电子商务背景下双渠道供应链价格博弈模型的动力学分析

Dynamics Analysis of a Dual-Channel Supply Chain Price Competition Game Model under E-Commerce Background

摘要: 在互联网发展的浪潮中，电子商务迅速崛起，零售商的销售方式也不再拘泥于传统的实体渠道，而是借助互联网的优势，在电子商务平台上进行销售和提供服务。然而，销售渠道的增加也加剧了零售寡头之间的竞争，不同渠道的零售寡头之间的竞争主要为价格和服务竞争。本文主要聚焦于一类双渠道供应链价格竞争模型，考虑两家零售商分别采用传统的实体销售渠道和网络销售渠道组成的二级供应链，在竞争激烈的市场中，两渠道的零售商不再追求自身利润的最大化，而是追求相对利润最大化。我们结合非线性动力学理论，建立了一个基于相对利润最大化的双渠道供应链价格竞争博弈模型，对零售商之间的长期博弈进行了分析。结果发现，调整速度过快和边际成本过高都会导致系统进入混沌状态，同时还发现在不稳定的混沌状态下价格初值的微小改变会引起市场价格波动较大。此外，两个不同渠道的零售商也需要选择合适的销售方式使产品差异性控制在合理的范围内才能保持市场的稳定。

Abstract: With the rapid rise of e-commerce in the wave of Internet development, retailers are no longer confined to traditional brick-and-mortar channels, but are taking advantage of the Internet to sell and provide services on e-commerce platforms. However, the increase in sales channels has also intensified the competition among retail oligopolies, and the competition among retail oligopolies in different channels is mainly price and service competition. Thus, this paper focuses on a class of dual-channel supply chain price competition models, in which the two retailers in the supply chain are the traditional brick-and-mortar sales channel and the online sales channel, respectively. Firstly, we consider the two vendors no longer seek to maximize their own profits, but rather maximize their relative profits in the competitive market. Then, we combine the nonlinear dynamics theory to establish a dual-channel supply chain price competition game model based on relative profit maximization and analyze the long-term game between retailers. It is found that both too fast adjustment and too high marginal cost lead the system into a chaotic state, and it is also found that small changes in the initial value of price in an unstable chaotic state cause large fluctuations in the market price. In addition, retailers in two different channels need to choose appropriate sales methods to keep the product variability within a reasonable range in order to maintain the stability of the market.

1. 引言

随着互联网的快速发展，电子商务也应运而生，产品制造商和零售商的销售渠道都不再拘泥于传统的实体店销售模式，而是通过电子商务平台进行网络销售。据中华人民共和国商务部新闻办公室发布的消息表明，2024年上半年以来我国网络零售促进消费恢复向好，网上零售额突破7.1万亿元[1]。从数据可以知道在移动互联网时代，人们的消费习惯发生了很大的变化，网上购物已经成为人们必不可少的购物方式之一。与此同时，对于制造商来说，通过网络直销的方式，不仅拓宽了销售渠道，还可以和消费者直接接触和沟通，更加了解消费者的需求，从而增加市场的占有率，获取更多的利润。但是在电子商务发展迅速的同时，我们也注意到销售渠道的增加也加剧了零售寡头之间的冲突和市场竞争。因此，如何缓解渠道冲突以及选择合理的定价策略成为了近年来学者们研究的热点问题。

余艾铧[2]等考虑制造商不仅通过传统的零售渠道销售产品，还利用网络直销和中介销售的渠道来进行销售，进而构建Hotelling模型来分析制造商在多渠道的销售方式下如何进行定价以及渠道的选择。当前直播带货也发展迅猛，张鑫[3]等在直播带货销售的背景下，根据网络零售渠道，商家自播渠道以及网红直播渠道构建了三种模式下直播带货供应链的决策模型，分析了品牌方的定价与渠道选择问题，并研究了网红直播渠道份额、直播间导流系数和直播方佣金比例对混合模式均衡解的影响。张天瑞[4]等通过构建Hotelling与Bertrand相结合的博弈模型来研究在新零售模式下连锁超市在双渠道供应链中以自身利润最大化为目标的情形，通过数值仿真分析了模型的可行性并给出了相应的定价策略和建议。

