cdot \nabla {\chi }_{\delta }=-{\mu }_{\delta },\\ {\rho }_{\delta }{\mu }_{\delta }=-\Delta {\chi }_{\delta }+{\rho }_{\delta }\left({\chi }_{\delta }^3-\chi \right).\end{array}$ (32)

边界条件

$\{\begin{array}{l}{u_{\delta }\cdot n|}_{\partial \Omega }=0,\\ {n\cdot \nu \left(\nabla u_{\delta }+{\nabla }^{\text{T}}{u}_{\delta }\right)\cdot {\tau }_n+k{u}_{\delta }\cdot {\tau }_n|}_{\partial \Omega }=0,\\ {\nabla {\chi }_{\delta }\cdot n|}_{\partial \Omega }=0.\end{array}$ (33)

存在至少一个弱解$\left({\rho }_{\delta },u_{\delta },{\chi }_{\delta }\right)$ 。

3.3. 极限过程$\delta \to 0^{+}$

本节将对问题(32)、(33)取极限$\delta \to 0^{+}$ ，从而证明了定常等熵可压缩NSAC方程组的弱解存在性。首先我们需要得到函数$\left({\rho }_{\delta },u_{\delta },{\chi }_{\delta }\right)$ 与$\delta$ 无关的估计，对动量方程(10)₂两边乘以

$\Phi =ℬ\left[{\rho }_{\delta }-{\left\{{\rho }_{\delta }^{\theta }\right\}}_{\Omega }\right],$

其中$\theta >0$ 。从而有

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\rho }_{\delta }^{\gamma +\theta }}+\delta {\displaystyle {\int }_{\Omega }{\rho }_{\delta }^{\beta +\theta }}\le {\displaystyle {\int }_{\Omega }{\rho }_{\delta }^{\gamma }}{\left\{{\rho }_{\delta }^{\theta }\right\}}_{\Omega }+\delta {\displaystyle {\int }_{\Omega }{\rho }_{\delta }^{\beta }}{\left\{{\rho }_{\delta }^{\theta }\right\}}_{\Omega }+{\displaystyle {\int }_{\Omega }\nu }\nabla u_{\delta }\cdot \nabla \Phi +{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\nu +\lambda \right)\text{div}{u}_{\delta }\cdot \nabla \Phi }\\ -{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\rho }_{\delta }}{u}_{\delta }\otimes u_{\delta }:\Phi +{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\rho }_{\delta }}F\cdot \Phi +{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla \chi \right|}^2}\left|\nabla \Phi \right|+{\displaystyle {\int }_{\partial \Omega }k}\left(u_{\delta }\cdot \tau \right)\left(\Phi \cdot \tau \right)\text{d}S\\ ={\displaystyle \sum _{i=1}^8\left|J_i\right|}.\end{array}$ (34)

利用算子$ℬ$ 的性质和Hölder不等式，可得

${\displaystyle \sum _{i=1}^8\left|J_i\right|}\le C\left({\Vert {\rho }_{\delta }\Vert }_{L^{\gamma +\theta }\left(\Omega \right)}^{\theta +2+\frac{\gamma +\theta }{6\left(\gamma +\theta \right)}}+{\Vert {\rho }_{\delta }\Vert }_{L^{\beta +\theta }\left(\Omega \right)}^{\frac{\left(\beta +\theta \right)\left(\beta -1\right)}{\beta +\theta -1}+\theta }+1\right).$

这里$\theta =\text{min}\left\{2\gamma -6,2\gamma -3,\gamma \right\}$ ，且$\theta >0$ ，则${\gamma }_{\min }=3$ 。上式结合式(34)，易得

${\Vert {\rho }_{\delta }\Vert }_{L^{\gamma +\theta }\left(\Omega \right)}\le C,\delta {\Vert {\rho }_{\delta }\Vert }_{L^{\beta +\theta }\left(\Omega \right)}\le C.$

当$3<\gamma \le 6$ 时，取$\theta =2\gamma -6$ 。由引理4式，有

${\Vert \Delta {\chi }_{\delta }\Vert }_{L^{\frac{6\left(\gamma -2\right)}{3\gamma -4}}\left(\Omega \right)}+{\Vert \nabla {\chi }_{\delta }\Vert }_{L^{\frac{6\left(\gamma -2\right)}{\gamma }}\left(\Omega \right)}\le C.$ (35)

