一种高维集结算法及其在新能源设施选址中的应用研究

A High-Dimensional Clustering Algorithm and Its Application in the Siting of New Energy Facilities

摘要: 本文提出了一种高维集结算法来对多目标选址中的目标函数进行分析，并用其解决新能源设施选址问题。本文算法分为三个步骤：首先，将区域内所有场所定义为决策变量，计算出所有子目标函数。将决策变量及子目标函数投影为高维空间上的需求点，每一个维度对应一个子目标函数值，高维需求点之间的欧氏距离体现了不同场所在多目标优化环境下的差异。然后，设计高维集结算法n-DFPSA (n维设施点集结算法)寻找高维空间中的Pareto中位点，该点到所有高维设施点之间欧式距离之和最小，根据高维设施点与高维Pareto点之间的欧氏距离对设施进行赋权。最后，将所有场所根据其经纬度及权重信息投影为二维平面上的加权需求点，利用2-DFPSA (平面设施点集结算法)寻找二维平面中的加权Steiner点，该点即为新能源设施的合理选址位置。文章的最后，选用了一个工商储能站选址案例进行选址仿真实验，并与经典选址算法进行对比，对比结果证明了本文开发算法的优越性。

Abstract: The paper proposes a high-dimensional aggregation algorithm for analyzing the objective function in multi-objective location, which is applied to solve the problem of locating new energy facilities. The algorithm consists of three steps: Firstly, all facilities within the area are defined as decision variables and their corresponding sub-objective functions are calculated. These decision variables and sub-objective functions are then projected onto facility points in a high-dimensional space, where each dimension corresponds to a sub-objective function value. The Euclidean distance between these high-dimensional facility points reflects the differences among different facilities in the multi-objective optimization environment. Secondly, an n-DFPS (n-dimensional facility point seasonal algorithm) is designed to find the Pareto point in this high-dimensional space by minimizing the sum of Euclidean distances between that point and all other high-dimensional facility points. The facilities are weighted based on their Euclidean distances from both the high-dimensional facility point and the high-dimensional Pareto median point. Finally, all facility points are projected onto weighted facility points on a two-dimensional plane according to their latitude, longitude, and weight information; 2-PGSA (2-dimensional facility point seasonal algorithm) is used to identify Steiner points on this plane as reasonable locations for new energy facilities. To validate its effectiveness, an industrial and commercial energy storage station location case study is conducted using simulation experiments comparing it with classical location algorithms; results demonstrate superiority of our proposed algorithm.

1. 引言

新能源的高效能，高质量发展是我国能源战略布局的重中之重。新能源设施选址是各新能源企业高效发展面临的一个重要问题。随着新能源企业的技术革新，新能源生态系统已经包含充电站，大型储能系统，能源逆变站，能源交易中心等多种新能源设施。由于各种新能源设施选址的目标函数存在差异，传统的选址算法不具备通用性和准确性。

李志[1]使用建设总成本和充电需求数这两个目标函数对高速公路充电站选址问题进行优化分析，构建充电站定容模型，利用遗传算法求解模型，并使用求解结果分析新能源车续航里程的发展对选址定容结果的影响，为高速公路充电站选址提供决策辅助。陶冶等[2]对国内外针对充电桩、充电站和换电站开发的选址优化模型的建立及求解算法进行了综述，得出了目前主流模型提取出的充电需求点的空间分布与实际情况存在一定偏差的结论，并提出充电设施优化布局的发展趋势是多目标优化。Saúl等[3]针对新能源充电站选址问题，提出了一种考虑最大充电站数量和新能源车真实数量两个目标的多目标优化模型，分别采用多目标遗传算法(NSGA II)和给予惩罚的边界交叉算法(MOEA/D)完成模型求解。Zhang等[4]研究了电动微型交通工具(EMV)换电站的选址问题，整合EMV生成和吸引模型、基于代理人的EMV出行链和EMV换电行为模型设计了一个多目标优化模型，并采用NSGA II来求解模型，得到了该模型的Pareto最优解集。Lazari等[5]针对充电站选址问题，提出了基于建设成本和需求点与站点之间距离这两个目标函数的双目标优化模型。然后，在优化模型中加入约束条件，提高模型的准确性。最后，使用遗传算法对文章构建的模型进行求解，实验结果体现了文章提出方法的可靠性。