上述的研究主要探讨在各类具体模式下，多渠道供应链的渠道选择与定价问题。但是渠道之间并不是静态的博弈状态，而是一个长期的博弈过程，所以建立动态的模型分析将更贴合实际。李亭[5]将经济学与非线性动力学理论相结合，分析了多渠道供应链间零售商经营目标不同、服务不同、理性预期不同，以及采用价格延迟策略四种不同情况下价格与服务的动态博弈模型，分析发现网络渠道的认可度和消费者对服务渠道间的差异对系统的稳定性有重要影响，还通过数值仿真分析了不同参数对系统稳定性的影响。张亚鹏[6]等考虑制造商直销渠道和零售商传统渠道的双渠道供应链情形，引入渠道服务参数，渠道合作的利润分配参数建立了渠道合作与服务下的双渠道供应链动态博弈模型，通过数值仿真对建立的模型进行动力学分析，研究发现选择合适的服务值有利于市场的长期稳定。郭庆羽[7]从量子博弈的视角出发，建立了考虑服务质量的供应链动态量子博弈模型并研究了量子纠缠对系统稳定性和复杂行为的影响。张芳[8]等研究了一个双渠道闭环供应链的动态定价博弈模型，并且考察了渠道忠诚度和参考价格对价格决策的影响，最后利用数值模拟稳定域图、分岔图、最大Lyapunov指数图等分析了系统的复杂动态行为，结果发现增加参考价格系数，回收率会增加，零售商利润也会增加，但是制造商利润会减小。另外在动态定价博弈中，需要合理地调整速度，否则调整速度过快会导致系统进入混沌状态。

本文基于以上研究，考虑在电子商务背景下竞争激烈的市场中，两个选择不同渠道的零售寡头在很多时候不只是关注自己的利润，也关注对方的利润，追求的不再是自身利润最大化，而是自身与对手利润差值的相对利润最大化，进而建立了双渠道供应链动态价格竞争博弈模型，通过数值仿真探索相关参数对系统稳定性的影响，对零售商如何制定最优决策，防止双渠道供应链市场进入无序状态，具有一定的参考价值。

2. 模型建立

2.1. 问题描述

在市场中由一个传统渠道的零售商和一个网络直销零售商构成的供应链系统，两零售商在价格竞争的基础上销售具有异质性的产品。这里异质性考虑的是他们虽然从制造商拿到同一产品进行销售，但为了提高销售额，两个不同渠道的零售商会通过不同的广告形式以及提供各自的服务模式来销售产品，进而导致产品销售时并不是完全相同的。同时，两零售商不再只考虑自身利润最大化，还关注对方的利润，追求的是相对利润最大化。

2.2. 模型建立

考虑在市场中，一个传统的线下渠道零售商和线上渠道零售商构成的供应链系统中两零售商销售具有差异化的产品，并且都以产品的价格作为决策变量。令$q_1$ ，$p_1$ 表示传统渠道零售商的产量和价格，$q_2$ ，$p_2$ 表示网络渠道零售商的产量和价格，设两渠道零售商的需求函数如下：

$\begin{array}{l}{q}_1=\frac{a\left(1-d\right)-p_1+d{p}_2}{1-d^2},\\ q_2=\frac{a\left(1-d\right)-p_2+d{p}_1}{1-d^2}.\end{array}$

其中$a>0$ 表示市场的最大需求量，$0<d<1$ 表示两渠道零售商利用广告以及服务效应导致的产品差异化，当$d\to 1$ 时，销售的产品更相似，当$d\to 0$ 时，销售的产品差异性更大。关于产量的线性成本函数为：