当$\gamma >6$ 时，取$\theta =\gamma$ ，结合引理2有

${\Vert {\rho }_{\delta }\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}+{\Vert u_{\delta }\Vert }_{W^{1,p}\left(\Omega \right)}+{\Vert \nabla {\chi }_{\delta }\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}{\Vert \Delta \chi \Vert }_{L^{\frac{6\gamma }{\gamma +6}}\left(\Omega \right)}\le C.$ (36)

综合式(35)和(36)，得到如下命题。

命题3 对于$\gamma >3$ ，设$\left({\rho }_{\delta },u_{\delta },{\chi }_{\delta }\right)$ 为命题2得到的弱解，则有

${\Vert {\rho }_{\delta }\Vert }_{L^{\gamma +\theta }\left(\Omega \right)}\le C,\delta {\Vert {\rho }_{\delta }\Vert }_{L^{\beta +\theta }\left(\Omega \right)}\le C.$

进一步，当$3<\gamma \le 6$ 时，有

${\Vert {\rho }_{\delta }\Vert }_{L^{3\gamma -6}\left(\Omega \right)}+{\Vert u_{\delta }\Vert }_{W^{1,2}\left(\Omega \right)}+{\Vert {\mu }_{\delta }\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}+{\Vert \nabla {\chi }_{\delta }\Vert }_{L^{\frac{6\gamma -12}{\gamma }}\left(\Omega \right)}+{\Vert \Delta {\chi }_{\delta }\Vert }_{L^{\frac{6\gamma -12}{3\gamma -4}}\left(\Omega \right)}\le C.$ (37)

当$\gamma >6$ 时，有

${\Vert {\rho }_{\delta }\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}+{\Vert u_{\delta }\Vert }_{W^{1,p}\left(\Omega \right)}+{\Vert {\mu }_{\delta }\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}+{\Vert \nabla {\chi }_{\delta }\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}+{\Vert \Delta \chi \Vert }_{L^{\frac{6\gamma }{\gamma +6}}\left(\Omega \right)}\le C.$ (38)

由命题3，我们有以下结果

1) 当$\gamma >6$ 时，有$6\gamma /\gamma +6>3$ ，结合式(38)，可得$W^{2,6\gamma /\left(\gamma +6\right)}\left(\Omega \right)$ ↪$W^{2,2}\left(\Omega \right)$ ，进而${\Vert \Delta \chi \Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}\le C$ 。

令$\delta \to 0^{+}$ ，有

$u_{\delta }\rightharpoonup u于W^{1,q}\left(\Omega \right),q>3$

${\rho }_{\delta }{\rightharpoonup }^{*}\rho 于L^{\infty }\left(\Omega \right),$

$u_{\delta }\to u于L^{\infty }\left(\Omega \right),$

${\rho }_{\delta }^{\gamma }{\rightharpoonup }^{*}\overline{{\rho }^{\gamma }}于L^{\infty }\left(\Omega \right),$

$\delta {\rho }_{\delta }^{\beta }\to 0于{\mathcal{D}}^{\prime }\left(\Omega \right),$

${\chi }_{\delta }\rightharpoonup \chi 于W^{2,2}\left(\Omega \right),$

$\nabla {\chi }_{\delta }\to \nabla \chi 于L^6\left(\Omega \right),$

${\mu }_{\delta }\rightharpoonup \mu 于L^2\left(\Omega \right),$

${\rho }_{\delta }{u}_{\delta }\rightharpoonup \rho u于L^{\infty }\left(\Omega \right),$

${\rho }_{\delta }{u}_{\delta }\otimes u_{\delta }\rightharpoonup \rho u\otimes u于L^{\infty }\left(\Omega \right),$

${\rho }_{\delta }\left({\chi }_{\delta }^3-{\chi }_{\delta }\right)\rightharpoonup \rho \left({\chi }^3-\chi \right)于L^2\left(\Omega \right),$

${\rho }_{\delta }{u}_{\delta }{\chi }_{\delta }\rightharpoonup \rho u\chi 于L^6\left(\Omega \right),$

${\rho }_{\delta }{\chi }_{\delta }\rightharpoonup \rho \chi 于L^6\left(\Omega \right),$ (39)

${\rho }_{\delta }{\mu }_{\delta }\rightharpoonup \overline{\rho \mu }于L^2\left(\Omega \right),$

$\nabla {\chi }_{\delta }\otimes \nabla {\chi }_{\delta }\rightharpoonup \nabla \chi \otimes \nabla \chi 于L^3\left(\Omega \right),$