以上研究针对的都是单一新能源设施的选址问题，所提模型及方法存在两个问题。第一，模型及算法的通用性不佳；其次，目标函数构造较为简单，实际应用场景中，新能源设施选址要考虑的目标函数较多，归一化难度很大。针对上述问题，本文开发了一种通用性较强的高维集结算法，通过求解两层多目标优化模型来解决新能源设施的选址问题。

2. 高维集结算法

2.1. 高维需求点投影方法

多目标选址问题描述如下：

$\min F\left(x\right)={\left[f_1\left(x\right),f_2\left(x\right),\cdots ,f_n\left(x\right)\right]}^T$ (1)

$s.t.x\in \Omega$ (2)

$\Omega =\left\{x\in R^m|g_i\left(x\right)\le 0,i=1,2,\cdots ,p\right\}$ (3)

其中，$x=\left(x_1,x_2,\cdots ,x_m\right)$ 所在的空间Ω称为可行解空间，向量$F\left(x\right)$ 为所在空间的多目标优化空间，$f_j\left(x\right)\left(1\le j\le n\right)$ 为目标函数，$g_i\left(x\right)\left(1\le i\le m\right)$ 为约束条件。

计算各可行解的目标函数值，形成$x_k$ 的目标函数值向量$F\left(x_k\right)=\left[f_1\left(x_k\right),f_2\left(x_k\right),\cdots ,f_n\left(x_k\right)\right]$ ，将其投影为n维空间中的需求点$x^k$ ，构造出需求点空间${\Omega }^{*}$ 。不同可行解在同一目标向量下的差异$Q\left(x_k,x_l\right)$ 可以由n维空间需求点之间的欧氏距离描述，两点之间欧氏距离越大，两个可行解差异越大；某个维度的欧氏距离可以描述两个可行解在某个目标函数下的差异$Q_j\left(x_k,x_l\right)$ ，计算方式如下：

$Q\left(x_k,x_l\right)=D\left(x^k,x^l\right)=\sqrt[n]{{\left(f_1\left(x_k\right)-f_1\left(x_l\right)\right)}^2+{\left(f_2\left(x_k\right)-f_2\left(x_l\right)\right)}^2+\cdots +{\left(f_n\left(x_k\right)-f_n\left(x_l\right)\right)}^2}$ (4)

$Q_j\left(x_k,x_l\right)=D_j\left(x^k,x^l\right)=\sqrt{{\left(f_j\left(x_k\right)-f_j\left(x_l\right)\right)}^2}$ (5)

当n = 3时，可行解空间Ω与需求点空间${\Omega }^{*}$ 之间的转化过程如图1所示：

Figure 1. The process of space demand point set construction

图1. 需求点空间构建过程

2.2. 高维集结算法n-DFPSA寻找高维Pareto中位点

需求点空间${\Omega }^{*}$ 中与所有可行解差异之和最小的点为高维Pareto中位点$x^{*}$ ，在高维空间寻找Pareto中位点是一个NP难问题，本文开发高维集结算法n-DFPSA来解决这一问题。算法步骤如下：

Step 1：构建一个L-系统，设置生长步长$\lambda =l/2000$ (l为需求点空间${\Omega }^{*}$ 的平均轴长)，旋转角度$\theta ={22.5}^{\circ }$ ，Pareto中位点$x^{*}$ = NULL，Q_min = FLT_MAX，旋转方式顺逆时针交替或者根据实际实验结果调整为顺逆时针按照比例交替进行。

Step 2：在${\Omega }^{*}$ 内随机生成一个初始中位点$x_{{\alpha }_0}$ ，计算$x_{{\alpha }_0}$ 与所有需求点之间的差异之和Q：