$C_i\left(q_i\right)=c_i{q}_i,$

其中$c_i>0\left(i=1,2\right)$ 表示零售商$i$ 的边际成本。用$l_1$ ，$l_2$ 分别表示两个零售商的绝对利润，因此每个零售商的绝对利润为：

$\begin{array}{l}{l}_1=\left(p_1-c_1\right)q_1=\left(p_1-c_1\right)\frac{a\left(1-d\right)-p_1+d{p}_2}{1-d^2},\\ l_2=\left(p_2-c_2\right)q_2=\left(p_2-c_2\right)\frac{a\left(1-d\right)-p_2+d{p}_1}{1-d^2}.\end{array}$

零售商的相对利润被定义为其绝对利润与其他零售商绝对利润的差值，用$L_1$ ，$L_2$ 分别表示两个零售商的相对利润，则两个零售商的相对利润为：

$\begin{array}{l}{L}_1=l_1-l_2\\ =\frac{\left(a+c_1+c_{2}d-ad\right)p_1}{1-d^2}+\frac{\left(ad-c_{1}d-a-c_2\right)p_2}{1-d^2}\\ +\frac{a{c}_{1}d+a{c}_2+p_2^2-a{c}_{2}d-a{c}_1-p_1^2}{1-d^2},\\ L_2=l_2-l_1\\ =\frac{\left(ad-c_{2}d-a-c_1\right)p_1}{1-d^2}+\frac{\left(a+c_2+c_{1}d-ad\right)p_2}{1-d^2}\\ +\frac{a{c}_{2}d+a{c}_1+p_1^2-a{c}_{1}d-a{c}_2-p_2^2}{1-d^2}.\end{array}$ (1)

对上式求偏导，则两零售商的边际相对利润为：

$\begin{array}{l}\frac{\partial L_1}{\partial p_1}=\frac{a\left(1-d\right)+c_1+c_{2}d-2p_1}{1-d^2},\\ \frac{\partial L_2}{\partial p_2}=\frac{a\left(1-d\right)+c_2+c_{1}d-2p_2}{1-d^2}.\end{array}$ (2)

由于两渠道的零售商都不能对市场的信息完全掌握，因此放松参与人完全理性的假设，假设渠道的零售商是有限理性的，在动态竞争过程中，他们会根据$t$ 时期的相对边际利润信息去决定$t+1$ 时期的策略。从而构建具有有限理性预期的动态价格竞争博弈模型如下：

$\{\begin{array}{l}{p}_1\left(t+1\right)=p_1\left(t\right)+{\omega }_1\left(t\right)\frac{\partial L_1}{\partial p_1},\\ p_2\left(t+1\right)=p_2\left(t\right)+{\omega }_2\left(t\right)\frac{\partial L_2}{\partial p_2}.\end{array}$ (3)

其中$p_i\left(t\right)\left(i=1,2\right)$ 表示零售商$i$ 在$t$ 时刻的策略，$p_i\left(t+1\right)\left(i=1,2\right)$ 表示零售商在$t+1$ 时刻的策略，${\omega }_i\left(i=1,2\right)$ 表示零售商的策略调整速度，$L_i\left(i=1,2\right)$ 表示零售商的相对利润函数。

3. 平衡点及其稳定性分析

令$p_i\left(t+1\right)=p_i\left(t\right)\left(i=1,2\right)$ ，可以得到上述系统有唯一的Nash均衡解$E=\left(p_1^{*},p_2^{*}\right)$ ，其中

$\begin{array}{l}{p}_1^{*}=\frac{a\left(1-d\right)+c_1+c_{2}d}{2},\\ p_2^{*}=\frac{a\left(1-d\right)+c_2+c_{1}d}{2}.\end{array}$ (4)

因为Nash均衡点具有经济学意义，则$p_1^{*}$ ，$p_2^{*}$ 是非负的，故以下条件成立：

$\begin{array}{l}a\left(1-d\right)+c_1+c_{2}d>0,\\ a\left(1-d\right)+c_2+c_{1}d>0.\end{array}$ (5)