${\left|\nabla {\chi }_{\delta }\right|}^2\rightharpoonup {\left|\nabla \chi \right|}^2于L^3\left(\Omega \right).$

2) 当$3<\gamma \le 6$ 时，结合式(35)，令$\delta \to 0^{+}$ ，有

$u_{\delta }\rightharpoonup u于W^{1,2}\left(\Omega \right),$

$u_{\delta }\to u于L^q\left(\Omega \right),1<q<6,$

${\rho }_{\delta }\rightharpoonup \rho 于L^{3\gamma -6}\left(\Omega \right),$

${\rho }_{\delta }^{\gamma }\rightharpoonup \overline{{\rho }^{\gamma }}于L^{\left(3\gamma -6\right)/\gamma }\left(\Omega \right),$

$\delta {\rho }_{\delta }^{\beta }\to 0于L^{\left(3\gamma -6\right)/\gamma }\left(\Omega \right),$

${\chi }_{\delta }\rightharpoonup \chi 于W^{2,\left(6\gamma -12\right)/\left(3\gamma -4\right)}\left(\Omega \right),$

$\nabla {\chi }_{\delta }\to \nabla \chi 于L^{2\left(3\gamma -6\right)/\gamma }\left(\Omega \right),$

${\mu }_{\delta }\rightharpoonup \nabla \mu 于L^2\left(\Omega \right),$

${\rho }_{\delta }{\mu }_{\delta }\rightharpoonup \overline{\rho \mu }于L^2\left(\Omega \right),$

${\rho }_{\delta }{u}_{\delta }\rightharpoonup \rho u于L^{6\left(\gamma -2\right)/\gamma }\left(\Omega \right),$ (40)

${\rho }_{\delta }{u}_{\delta }\otimes u_{\delta }\rightharpoonup \rho u\otimes u于L^{3\left(\gamma -2\right)/\gamma -1}\left(\Omega \right),$

${\rho }_{\delta }\left({\chi }_{\delta }^3-{\chi }_{\delta }\right)\rightharpoonup \rho \left({\chi }^3-\chi \right)于L^{3\gamma -6}\left(\Omega \right),$

${\rho }_{\delta }{u}_{\delta }{\chi }_{\delta }\rightharpoonup \rho u\chi 于L^{6\left(\gamma -2\right)/\gamma }\left(\Omega \right),$

${\rho }_{\delta }{\chi }_{\delta }\rightharpoonup \rho \chi 于L^{3\gamma -6}\left(\Omega \right),$

${\rho }_{\delta }{\mu }_{\delta }\rightharpoonup \overline{\rho \mu }于L^{\left(6\gamma -12\right)/\left(3\gamma -4\right)}\left(\Omega \right),$

$\nabla {\chi }_{\delta }\otimes \nabla {\chi }_{\delta }\rightharpoonup \nabla \chi \otimes \nabla \chi 于L^{\left(3\gamma -6\right)/\gamma }\left(\Omega \right),$

${\left|\nabla {\chi }_{\delta }\right|}^2\rightharpoonup {\left|\nabla \chi \right|}^2于L^{\left(3\gamma -6\right)/\gamma }\left(\Omega \right).$

令$\delta \to 0^{+}$ ，$\left({\rho }_{\delta },u_{\delta },{\chi }_{\delta }\right)$ 的弱极限函数在分布意义下满足

$\{\begin{array}{l}\text{div}\left(\rho u\right)=0,\hfill \\ \text{div}\left(\rho u\otimes u\right)+\nabla \overline{{\rho }^{\gamma }}=\nu \Delta u+\left(\nu +\lambda \right)\nabla \text{div}u-\text{div}\left(\nabla \chi \otimes \nabla \chi -\frac{{\left|\nabla \chi \right|}^2}{2}\mathbb{I}\right)+\rho F,\hfill \\ \text{div}\left(\rho u\chi \right)=-\mu ,\hfill \\ \overline{\rho \mu }=-\Delta \chi +\rho \left({\chi }^3-\chi \right).\hfill \end{array}$

为完成定理1的证明，还需要证明$\overline{{\rho }^{\gamma }}={\rho }^{\gamma }$ ，$\overline{\rho \mu }=\rho \mu$ ，a.e.于$\Omega$ 。

设${\rho }_{\delta }$ ，$u_{\delta }$ 满足命题3，则有下式成立

$\overline{p{T}_k\left(\rho \right)}-\left(2\nu +\lambda \right)\overline{\text{div}u{T}_k\left(\rho \right)}=\overline{p}\overline{T_k\left(\rho \right)}-\left(2\nu +\lambda \right)\text{div}u\overline{T_k\left(\rho \right)}.$