$Q_{x_{{\alpha }_0}}={\displaystyle {\sum }_{i=1}^m\sqrt[n]{{\displaystyle {\sum }_{j=1}^n\left(f\left(x_{{\alpha }_0}\right)-f\left(x_j\right)\right)}}}$ (6)

$Q_{\min }=Q_{x_{{\alpha }_0}}$ ，$x^{*}=x_{{\alpha }_0}$ 。

Step 3：以向上为正方向做出长为λ的线段$L_1$ ，将$L_1$ 顺时针旋转θ，若$L_1$ 超出${\Omega }^{*}$ 的范围，则重复进行顺时针旋转直至$L_1$ 全部在${\Omega }^{*}$ 的范围内。在$L_1$ 上生成10个等距的备选中位点$x_{{\alpha }_1}^r\left(1\le r\le 10\right)$ ，使用公式(6)计算$Q_{{\alpha }_1}^r$ ，使用公式(7)、(8)计算$x_{{\alpha }_0}$ 和$x_{{\alpha }_1}^r$ 被选为新一轮中位点的概率：

$P_{x_{{\alpha }_0}}=\frac{Q_{x_{{\alpha }_0}}}{Q_{x_{{\alpha }_0}}+{\displaystyle {\sum }_{r=1}^{10}{Q}_{x_{{\alpha }_1}^r}}}$ (7)

$P_{x_{{\alpha }_1}^r}=\frac{Q_{x_{{\alpha }_1}^r}}{Q_{x_{{\alpha }_0}}+{\displaystyle {\sum }_{r=1}^{10}{Q}_{x_{{\alpha }_1}^r}}}$ (8)

Step 4：根据特定特征量身定制了独特的球形设计，以识别新的增长点，避免局部最优解。我们可以推导出${\displaystyle \sum _{r=1}^{10}\left(P_{x_{a_0}}+P_{x_{a_1}^r}\right)}=1$ 。然后，利用参数$P_{x_{{\alpha }_1}^r}$ 将一个大球体划分为区域，内部放置一个标记为δ的小球。当球体放置在不平坦的平面上时，它可以自由滚动直到停止，此时小球所在的区域被确定为新的Pareto中位点$x_{{\alpha }_1}^{*}$ (见图2)。

Figure 2. Selection process of random point

图2. 随机点选取过程

如果$x_{{\alpha }_1}^{*}\ne x^{*}$ 且$Q_{x_{{\alpha }_1}}^{*}<Q_{\min }$ ，则$Q_{\min }=Q_{x_{{\alpha }_1^{*}}}$ ，$x^{*}=x_{{\alpha }_1}^{*}$ 。否则，保持不变。

Step 5：以$x_{{\alpha }_1}^{*}$ 为起点，$L_1$ 所指方向为正方向，做出长为λ的线段$L_2$ ，将$L_2$ 逆时针旋转θ，若$L_2$ 超出${\Omega }^{*}$ 的范围，则重复进行逆时针旋转直至$L_2$ 全部在${\Omega }^{*}$ 的范围内。在$L_2$ 上生成10个等距的备选中位点$x_{{\alpha }_2}^g\left(1\le g\le 10\right)$ ，使用公式(6)计算$Q_{{\alpha }_2}^g$ ，使用公式(9)~(11)计算$x_{{\alpha }_0}$ 、$x_{{\alpha }_1}^r$ 、$x_{{\alpha }_2}^g$ 被选为新一轮中位点的概率：

$P_{x_{{\alpha }_0}}=\frac{Q_{x_{{\alpha }_0}}}{Q_{x_{{\alpha }_0}}+{\displaystyle {\sum }_{r=1}^{10}{Q}_{x_{{\alpha }_1}^r}}+{\displaystyle {\sum }_{g=1}^{10}{Q}_{x_{{\alpha }_2}^r}}}$ (9)