下面分析均衡点的局部稳定性，计算(3)的雅克比矩阵为：

$J=\left(\begin{array}{cc}1+\frac{{\omega }_1\left(a\left(1-d\right)+c_1+c_{2}d-4p_1\right)}{1-d^2}& 0\\ 0& 1+\frac{{\omega }_2\left(a\left(1-d\right)+c_2+c_{1}d-4p_2\right)}{1-d^2}\end{array}\right).$ (6)

根据非线性动力学的相关理论，对于Nash均衡点稳定性判断，可以用均衡点处雅可比矩阵特征值的模与1进行比较，当$\left|{\lambda }_i\right|<1\left(i=1,2\right)$ 时，Nash均衡点是一个稳定的结点；当$\left|{\lambda }_i\right|>1\left(i=1,2\right)$ 时，Nash均衡点是一个不稳定的结点；当$\left|{\lambda }_1\right|<1$ ，$\left|{\lambda }_2\right|>1$ 或$\left|{\lambda }_1\right|>1$ ，$\left|{\lambda }_2\right|<1$ 时，Nash均衡点是一个鞍点。通过证明我们有以下命题。

命题2.1：均衡点$E$ 是局部稳定的，若

$\frac{{\omega }_{2}N}{{\omega }_{2}MN-M}<{\omega }_1<\frac{2{\omega }_{2}N-4}{{\omega }_{2}MN-2M}.$

其中

$M=\frac{a\left(1-d\right)+c_1+c_{2}d}{1-d^2},N=\frac{a\left(1-d\right)+c_2+c_{1}d}{1-d^2}.$

证明：在Nash均衡点处雅可比矩阵的特征值求解复杂，我们通过$\left|{\lambda }_i\right|<1\left(i=1,2\right)$ 的等价条件Jury判据[9]来证明，Jury判据为：

$\{\begin{array}{l}(\text{i}):1-Tr+Det>0\\ (\text{ii}):1+Tr+Det>0\\ (\text{iii}):1-Det>0\end{array}$ (7)

当上述三个条件都满足时，均衡点是局部稳定的。其中$Tr$ 为雅可比矩阵的迹，$Det$ 为雅可比矩阵的行列式。将式(4)代入式(6)，在均衡点$E$ 处的雅克比矩阵为

$J=\left[\begin{array}{cc}1-{\omega }_{1}M& 0\\ 0& 1-{\omega }_{2}N\end{array}\right],$

则有$Tr=2-{\omega }_{1}M-{\omega }_{2}N$ ，$Det=1-{\omega }_{2}N-{\omega }_{1}M+{\omega }_1{\omega }_{2}MN$ ，

$\{\begin{array}{l}1-Tr+Det={\omega }_1{\omega }_{2}MN>0\\ 1+Tr+Det=4-2{\omega }_{1}M-2{\omega }_{2}N+{\omega }_1{\omega }_{2}MN>0\\ 1-Det={\omega }_{1}M+{\omega }_{2}N-{\omega }_1{\omega }_{2}MN>0\end{array}$

由(5)可知，条件(i)恒成立，由条件(ii)和条件(iii)共同决定了均衡点稳定条件为${\omega }_{2}N/\left({\omega }_{2}MN-M\right)<{\omega }_1<\left(2{\omega }_{2}N-4\right)/\left({\omega }_{2}MN-2M\right)$ ，命题得证。

4. 数值模拟

在本文建立的动态价格竞争博弈中，考虑的是两渠道供应链的零售商以追求相对利润最大化为目标，进而做出下一阶段的决策，这种动态博弈无法立即达到Nash均衡状态，需要通过多次的重复博弈才能逐渐接近均衡状态。为了更清楚的了解动态演化过程中系统的特征，我们将通过一系列的数值模拟图来探究各项参数对系统稳定性的影响。

Figure 1. Stable regions of system (3) about parameters $\left({\omega }_1,{\omega }_2\right)$