从3.2章节过程可知，需要$\left(\rho ,u\right)$ 是重整化解。如果$\left(\rho ,u\right)\in L^2\left(\Omega \right)$ ，则$\left(\rho ,u\right)$ 是重整化解。但当$\gamma$ 与$\theta$ 充分小时，$\left(\rho ,u\right)\in L^2\left(\Omega \right)$ 并不成立。为了克服$\rho$ 不属于$L^2\left(\Omega \right)$ 所引起的困难，接下来我们引入截断函数

$T_k\left(z\right)=kT\left(\frac{z}{k}\right),z\in ℝ,k=1,2,3,\cdots ,$

其中凸函数T满足

$T\in C^{\infty }\left(ℝ\right),T\left(z\right)=\{\begin{array}{l}z,z\le 1,\hfill \\ 2,z\ge 3.\hfill \end{array}$

则$T_k\left(z\right)$ 有如下估计

${\left|T_k\left(t\right)-T_k\left(s\right)\right|}^{\gamma +1}\le \left(t^{\gamma }-s^{\gamma }\right)\left(T_k\left(t\right)-T_k\left(s\right)\right),$

其中$s,t\ge 0$ 。由于

$\begin{array}{c}{\Vert \overline{T_k\left(\rho \right)}-\rho \Vert }_{L^p\left(\Omega \right)}\le \underset{\delta \to 0}{\lim }\text{inf}{\Vert \overline{T_k\left({\rho }_{\delta }\right)}-{\rho }_{\delta }\Vert }_{L^p\left(\Omega \right)}\\ \le \underset{\delta \to 0}{\lim }\text{sup}{\Vert \overline{T_k\left({\rho }_{\delta }\right)}-{\rho }_{\delta }\Vert }_{L^p\left(\Omega \right)}\\ \le 2^p{k}^{p-\left(\gamma +\theta \right)}{\Vert {\rho }_{\delta }\Vert }_{L^{3\gamma -6}\left(\Omega \right)}\\ \le C{2}^p{k}^{p-\left(\gamma +\theta \right)},\end{array}$

其中$1\le p<{\gamma }_{\theta }$ 。以及

$\begin{array}{c}{\Vert T_k\left(\rho \right)-\rho \Vert }_{L^p(\Omega )}\le 2^p{k}^{p-\left(3\gamma -6\right)}{\Vert {\rho }_{\delta }\Vert }_{L^{3\gamma -6}\left(\Omega \right)}\\ \le C{2}^p{k}^{p-\left(3\gamma -6\right)},\end{array}$

其中$1\le p<3\gamma -6$ 。令$k\to 0$ ，可得

$\overline{T_k\left(\rho \right)}\to \rho 于L^p\left(\Omega \right),$(41)

$T_k\left(\rho \right)\to \rho 于L^p\left(\Omega \right),$ (42)

其中$p\in \left[1,3\gamma -6\right)$ 。

引理9 $\underset{\delta \to 0^{+}}{\lim }\text{sup}{\Vert T_k\left({\rho }_{\delta }\right)-T_k\left(\rho \right)\Vert }_{L^{\gamma +1}\left(\Omega \right)}\le C.$

证明：注意到

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\overline{{\rho }^{\gamma }{T}_k\left(\rho \right)}}-\overline{{\rho }^{\gamma }}\overline{T_k\left(\rho \right)}=\left(2\nu +\lambda \right){\displaystyle {\int }_{\Omega }\overline{T_k\left(\rho \right)\text{div}u}}-\overline{T_k\left(\rho \right)}\text{div}u\\ =\underset{\delta \to 0^{+}}{\lim }\text{sup}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left({\rho }_{\delta }^{\gamma }-{\rho }^{\gamma }\right)\left(T\left({\rho }_{\delta }\right)-T_k\left(\rho \right)\right)}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\overline{{\rho }^{\gamma }}-{\rho }^{\gamma }\right)}\left(T_k\left(\rho \right)-\overline{T_k\left(\rho \right)}\right).\end{array}$

由于$t\to t^{\gamma }$ 是凸映射，$T_k\left(t\right)$ 在$\left[0,\infty \right)$ 上是凹的，因此

${\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\overline{{\rho }^{\gamma }}-{\rho }^{\gamma }\right)\left(T_k\left(\rho \right)-\overline{T_k\left(\rho \right)}\right)}\ge 0.$