$P_{x_{{\alpha }_1}^r}=\frac{Q_{x_{{\alpha }_1}^r}}{Q_{x_{{\alpha }_0}}+{\displaystyle {\sum }_{r=1}^{10}{Q}_{x_{{\alpha }_1}^r}+{\displaystyle {\sum }_{g=1}^{10}{Q}_{x_{{\alpha }_2}^r}}}}$ (10)

$P_{x_{{\alpha }_2}^r}=\frac{Q_{x_{{\alpha }_2}^r}}{Q_{x_{{\alpha }_0}}+{\displaystyle {\sum }_{r=1}^{10}{Q}_{x_{{\alpha }_1}^r}+{\displaystyle {\sum }_{g=1}^{10}{Q}_{x_{{\alpha }_2}^r}}}}$ (11)

Step 6：重复Step 4，选出新的Pareto中位点$x_{{\alpha }_2}^{*}$ 。如果$x_{{\alpha }_2}^{*}\ne x^{*}$ 且$Q_{x_{{\alpha }_2}}^{*}<Q_{\min }$ ，则$Q_{\min }=Q_{x_{{\alpha }_2^{*}}}$ ，$x^{*}=x_{{\alpha }_2}^{*}$ 。否则，保持不变。

Step 7：重复步骤Step 5~Step 6，直到$Q_{\min }$ 和$x^{*}$ 在100次步骤迭代内不再更新为止，此时即找到了${\Omega }^{*}$ 中的高维Pareto中位点。

2.3. 空间需求点赋权与2-DFPSA寻找平面加权Steiner点

Figure 3. Search procedure of plane weighted Steiner points

图3. 平面加权Steiner点寻找过程

利用空间需求点$x^k$ 与Pareto中位点$x^{*}$ 之间的差异对空间需求点进行赋权，从而完成对可行解空间中的所有可行解进行赋权，赋权方法如公式(12)所示：

${\omega }_{x^k}={\omega }_{x_k}=\frac{Q{\left(x_k,x_{*}\right)}^{-1}}{{{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{n}Q\left(x_j,x_{*}\right)}}^{-1}}$ (12)

至此，多目标选址问题中的多目标优化空间$F\left(x_i\right)$ 被转换为可行解$x_i$ 的权值信息，多目标选址问题转化为寻找平面加权Steiner点的问题。可行解向量如下所示：

$x=\left(x_1,x_2,\cdots ,x_m\right)=\left(\left(N_1,E_1,{\omega }_1\right),\left(N_2,E_2,{\omega }_2\right),\cdots ,\left(N_m,E_m,{\omega }_m\right)\right)$ (13)

其中，$N_i$ 和$E_i$ 分别记录$x_i$ 的北纬与东经数值，${\omega }_i$ 记录该可行解的权重，可行解$x_i$ 的权重越大，最终选址结果离$x_i$ 越近，反之亦然。最终选址结果应为平面加权Steiner点。

改写2.2中的算法，将公式(6)修改为公式(14)即得到2-DFPSA算法快速找到最终选址位置。平面加权Steiner点寻找过程如图3所示

$Q_{x_{{\alpha }_0}}={\displaystyle {\sum }_{i=1}^m{\omega }_i\sqrt{\left(N_{x_{{\alpha }_0}}-N_{x_i}\right)}}$ (14)

3. 新能源设施选址案例

本文选择了国家新能源产业重点试验区A市的行政区B，作为新能源设施选址案例的研究对象，以规划一个用于存储区内光伏发电设备所产电能的工商储能站。区内的光伏设备主要分布在居民社区、商业中心、公共场所及新能源园区等不同场所，这些场所作为可行解向量的一部分被分析，以评估其选址的最优性。