图1. 系统(3)关于参数$\left({\omega }_1,{\omega }_2\right)$ 的稳定区域

固定参数$a=0.6$ ，$c_1=0.1$ ，$c_2=0.2$ ，$d=0.3$ ，图1展示了传统零售商和网络零售商关于调整速度$\left({\omega }_1,{\omega }_2\right)$ 的稳定区域图，图中浅蓝色部分是稳定区域。但是当$\left({\omega }_1,{\omega }_2\right)$ 逐渐增大时，系统就会通过Flip分岔失去稳定性，然后进入不可预测的混沌状态，若继续增大调整速度则会导致溢出，意味着其中某一个渠道的零售商将会退出市场。

图2展示了传统零售商和网络零售商在追求相对利润最大化时随着速度调整参数变化的动态演化过程以及对应的最大Lyapunov指数图。固定参数$a=0.6$ ，$c_1=0.1$ ，$c_2=0.2$ ，$d=0.3$ ，${\omega }_2=0.5$ ，图2(a)呈现了传统零售商随着调整速度的演化过程，我们发现随着调整速度的增加，传统零售商在${\omega }_1=3.135$ 时发生了Flip分岔，使Nash均衡点失去了稳定性。之后随着${\omega }_1$ 继续增大，系统发生第二次Flip分岔和第三次Flip分岔，进入8周期状态后，继续增大调整速度，系统便进入了混沌状态，即此时的价格决策进入了不可预测的状态。同样固定参数$a=0.6$ ，$c_1=0.1$ ，$c_2=0.2$ ，$d=0.3$ ，${\omega }_1=0.5$ ，图2(c)呈现了网络零售商随着调整速度${\omega }_2$ 的演化过程，当调整速度${\omega }_2<2.795$ 时系统处于稳定状态，随着调整速度不断增大，会发生Flip分岔，最终进入混沌状态。可以看出，价格调整速度需要控制合适的范围内，才可以使市场处于稳定状态，而当调整速度增大到系统进入混沌后，系统便变得不可预测。图2(b)与图2(d)分别为两渠道零售商随着速度调整的分岔图所对应的最大Lyapunov指数图，当对应的最大Lyapunov指数为负时，系统处于稳定状态时，而当对应的最大Lyapunov指数为正时，系统则进入了混沌状态。

图3展示了两渠道供应链的零售商随着成本参数变化对系统的影响。固定参数$a=0.6$ ，${\omega }_1=0.4$ ，${\omega }_2=0.4$ ，$d=0.3$ ，$c_2=0.15$ ，由图3(a)可以发现，随着成本的增加，传统零售商由最初的稳定状态通过倍周期分岔最终进入了不可预测的混沌状态。固定参数$a=0.6$ ，${\omega }_1=0.4$ ，${\omega }_2=0.4$ ，$d=0.3$ ，$c_1=0.15$ ，图3(c)展现了网络零售商随着成本的演化状态，可以看出网络零售商呈现出了与线上零售商一样的演化过程，当成本不断增大时，系统会进入混沌状态。图3(b)与图3(d)的Lyapunov指数图验证了系统的演化情况。另外，由两家零售商的演化过程还可以知道在稳定区域中，随着成本的增加，零售商会选择增加产品价格来获得更大的利润。

Figure 2. Bifurcation diagrams of dual-channel retailers with respect to ${\omega }_1,{\omega }_2$ and the corresponding largest Lyapunov exponent diagrams

图2. 双渠道零售商关于${\omega }_1,{\omega }_2$ 的分岔图及其对应的最大Lyapunov指数图

Figure 3. Bifurcation diagrams of dual-channel retailers with respect to $c_1,c_2$ and the corresponding largest Lyapunov exponent diagrams

图3. 双渠道零售商关于$c_1,c_2$ 的分岔图及其最大Lyapunov图

Figure 4. Bifurcation diagrams of dual-channel retailers with respect to d and the corresponding largest Lyapunov exponent diagrams