结合式(41)，以及

${\Vert T_k\left(\rho \right)-\overline{T_k\left(\rho \right)}\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}\le \underset{\delta \to 0^{+}}{\lim }\text{inf}{\Vert T_k\left({\rho }_{\delta }\right)-T_k\left(\rho \right)\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)},$

可得

$\begin{array}{c}\underset{\delta \to 0^{+}}{\lim }\text{sup}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|T_k\left({\rho }_{\delta }\right)-T_k\left(\rho \right)\right|}^{\gamma +1}}\le \underset{\delta \to 0^{+}}{\lim }\text{sup}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left({\rho }_{\delta }^{\gamma }-{\rho }^{\gamma }\right)\left(T_k\left({\rho }_{\delta }\right)-T_k\left(\rho \right)\right)}\\ \le \left(2\nu +\lambda \right)\underset{\delta \to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle {\int }_{\Omega }\text{div}}{u}_{\delta }\left(T_k\left({\rho }_{\delta }\right)-\overline{T_k\left(\rho \right)}\right)\text{d}x\\ \le \left(2\nu +\lambda \right)\underset{\delta \to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle {\int }_{\Omega }\text{div}}{u}_{\delta }\left(T_k\left({\rho }_{\delta }\right)-T_k\left(\rho \right)+T_k\left(\rho \right)-\overline{T_k\left(\rho \right)}\right)\text{d}x\\ \le C\underset{\delta \to 0^{+}}{\lim }\text{sup}{\Vert u_{\delta }\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}{\Vert T_k\left({\rho }_{\delta }\right)-T_k\left(\rho \right)\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}\\ \le C\underset{\delta \to 0^{+}}{\lim }\text{sup}{\Vert u_{\delta }\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}{\Vert T_k\left({\rho }_{\delta }\right)-T_k\left(\rho \right)\Vert }_{L^{\gamma +1}\left(\Omega \right)}\\ \le C\underset{\delta \to 0^{+}}{\lim }\text{sup}{\Vert T_k\left(\rho \right)-T_k\left({\rho }_{\delta }\right)\Vert }_{L^{\gamma +1}\left(\Omega \right)}.\end{array}$

因此，

$\underset{\delta \to 0}{\lim }\text{sup}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|T_k\left({\rho }_{\delta }\right)-T_k\left(\rho \right)\right|}^{\gamma +1}}\le C.$

ν

最后考虑密度的震荡控制，定义密度的震荡控制，如下

$OS{C}_{\gamma +1}\left[{\rho }_{\delta }\to \rho \right]\left(\Omega \right)=\text{sup}\underset{\delta \to 0^{+}}{\lim }\text{sup}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|T_k\left({\rho }_{\delta }\right)-T_k\left(\rho \right)\right|}^{\gamma +1}}\text{d}x.$

设$L_k\left(z\right)\in C^1\left(ℝ\right)$ ，其中

$L_k\left(z\right)=\{\begin{array}{l}z\ln z,0\le z<k,\\ z\ln \left(k\right)+z{\displaystyle {\int }_k^z\frac{T_k\left(s\right)}{s^2}\text{d}s},z\ge k.\end{array}$

由于$L_k\left(z\right)$ 满足式(5)，且有$z{L^{\prime }}_k\left(z\right)-L_k\left(z\right)=T_k\left(z\right)$ ，将$L_k\left(z\right)$ 代入重整化解，得到

$\text{div}\left(L_k\left({\rho }_{\delta }\right)u_{\delta }\right)+T_k\left({\rho }_{\delta }\right)\text{div}{u}_{\delta }=0,于{\mathcal{D}}^{\prime }\left({ℝ}^3\right).$

令$\delta \to 0^{+}$ ，并在$\Omega$ 上积分，得到

${\displaystyle {\int }_{\Omega }\text{div}}\left(\overline{L_k\left({\rho }_{\delta }\right)}{u}_{\delta }\right)+\overline{T_k\left({\rho }_{\delta }\right)\text{div}{u}_{\delta }}\text{d}x=0.$

由于

${\displaystyle {\int }_{\Omega }\text{div}}\left(\overline{L_k\left({\rho }_{\delta }\right)}{u}_{\delta }\right)\text{d}x={\displaystyle {\int }_{\partial \Omega }\overline{L_k\left({\rho }_{\delta }\right)}}{u}_{\delta }\cdot n\text{d}S=0,$

因此，有

${\displaystyle {\int }_{\Omega }\overline{T_k\left({\rho }_{\delta }\right)\text{div}{u}_{\delta }}}\text{d}x=0.$