设这些场所构成了可行解向量为$x=\left(x_1,x_2,\cdots ,x_{50}\right)$ ，目标函数值向量为$F\left(x_k\right)=\left[f_1\left(x_k\right),f_2\left(x_k\right),f_3\left(x_k\right)\right]$ ，其中$f_1\left(x_k\right)$ 为发电效率函数、$f_2\left(x_k\right)$ 为传输线路建设成本函数、$f_3\left(x_k\right)$ 为电力需求函数，具体如表1所示。工商储能站的选址要满足尽量靠近发电效率高的场所，同时降低传输线路建设成本，并且保证靠近电力需求较大的场所。

Table 1. Objective function vector values

表1. 目标函数向量值

Xk	f1 (xk), f2 (xk), f3 (xk)	Xk	f1 (xk), f2 (xk), f3 (xk)	Xk	f1 (xk), f2 (xk), f3 (xk)	Xk	f1 (xk), f2 (xk), f3 (xk)	Xk	f1 (xk), f2 (xk), f3 (xk)
X1	(0.8147, 0.905, 0.1270)	X11	(0.7060, 0.0318, 0.2769)	X21	(0.7513, 0.2551, 0.5060)	X31	(0.0759, 0.0540, 0.5308)	X41	(0.1067, 0.9619, 0.0046)
X2	(0.9134, 0.632, 0.0975)	X12	(0.0462, 0.0971, 0.8235)	X22	(0.6991, 0.8909, 0.9593)	X32	(0.7792, 0.9340, 0.1299)	X42	(0.7749, 0.8173, 0.8687)
X3	(0.2785, 0.5469, 0.9575)	X13	(0.6948, 0.3171, 0.9502)	X23	(0.5472, 0.1386, 0.1493)	X33	(0.5688, 0.4694, 0.0119)	X43	(0.0844, 0.3998, 0.2599)
X4	(0.9649, 0.1576, 0.9706)	X14	(0.0344, 0.4387, 0.3816)	X24	(0.2575, 0.8407, 0.2543)	X34	(0.3371, 0.1622, 0.7943)	X44	(0.8001, 0.4314, 0.9106)
X5	(0.9572, 0.4854, 0.8003)	X15	(0.7655, 0.7592, 0.1869)	X25	(0.8143, 0.2435, 0.9293)	X35	(0.3112, 0.5285, 0.1656)	X45	(0.1818, 0.2638, 0.1455)
X6	(0.1419, 0.4218, 0.9157)	X16	(0.4898, 0.4456, 0.6463)	X26	(0.3500, 0.1966, 0.2511)	X36	(0.6020, 0.2630, 0.6541)	X46	(0.1361, 0.8693, 0.5797)
X7	(0.7922, 0.9595, 0.6557)	X17	(0.7094, 0.7547, 0.2760)	X27	(0.6160, 0.4733, 0.3517)	X37	(0.6892, 0.7482, 0.4505)	X47	(0.5499, 0.1450, 0.8530)
X8	(0.0357, 0.8491, 0.9340)	X18	(0.6797, 0.6551, 0.1626)	X28	(0.8308, 0.5853, 0.5497)	X38	(0.0838, 0.2290, 0.9133)	X48	(0.6221, 0.3510, 0.5132)
X9	(0.6787, 0.7577, 0.7431)	X19	(0.1190, 0.4984, 0.9597)	X29	(0.9172, 0.2858, 0.7572)	X39	(0.1524, 0.8258, 0.5383)	X49	(0.4018, 0.0760, 0.2399)
X10	(0.3922, 0.6555, 0.1712)	X20	(0.3404, 0.5853, 0.2238)	X30	(0.7537, 0.3804, 0.5678)	X40	(0.9961, 0.0782, 0.4427)	X50	(0.1233, 0.1839, 0.2400)

通过本文第2.2部分所提出的算法，找出最优位置的高维Pareto中位点坐标为$\left[0.53614,0.46649,0.50906\right]$ (如图4所示)。