图4. 双渠道零售商关于d的分岔图及其最大Lyapunov指数图

固定参数$a=0.6$ ，$c_1=0.1$ ，$c_2=0.2$ ，${\omega }_1=3.7$ ，${\omega }_2=3.3$ ，图4展示了两种不同渠道的零售商关于参数$d$ 的分岔图，当$d\to 0$ 时，两零售商从制造商拿到产品后，通过广告和各种促销方式，使得在销售时产品产生了较大的差异性，这时系统会处于混沌状态。随着$d$ 逐渐增大，系统通过逆周期分岔趋于稳定状态，而当$d\to 1$ 时，两渠道的零售商可能使用相同的促销方式或者从制造商拿到产品后直接销售，两渠道的零售商在销售产品时差异性很小，系统又会进入混沌状态。另外，从图中可以看出，在稳定区域内，当两渠道供应链的零售商的产品差异性逐渐减小时，零售商会通过降低价格的方式来获得最大利润，即当两个零售商的产品是近乎可以互相替代时，会通过降低价格的方式吸引消费者，从而获得更大利润。最后，由于两产品的相似程度较大和较低都会导致市场的不稳定，所以产品的差异性应该控制在合理的范围内，从而做出更好的决策。

对初始条件的敏感依赖性可以理解为“蝴蝶效应”，也是混沌状态的重要特征之一。在参数$a=0.6$ ，$c_1=0.1$ ，$c_2=0.2$ ，${\omega }_1=4.5$ ，${\omega }_2=0.5$ 下，传统零售商处于不可预测的混沌状态，对于传统零售商分别选取初始值为$\left(x_1,x_2\right)=\left(0.3,0.3\right)$ ，$\left(x_1,x_2\right)=\left(0.301,0.3\right)$ ，在图5(a)中，传统零售商的红色轨道和蓝色轨道在一开始是难以区分的，但是当$t=17$ 时，两轨道开始逐渐分开，价格表现出了明显的差异。同样，固定参数$a=0.6$ ，$c_1=0.1$ ，$c_2=0.2$ ，${\omega }_1=0.5$ ，${\omega }_2=4.1$ 在图5(b)中取与图5(a)一样的初始值，图5(b)呈现了网络零售商对初始条件的敏感依赖性，两轨道在$t=8$ 之后开始逐渐分开，表现出明显的差异。可以发现，无论是传统零售商还是网络零售商，当系统处于混沌状态后，初始条件的微小变化都会随着时间的推移产生很大的变化，也反应了当系统处于混沌状态时，对应市场的不稳定状态，所以在此时对价格做出较小的调整可能导致市场很大的价格反应。

Figure 5. Sensitivity dependence diagrams on initial conditions of dual-channel retailers

图5. 双渠道零售商对初始条件的敏感依赖性

5. 总结

当前我国电子商务发展规模巨大，并且还在快速增长，在这样的背景下，本文建立了一个双渠道供应链动态价格竞争博弈模型，传统的线下零售商和网络在线零售商都不再以追求绝对利润为目标，而是会追求相对利润最大化，这是一种更具有竞争性的市场形态。通过理论推导，我们得到了系统唯一的Nash均衡点并计算出系统的稳定条件。利用数值仿真研究了系统的复杂行为。结果发现，系统的稳定性与参数的取值有关，当传统零售商和网络零售商的调整速度增大时，系统会因为分岔和混沌行为失去稳定性。另外，当边际成本在稳定区域中逐渐增大时，两零售商会通过增加产品价格来获得更大的利润。而对于两零售商的差异化程度较大或较小时都会导致系统的不稳定，因此两家零售商的促销方式应该控制在合适的差异化区间。最后，当系统在混沌状态时，价格的微小变化也会使市场产生较大的波动，进而导致利润的损失。因此，在自由竞争的市场中系统处于混沌状态时，零售商在制定价格时应该更加谨慎科学，必要时需要采取一些混沌的控制方法。