类似，有

${\displaystyle {\int }_{\Omega }{T}_k}\left(\rho \right)\text{div}u\text{d}x=0.$

结合式(41)，(42)及引理9，得到

$\underset{k\to \infty }{\lim }\underset{\delta \to 0}{\lim }\text{sup}{{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left|T_k\left({\rho }_{\delta }\right)-T_k\left(\rho \right)\right|}}^{\gamma +1}=0.$

考虑

${\Vert {\rho }_{\delta }-\rho \Vert }_{L^1\left(\Omega \right)}\le {\Vert {\rho }_{\delta }-T_k\left({\rho }_{\delta }\right)\Vert }_{L^1\left(\Omega \right)}+{\Vert T_k\left({\rho }_{\delta }\right)-T_k\left(\rho \right)\Vert }_{L^1\left(\Omega \right)}+{\Vert T_k\left(\rho \right)-\rho \Vert }_{L^1\left(\Omega \right)}.$

结合式(41)以及(42)，得到${\rho }_{\delta }\to \rho$ 于$L^1\left(\Omega \right)$ 。进而有$\overline{{\rho }^{\gamma }}={\rho }^{\gamma }$ ，$\overline{\rho \mu }=\rho \mu$ 。

至此，定理1和定理2得证。

4. 解的性质

参考Chen [6]对非负非平凡解的研究，类似的，我们可以通过椭圆方程的强最大值原理证明NSAC系统不存在非负非平凡解，即以下类型的解：

$0\le \chi \left(x\right)\in C^2\left(\Omega \right)\cap C^1\left(\overline{\Omega }\right),\chi \ne C,0<\rho \left(x\right)\in L^{\infty }\left(\Omega \right),u\in L^{\infty }\left(\Omega \right).$

研究上述问题只需考虑问题(1)~(3)中的Allen-Cahn方程：

$\{\begin{array}{l}\text{div}\left(\rho u\chi \right)=-\mu ,x\in \Omega \\ \rho \mu =-\Delta \chi +\rho \left({\chi }^3-\chi \right),x\in \Omega \\ \nabla \chi \cdot n=0,x\in \partial \Omega \end{array}$ (43)

定理3 设$0<\rho \left(x\right)\in L^{\infty }\left(\Omega \right)$ ，$u\in L^{\infty }\left(\Omega \right)$ ，$\chi \left(x\right)\in C^2\left(\Omega \right)\cap C^1\left(\overline{\Omega }\right)$ 为问题(43)的解，则当$\chi \left(x\right)\ge 0$ 时，必有$\chi \ne C$ 成立。

证明：根据定义1，有$\left|\chi \left(x\right)\right|\le 1$ 。应用反证法，假设$\left|\chi \left(x\right)\right|\le 1$ 且$\chi \left(x\right)\ge 0$ ，则将问题(43)₁式代入(43)₂式中，得到：

$\{\begin{array}{l}-\Delta \chi +{\rho }^{2}u\cdot \nabla \chi =\rho \left({\chi }^3-\chi \right)\ge 0,x\in \Omega \\ \nabla \chi \cdot n=0,x\in \partial \Omega \end{array}$

设点$x_0\in \overline{\Omega }$ 为$\chi \left(x\right)$ 在区域$\overline{\Omega }$ 中的最小值点，应用椭圆方程的强最大值原理，可以得到

$\chi \left(x\right)\equiv C$ 或者$x_0\in \partial \Omega$ 且${\nabla \chi \cdot n|}_{x_0}<0$

由于情况2中${\nabla \chi \cdot n|}_{x_0}<0$ 与条件${\nabla \chi \cdot n|}_{x_0}=0$ 矛盾，故点$x_0\in \partial \Omega$ 不存在。因此只有情况1成立，即$\chi \left(x\right)\equiv C$ 。

5. 结束语

本文研究了三维NSAC系统滑移边界问题的稳态弱解的存在性。在绝热常数$\gamma >3$ 条件下，我们首先通过构造原问题的近似化方程，利用Schauder不动点原理给出近似解的存在性，并得到所需的估计。进一步，通过引入有效粘性通量，证明了近似密度的强收敛性。最后分析极限的收敛情况，证明了稳态弱解的存在性。

基金项目

国家自然科学青年科学基金项目：可压缩Navier-Stokes/Allen-Cahn方程组解的大时间行为研究(12301266)。

NOTES

^*通讯作者。