Figure 4. Process of locating the optimal high-dimensional Pareto median point

图4. 最优高维Pareto中位点寻找过程

根据Pareto中位点计算出各需求点到中心点的欧氏距离，具体数据见表2。

Table 2. Calculate Euclidean distance values

表2. 计算欧氏距离值

Xk	$Q_j\left(x_k,x_l\right)$	Xk	$Q_j\left(x_k,x_l\right)$	Xk	$Q_j\left(x_k,x_l\right)$	Xk	$Q_j\left(x_k,x_l\right)$	Xk	$Q_j\left(x_k,x_l\right)$
X1	0.6454	X11	0.5212	X21	0.3016	X31	0.6185	X41	0.8272
X2	0.5824	X12	0.6894	X22	0.6398	X32	0.6491	X42	0.5563
X3	0.5234	X13	0.4921	X23	0.4869	X33	0.4982	X43	0.5202
X4	0.7016	X14	0.5184	X24	0.5316	X34	0.4621	X44	0.4818
X5	0.5123	X15	0.5143	X25	0.5510	X35	0.4152	X45	0.5466
X6	0.5682	X16	0.1464	X26	0.4172	X36	0.2584	X46	0.5721
X7	0.5746	X17	0.4091	X27	0.1767	X37	0.3259	X47	0.4711
X8	0.7599	X18	0.4198	X28	0.3203	X38	0.6515	X48	0.1440
X9	0.3999	X19	0.6149	X29	0.4893	X39	0.5265	X49	0.4929
X10	0.4130	X20	0.3658	X30	0.2412	X40	0.6056	X50	0.5681

然后，基于公式(12)进行权重分配，生成最终的可行解向量，具体如表3所示：

Table 3. Weighted feasible solution vectors

表3. 带权的可行解向量

Xk	(Nm, Em, ωm)	Xk	(Nm, Em, ωm)	Xk	(Nm, Em, ωm)	Xk	(Nm, Em, ωm)	Xk	(Nm, Em, ωm)
X1	(31.4316, 119.9937, 0.0133)	X11	(31.7995, 120.1171, 0.0164)	X21	(31.7243, 119.6609, 0.0284)	X31	(31.4342, 119.4040, 0.0138)	X41	(31.9241, 119.4213, 0.0104)
X2	(31.4276, 119.4466, 0.0147)	X12	(31.8729, 119.7099, 0.0124)	X22	(31.4649, 119.1796, 0.0134)	X32	(31.5272, 119.5409, 0.0132)	X42	(31.3225, 119.6690, 0.0154)
X3	(31.6903, 120.1991, 0.0164)	X13	(31.6948, 119.8015, 0.0174)	X23	(31.3784, 119.6124, 0.0176)	X33	(32.0314, 119.7506, 0.0172)	X43	(31.2438, 119.2924, 0.0165)
X4	(31.7670, 120.1653, 0.0122)	X14	(31.4618, 119.9782, 0.0165)	X24	(31.7489, 120.0347, 0.0161)	X34	(31.1923, 119.2046, 0.0185)	X44	(31.6011, 120.0317, 0.0178)
X5	(31.3418, 119.8484, 0.0167)	X15	(32.0178, 120.1685, 0.0167)	X25	(31.9051, 119.2102, 0.0155)	X35	(31.7250, 119.8712, 0.0206)	X45	(31.4317, 119.3814, 0.0157)
X6	(31.3016, 119.7599, 0.0151)	X16	(31.8635, 119.3452, 0.0585)	X26	(31.9390, 119.9038, 0.0205)	X36	(31.1820, 120.0426, 0.0331)	X46	(31.9394, 119.4306, 0.0150)
X7	(31.5624, 119.4478, 0.0149)	X17	(31.8189, 119.7016, 0.0209)	X27	(31.1888, 119.1853, 0.0485)	X37	(31.1873, 119.5849, 0.0263)	X47	(31.9528, 120.0379, 0.0182)
X8	(32.0215, 119.8135, 0.0113)	X18	(31.6859, 119.7030, 0.0204)	X28	(31.2555, 119.8681, 0.0267)	X38	(31.2937, 119.1935, 0.0131)	X48	(31.3880, 119.7211, 0.0594)
X9	(31.7632, 120.0512, 0.0214)	X19	(31.2272, 119.9083, 0.0139)	X29	(31.8288, 119.7292, 0.0175)	X39	(32.0407, 119.4989, 0.0163)	X49	(31.2426, 120.0943, 0.0174)
X10	(31.5643, 119.2861, 0.0207)	X20	(31.3512, 119.8017, 0.0234)	X30	(31.5437, 119.1707, 0.0355)	X40	(31.4817, 120.0458, 0.0141)	X50	(31.7195, 119.4994, 0.0150)

最终通过公式(14)平面加权Steiner点法得到最优选址位置的坐标，为[31.55927, 119.6756] (如图5所示)。此位置在满足选址多目标的同时，优越性也体现在整体选址效率上。

Figure 5. Process of locating the plane-weighted Steiner point

图5. 平面加权Steiner点寻找过程

4. 对比实验

为了验证本文提出的高维集结算法(n-DFPSA)在新能源设施选址中的优越性，本节通过与经典的多目标遗传算法(NSGA2) [6] [7]进行对比，分析两种算法在多目标选址问题上的表现。

欧氏距离($D_j\left(x^k,x^{*}\right)$ )用于描述不同可行解在同一目标向量下的差异；平均剖面因子(MPF)用于计算所有候选设施点与高维Pareto中位点之间的加权平均距离，衡量设施点整体布局的均衡性；计算效率(CE)为完成一次算法运行的时间；稳定性(${\sigma }_F$ )用于描述结果的波动性，用目标函数值的标准差衡量。具体计算方式如下：

$D_j\left(x^k,x^{*}\right)=\sqrt{{\left(f_j\left(x_k\right)-f_j\left(x_k\right)\right)}^2}$ (15)

$\text{MPF}=\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\omega }_i}{D}_j\left(x^k,x^{*}\right)$ (16)

${\sigma }_F=\sqrt{\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(f_j\left(x_k\right)-f_j\left(x_{*}\right)\right)}^2}}$ (17)

Table 4. Comparison of different metrics

表4. 不同指标对比

指标	n-DFPSA	NSGA2
欧式距离($D_j\left(x^k,x^{*}\right)$ )	24.7191	36.9514
平均剖面因子(MPF)	0.4281	0.5003
计算效率(CE)	35 s	65 s
稳定性(${\sigma }_F$ )	0.0266	0.0395

表4所示为不同算法针对统一数据集在不同指标下的实验对比。n-DFPSA在新能源设施选址对比中表现出显著优势。它在欧式距离和平均剖面因子上均优于NSGA2，表明n-DFPSA能更有效地满足空间布局需求，并避免局部最优。此外，n-DFPSA的计算效率提升近46%，并且稳定性更佳，结果波动小、可靠性更高。因此，n-DFPSA更适合对选址精度、效率和稳定性要求较高的应用场景。

5. 结束语

综上所述，本文提出的高维集结算法n-DFPSA在新能源设施选址领域展现出显著的优势。首先，该方法具有极强的通用性，不需要针对不同设施的目标函数或区域特性进行算法调整，从而适用于多种类型的选址场景，极大地简化了应用过程。其次，算法的预处理简单高效，不会对原始数据产生损伤，采用高维空间中点间距离表示各可行解之间的差异，从而保留了数据的完整性和真实性。通过对决策变量在高维空间中的聚集及加权处理，本算法能够在选址问题中实现精确的优化，仿真实验也进一步验证了其在选址精度和稳定性上的显著优势。因此，该方法为新能源设施的合理布局提供了切实有效的解决方案，并为未来的多目标选址问题提供了通用性强、效率高的优化路径。

基金信息

1) 常州市科技支撑计划(社会发展)，项目号：CE20235043。

2) 江苏理工学院2022年校教学改革与研究项目“OBE视域下课程思政素材库与案例库的建设研究——以数据结构课程为例”。项目号：11610312306。

NOTES

^*通讯作者。